A Classical Theory of Quantum Mechanics

8/3/2019 A Classical Theory of Quantum Mechanics

1/6

A C l a s s i c a l D e r i v a t i o n o f Q u a n t u m M e c h a n i c s

R y s J . , & Z n i d a r s i c F .

F e b r u a r y 1 2 , 2 0 1 0

) > I J H = ? J

B y s t u d y i n g t h e r o l e p h o n o n s p l a y i n t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f s o l i d s

w e h a v e d e r i v e d a n a n a l o g y b e t w e e n t h e w a y p h o n o n s c a r r y s o u n d w i t h i n

m a t t e r ( t h r o u g h t h e a c t i o n o f t h e f o r c e b e t w e e n a t o m s ) , a n d t h e w a y

p h o n o n s c a r r y s o u n d w i t h i n t h e n u c l e u s o f a t o m s ( b y t h e f o r c e b e t w e e n

n u c l e o n s ) . T h e n u m b e r o f p r o t o n s s e t s t h e v e l o c i t y o f s o u n d i n t h e n u c l e u s .

T h i s v e l o c i t y d e t e r m i n e s a t o m i c s t r u c t u r e . W h e n a p h o t o n i s a b s o r b e d o r

e m i t t e d b y a n e l e c t r o n i t m u s t g o t h r o u g h a t r a n s i t i o n a l q u a n t u m s t a t e .

D u r i n g t h i s s t a t e t h e s p e e d o f l i g h t c o u p l e s w i t h t h e s p e e d o f s o u n d w i t h i n

t h e n u c l e a r s t r u c t u r e o f t h e a t o m . T h i s p r o v i d e s a m e c h a n i s m f o r e n e r g y

t r a n s f e r b e t w e e n t h e e l e c t r o n a n d t h e p h o t o n , a n d r e v e a l s t h e p a t h o f t h e

q u a n t u m t r a n s i t i o n .

C a l c u l a t i n g t h e V e l o c i t y o f t h e T r a n s i t i o n a l Q u a n t u m S t a t e

W e b e g i n w i t h C o u l o m b ' s L a w ,

F = keq1q2r2

r ( 1 )

W h e r e

ke =1

40

T h e p o t e n t i a l E n e r g y i s g i v e n b y

U= q2

40(1r )

W e t h e n r e f o r m u l a t e t h i s i n t o a s p r i n g c o n s t a n t Ke a n d a v a r i a b l e 1/r

Ke =

Fmaxrx

( 2 )

T h e E n e r g y o f t h i s s p r i n g w o u l d t h e n b e , U= 12Ke(r)2

W e t h e n s e t

re q u a l t o t h a t o f t h e m a x i m u m e x t e n t o f t h e p r o t o n

2rp

U =1

2

Fmaxrx

(2rp)2

( 3 )

T h e c o u l o m b i c f o r c e p r o d u c e d b e t w e e n t w o e l e c t r i c a l c h a r g e s c o m p r e s s e d t o

w i t h i n 2rp e q u a l s 2 9 . 0 5 N e w t o n s , Fcoulomb = keq2

(2rp)2

1


2/6

T h e f o r c e p r o d u c e d b y a n a m o u n t o f e n e r g y e q u a l t o t h e r e s t m a s s o f t h e

e l e c t r o n c o n n e d t o w i t h i n

2rpi s a l s o 2 9 . 0 5 N e w t o n s ,

Fmax = 29.05NT h i s b a l a n c i n g c o n n e m e n t f o r c e

Fmax w a s q u a l i e d a s

Fmax =Mec2

2rp= 29.05N

( 4 )

T h e e l e c t r i c a l s p r i n g c o n s t a n t f o r a p r o t o n , w o u l d t h e n b e

Ke =

29.05rx

T h e e l a s t i c c o n s t a n t w a s t e s t e d a t t w o r a d i i : F i r s t , t h e r a d i u s

rx w a ss e t e q u a l t o t h e c l a s s i c a l r a d i u s o f t h e e l e c t r o n

re = 2rp = 2.82 1015m

U =

1

2

29.05

re (re)2

= 14.525 re = 4.1 1014

( 5 )

T h e e l a s t i c e n e r g y c o n t a i n e d b y a n e l a s t i c d i s c o n t i n u i t y o f d i s p l a c e m e n t o f

2re e q u a l s t h e r e s t e n e r g y o f t h e e l e c t r o n E= Mec2

I f rx i s s e t t o t h e B o h r r a d i u s rh = 5.291011 , w e g e t t h e R y d b e r g c o n s t a n t

U =1

2

29.05

rh(re)

2 = 2.18 1018( 6 )

T h e e l e c t r o n v i b r a t e s i n s i m p l e h a r m o n i c m o t i o n a r o u n d t h e p r o t o n . T h e

n a t u r a l f r e q u e n c y n o f t h e e l e c t r o n i s a f u n c t i o n o f i t s e l a s t i c c o n s t a n t Kea n d m a s s

Me

n =Ke/Me =

(Fmax/rx)/Me ( 7 )

F r e q u e n c y

n c a n t h e n b e u s e d t o c o m p u t e a v e l o c i t y Vt = nW a v e l e n g t h c a n b e t h e n b e e x p r e s s e d a s i n t e g e r m u l t i p l e s o f t h e c l a s s i c a l

p r o t o n r a d i u s

= nrpQ u a n t u m l e n g t h s o f e n e r g e t i c a c c e s s i b i l i t y e x i s t a t

rp . T h e v e l o c i t i e s o f t h e a t o m i c t r a n s i t i o n a l s t a t e s a r e i n t e g e r m u l t i p l e s o f t h i s f u n d a m e n t a l l e n g t h ,

Vt = (nrp) ( 8 )

U s i n g t h e e l a s t i c c o n s t a n t a n d d i s p l a c e m e n t w e c a n t h e n c o m p u t e a n e l e c -

t r o n i c v e l o c i t y .

Vt =

(Fmax/rx)/Me(2nrp) ( 9 )

S o l v i n g f o r

rx , p r o d u c e s t h e r a d i i o f t h e h y d r o g e n a t o m .

rx = n2[Fmaxr2pV2t Me

]( 1 0 )

2


3/6

T h e q u a n t i t y w i t h i n t h e b r a c k e t s i s e q u a l t o t h e g r o u n d s t a t e r a d i u s o f t h e

h y d r o g e n a t o m . T h i s s i m p l i e s t o t h e m o d e r n p h y s i c s l a w ,

rx = n2r+h ( 1 1 )

I f t h e v e l o c i t y o f s o u n d i n t h e n u c l e u s

Vt i s t h e n s e t e q u a l t o t h e v e l o c i t y o f l i g h t i n t h e i m p e d a n c e m a t c h i n g e l e c t r o n o r b i t a l s 2ftr , w e g e t a p h o t o n w a v e l e n g t h r m u l t i p l i e d b y t h e f r e q u e n c y o f t r a n s i t i o n . T h e w a v e l e n g t h o f l i g h t c o u p l e s d i r e c t l y w i t h t h e w a v e l e n g t h s o f t h e o p t i c a l p h o n o n s w h i c h b i n d t h e

c o n d e n s a t e e l e c t r o n c l o u d a t e a c h d i s c r e e t o r b i t .

Vt =

Ke/Me2 (2nrp) = 2ftr = Vlight ( 1 2 )

I f w e t h e n s q u a r e , r e d u c e , a n d s o l v e f o r

rw e g e t t h e a m p l i t u d e o f t h e t r a n s i -

t i o n a l q u a n t u m s t a t e s q u a r e d . T h i s i s t h e w a v e l e n g t h o f t h e i n t e r a c t i n g p h o t o n

s q u a r e d .

r2 =Ken2r2p

4Mef2( 1 3 )

T h e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y

ft o f t h e d a u g h t e r s t a t e i s a h a r m o n i c m u l t i p l e o f t h e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y o f t h e p a r e n t s t a t e .

T h e p r o d u c t o f t h e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y

ft =Vt

2nrpa n d t h e i n t e g e r

nc a n

b e f a c t o r e d t o p r o d u c e t h e a m p l i t u d e s o f t h e p a r e n t a n d d a u g h t e r s t a t e s .

r2 = [2Ker3p

Vt](

n2

42Mef

) ( 1 4 )

T h e e l a s t i c c o n s t a n t o f t h e e l e c t r o n

Ke c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f l e n g t h s

o f e n e r g e t i c a c c e s s i b i l i t y ,

Ke =

Fmaxnrp

B y f a c t o r i n g i n t h e e l a s t i c c o n s t a n t o f t h e e l e c t r o n

Ke a n d m u l t i p l y i n g t h e

t o p a n d b o t t o m b y

2w e g e t

r2 = [4Fmaxr2p

Vt](

n

82Mef

)( 1 5 )

T h e f a c t o r s w i t h i n t h e b r a c k e t s e q u a l s P l a n c k ' s c o n s t a n t h = [4Fmaxr

2

p

Vt]

T h e r e d u c t i o n o f t h e s e t e r m s p r o d u c e s H e i s e n b e r g ' s f o r m u l a t i o n f o r t h e a m -

p l i t u d e o f e l e c t r o n i c h a r m o n i c m o t i o n s q u a r e d

r2 =nh

82Mef

( 1 6 )

T h i s f o r m u l a e x p r e s s e s t h e n u m e r i c a l i n t e n s i t y o f t h e e m i t t e d p h o t o n s . T h e

i n t e n s i t y o f a s p e c t r a l l i n e i s a f u n c t i o n o f t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s i t i o n .

3


4/6

T h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s i t i o n i s p r o p o r t i o n a t e t o t h e p r o d u c t o f t h e t r a n s i -

t i o n a l a m p l i t u d e s o f t h e p a r e n t a n d d a u g h t e r s t a t e s .

T h e g r e a t s c i e n t i s t s d e s c r i b e d t h e e n e r g y o f a p h o t o n i n t e r m s o f i t s f r e -

q u e n c y . T h e e n e r g y o f c l a s s i c a l w a v e i s a f u n c t i o n o f i t s a m p l i t u d e , n o t i t s

f r e q u e n c y . T h i s d i s c r e p a n c y h a s b e e n a l o n g s t a n d i n g m y s t e r y . T h e p r i n c i p l e o f

q u a n t u m c o r r e s p o n d e n c e w a s i n v e n t e d i n a n a t t e m p t t o c i r c u m v e n t t h i s p r o b -

l e m . I t p r o p o s e s , w i t h s o m e s l i g h t o f h a n d , t h a t t h e f r e q u e n c y o f a q u a n t u m

s y s t e m a p p e a r s a s a m p l i t u d e i n a c l a s s i c a l s y s t e m . T h i s a u t h o r h a s r e j e c t e d

t h i s p r o p o s i t i o n a n d w i l l n o w s h o w t h a t t h e e n e r g y o f l i g h t i s a n e e c t o f t h e

l i g h t ' s d i s p l a c e m e n t . A n a l y s i s o f t h i s f o r m u l a t i o n r e v e a l s a n a n a l o g b e t w e e n t h e

i n t e n s i t y o f a q u a n t u m w a v e , a n d t h e a m p l i t u d e o f a c l a s s i c a l w a v e .

T h e c o n v e r g e n c e o f t h e m o t i o n c o n s t a n t s i s a n a e c t o f a n e q u a l i z a t i o n i n t h e

s t r e n g t h o f t h e m a g n e t i c c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c a l , g r a v i t a t i o n a l , a n d n u c l e a r

f o r c e s . T h e e q u a l i z a t i o n i n t h e s t r e n g t h o f t h e f o r c e s m a t c h e s t h e i m p e d a n c e

o f t h e i n t e r a c t i n g s t a t e s a n d a l l o w s t h e e l d s t o s l i p i n t o a n e w c o n g u r a t i o n .

E n e r g y o w s , t h e w a v e f u n c t i o n c o l l a p s e s , a n d t h e q u a n t u m t r a n s i t i o n p r o c e e d s .

T h e c o n s t a n t

Vt , l i k e P l a n c k ' s , h a s p r o d u c e d t h e a t o m i c e n e r g y l e v e l s a n d t h e i n t e n s i t y o f s p e c t r a l e m i s s i o n . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e m o t i o n c o n s t a n t s p r o v i d e s

a c l u e a s t o t h e o r i g i n o f

Vt . I t i s a c o n d i t i o n w h e r e t h e v e l o c i t y o f l i g h t w i t h i n t h e e l e c t r o n i c s t r u c t u r e o f t h e a t o m e q u a l s t h e v e l o c i t y o f s o u n d w i t h i n t h e

n u c l e a r s t r u c t u r e o f t h e a t o m .

T h e g e o m e t r y a p h o t o n e x p e r i e n c e s , d u r i n g a b s o r p t i o n o r e m i s s i o n , i s a p -

p r o x i m a t e l y t h a t o f a a t p l a t e c a p a c i t o r . T h e c a p a c i t a n c e C o f a a t p l a t e c a p a c i t o r o f a r e a

Aa n d s p a c i n g

Di s g i v e n b y

C= 0ADT h e a r e a A w a s s e t e q u a l t o t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e p h o t o n s q u a r e d 2 .

T h e d i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e p e a k s i n t h e a m p l i t u d e s ,

D, e q u a l s o n e h a l f

w a v e l e n g t h

.5. T h e c a p a c i t a n c e e x p e r i e n c e d b y a c y c l e o f l i g h t i s t h u s g i v e n

b y

C= 02

.5 w h i c h r e d u c e s t o t h e c a p a c i t a n c e o f t h e c a p t u r e d p h o t o n .

C= 20 ( 1 7 )

S u b s t i t u t i n g f o r = Vf y i e l d s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c a p a c i t a n c e a n d t h e f r e q u e n c y o f t h e p h o t o n .

C=20V

fn( 1 8 )

T h e p o t e n t i a l e n e r g y

Eo f e l e c t r i c a l c h a r g e

qi s a f u n c t i o n o f c a p a c i t a n c e

C.

E=q2

2C

( 1 9 )

T h e v o l t a g e p r o d u c e d b y a n e l e c t r i c a l c h a r g e i n c r e a s e s a s i t s c a p a c i t a n c e d e -

c r e a s e s . T h e e n e r g y o f a p h o t o n i s p r o p o r t i o n a t e t o t h e a m p l i t u d e o f i t s v o l t a g e .

T h e a c t i o n , o f t h i s v o l t a g e , r e p l a c e s t h e p r i n c i p l e o f q u a n t u m c o r r e s p o n d e n c e .

T h i s i s t h e s t a t e o f t h e l i g h t t h a t p r o d u c e s E i n s t e i n ' s p h o t o e l e c t r i c e e c t .

E= [q2

40Vt]f

( 2 0 )

4


5/6

T h e a m p l i t u d e o f l i g h t i s t h u s e x p r e s s e d b y i t s c a p a c i t a n c e . T h e c a p a c i t a n c e

o f t h e i n i g h t p h o t o n i s i n d e t e r m i n a t e . I t s e n e r g y i s s t r i c t l y a f u n c t i o n o f i t s

m o m e n t u m a n d , a s s u c h , i t i s i n d e p e n d e n t o f t h e p h o t o n ' s d i s p l a c e m e n t . T h e

l a c k o f r e s t r i c t i o n a l l o w s t h e d i s p l a c e m e n t t o v a r y . T h e g e o m e t r y , o f t h e t r a v e l i n g p h o t o n , i s t h a t o f a b o u n d l e s s w a v e . T h i s v a r i a b i l i t y m a y p r o d u c e ,

a s E i n s t e i n c a l l e d i t , a s p o o k y i n t e r a c t i o n a t a d i s t a n c e . [ 7 ] T h e s t a t e o f t h e

i n i g h t p h o t o n i s , a s F e y n m a n c a l l e d i t , t h e s u m o f e v e r y p o s s i b l e h i s t o r y . [ 8 ]

T h i s i s t h e s t a t e o f t h e l i g h t t h a t s i m u l t a n e o u s l y p a s s e d t h r o u g h t h e t w o s l i t s

i n T h o m a s Y o u n g ' s e x p e r i m e n t .

T h e H e i s e n b e r g U n c e r t a i n t y P r i n c i p l e a s s o c i a t e s t h e p r e c i s e v e l o c i t y o f

Vtw i t h a b o u n d l e s s w a v e . [ 9 ] T h i s u n c e r t a i n t y i n p o s i t i o n c o u p l e s t h e q u a n t u m

t r a n s i t i o n s t o a c h a n g e i n t h e s t a t e o f t h e u n i v e r s e , a n d t h e p h o t o n a p p e a r s a s

a n a r t i f a c t .

C o n c l u s i o n :

T h e m o t i o n c o n s t a n t s o f a n e l e c t r o n o r b i t i n g a n u c l e u s r e s e m b l e s t h a t o f e l e c t r o -

m a g n e t i c s i n a s u p e r c o n d u c t o r . D u r i n g t h e q u a n t u m t r a n s i t i o n b e t w e e n e l e c t r o n

o r b i t s , t h e r e i s a c o u p l i n g b e t w e e n t h e p h o t o n a n d t h e e l e c t r o n w h i c h o r b i t s t h e

n u c l e u s . D u r i n g t h i s p e r i o d o f q u a n t u m t r a n s i t i o n t h e v e l o c i t y o f l i g h t c h a n g e s ,

m u c h a s i t d o e s w h e n e n t e r i n g o r e x i t i n g a n y B o s e C o n d e n s a t e . D u r i n g t h i s

t r a n s i t i o n t h e s p e e d o f l i g h t c o u p l e s w i t h t h e s p e e d o f s o u n d i n s i d e t h e e l e c -

t r o n . T h i s a l l o w s a m e c h a n i s m f o r e n e r g y t r a n s f e r a s p h o t o n s a r e a b s o r b e d

a n d e m i t t e d . T h e c o n s t a n t s o f m o t i o n d u r i n g t h e t r a n s i t i o n a l q u a n t u m s t a t e

( w h e r e t h e m o t i o n c o n s t a n t s f o r s o u n d a n d l i g h t b e c o m e e q u a l ) t e n d t o w a r d

t h o s e o f e l e c t r o m a g n e t i c s i n a B o s e C o n d e n s a t e b e i n g s o n i c a l l y s t i m u l a t e d a t

a d i m e n s i o n a l f r e q u e n c y o f 1 . 0 9 4 m e g a h e r t z - m e t e r s . T h e s o n i c s t i m u l a t i o n c a n

b e a p p l i e d t h e r m a l l y o r t h r o u g h t h e a p p l i c a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c s t i m u l a t i o n .

T h e p a t h o f t h e q u a n t u m t r a n s i t i o n h a s b e e n r e v e a l e d . P l a n c k ' s c o n s t a n t i s e m -

p i r i c a l , i t w a s d e r i v e d s o l e l y f r o m e x p e r i m e n t s . T h i s p a p e r e x p o s e s t h e s o u r c e o f

P l a n c k ' s c o n s t a n t f r o m c l a s s i c a l l a w s o f p h y s i c s . T h i s a n a l y s i s h a s s h o w n t h a t

t h e i n t e n s i t y o f a l l e m i s s i o n s , a l l w a v e s ( q u a n t u m a n d c l a s s i c a l ) i s p r o p o r t i o n a l

t o t h e a m p l i t u d e o f t h e w a v e . I n t h e c a s e o f t h e q u a n t u m i t i s p r o p o r t i o n a t e t o

t h e a m p l i t u d e o f t h e t r a n s i t i o n a l q u a n t u m s t a t e .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] P l a n c k , M . 1 9 0 1 . O n t h e L a w o f t h e D i s t r i b u t i o n o f E n e r g y i n t h e N o r m a l

S p e c t r u m , A n n a l o n d e r P h y s i k , 4 , 5 5 3 .

[ 2 ] E i n s t e i n , A . 1 9 0 9 . D e v e l o p m e n t o f O u r C o n c e p t i o n o f t h e N a t u r e a n d

C o n s t i t u t i o n o f R a d i a t i o n , P h y s i k a l i s c h e Z e i t s c h r i f t , 2 2 .

5


6/6

[ 3 ] E i n s t e i n , B . P o d o l s k y , a n d N . R o s e n , C a n Q u a n t u m - M e c h a n i c a l D e s c r i p -

t i o n o f P h y s i c a l R e a l i t y B e C o n s i d e r e d C o m p l e t e , P h y s . R e v . 4 7 , 7 7 7 - 7 8 0

( 1 9 3 5 )

[ 4 ] L o u i s D u c d e B r o g l i e , P h D t h e s i s , " R e c h e r c e s u r l a T h e o r i e d e s Q u a n t a " ,

U . o f P a r i s , ( 1 9 2 4 ) . 6 . A . E i n s t e i n , " D o e s t h e I n e r t i a o f a B o d y d e p e n d

u p o n i t s E n e r g y - C o n t e n t ? " A n n a l e n d e r P h y s i k 1 8 6 3 9 - 6 4 1 ( 1 9 0 5 )

[ 5 ] B o h r , N . 1 9 1 3 . O n t h e C o n s t i t u t i o n o f A t o m s a n d M o l e c u l e s , P h i l o s o p h -

i c a l M a g a z i n e , 6 , 2 6 , 1 - 2 5 .

[ 6 ] M a x w e l l , J . C . 1 8 6 5 . A D y n a m i c a l T h e o r y o f t h e E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d ,

P h i l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h e R o y a l S o c i e t y o f L o n d o n , V o l . 1 5 5 .

[ 7 ] B e l l , P h y s i c s 1 , 1 9 5 ( 1 9 6 4 ) , r e p r o d u c e d a s C h . 2 o f J . S . B e l l , S p e a k a b l e a n d

U n s p e a k a b l e i n Q u a n t u m M e c h a n i c s ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 8 7 )

[ 8 ] F e y n m a n , R . P . ( 1 9 4 8 ) . " T h e S p a c e - T i m e F o r m u l a t i o n o f N o n r e l a t i v i s t i c

Q u a n t u m M e c h a n i c s " . " R e v i e w s o f M o d e r n P h y s i c s " 2 0 : 3 6 7 3 8 7 . B e l l ,

1 9 6 4 : J . S .

[ 9 ] H e i s e n b e r g , W . ( 1 9 2 7 ) , " O v e r t h e D e s c r i p t i v e C o n t e n t s o f t h e Q u a n t u m

K i n e t i c s a n d M e c h a n i c s " , Z e i t s c h r i f t f r P h y s i k 4 3 : 1 7 2 1 9 8

[ 1 0 ] R e i s s , H . 2 0 0 2 . A n o m a l i e s O b s e r v e d D u r i n g t h e C o o l - D o w n o f H i g h T e m -

p e r a t u r e S u p e r c o n d u c t o r s , P h y s i c s E s s a y s , 1 6 , 2 , J u n e .

[ 1 1 ] Z n i d a r s i c , F . 2 0 0 5 . A R e c o n c i l i a t i o n o f Q u a n t u m P h y s i c s a n d

S p e c i a l R e l a t i v i t y , T h e G e n e r a l J o u r n a l o f P h y s i c s , D e c e m b e r ,

h t t p : / / w w w . w b a b i n . n e t / s c i e n c e / z n i d a r s i c . p d f .

[ 1 2 ] Z n i d a r s i c , F . 2 0 0 9 . T h e C o n t r o l o f t h e N a t u r a l F o r c e s

h t t p : / / w w w . w b a b i n . n e t / s c i e n c e / z n i d a r s i c 3 . p d f

6

Documents

A Classical Theory of Quantum Mechanics