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nguyennguyet
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A grande richiesta, esercizi di matematica….!
A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arctanx disegna il grafico delle seguenti funzioni
g(x) =arctan(x+1) g(x) = arctan(x2)g(x) =π /4+arctanx; g(x)= 3arctanxg(x) = π /4 arctanx; g(x)=|arctanx|g(x) =| π /4arctanx | ; g(x) = arctan|x|g(x) =1/ (π /4arctanx ) ; g(x) =1/(arctanx π /2
)g(x) =1/ (π /3 arctanx ) ; g(x) = arctanx +|arctanx|
In figura il grafico di arctanx
In figura il grafico di arctan(x2) (verde) ottenuto traslando il grafico di arctanx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità; il grafico di arctan(2x) (rosa); il grafico di 3arctanx (in blu) ottenuto moltiplicando per 3 i valori di arctanx, ottenendo come insieme immagine (3π /2, 3π /2).
In figura il grafico di arctanx +|arctanx|, che coincide con 2arctanx per x≥0, vale 0 per x<0, dove
arctanx<0
In figura il grafico di π /4 arctanx, ottenuto nel modo seguente: si ottiene il grafico di arctanx con una simmetria rispetto all’asse x del grafico di arctanx, quindi si trasla quest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π /4. La funzione vale 0 per x=1
A grande richiesta, esercizi di matematica….!
Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che sia decrescente, il cui limite per x→−∞ sia 0, e per x→+∞ il limite sia −π
Ad esempio: f(x)=−(arctanx+π /2)
Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che sia decrescente, il cui limite per x→−∞ sia π , e per x→+∞ il limite sia 0
Ad esempio: f(x)= π /2− arctanx
A grande richiesta, esercizi di matematica….!Dire quali delle seguenti identità sono vere e quali no:sinx =cos(x +π /2) Falsa, cos(x +π /2) =sinxsinx = sin(x+π ) Veracosx = sin(x+π /2) Veracosx = cos(x+π ) Veracosx= cos(x π ) Verasinx = cos(x+ π /2) VeraRisolvere le seguenti equazioni e disequazioni:sin(3x)=1/2; sin(3x)>1/2Soluzione: sin(3x)=1/2 quando 3x=π /6+2k π oppure 3x=5π /6+2kπ , per ogni
k intero, per cui l’equazione ha per soluzioni x= π /18 +2kπ /3∪5π /18+2kπ /3.
La disequazione sin(3x)>1/2 è soddisfatta negli intervalli (π /18 +2k π /3, 5π /18+2kπ /3 ); si osserva che la funzione sin(3x) ha
periodo 2π /3.
A grande richiesta, esercizi di matematica….!Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:cos(3x) = 1/2; cos(3x)> 1/2Soluzione: l’equazione è soddisfatta per 3x= π /3+2kπ oppure 3x= π /3+2k π ,
dunque le soluzioni dell’equazione sono x= π /9 +2kπ /3∪π /9+2kπ /3, per ogni k intero; la disequazione è soddisfatta negli intervalli
(π /9 +2kπ /3, π /9+2kπ /3); si osserva che la funzione cos(3x) ha periodo 2π /3
tan(3x) = 1; tan(3x)≤ 1Soluzione:l’equazione è soddisfatta per 3x= π /4+ kπ , dunque x= π /12+kπ /3La disequazione è soddisfatta per π /2+kπ < 3x < π /4+ kπ , dunque per π /6+kπ /3 < x < π /12+ kπ /3; si osserva che la funzione tan(3x) ha periodo
π /3
sin(3x) ≥ 1/√2; cos(3x) < 1/√2
A grande richiesta, esercizi di matematica….!sin(3x) ≥ 1/√2; Soluzione:la disequazione è soddisfatta (vedi grafico sinx) per π /4 +2kπ <3x<3π /4+2kπ , dunque per π /12 +2kπ /3<x<3π /12+2kπ /3, per ogni k intero
cos(3x) < 1/√2 Soluzione: la disequazione è soddisfatta (vedi grafico cosx) perπ /4 +2kπ <3x<7π /4+2kπ , dunque perπ /12 +2kπ /3<x<7π /12+2kπ /3, per ogni k intero
A grande richiesta, esercizi di matematica….!
Risolvere le seguenti disequazioni:3sinx≤3/2 Soluzione: la disequazione equivale a sinx ≤ 1/2 che è soddisfatta per
7π /6 +2kπ <x<11π /6+2kπ , per ogni k intero
|3sinx|≥3/2 (si suggerisce di utilizzare il risultato ottenuto nella precedente disequazione….)
Soluzione: dal grafico di |sinx| si capisce che la disequazione è soddisfatta nell’intervallo (7π /6 , 11π /6), a meno di multipli interi di π (la funzione |sinx| ha infatti periodo π ), quindi la disequazione ha per soluzioni
7π /6 +kπ <x<11π /6+kπ , per ogni k intero
A grande richiesta, esercizi di matematica….!
Risolvere le seguenti disequazioni:3cosx ≤ 3√3/2 Soluzione: la disequazione equivale a cosx≤ √3/2 , soddisfatta (vedi grafico
cosx) per 5π /6 +2kπ <x<7π /6+2kπ , per ogni k intero
|3cosx|≥ 3√3/2 (si suggerisce di utilizzare il risultato ottenuto nella precedente disequazione….)
Soluzione: dal grafico di |cosx| si capisce che la disequazione è soddisfatta nell’intervallo (5π /6 , 7π /6), a meno di multipli interi di π (la funzione |cosx| ha infatti periodo π ), quindi la disequazione ha per soluzioni
5π /6 +kπ <x<7π /6+kπ , per ogni k intero
Funzioni sinusoidali
Determinare una funzione sinusoidale che descriva la concentrazione di una certa sostanza nel sangue, che varia nel tempo periodicamente con periodo 24 ore, con valore minimo 10mg/100ml alle ore 4 e valore massimo 80 mg/100ml alle ore 16.
Soluzione: Abbiamo visto a lezione (vedi Lez18) che una funzione sinusoidale si può scrivere come f(x)=Acos(2π /P(xx0)) + y0
Dove A è l’ampiezza, P è il periodo, x0 la fase ed y0 il valor medio.Nel nostro caso si ha P=24, A=(8010)/2=35, y0 =(80+10)/2=45 ed
infine x0 =16, quindi otteniamo la funzione f(x)=35cos(2π /24(x16))+45Si verifica che per x=4 otteniamo f(4)=10
Funzioni sinusoidali
Formule di prostaferesi:
sinα +sinβ = 2sin((α + β )/2)cos((α β )/2)sinα sinβ = 2sin((α β )/2)cos((α + β )/2)cosα +cosβ = 2cos((α + β )/2)cos((α β )/2)cosα cosβ = 2sin((α + β )/2)sin((α β )/2)
Funzioni sinusoidali
Sommiamo due sinusoidi di uguale ampiezza e periodo, ma differente fase
Posto ω = 2π /PAcos(ω (xF)) + Acos(ω (xF’)) =Usiamo la corrispondente formula di prostaferesi=2Acos(ω (F’F)/2)cos(ω (x (F’+F)/2))Se ω (F’F)/2=π /2, vale a dire F’F= π /ω =P/2, la
somma delle due sinusoidi è nulla!Fenomeni di interferenzaI colori della coda di un pavone sono generati non dai
pigmenti ma dall’interferenza della luce (vd. Batschelet pag.136)
Funzioni sinusoidali
Una funzione sinusoidale, può essere scritta nel modo seguente
Acos(ω (xF)) + y* = = Acos(ω F)cos(ω x) + Asin(ω F)sin(ω x) + y* =
a1cos(ω x) + b1sin(ω x) dove si è posto a1= Acos(ω F), b1= Asin(ω F)
La somma di due funzioni sinusoidali con uguale periodo, ma differente ampiezza e/o fase, può non essere sinusoidale
Funzioni sinusoidali
I polinomi trigonometrici
p(x) =y* + a1cos(ω x) + a2cos(2ω x)+….+ ancos(nω x) + +b1sin(ω x) + b2sin(2ω x) +…+ bnsin(nω x)
Sono tutte funzioni di periodo 2π /ω , ma non sono funzioni sinusoidali
Ogni funzione periodica (non “patologica”) di frequenza angolare ω è ben approssimabile da polinomi trigonometrici di frequenza angolare ω
(analisi di Fourier)