Upload
novia-tri-yuniawati
View
22
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
j
Citation preview
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah
STATISTIKA MATEMATIKA Yang Diasuh Oleh
Drs. Ahmad Yani T, M.Pd
Disusun oleh Kelompok 10:
1. Eka Rakhmawati (F04107060)
2. Fonni (F04107010)
3. Nani Juniarti (F04107018)
4. Rudianto (F04107016)
5. Suzukipli (F04107050)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS TANJUNGPURA
PONTIANAK
2010
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan distribusi t dan distribusi F
Membentuk f.k.p distribusi t dan f.k.p distribusi F
Menentukan mean dan variansi distribusi t
Menentukan mean dan variansi distribusi F
Menjelaskan dan menggunakan hubungan antara distribusi t dan
distribusi F
Menghitung peluang pada distribusi t dengan menggunakan tabel
Menghitung peluang pada distribusi F dengan menggunakan tabel
Menjelaskan mean sampel dan variansi sampel
Membentuk f.k.p
Menjelaskan dan menggunakan distribusi
1. UJI T
a. Sejarah Uji T
Seorang kimiawan muda bernama Sosset, berhasil menemukan ketidakcocokkan
penggunaan kurva normal untuk ukuran sampel kecil. Di bawah bantuan dari
seorang profesor ia berhasil merumuskan penemuannya pada 1908. Ia
menyebutnya distribusi student (Ruseffendi, 1993, 317)
b. Fungsi uji t
Distribusi chi kuadart digunakan untuk :
- uji variansi sebuah populasi,
- uji kecocokan,
- uji kebebasan
Untuk sampel ukuran n , taksiran yang baik dapat diperoleh dengan
menghitung nilai . Jika ukuran sampelnya kecil, nilai berubah cukup besar dari
sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak ( )
( √ ⁄ )
menyimpang cukup jauh
dari distribusi normal baku.
Untuk mengatasi masalah ini kita mengenal distribusi suatu statistik dinamakan T
dengan rumus yang biasa digunakan
( )
( √ ⁄ )
= ( )√
, s ≠ 0
= ( ) √
√ , s ≠ 0
= ( ) √
√ ,
= ( ) √
√ √ ,
( ) ( √ ⁄ )⁄
√ √ ,
T = ( ) √
√ ,
= ( ) √
√ ,
√ ( )⁄ dengan
( )
√ ⁄
Sehingga
√
Berdistribusi normal baku dan
( )
,
Berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan V= n-1. Jika sampel berasal
dari populasi normal maka dapat ditunjukkan bahwa dan bebas, oleh karena itu
Z dan V juga bebas.
( Maman,A. D, 1996, 187 )
c. Definisi
Misalkan W dan V peubah-peubah acak yang bebas stokastik, W~N(0,1) dan
V~ ( ) maka T=
√
dinamakan peubah acak berdistribusi t ( student) dengan
derajat bebas r, ditulis T~t(r) ( Maman,1996, 189 )
Teorema 1
Misalkan W≈N(0,1) dan V≈ (r), di mana W dan V bebas stokastik.
Maka T=
√
memiliki f.k.p sebagai berikut :
( ) 0 1
0 1√
[
]
⁄
Yang pertama kita harus menentukan fungsi densitas dari w dan v
Fungsi densitas w
( )
√
Asal mula rumus densitas, w
f (w ) = P(W )
= .
/
= ( )
=∫ ( )
=∫
√ .
( ) /
= ∫
√
.
/
Misalnya, .
/
Batas – batas : untuk x =
Untuk
Jadi, f(w)=∫
√
.
/
=∫
√ .
/
Bentuk di atas merupakan fungsi distribusi dari peubah acak Z yang berdistribusi
normal baku dengan fungsi densitas berbentuk :
( )
√
Asal mula densitas v
Jika .
/
Kita akan membuktikan dalil di atas dengan perumusan fungsi distribusi. Fungsi
distribusi dari V adalah
( ) ( ) ( )
( )
( √ √ )
( √ √ ), diketahui bahwa V=
∫ ( ) √
√
=∫
√ .
/
√
√
= ∫
√ .
/
√
Misalkan : z = √ , maka dz =
√
Batas – batas : Untuk z = 0, maka y = 0
Untuk z = √
Jadi, g(v) = ∫
√ .
/
√
√
= ∫
√ .
/
√
√
= ∫
√ .
/
√
√
= ∫
√ .
/
√
√
= ∫
√
√ .
/
√
= ∫
√ √ √ .
/
√
Bentuk di atas merupakan fungsi distribusi dari peubah acak V dengan fungsi
densitasnya berbentuk :
g(v) = .
/
√ √ √
( Nar Herrhyanto dan Tuti Gantini, 2009,362 )
Sehingga
g(v) =
.
/ .
/
, karena berddasarkan sifat fungsi gamma
bahwa 𝚪.
/ √
dan √
( Leland Blank, 1980, 293 )
Fungsi densitas v
( )
.
/
; 0<v<
Karena V dan W adalah bebas stokastik, maka
( ) *
√
.
/ . /
karena W dan V bebas stokastik, maka f.k.p. bersama dari W dan V adalah
( ) {
√
0 1
Definisikan transformasi berikut
t =
√ ⁄ dan u=v
Transformasi ini bersifat 1-1 dari
( , ) - , 0} Pada
B = {(t,u) I - +
Adapun inversnya adalah
W = √
√ , jadi jacobian transformasinya J = |
√
√
√
|
√
√
Akibatnya, f.k.p. bersama dari T =
√ ⁄ dan U=V adalah :
g(t,u) = [ √
√
0
1 ⁄ √
*
,
-√
√ ]
dengan (t,u) di B
jadi f.k.p T adalah
f(t) = ∫ ( )
du
=
0
1 ⁄ √
∫
*
+
Dengan mensubstitusikan Z=
,
- yang berarti
u =
,
- kita peroleh
f(t) =
0
1 ⁄ √
∫
{[
]}
{[
]}
=
0
1 ⁄ √
[
]( ) ∫
( )
Akan tetapi integral di ruas kanan sama dengan r[
-
Oleh karena itu maka f.k.p. T adalah
=
0
1√
[
]( ) - dengan demikian teorema ini terbukti
( Maman A Djauhari, 1996 , 190-191)
contoh :
1. Tentukan k yang memenuhi P(k ) untuk sampel acak
ukuran 15 yang diambil dari suatu distribusi normal dengan derajat kebebasan v =
14
Jawab :
Dari 1.4 terlihat bahwa 1,761 adalah nilai bila v = 14. Jadi -
Karena k dalam soal ini berada di sebelah kiri dari - maka ambillah k =
selanjutnya diperoleh 0,045 = 0,05 – atau
Jadi dari tabel 1.4 dengan v = 14
K =
= -2,977
Dan P( )
2. Misalkan peubah acak T mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan
r = 7
Hitunglah P ( T < -1,415)
Jawab : dari table distribusi t diperoleh P (T<1,415)= 0,9
Jadi, P(T<-1,415) = 1 – 0,9 = 0,1
3. Distribusi F
Salah satu distribusi yang terpenting dalam statistika terapan adalah distribusi F.
statistika Fdidefenisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang bebas,
masing-masing dibagi dengan derajat kebebasannya . jadi dapat ditulis
⁄
⁄
U dan V menyatakan peubah acak bebas, masing-masing berdistribusi khi-kuadrat
dengan derajat kebebasan sekarang akan kita turunkan distribusi sampel F.
Teorema 5.3.1 :
Misalkan U dan V dua peubah acak , masing –masing berdistribusi khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan maka distribusi peubah acak
⁄
⁄
Diberikan oleh
t
0,0
45
-
t
t
k 0,0
5
0,045
0,05
-t
H(f) ={ , ⁄ -( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )
( ⁄ ) ( )⁄ ( ⁄ )
, 0<f<
Misalkan U~ ( ) ( ) dengan U dan V bebas stokastik, maka peubah acak
F = ⁄
Memiliki f.k.p. sebagai berikut
( )
{
0
1 0
1
0 1 0
1
0 1( )
Bukti :
Karena U dan V bebas stokastik, maka f.k.p. bersama dari U dan V adalah
( )
0
1 0
1 ( )
( )
Kita definisikan transformasi
f = ⁄
dan z = v
yang merupakan transformasi 1-1 dari
A= {(u,v)I u >0 ; v>0}
pada
B = {(f,z)I f > 0 ; z >0}
Transformasi ini memiliki invers
u = [
- fz
v = z
jadi jacobian transformasinya,
J = |0
1 0
1
| 0
1
Akibatnya f.k.p. bersama dari F = ⁄
dan Z=V adalah
g(f,z) =
0
1 0
1 ( )
,
-
*
0
1+
Dengan (f,z) di B
Jadi f.k.p. F adalah
( ) ∫ ( )
= ,
-
0
1 0
1 ( )
∫ ( )
2
0
13
Integral diruas kanan dapat disederhanakan dengan mensubstitusikan
0
1
Yang berakibat
[ ]
Dengan demikian diperoleh
( ) ∫ {
[ ]
}
( )
*
[ ]
+
Dengan K = ,
-
0
1 0
1 ( ) ( )
Atau
( ) ( )
0
1
( ) ∫ ( )
Anda telah mengetahui bahwa integral di ruas kanan sama dengan G[
-, oleh
karena itu
( ) 0
1 0
1
0
1 0
1
0
1( )
Dengan demikian teorema di atas terbukti.
4. distribusi dari ( )
Jika sampel acak ukuran n diambil dari populasi normal dengan rataan dan variansi
dan variansi tabel dihitung maka diperoleh suatu nilai statistik . Di sini akan
dibahas distribusi peubah acak dari statistic ( ) .
Dengan menambah dan mengurangi rataan sampel mudah terlihat
∑ ( ) ∑ , ( ) )-
= ∑ ,( ) ( )-
= ∑ ( ) (∑ ( )( ) ∑ ( )
( ) konstan sehingga
∑ , maka ∑
Jadi, 2 ( )∑( ) ( )(∑ ∑ )
= 2( )( )
= 2n( )
= ∑ ( )
( )
Bagilah kedua ruas persamaan dengan dan kemudian ganti
∑ ( )
dengan (n-1) , maka diperoleh
∑ ( )
( )
+ ( )
⁄
Berdasarkan teorema bahwa
∑ ( )
adalah peubah acak berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
n. suku kedua sebelah kanan persamaan di atas adalah peubah normal baku, karena
suatu peubah acak normal dengan rataan dan variansi
dengan
demikian maka
( )
adalah suatu pengubah berdistribusi khi- kuadrat berderajat kebebasan 1.
Sedangkan
( n – 1) / merupakan peubah acak khi kuadrat dengan derajat kebebasan
v = n – 1
Teorema 5.4.1 :
Jika variansinya sampel acak ukuran n diambil dari populasi normal dengan variasi
, maka statistiknya = ( )
berdistribusi khi – kuadrat dengan derajat
kebebasan v = n – 1
Bukti :
( )
Karena sampel acak dari X~N( ) maka f.k.p bersama dari
adalah:
f( ) = ,
√ - *
∑ ( )
+
Bentuk eksponensial diruas kanan dapat disederhanakan dengan menuliskan
∑ dengan demikian diperoleh
∑ ( )
∑ ( )
= ∑ ( ) ( )
Sebab 2( ) ∑ ( )
Sekarang f( ) dapat ditulis sebagai berikut
f( )= 0
√ 1
*
∑ ( )
( )
untuk menyelidiki distribusi dari
kita bentuk transformasi berikut
Inversnya adalah
-
Jadi jacobian transformasinya transformasinya, J=n. akibatnya, f.k,p. bersama dari
adalah:
( ) 0
√ 1
*
( - )
∑ ( )
( )
+
Akan tetapi anda telah tahu bahwa
~N.
/
f( ) √
√ *
( )
+
Jadi,
( ) ( )
( )
= √ 0
√ 1
*
+
Dengan q = ( - ) ∑ ( )
adalah f.k.p. bersyarat bersama
dari diketahui akan tetapi, q=∑ ( )
oleh karena itu,
( ) adalah juga f.k.p. bersyarat dari n diketahui dengan
demikian , f.p.m. bersyarat dari
diketahui adalah
E[ ⁄ - ∫
∫ √ 0
√ 1
* ( )
+
= 0
1( )
∫
∫ √ 2
( )
3
* ( )
+
Perhatikan bahwa integral pada integral di ruas kanan tidak lain f.k.p. bersyarat
bersama dari diketahui di mana diganti oleh
ini berarti
bahwa integral di ruas kanan berharga 1. Akibatnya,
E[ ⁄ - ( ) ( )
Karena f.p.m. bersyarat ini tidak tergantung dari maka akibatnya, f.p.m. dari
=
adalah : E[ ⁄ - ( ) ( )
Yang berarti bahwa
( ) jadi teorema di atas terbukti.
Akibat. Pada proses pembuktian teorema di atas, ternyata f.p.m. bersyarat dari
Diketahui adalah :
E[ ⁄ - ( ) ( )
Ruas kanan tidak tergantung x. ini berarti bahwa
dan X bebas stokastik.
Sebagai penutup kegiatan ini, kita simpulkan bahwa :
~N.
/
( )
dan bebas stokastik.
Contoh :
Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterainya akan tahan rata-rata 3 tahun
dengan simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1, 9, 2, 4, 3, 0 , 3, 5 dan
4, 2 tahun.apakah pembuatannya masih yakin bahwa simpangan baku baterai
tersebut 1 tahun?
Jawab :
Dihitung variasi sampel :
= ∑
(∑
)
( ) = =
( )( ) ( )
( ) ( ) = 0,815
kemudian
= ( )
= =
( ) ( )
= 3,26
Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4.
Karena 95% nilai dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11,143,
nilai perhitungan dengan menggunakan = 1 masih wajar. Sehingga tidak ada alasan
bagi pembuatannya untuk mencurigai bahwa simpangan baku baterai bukan 1 tahun.
Daftar Pustaka
Blank,Leland. 1980. Statistical Procedures For Engineering,
Management, And Science. New York : Department of Industrial
Engineering Texas A&M UniversityNar, Herrhyanto dan
Tuti,Gantini. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung :
Yrama Widya
Dowdy,Shirley dan Stanley Wearden . 1990. Statistics for
research.west Virginia: A wiley-Interscience Publication
Maman A, D. 1996. Pengantar Teori Peluang. Jakarta : Dirjen Dikti
PPTG
Nar, Herrhyanto dan Tuti,Gantini. 2009. Pengantar Statistika
Matematis. Bandung : Yrama Widya
Ruseffendi. 1993. Statistika dasar Untuk Penenlitian Pendidikan.
Jakarta : Departemen Pendidikan Dan Kebudayaan
Supranto,J. 1985. Pengantar Probabilita dan Statistik Induktif Jilid 1.
Jakarta : Erlangga