A csapos gerenda mennyezet teherbírása.

Irta: M e z e y R e z s ő .

A z összes építési anyagok közül a legközelebb áll hozzánk és minket a legközvetlenebbül érdekel az „épületi fa".

Az épületi fa fontosságát és nélkülözhetetlenségét nemcsak a régi, de a rohamosan fejlődő, jelenlegi gyakorlat is bizonyítja. A z egyre inkább használatos vas- és vasbetonszerkezetek nem­csak hogy nem szorítják háttérbe, de igénybe is veszik. Ezen­kívül — nem is említve az építőasztalosmunkákat — a fedélszé­kek, még a díszesebb kivitelűek is, kevés kivétellel, fából készül­nek. Ugyanezt lehet mondani — különösen a legfelső emeletek — födémszerkezeteiről is, a mennyezetekről, amelyek közül az egyiket, és pedig úgy tűzbiztonság, mint szilárdság szempontjá­ból a legmegbízhatóbbat akarom az alábbiakban szóvátenni.

Ez a „csapos"- vagy „köldökölt"-gerendamennyezet. Teherbíró képességéről itt lesz szó, tűzbiztonságával pedig

a szakirodalom már eléggé foglalkozott idáig is. E tekin­tetben a vélemény általános és úgyszólván végleges. Ezúttal elegendő megemlíteni annyit, hogy míg a fa — és pedig sok­kal lassabban, mint a vas — ha átmelegszik is, vagy meg is pör-kölődik, szilárdságát és ellentállóképességét nem veszíti el. Ha a tűz a fedem alatt, vagyis a lakott helyiségben üt ki, a beva­kolt és egészen egymás mellé helyezett gerendák sima felületét legfeljebb megpörköli, de — mert oldalaihoz a láng nem igen férhet, az sokáig bír ellentállani és mert időt ad az oltásra, rendszerint nem is szakad be. A vasszerkezetű fedémeknél ellen­ben az áthevülés hamar bekövetkezik, az erősebben átmelege­dett, vagy éppen áttüzesedett traverzek meglágyulnak és a kö­zönségesen viselt terhelést nem bírják el.

Hogy pedig miért kerül éppen ez a fagerenda szóba, annak oka is van.

Valahányszor egy gerenda oly módon van igénybe véve, hogy esetleg meghajolhat, az ellentálló képesség meghatározá­sára szolgáló egyenletek legfontosabb tényezője: a keresztszel­vény „tehetetlenségi nyomatéka" ( inertia). ,

Munka- és időmegtakarítás végett a különböző keresztszel-

vények tehetetlenségi és ellentálló nyomatékai már régóta táb­lázatokba vannak foglalva, de ennek a gerendának a kereszt­szelvényét egyik sem tartalmazza.

Ki kell számítanunk tehát az „ellenálló nyomatékot", az en­nek a meghatározásához szükséges adatokat külön-külön és ezek közül elsősorban az inertiát '(I), vagyis a:

a) Tehetetlenségi nyomatékot.

Ha egy tömegnek, vagy egyáltalában „anyagi pontrendszer­nek" egyes tömegrészecskéit egyenként megszorozzuk azok — egy előre meghatározott tengelyből való — távolságának a négyzetével, akkor ezen szorzatok összege adja az egész pont­rendszer „tehetetlenségi nyomatékát". Ha ezt J x-el jelezzük, akkor:

J x = l ( m p 2 ) 1.)

ahol „ m " a végtelen kis résznek, mondjuk anyagi pontnak a tömegét, „ P " pedig annak az x tengelytől való távolságát je­lenti. Tisztán mechanikai definició, mint ahogy a:

I (m p°) = maga a tömeg. I (mp1) = statikai nyomaték. I ( m p 2 ) = tehetetlenségi nyomaték stb.

A harmadik és magasabbrendű nyomatékoknak elméleti, mechanikai értelmük van, de a gyakorlatban nem fordul elő.

A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszer alatt ért­hetünk „testet", síkot (vékony lemez), vagy vonalat (vékony rúd) . •

Minthogy pedig az erőműtan a számítások folyamán — ha­csak külön megmondva nincsen (vasbetonszerkezetek) — min­denkor egyenletesen elosztott szövetű, homogén anyagokat téte­lezünk fel, a tömegeket és tömegegységeket a köbtartalom, a terület, illetőleg hossz egységei helyettesíthetik.

A z 1. egyenlet egyúttal azt is kifejezi, hogy ha a tömeg­részeket nem képzeljük végtelen kicsinyeknek, hanem pl. részle­tekben való summázás után több tömegrész összegének, ha egyébként a részek között a változatlan összeköttetés fennma­rad, akkor valamely kombinált pontrendszer tehetetlenségi nyo­matékainak összegével (vagy különbségével) egyenlő. Az 1. egyenlet így is írható:

J X = J ^ + J » + J ^ ± . . . J ; 2 . )

Tudjuk azt, hogy a gerendák szilárdsága technológiai szempontból is nagyobb, ha a fa bele nincs átmetszve. Csak­hogy ez anyagpazarlással jár, mert így egy darab gerendához egy egész szálfát kell felhasználni, tehát drágább. Megelég­szünk ennélfogva a középen kettéfűrészelt gömbfából készült és lefaragás előtt félkör keresztmetszetű gerendával.

+y

S

1. ábra.

Ha az 1. ábrán a szelvényt végtelen sok keskeny szalagra , osztjuk az x tengellyel párhuzamosan, amelyeknek változó hossza: x, a szélessége: dy, akkor az x tengelytől y távolságban fekvő egy ilyen területelemnek a tehetetlenségi nyomatéka az x tengelyre:

= 2 x. dy. y 2

és az egész felületé:

Jx = 2 Í x . y 2 . dy.

A kör központi egyenletéből: x = V r 2 — y 2

Jx = 2J f F 2 - y 2 y 2 dy.

Ez az integrál azonban nem adhatja közvetlenül az egész fel­vett keresztszelvény tehetetlenségi nyomatékát azért, mert -— amint az 1. ábrából is kivehető — a függvény folytonossága a

húrnak és a körívnek a metszéspontjainál úgy az x-re, mint az y-ra nézve megszűnik. Adja azonban a körszegmentét, amit a 2. egyenlet segítségével utólagosan ki lehet egészíteni az egész keresztszelvényre.

f r - — y 2 -e l szorozva és osztva:

„r(r«-y«)y«dy o f y 2 d y „ f y 4 d y J x = 2\-—————— = 2 r 2

azok mindig az

j A r 2 _ y 2 Jy r2__y2 J f r 2 — y I. II.

xn d x

Va ± C X 3

d x

( X " UA

a priori alakra hozhatók. Ez lesz az eredmény í a X c x 2

utolsó tagja, a megelőző tagok pedig közönséges algebrai alakok.

A bizonyítás céljából differenciáljuk a x 1 1 — 1 . W sorozatot x sze­

rint és legyen egyszerűsítés kedvéért V a - 4 - c x 2 = W , a mikor d W =

cxdx

f a + c x 2

v n—1 cx dx d [ x » - i . W] = (n -1 ) xn -2 . w dx + ^ — Szorozzuk és osszuk a jobb oldal első tagját W = V a - f - c x 2 e l :

n—1) x ° - 2 . dx - f c (n—1) x". d

W a (n—1) xn -2 . u x -f- cn xa dx

d Tx" - i W l = a (n—1)xn-2. d x - f c ín—1) x". dx - f ex" d x . 1 W

w az utolsó tagot különválasztva, egyúttal mindkét oldalt integrálva és

„cn"-el átosztva:

f x " dx _ x ° - ' W a (n—11 Pxn-2 dx 4 1

J W ~~ cn ~ cn J W

Ugyanezen íorma szerint integráljuk tovább az utolsó tagot:

(n—1) fxn cn J

a (n—1) ( xn -2 . dx _ a (n—1)

W cn c (n—2) c (n—2JJ W

x n - 3 . W a f n - 3 ) í x n - 4 . d x . . b e h e l y e ( l e s i ( í e

x" d x _ x " - i . W a ( n - l ) xn- -3 .W a 2 ( n - 1 ) ( n - 3 ) x ^ dx

W cn cn c ( n — 2 ) ^ c 2 n ( n - 2 ) J W

n - 1 ) ( n - 3 ) í*3 : 2 n ( n - 2 ) _ "

-.W x " - i a (n—1) . x n - 3 a 2(n—1) ( n — 3 ) . x n - 5 . . . cn c 2 n (n—2)

+ c 3 (n) (q—2) (n—4) • I

d-5....5.)

így kell tehát folytatnunk az eljárást mindaddig, amíg az utolsó tagban az n elfogy és az utolsó tag tényleg: 'dx

W

alakú lesz. A z eredmény előző tagja egy szorzat, melynek egyik tényezője W, a másik pedig a változónak eggyel kisebbí­tett hatványával kezdődő és azután egyre fogyó hatványaiból álló sor, különböző értékű és változó előjelű együtthatókkal. A nehézkes számítások elkerülése végett ezen együtthatókat a gyakorlatban sokkal egyszerűbben és könnyebben a „határozat­lan együtthatók" elméletével számítjuk ki. Az utolsó tag együtt­hatója máris így van beállítva az 5.-ben.

Ez, mint a fentiekből látszik, csak arra az, esetre vonatko­zik, ha az „ n " páros szám.

M i v e l p e d i g a x n d x a l a k b a n a j e l e n t á rgya lá s f o l y a m á n a z ,,n',

m i n d i g p á r o s s z á m ú lesz , azér t a pá ra t l an k i t e v ő j ű f o r m á n a k k ü l ö n f e j t e g e t é s e f ö l ö s l e g e s .

Az 5. egyenlet utasításait követve, a felvett integrálokai most már megoldhatjuk.

"dy f y2 (Jv , I. t a g : 2r 2

- £ b = = = K y + « o ] Vt*-y2 + P

J 7 r 2 - y 2

Mindké t o l d a l o n d i f f e r e n c i á l v a é s 2r 3-el v a l ó s z o r z á s t a v é g é r e

t . i . a Í J r 2 — y s ) = — 2y d y

= a i y r 2 - y 2 -[ a , y + a o ] y

2 f r 2 — y a

h a g y v a :

_ í

.az e g y e n l e t m i n d k é t o lda l á t a W - v e l s z o r o z v a

y 2 = a i r 2 — a i y 2 — a x y 2 — a 0 y + P = — 2 o , y 2 - a o y + a ^ a + p

Két egyenlet között az egyenlőség jele csak akkor állhat fent, ha az egyenlő kitevőjű ismeretlenek együtthatói egyenlők. így nyerjük:

1 = — 2 a ,

- 1 a n = 0 a x r 2 - ^ B = 0:

r 2

2 ' b e h e l y e t t e s í t v e :

I. tag = 2 r 2 y 2 d y

= 2r* — _y y r 2 _ y 2 _ L . r _ I . a r c . s in-5-2 T- 2 2

a felső é s a l só h a t á r o k a t b e h e l y e t t e s í t v e :

2r 2 JL e = — a rc . sin 1 — ( — y " r 2 - a 2 + _ a r c . s in — ) 2 2 v 2 ' 2 r '

A z ábrából látható, hogy Vr3— a2 = h és -y = sin [ y — cp]

= 2 r 2 £! . JL + ^ h - £ ! ( ^ - ( p ) l = 2 r 2 (£ Í í + ^ - I ^ t + 1 ^ ) . 2 2

I. t a g : 2 r 2

2

y 2 d y

V r " - y

U g y a n e z e n e l j á r á s sa l :

r4 cp + r ah 6.)

II. tag: 2 fZigy _ [ a 3 y 3 + a 2 y 2 + a i y + a ( ) ] y r 2 _ y 2 + p f

J yr 2 -y 2 J

ismét mindkétoldalon differenciálva, 2-vel utólag szorozva

d y

V ; r«-y f

: [ 3 a 3 y 2 + 2 a 2 y + a 1 ] y r 2 - y 2 5 [ a 3 y 3 + a 2 y 3 + a i y + a o ] y . i _

y P 2 _ y 2 f r 2 - y 2 y r 2 _ y 2 :

y * = 3 a 3 r 2 y 2 + 2a 3 r2 y - f a, r 2 — 3 a : i y4 - 2 a , y 3 - a j y 2 - a 3 y 4 —

— a 2 y s — a i y 2 — a 0 y + p

H a t v á n y k i t e v ő k szer int r e n d e z v e :

y 4 = y 4 [ - 3 a 3 - a 3 ] + y 3 [ - 2 a 2 - a 2 ] - 4 - y 2 [ 3 a 3 r 2 - a 1 - a 1 ] +

+ y [ 2 a 2 r 2 - a „ ] + a i r 2 + p

3 = _ 4 a 3 0 = — 3 a 2 ü = 3 a 3 r 2 ~ - 2 a 1 = ~ - x r 2 ~ 2 a i = ° ao = 0 '

a 3- , = 0 ¥ r 2

a r 2 - f - / * = 0 = —-g-r* + / ? .

3 _ r 4

8 r

a i

f r 2 — y 2 J 2.

a a31 - ' t i V r 2-r 2 - e + ^ • arc. sin -L - ( - ^ yr2-a3

4 8 8 r v 4

3r 2 a r 2-a 2 + 3 r 4

arc. sin —)

3 r 4 TT , a 3 h , 3 r 2 a h _ 3 r 4 r u _ , 6 2 i " 4 " 1 ~ 8 8 1 2 ^

3r4ir > a 3 h i 3 r 2 a h 3r 4 Tt r 3r4cp 3r4cp • 3 r 2 a h t _ a 3 h jj ^ " 8 2 + 4 8 _ t ~ 4 4 - 4 V 2

A 6.) és 7.) ö s s z e v o n á s á b ó l : s e g m , 3r 4cp Sraah a 3 h

J x

s = I - I I --= r* <p + rsah - - j ^ • - — j — - ~ ~

4r"(p + 4 r 2 a h — 3r 4 cp — 3 r 2 a h — a 3 h 5 4

s e g m r 4 cp r 8 a h a 3 h J x = 8 - )

Ez tehát tisztán csak a segment tehetetlenségi nyomatéka, x = r, x = a határok között, ameddig az integrált függvény folytonos és állandó.

TU Ha a 8. képletben 9 = - g ; h = r; a = o, akkor a félkörlap tehetet­

lenségi nyomatéka, külön levezetés helyett: (íélkör) _ r%

J x = 8 9:) Hogy ezekután az egész keresztszelvényre megkaphassuk

az Ix értéket, a 8. egyenlethez még hozzá kell adnunk a segment alatt álló derékszögű négyszög nyomatékát. Ha e végből az 1. ábrán minden külön kirajzolás nélkül a dy szélességű és 2h hosszúságú sávot a négyszögben vesszük fel és pedig valamely

o között változó y magasságban, akkor ezen terület­elem tehetetlenségi nyomatéka szintén ugyanazon x tengelyre vonatkoztatva:

= 2 h d y . y 2 és az egész négyszögé: a a

: = 2 h j; J x = 2 h | y 2 d y = ^ = Jnégyszög _ 2 a 3 h 1 0 . x 3

o o Ha tehát ezt hozzáadjuk a 8.) számú egyenlethez:

r4cp r 2 ah a 3 h 2 a 3 h r4cp r 2 ah a 3 h ~T~ + ~ ~ 2 ~ + ~~3~~ = ~ 4 ~ + ~ T ~ + ~fT [—3 + 4 J kapjuk az egész csaposgerenda tahetetlenségi nyomatékát az x tengelyre vonatkoztatva:

gerenda r4qp r 2 ah a 3 h J x = ~T~ + ~T~ + "6~

Igen fontos képlét, mely nélkül a súlyponttengelyre vonat­koztatott tehetetlenségi és ebből megint az „ellentálló" nyoma­tékot külön kiszámítani nem lehet.

A csaposgerenda-mennyezethez szükséges faanyagot a fenyőerdőktől távolabb eső vidékeken, így a fővárosban és kör-

nyékén is, még a háború előtti békeidőkben is, csak a fakeres-kedőknél és famegmunkáló telepeken lehetett beszerezni, az eladás pedig nem köbméterenként, hanem majdnem általában négyzetméterenként történt és történik, a magasság megrende­lése mellett. így azután nagyon sűrűen fordulnak elő olyan darabok, amelyek jóval nagyobb sugarú gömbfából készültek, mint amekkora a megrendelt és kialkudott magasság és így a keresztszelvény talpa nem esik a körlap átmérőjébe, hanem föléje.

Tekintettel a gerendáknak ilyenképen való előállítására, foglalkoznunk kell az efajta gerendának a tehetetlenségi nyo­matékával is. Megkapjuk: ha az átmérőig faragott gerenda tehetetlenségi nyomatékából a 2. képlet értelmében, a vissza­maradó „ b " magasságú gerenda nyomatékát levonjuk.

2. ábra.

A 2. ábra jelzéseit használva: a négyszög alapja 2h, a ma­gasság „ b " , akkor a levonandó rész tehetetlenségi nyomatéka a 10. egyenlet szerint:

( n é g y s z ö g ) 2 b 3 h p

J x ^ • • • ' • ; W Levonva ezt a 11. egyenletből, a „csonkának" is nevezhető csaposgerenda tehetetlenségi nyomatéka:

( c s o n k a ) r 4 cp r 2 a t i a 3 h 2 b 3 l i

Ha pedig az a ritkábbik eset adódik elő, hogy nagyobb szi­lárdság elérése végett a gerendát az átmérő alatt fűrészelt gömbfából kell előállítani és egy gerendára egy egész szálfát használunk fel, akkor a 16. képletet levonás helyett a 11.-hez hozzáadjuk, azon az ilyen — mondjuk — „bővített" gerendára:

(bóv. q) r 4 <p r 2 ah ; a 3 ti 2b 3 h J x ~4~ + 4 + T~ — 3 ~ l 8 - > Ezen „csonka" és „bővített" jelzők nincsenek általánosság­

ban elfogadva és ezúttal is csak fenntartással és csakis a hosz-szadalmasabb körülírások elkerülése végett alkalmazzuk.

A vízszintesen fekvő és két végén alátámasztott gerendára ható külső erők, nevezetesen a felülről lefelé ható terhelés és egyidejűleg az alátámasztó falaknak alulról felfelé működő ellennyomása a gerendát és annak ellentállóképességét olyképen veszik igénybe, hogy annak alsó rostszálait megnyújtani vagy elszakítani, felső rostszálait pedig összeroppantam igyekeznek. Ilyképen tehát ezek az egymással merőben ellenkező irányú feszültségek a gerenda bármely szelvényén a legfelső és legalsó szélén a legnagyobbak és minél inkább közelednek a rostszálak a keresztszelvénynek egy bizonyos vonalához, folytonosan csök­kennek. Kell tehát a keresztszelvényen egy egyenesnek lennie, ahol ezek kölcsönösen meg is semmisülnek. Hogy ez az egyenes hol fekszik, azt az itt következő, a súlypont helyének meghatá­rozására szolgáló tételekből állapítjuk meg.

B) S Ú L Y P O N T

A mechanikának egyik sarkalatos tétele így hangzik: A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszerre ható

erők akkor vannak egyensúlyban:

először: ha a derékszögű, térbeli tengelyrendszerben ' az

erőknek mind a három tengely irányábam eső vetületeink egy­

mást megsemmisítik, vagyis azokriak (algebrai összege null ér­

tékű és egyidejűleg:

; másodszor: ha valamennyi erőnek ez\en téngébgek bármelyi­

kére vonatkoztatott „statikai" nyomaték-összege szintén nulla

értékű.

Ez a tétel szolgál a súlypont értelmezésére és helyének a megkeresésére is.

Esetünkben egy határolt síkfelület súlypontjáról van szó. Minthogy a tétel általános érvényű, a derékszögű tengely­

rendszer kezdő „ 0 " pontját, valamint a tengelyek irányát is egészen szabadon választhatjuk. Egyszerűsítés kedvéért ennél­fogva a vizsgálandó, bármilyen alakú, zárt síkot — mondjuk egy bizonyos súllyal bíró (homogén) vékony lemezt — az x, y tengelyek síkjába, a rajzlap síkjába helyezzük. (Lásd 3. ábra.)

5 o

! A i i

o Z

3. ábra.

Az i'i h h • • • in tömeg, illetőleg felületrészecskék legyenek a felvett síknak részei, amelyek a nehézség törvényéből szár­mazó erők hatásának vannak kitéve. Ezek az erők tehát kizá­rólag az x, y tengelyekre és az azok síkjára merőleges „ z " tengely irányában működnek. Ha még megállapodunk abban is, hogy a „ z " tengelynek a plus iránya a 0 ponttól a szemlélő felé tart, továbbá, hogy az erők előjele ugyanezen irányt követi, belátható, hogy az ii i . . . in területrészecskékben működő erők a 0 ponttól lefelé, vagyis z irányban hatnak, tehát kivétel nélkül mind minus előjelűek. Ezen erőknek az eredője nem lehet egyéb, mint az egyes erők összege:

i (i) = s = maga a zárt idom területe — előjellel.

A törvény szerint ezen lefelé ható erők hatását csakis ha­sonló nagyságú és a z tengely irányában ható, ellenkező előjelű erők tarthatják egyensúlyban, vagy pedig ezek helyett egy erő, amely az erők eredőjével egyenlő nagyságú, de ellenkező irányú.

Ennek az erőnek a támadópontját, a súlypontot", illető­leg annak l és n rendszálait a törvény második bekezdése definiálja.

A statikai nyomaték:

M = erő X kar (tengelytávolság). A z adott erők a „ z " tengellyel párhuzamosak, tehát a z tengely körül forgatás nem lehetséges, csakis az x és y tengelyek körül.

A z y tengelyre vonatkozó statikai nyomatékok összegének egyenlőnek kell lennie az eredőnek a nyomatékával, azaz S tömegének és E tengelytávolságnak (súlypontabscissának) a szorzatával, ellenkező előjellel, vagyis:

- X ( Í ) — (i, X , + Í 2 X , + Í 3 X 3 - j - . . . ] ' n X n ) = ()

az x tengely körül való forgatásnál pedig:

nzfi) - O'i y i + i 2 y 2 + i 3 y s + • • - i n X n ) = o (Megjegyzendő, hogy általánosan elfogadott megállapodás az is, hogy bármelyik tengely körül a plus irányú forgatás az, ame­lyik az óramutató irányát követi.)

A súlypont rendszálai ennélfogva:

Í t X t + Í2 x 2 + h X 3 + • • • Ín Xu j S _ X ( Í ) = S ' (

i i y i + Í 2 y ? + i 3 y 8 + • • • i n y n ( 1 H J

n — I ( i ) = S . )

A 3. ábra mérce szerint van szerkesztve, n = 5 pontból. Ha történetesen az S súlypont a közeli x tengelybe esett volna, vagy — ami egyre megy — a mindenkor szabadon választható tengelyrendszert az £ tengelyében vettük volna fel, akkor 11 = 0.

Ha pedig magát a 0 kezdőpontot tettük volna S pontba, akkor úgy 5 = o, mint n . = o. Csakhogy akkor a jobboldal számlálói is megsemmisülni tartoznak és ebből közvetlenül is leolvasható egy szintén igen fontos tétel:

A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszer összes elemeinek a súlypontra, vagy a súlypont te&szés&zerinti tenge­lyére vonatkoztatott statikai nyomatékainak az öslszege nulla< értékű.

A 3. ábrán felvett i M i 2 . . . i 5 felületrészecskék súlyai mind lefelé, a rajzlap síkja alá működnek, megérthető tehát, hogy az x tengely fölött az I. negyedben elhelyezett erők a lemezt az x tengely körül plus irányban forgatnák, míg az x tengely alattiak az ellenkező, vagyis minus irányban és a 3. ábra jelen­legi állapotában az eredmény — ellenkező erő működése nélkül — egy plus-irányú forgatás volna. Ha azonban az x tengely az S ponton menne keresztül, akkor forgatás nem történhetik.

ígéret szerint most vissza kell térnünk az előző a) pont legutolsó bekezdésére.

Megállapítottuk, hogy a vízszintesen elhelyezett gerenda bármely függőlegesen álló keresztszelvényén kell egy szintén vízszintes tengelynek lennie, amelyre nézve a keresztszelvény minden részecskéjére ható erők nyomatékainak összege egyen­súly esetén null értékű. Ez a tengely; „semleges tengely".

A 19. egyenletben az erők a nehézségből keletkeztek, míg a gerenda keresztszelvényén azok a megterhelés folytán beálló feszültségek, ami azonban a statikai, nyomatékok egyensúlyi törvényének érvényességén semmit sem változtat. Az egyenlet jobboldala, vagyis az egyes részek statikai nyomatékainak ösz-szege bármikor helyettesíthető ugyanezen egyenlet baloldalán álló szorzattal, aminek az egyik tényezője az állandó felület, a másik pedig a felület súlypontjának a kérdéses tengelytől való-távolsága. Ha tehát — egyensúly esetén — a jobboldal meg­semmisül, akkor a baloldalon i = n = o

a keresztszelvény súlypontja beleesik a semleges tengielkjbe. Ami továbbá a 2. képletnél mondva van, az a 19.-re is

fenntartható, t. i. az h U . . . in alatt nagyobb területrészek is érthetők, ha azok súlypontja ismeretes. Ennélfogva egy kombi­nált felület idomsúlypontjának a rendszálai, ha t. i. az egyes részek között a változatlan Összekötöttség fennáll:

' Sig1 + S , £ 2 + S 3 S 3 ± • • • Y

( S l + S2 + S3 . . .) = S _ S 1 M 1 + S 2 n 2 ± S 3 n 3 ± - • • ( ' ' : . ' . ' . ' ' ' • '' • I

f ~ ( S t + S 2 + S3 . . .) = S- l

Az összetett síkidomok súlypontjának a meghatározásához

tehát az egyes területrészek súlypontjainak az ismerete szüfe

séges.

Külön bizonyítás nélkül belátható, hogy a véges egyenes súlypontja annak a felezőpontjában van.

Tudva ezt, a négyszög és a háromszög súlypontját analiti­kai elemzések nélkül is meghatározhatjuk.

A párhuzamos oldalú, négyszög súlypontja a magasSiág fe­lében van.

Ha pedig a háromszöget oly — végtelen keskeny — szala­gokra bontjuk, amelyek bármely, alapul választott oldallal pár­huzamosak, akkor, tudva azt, hogy a szalagok súlypontja azok­nak a közepén van, a háromszök súlypontja mindenesetre azon az egyenesen fekszik, amelyik a szemközt lévő oldal felező­pontjával összeköti. Már pedig a geometria szerint: a három­szög csúcspontjait a szemközt fekvő oldalak felezőpontjaival

4. ábra.

összekötő egyenesek egymást egy közös pontban metszik. A súlypont helye tehát itt is kétségtelen és rövid szemléltetés után:

a háromszög súlypontja a magasságnak az alapvonaltól számított y^-ában van.

Ezen — különben közismert — tételek hangsúlyozása azért történik, mert az alábbiakban több ízben fordulnak elő.

Következnék a segment súlypontja, ami annyiban érdekes, mert a szóban lévő gerendaszelvény kiegészítő része és mert egyúttal a félkör súlypontjához is vezet.

A 19. egyenletek szerint a súlypont rendszálait egy hánya-

dos adja, amelynek a nevezője, mindkét rendszálra a felvett síkidom területe. — Először ez tárgyalható.

A 4. ábrából is láthatólag a segment egy körnek és egy egyenesnek a metszéséből keletkezett zárt idom.

A k ö r : x 2 + y - - r 5 o központi egyenletéből

fF2 — x 2 y = í ( x ) = az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete pedig:

y | = c p ( x ) = a

Ha most ezt a bezárt területet az x tengelyre merőleges és dx szélességű szalagokra osztjuk, úgy egy-egy ilyen szalagnak a hosszúsága a változó ( y — y ^ és egy ilyen elemnek vagy köz­vetlenül az egész bezárt segmentnek a területe így írható fel:

-f-h -f-h

T = j ( y - y 1 ) d x = ( y : P x 2 d x a d x

h II,

I. tag a 6. egyenlet megoldásához hasonlóan:

J y r 3 - x 2 . d x = J - = d x = x 2 + p — a x

J y r 2 — x 2

mindkét oldalon differenciálva:

r 2 — x 2

y r 2 - x 2

-- — a1 y . r 2 - x 2 - a, X Cin — X f r 2 - x 2 y r 2 — x 2

r 2 — x 2 = — a ^ 2 - } - a iX 2 -f-ajX 2 -}- a 0 x -= 2 a 1 X 2 - r - a 0 X - a ! r 2 - f p

— l = 2 a t a 0 = o r 2 = — a ^ + p _ 1 _ j . 2

2 + P 2

-f-h 4 - n

y r 2 - x 2 . dx = ^ y r 2 — x 2 - f - y a rc . t in *

= " - K r 2 - h 2 + ^ . a rc . sin fi--£ c. r

y r 2 — h 2 - L- — a r c . sin

. h d e y r a _ h 2 = a ; ^ sin cp

+ h

I. tag = f r 2 — x 2 • dx=ah-f-r2qp

II. tag =aj*ax = ax

— h

ah — ( — ah) = 2 a h

T (terület.) = (y — dx = I — H = r > + ah - 2 a h

T=r2(p—ah 22.)

( A körsector területéből levonjuk a 2 h alapú és „ a " magasságú háromszög területét.)

A £ számlálója a 1 9 . egyenlet szerint: My, azaz az y ten­

gelyére vonatkoztatott statikai nyomaték: az elem területének

és az y tengelytől való távolságának szorzata. Az egész felület nyomatéka pedig:

My: x . v d x x \v- — x 2 • d x

Ezt az integrált az imént alkalmazott módon is meg lehet oldani, de rövidebben érünk célhoz új változó behozatalával.

Legyen : V r 2 — x 2 = t; r 2 — x 2 = t 2 : x 2 = r 2 — t 2;

;= Vr 2 —t2

dx - t . dt Vr2 —t 2

ezeket behelyettesítve:

"l/r 2=t 2.t . - t . dt •\f~

+ h + h t 3

M y _ 23.)

Önként jelentkezik a statikai nyomatékok törvénye, t. i. az í abscissa megsemmisül, tehát a súlypont beleesik az y tengelybe, ami egyébként előre volt látható, hiszen az y tengely a segmen-tet symmetrikusan osztja ketté. — A másik rendszál:

Mx

ahol a számláló a segment statikai nyomatéka az x tengelyre.

Az (y — y x ) hosszúságú elem súlypontja, annak felezőpontjában

van, a x tengelyből való távolsága tehát = ^ y * és így a E számlálója:

Mx ^ - ( y + y i ( y - y i ) dx t

= - i j \ r 2 - x2) dx - y j a 2 dx = -íjdx - A . x2 dx - ^ J d x ;

2 " J f y a - y í l d x j - y

x 2 d x

h

fx 2 - <P (x) 2 dx

(--h és+ h között)

M x _ _ r 3 „ X 3 a 2 „ _ X r „ < , „ o ! X 3

-x— : i _ _ ^ _ x = — [r 2 — a 2 ] 2 6 2 2 L , ahol r 2 a 2 = h 2

,h . h 2 _ h 3

2 6

Mx 2 h 3

| h 2 + h_3

2 o • h 3

- h

2 h 3 3 h 3 — h 3 . 2 h 3

6 ' M x = - g -

24.) T 3 (r2

CP — ah)

Ez tisztán csak a segment súlypontjának a magassága az x tengely fölött.

Ha ezen egyenletben: = h [félhúr] = r ; a = o ; <P = -~

akkor a félkör súlypontja:

2r 3 4r 5 - 5 = n = Ö - = 0.4244r 25.)

n = oiT 2 ír ' ÓTt '•

2

A segment alatt álló négyszög területe = T = 2 ha

; a •

rj = 2

ha ezt belekapcsoljuk a 20. egyenletbe, azzal az egész gerenda­szelvény súlypontjának az ordinátáját is megkaphatjuk.

Legyen az egész szelvény súlypontjának ordinátája: no. a segment és négyszög területe: T,, illetőleg T 2 , az ordináták pedig m és ns. akkor a 20. képlet szerint:

Titii -J-T 2 n 3

no— Ti + Ts

Könnyebb kezelés és áttekintés céljából helyesebb lesz a kifeje-izést tagonként kifejteni. — A 22. és 24. alakokból:

(r2cp —ah) .2h 3 2h 3

Ti.ni == 3 ( r 2 cp—ah) 3

„ 2ha .a T 2 n 2 = 2

= _____

T 2 + T 2 = r 2 cp — ah-f- 2ah = r 2 c p + ah

ezek összevonásával:

2t]3

no + a 2 h 2hs -f- 3 a 2 h h [2h 2 + 3a 2 ] no • • • 26.)

r 2 p + ah — 3 ( r 2 c p X ah) " 3 [ r 2 c p + ah]

Ez az egyenlet azonban a 4. ábrát követve, gyorsabban, közvet­lenül is levezethető.

(Folytatjuk.)