Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

19. svibnja, 2019.

Doc. dr. sc. Ivan Duvnjak

9. Vježbe

Metoda konačnih razlika

2

METODA KONAČNIH RAZLIKA

Osnovne napomene:

• Numerička metoda za približno rješavanje diferencijalnih

jednadžbi

• Potrebo je zadovoljiti poznate vrijednosti funkcije na konturi

• Nepoznate vrijednosti funkcije određuje se u diskretnim

točkama

• Diskretne točke predstavljaju čvorove mreže razapete nad

područjem ograničenim zadanom konturom

• Mreža je najčešće pravokutna ili kvadratna

• Potrebno je raspisati jednadžbe konačnih razlika za prvu,

drugu i preostale derivacije

• Nakon toga se jednadžbe uvrste u diferencijalnu jednadžbu i

dobivamo sustav linearnih jednadžbi

METODA KONAČNIH RAZLIKA

3

METODA KONAČNIH RAZLIKA

• Jednadžbe konačnih razlika mogu biti definirane preko

derivacija: sljedeće, prethodne i centralne.

3x

1x

iw 1+iw1−iw

x x

1

1

+ −

i idw w w

dx x

• Prva derivacija za središnju točku

• uzlazna

• centralna

• silazna

1 1

1 2

+ −−

i idw w w

dx x

1

1

−−

i idw w w

dx x

• Druga derivacija za središnju točku3x

1x

iw 1+iw1−iw

x x

2−iw 2+iw

x x

( )

2

1 222

1

2 + +− +

i i id w w w w

dx x

( )

2

1 122

1

2− +− +

i i id w w w w

dx x

( )

2

2 122

1

2− −− +

i i id w w w w

dx x

• uzlazna

• centralna

• silazna

4

1x

3x

F

l

/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l

Primjer 1. Primjenom MKR odredite progib i kut zaokreta na kraju

konzole duljine l opterećene silom F. Za zadani primjer izvršite

diskretizaciju u pet segmenata

METODA KONAČNIH RAZLIKA

Rješenje:

diferencijalna jednadžba progibne linije za nosač

2 1( )= − −M F l x2

2

2

1 2

= −Md w

dx EI

2

212

1 2 2

( )= − = −Md w F

l xdx EI EI

1x

3x

F

l

.=EI konst

5

METODA KONAČNIH RAZLIKA

1x

3x

F

l

/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w

1−w2

1 1

2 2

1 1

2− +− +=

i i iw w wdw

dx x2

2

2

1 2

= −Md w

dx EI

2

1 1 2

2 2

1 1 2

2− +− += = −

i i iw w w Mdw

dx x EI

2

1 112 2

1 1 2

2( )− +− +

= = −

i i iw w wdw Fl x

dx x EI

2

1 1 1

2

2 ( )25

− +− + = −i i i

l Fw w w l x

EI

( )1 1

12

2

2( )

/ 5

− +− += −i i iw w w F

l xEIl

1 1

1 12

+ −−=

i iw wdw

dx x

6

METODA KONAČNIH RAZLIKA

1x

3x

F

l

/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w

1−w

Čvor 0, x1=0, RU:

2

1 1

2

( 0)25

− + = −l F

w w lEI

1 1 1 1

1

25

+ − + −

− = → =

i i i i

l dww w w w

dx

0

0, 0

= =

dww

dx

3 3

1

2 2

52

25 125= =

Fl Flw

EI EI

Čvor 1, x1=l/5:

3

1 2

2

42

125− + =

Flw w

EI

Čvor 2, x1=2l/5:

3

1 2 3

2

32

125− + =

Flw w w

EI

Čvor 3, x1=3l/5:

3

2 3 4

2

22

125− + =

Flw w w

EI

Čvor 4, x1=4l/5:

3

3 4 5

2

12

125− + =

Flw w w

EI

Iz sustava jednadžbi

3 3

1 2

2 2

3 3 3

3 4 5

2 2 2

1 9, ,

50 125

37 6 17, , ,

250 25 50

= =

= = =

Fl Flw w

EI EI

Fl Fl Flw w w

EI EI EI

7

METODA KONAČNIH RAZLIKA

1x

3x

F

l

/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w

1−wProgib na kraju konzole – točno

rješenje? OM:

3 3

5

2 2

170,34

50= =

Fl Flw

EI EI

3 3

1

2 2

, 0,3333

= = =Fl Fl

x l wEI EI

Diskretizacijom u 5 točaka :

greška aproksimacije iznosi 2%

8

METODA KONAČNIH RAZLIKA

1x

3x

F

l

/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w

1−w

Kut zaokreta na slobodnom kraju x1=5l/5

Trebamo dodati još jedan čvor, za centralnu

razliku:

1xF

/ 5l / 5l4w 5w 6w

/ 5l

2

4 5 6 6 5 4

2

2 ( ) 0 225

− + = − = → = −l F

w w w l l w w wEI

6 4 5 4

1 5

5 5

25

− −= =

w w w wdw

ldx l

3 3

4 5

2 2

6 17, ,

25 50= =

Fl Flw w

EI EI

2

1 252

=

dw Fl

dx EI

greška aproksimacije za kut

zaokreta iznosi 0%

9

Primjer 2. Primjenom MKR odredite maksimalni progib i kut zaokreta na

prostoj gredi duljine l opterećene silom F. Za zadani primjer izvršite

diskretizaciju u četiri segmenta.

METODA KONAČNIH RAZLIKA

Rješenje:

diferencijalna jednadžba progibne

linije za nosač

2 12

=F

M x2

2

2

1 2

= −Md w

dx EI

2

212

1 2 22= − = −

Md w Fx

dx EI EI

1x

3x

F

l

.=EI konst

Rubni uvjeti:

1 0 0 0= → = → =x w M

1 0 0= → = → =x l w M

10

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2

1 1

2 2

1 1

2− +− +=

i i iw w wdw

dx x2

2

2

1 2

= −Md w

dx EI

2

1 1 2

2 2

1 1 2

2− +− += = −

i i iw w w Mdw

dx x EI

2

1 112 2

1 1 2

2

2

− +− += = −

i i iw w wdw Fx

dx x EI

2

1 1 1

2

216 2

− +− + = − i i i

l Fw w w x

EI

( )1 1

12

2

2

2/ 4

− +− += −i i iw w w F

xEIl

1 1

1 12

+ −−=

i iw wdw

dx x

1x

3x

F

l

.=EI konst

/ 4l / 4l / 4l / 4l

itd…. DZ

11

Primjer 3. Primjenom MKR za slobodno oslonjenu tanku kvadratnu ploču

odredite progib ploče zavisne o vanjskom opterećenju q.

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

18= L x

28= L x

q

q

2 2

2 2

1 2

w w M

x x D

+ = −

3

2

t ED

12 (1 )=

−

2 2

2 2

1 2

M Mq

x x

+ = −

4 4 4

4 2 2 4

1 1 2 2

w w w q2

x x x x D

+ + = −

( ) ( )i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1

2 2

1 2

M 2M M M 2M Mq

x x

+ − + −− + − ++ = −

i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1 i, j

2 2

w 2w w w 2w w M

k h D

+ − + −− + − ++ = −

1

2

k x

h x

=

=

11 22M MM

1

+=

+

12

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

6

79

8

10

18= L x

28= L x

2`

6`

9`

i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1

2 2

M 2M M M 2M Mq

L L

8 8

+ − + −− + − ++ = −

2

i 1, j i, j i, j 1 i 1, j i, j i, j 1

qLM 2M M M 2M M

64+ + − −− + + − + = −

2

i, j i 1, j i, j 1 i 1, j i, j 1

qL4M M M M M

64+ + − −− + + + + = −

Čvor 1:2

1 2 2

qL4M M M

64− + + = −

2

1 2

qL4M 2M

64− + = −

Čvor 2:2

2 1 3 5

qL4M M M M

64− + + + = −

Čvor 3:2

3 2 4 6

qL4M M M M

64− + + + = −

U jednadžbama treba

uzeti u obzir da su

momenti i progibi na

osloncima jednaki 0

Nadalje, koristiti uvjete

simetrije 2 i 2`, 6 i 6`, 9 i 9`

13

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

6

79

8

10

18= L x

28= L x

2`

6`

9`

Čvor 4:2

4 3 7

qL4M 2M M

64− + + = −

Čvor 5:2

5 2 6

qL4M 2M 2M

64− + + = −

Čvor 6:2

6 3 8 7 5

qL4M M M M M

64− + + + + = −

Čvor 7:2

7 6 4 9

qL4M 2M M M

64− + + + = −

Čvor 8:2

8 9 6

qL4M 2M 2M

64− + + = −

Čvor 9:2

9 7 10 8

qL4M M M 2M

64− + + + = −

Čvor 10:2

10 9

qL4M 4M

64− + = −

14

METODA KONAČNIH RAZLIKA

1

2

3

4

25

6

7

8

9

10

M4 2 0 0 0 0 0 0 0 0

M1 4 1 0 1 0 0 0 0 0

M0 1 4 1 0 1 0 0 0 0

M0 0 2 4 0 0 1 0 0 0

M0 2 0 0 4 2 0 0 0 0 Lq

M0 0 1 0 1 4 1 1 0 0

M0 0 0 1 0 2 4 0 1 0

M0 0 0 0 0 2 0 4 2 0

M0 0 0 0 0 0 1 2 4 1

M0 0 0 0 0 0 0 0 4 4

−

− −

− −

= − −

−

− − −

1

1

1

1

1

164

1

1

1

1

1M A X−=

Ovo nisu vrijednosti za dijagram momenata

11 22M MM

1

+=

+

2LM

64=

za q 1=

15

METODA KONAČNIH RAZLIKA

Da bi smo odredili progib ploče potrebno je riješiti Poissonovu

diferencijalnu jednadžbu2 2

2 2

1 2

w w M

x x D

+ = −

Čvor 1:

Čvor 2:2

22 1 3 5

M L4w w w w

64D− + + + = −

Čvor 3:2

33 2 4 6

M L4w w w w

64D− + + + = −

Čvor 5: 2

55 2 6

M L4w 2w 2w

64D− + + = −

2

11 2

M L4w 2w

64D− + = −

Čvor 4:2

44 3 7

M L4w 2w w

64D− + + = −

Čvor 6: 2

66 3 8 7 5

M L4w w w w w

64D− + + + + = −

Čvor 9:2

99 7 10 8

M L4w w w 2w

64D− + + + = −

Čvor 10:

2

1010 9

M L4w 4w

64D− + = −

Čvor 7:2

77 6 4 9

M L4w 2w w w

64D− + + + = −

Čvor 8:2

88 9 6

M L4w 2w 2w

64D− + + = −

16

METODA KONAČNIH RAZLIKA

1

2

3

4

25

6

7

8

9

10

w4 2 0 0 0 0 0 0 0 0

w1 4 1 0 1 0 0 0 0 0

w0 1 4 1 0 1 0 0 0 0

w0 0 2 4 0 0 1 0 0 0

w0 2 0 0 4 2 0 0 0 0 L

w0 0 1 0 1 4 1 1 0 0 6

w0 0 0 1 0 2 4 0 1 0

w0 0 0 0 0 2 0 4 2 0

w0 0 0 0 0 0 1 2 4 1

w0 0 0 0 0 0 0 0 4 4

−

− −

− −

= − −

−

− − −

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

M

M

M

M

M

M4D

M

M

M

M

M =

w =

za D 1 i L 1= =

17

Primjer 4. Primjenom MKR za slobodno oslonjenu tanku pravokutnu ploču

odredite progib ploče zavisne o vanjskom opterećenju q. Zadano je:

L1=8λ, L2=6λ, q=10kN/m2, E=210MPa, ν=0,3, t=0.1m, λ=1m.

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

8 = L

6

=

L

q

q

Krutost ploče iznosi:

3

2

t E 250D kNm

12 (1 ) 13= =

−

1

2

k x

h x

= =

= =

i 1, j i, j i, j 1 i, j 1 i, j i, j 1

2 2

M 2M M M 2M Mq

k h

+ + + −− + − ++ = −

18

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

69

8

12

8 = L

6 = L

710

11

2

1 2 44M M M q− + + = −

2

2 1 3 54M M M M q− + + + = −

2

2 3 62M 4M M q− + = −

2

4 1 7 54M M M M q− + + + = −

2

5 4 6 2 84M M M M M q− − + + + = −

2

6 3 9 54M M M 2M q− + + + = −

2

7 4 10 84M M M M q− + + + = −

2

8 7 9 11 54M M M M M q− + + + + = −

2

12 9 6 8M 4M M 2M q− + + = −

2

10 7 114M 2M M q− + + = −

2

11 10 12 84M M M 2M q− + + + = −

2

12 11 94M 2M 2M q− + + = −

Čvor 1:

Čvor 2:

Čvor 3:

Čvor 4:

Čvor 5:

Čvor 6:

Čvor 7:

Čvor 8:

Čvor 9:

Čvor 10:

Čvor 11:

Čvor 12:

19

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

69

8

12

8 = L

6 = L

710

11

1

2

3

M4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

M1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

M0 2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 0 1

0 0 0 0 0 0 2 0 0 4 1 0

0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 4 1

0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 4

−

− −

− −

− −

− − −

− −

4

5

6

7

8

9

10

11

12

10

10

10

M 10

M 10

M 10

M 10

10M

10M

10M

10M

10M

= −

Rješavanjem sustava dobijemo (u kNm):

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

M 10.214,M 15.238,M 16.768,M 15.618,M 23.971, M 26.596

M 18.286,M 28.432,M 31.674,M 19.092,M 29.798, M 33.236

= = = = = =

= = = = = =

20

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

69

8

12

8 = L

6 = L

710

11

Čvor 1:

Čvor 2:

Čvor 3:

Čvor 4:

Čvor 5:

Čvor 6:

Čvor 7:

Čvor 8:

Čvor 9:

Čvor 10:

Čvor 11:

Čvor 12:

211 2 4

M4w w w

D− + + = −

222 1 3 5

M4w w w w

D− + + + = −

232 3 6

M2w 4w w

D− + = −

244 1 7 5

M4w w w w

D− + + + = −

2912 9 6 8

Mw 4w w 2w

D− + + = −

288 7 9 11 5

M4w w w w w

D− + + + + = −

277 4 10 8

M4w w w w

D− + + + = −

266 3 9 5

M4w w w 2w

D− + + + = −

255 4 6 2 8

M4w w w w w

D− − + + + = −

21010 7 11

M4w 2w w

D− + + = −

21111 10 12 8

M4w w w 2w

D− + + + = −

21212 11 9

M4w 2w 2w

D− + + = −

21

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

69

8

12

8 = L

6 = L

710

11

1

2

3

w4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

w1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

w0 2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 0 1

0 0 0 0 0 0 2 0 0 4 1 0

0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 4 1

0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 4

−

− −

− −

− −

− − −

− −

1

2

3

4 4

5 5

26 6

7 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

M

M

M

w M

w M

w M

w MD

w M

w M

w M

w M

w M

= −

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

w 0.96257,w 1.6199,w 1.8501,w 1.6992,w 2.8745,w 3.2888

w 2.1477,w 3.6436,w 4.1730,w 2.2973,w 3.9007,w 4.4689

= = = = = =

= = = = = =

22

METODA KONAČNIH RAZLIKA

2x

1x

1

2

3

4

5

69

8

12

8 = L

6 = L

710

1112w 4.4689=

Programom SAP2000 uspoređeni su

progibi u centru ploče (w12)=4,6994

Razlika rješenja 5%

23

Primjer rješavanja stanja naprezanja za visokostijene nosače

opterećene u svojoj ravnini primjenom metode konačnih razlika

METODA KONAČNIH RAZLIKA

11 22

4

4 4 4

4 2 2 4

1 1 2 2

, ?

0

2 0

=

=

+ + =

x x x x

4 4

1 1 2 2

4 4 4

1( ) 1( ) 1

6 4( ) ( )+ − + − − + + + = =

k k k k k

k kx x x

1 2x x =

Za slučaj kada imamo

pravilnu mrežu:

4 0 =

20𝛷j,k − 8 𝛷j−1,k + 𝛷j+1,k + 𝛷j,k−1 +𝛷j,k+1 +

+2 𝛷j−1,k−1 + 𝛷j+1,k−1 + 𝛷j−1,k+1 +𝛷j+1,k+1

+ 1 𝛷j,k−2 + 𝛷j−2,k + 𝛷j+2,k + 𝛷j,k+2 = 0

a = 6λ

b =

4λ Γ

x2

x1

24

METODA KONAČNIH RAZLIKA

20𝛷j,k − 8 𝛷j−1,k + 𝛷j+1,k + 𝛷j,k−1 +𝛷j,k+1 +

+2 𝛷j−1,k−1 + 𝛷j+1,k−1 + 𝛷j−1,k+1 +𝛷j+1,k+1

+ 1 𝛷j,k−2 + 𝛷j−2,k + 𝛷j+2,k + 𝛷j,k+2 = 0

j,kj,k-1j,k-2 j,k+1 j,k+2

j-1,k

j-2,k

j+1,k

j+2,k

j-1,k+1

j+1,k+1

j-1,k-1

j+1,k-1

20-8 -8

-8

-8

2

2

2

2

1

1

1

1

a = 6λ

b =

4λ Γ

x2

x1

25

METODA KONAČNIH RAZLIKA

a = 6λ

b =

4λ Γ

x2

x1

Primjena

simetrije

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

Γ je područje unutar konture K,

K* je proširenje za jedan korak mreže λ.

Primjena Levyjeve analogije -> poznate su vrijednosti Φ na konturi

26

Primjer 5. Primjenom MKR za visokostijeni nosač jedinične debljine

odredite stanje naprezanja.

METODA KONAČNIH RAZLIKA

a = 6λ

b =

4λ Γ

x2

x1

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

Primjena Levyjeve analogije -> poznate su vrijednosti Φ na konturi K i proširenoj konturi K*

ȁΦ 𝐾 = 𝑀 ⟹ Φ12= Φ13= Φ14=0 i Φ11= Φ21= Φ31=-qλ2/2

27

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

𝜕Φ

𝜕n11

=𝜕Φ

𝜕n21

=𝜕Φ

𝜕n31

= −qλ

ȁΦ 𝐾 = 𝑀 ⟹ Φ12= Φ13= Φ14=0 i

Φ11= Φ21= Φ31=-qλ2/2

ቤ𝜕Φ

𝜕n𝐾

= −𝑁 𝑠𝜕Φ

𝜕n12

=𝜕Φ

𝜕n13

=𝜕Φ

𝜕n14

= 0

Na osnovu poznatih vrijednosti na konturi možemo odrediti vrijednosti na proširenoj konturi i u području Γ

ቤ𝜕Φ

𝜕n𝐾

=ȁΦ 𝐾∗ − ȁΦ 𝑛−𝜆

2𝜆

𝜕Φ

𝜕n12

=Φ02 −Φ22

2𝜆⟹ Φ02 = Φ22;

𝜕Φ

𝜕n13

=Φ03 −Φ23

2𝜆⟹ Φ03 = Φ23;

𝜕Φ

𝜕n14

=Φ04 −Φ24

2𝜆⟹ Φ04 = Φ24

28

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

𝜕Φ

𝜕n11

=𝜕Φ

𝜕n21

=𝜕Φ

𝜕n31

= −qλ

ȁΦ 𝐾 = 𝑀 ⟹ Φ12= Φ13= Φ14=0 i

Φ11= Φ21= Φ31=-qλ2/2

ቤ𝜕Φ

𝜕n𝐾

= −𝑁 𝑠𝜕Φ

𝜕n12

=𝜕Φ

𝜕n13

=𝜕Φ

𝜕n14

= 0

Na osnovu poznatih vrijednosti na konturi možemo odrediti vrijednosti na proširenoj konturi i u području Γ

ቤ𝜕Φ

𝜕n𝐾

=ȁΦ 𝐾∗ − ȁΦ 𝑛−𝜆

2𝜆

𝜕Φ

𝜕n11

=Φ10 − Φ12

2𝜆,

𝜕Φ

𝜕n11

= −qλ; Φ12 = 0; ⟹ Φ10 = −2qλ2

𝜕Φ

𝜕n21

=Φ20 − Φ22

2𝜆,

𝜕Φ

𝜕n21

= −qλ; ⟹ Φ10 = −2qλ2 + Φ22

𝜕Φ

𝜕n31

=Φ30 − Φ32

2𝜆,

𝜕Φ

𝜕n31

= −qλ; ⟹ Φ30 = −2qλ2 +Φ32

29

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

Nakon što smo odredili unaprijed definirane

vrijednosti funkcije u čvorovima treba stvoriti

sustav algebarskih jednadžbi u šest čvorova

za koje ne znamo vrijednosti funkcije

naprezanja.

čvor (2,4)

20Φ24 − 8 Φ14 +Φ34 + 2Φ23 + 2 2Φ13 + 2Φ33 + Φ04 +Φ24 + 2Φ22 = 011Φ24 − 4Φ34 − 8Φ23 + 2Φ33 +Φ22 = 0čvor (2,3)

20Φ23 − 8 Φ22 +Φ24 +Φ13 +Φ33 + 2 Φ12 +Φ14 +Φ34 +Φ32 + Φ03 +Φ21 + 2Φ23 = 023Φ23 − 8Φ22 − 8Φ24 − 8Φ33 + 2Φ34 + 2Φ32 = qλ 2/2

čvor (2,2)

20Φ22 − 8 Φ21 +Φ23 +Φ12 +Φ32 + 2 Φ11 +Φ13 +Φ33 +Φ31 + ሺሻ

Φ02 +Φ22 +Φ24 +2Φ20 =0

23Φ22 − 8Φ23 − 8Φ32 − 2Φ33 +Φ24 = 0

30

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

čvor (3,4)

20Φ34 − 8 2Φ33 + 2Φ24 + 2 4Φ23 + 2Φ14 + 2Φ32 =0

10Φ34 − 8Φ33 − 8Φ24 + 4Φ23 +Φ32 = 0

čvor (3,3)

20Φ33 − 8 Φ32 +Φ34 + 2Φ23 + 2 2Φ22 + 2Φ24 +2Φ13 +Φ31 +Φ33 =0

21Φ33 − 8Φ32 − 8Φ34 − 16Φ23 + 4Φ22 + 4Φ24 = qλ 2/2

čvor (3,2)

20Φ32 − 8 Φ31 +Φ33 + 2Φ22 + 2 2Φ21 + 2Φ23 +Φ30 +Φ34 + 2Φ12 =0

21Φ32 − 8Φ33 − 16Φ22 + 4Φ23 +Φ34 = 0

31

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

32

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

Komponente naprezanja u čvorovima

određuju se iz veze s funkcijom naprezanja

Φ, tako da se parcijalne derivacije

zamijene konačnim razlikama:

σ11 =𝜕2Φ

𝜕x22 =

Φj−1,k − 2Φj,k +Φj+1,k

Δx22

σ22 =𝜕2Φ

𝜕x12 =

Φj,k+1 − 2Φj,k +Φj,k−1

Δx12

σ12 =𝜕2Φ

𝜕x1 𝜕x2=ሺΦj−1,k+1+Φj+1,k−1ሻ − ሺΦj+1,k+1+Φj−1,k−1ሻ

4Δx1 Δx2

33

METODA KONAČNIH RAZLIKA

x1

Γ

K

K*

1110 12 13 14

0100 02 03 04

2120 22 23 24

3130 32 33 34

λ λ λ λ

λλ

λ

Naprezanja u čvoru (2,1)

σ11 =Φ11 − 2Φ21 + Φ31

λ2=−qλ 2

2+2qλ 2

2−qλ 2

2λ2

= 0

σ22 =Φ22 − 2Φ21 +Φ20

λ2=

=0,0909

qλ 2

2+2qλ 2

2+ 0,0909

qλ 2

2− 2qλ 2

λ2= −0,91q

Naprezanja u čvoru (1,2)

σ11 =Φ02 − 2Φ12 + Φ22

λ2=0,0909

qλ 2

2+ 0 + 0,0909

qλ 2

2λ2

= 0,09q

σ22 =Φ13 − 2Φ12 + Φ11

λ2=0 − 0 −

qλ 2

2λ2

= −0,5q

Naprezanja u čvoru (2,2)

σ11 =Φ12 − 2Φ22 + Φ32

λ2=0 − 2 ∙ 0,0909

qλ 2

2+ 0,1439

qλ 2

2λ2

= −0,02q

σ22 =Φ23 − 2Φ22 +Φ21

λ2=0,2359

qλ 2

2− 2 ∙ 0,0909

qλ 2

2−qλ 2

2λ2

= −0,47q

34

METODA KONAČNIH RAZLIKA

λ λ λ

λλ

+0,09

-0,02

-0,05

+0,24

-0,06

-0,12

+0,23

-0,05

-0,13

λ λ λ

λλ

-1,0

0-0

,86

-0,9

1

-0,4

7-0

,46

-0,1

1-0

,08

-0,0

+0

,01

σ11 σ22

35

Primjer 6. Primjenom MKR za visokostijeni nosač jedinične debljine

odredite stanje naprezanja.

METODA KONAČNIH RAZLIKA

a = 8λ

b =

6λ Γ

x2

x1

q

q

q

, ?

0

2 0x x x x

11 22

2

4 4 4

4 2 2 4

1 1 2 2

=

=

+ + =

== 21 ΔΔ xx

36

METODA KONAČNIH RAZLIKA

a = 8λ

b =

6λ Γ

x2

x1

q

q

q00 01 02 03 04 05

10 11 12 13 14 15

20 21 22 23 24 25

30 31 32 33 34 35

40 41 42 43 44 45

M

0

q

2

2q

k

15 14 13

2

12

2

11 21 31 41

=

= = =

= −

= = = = −

0n n n

qn

4qn n n n

15 14 13

12

11 21 31 41

= = =

= −

= = = = −

Nn k

=

37

METODA KONAČNIH RAZLIKA

00 01 02 03 04 05

10 11 12 13 14 15

20 21 22 23 24 25

30 31 32 33 34 35

40 41 42 43 44 45

4q 8qn 2

4q 8qn 2

240 42

40 42

41

230 32

30 32

31

− = = − = −

− = = − = −

03

04

05

q 2qn 2

0n 2

0n 2

0n 2

202 2202 22

12

2303 23

13

2404 24

14

2505 25

15

− = = − = −

− = = =

− = = =

− = = =

01

4q 8qn 2

4q 8qn 2

4q 8qn 2

220 2220 22

21

210 1210 12

11

22101 21

11

− = = − = −

− = = − = −

− = = − = −

38

METODA KONAČNIH RAZLIKA

00 01 02 03 04 05

10 11 12 13 14 15

20 21 22 23 24 25

30 31 32 33 34 35

40 41 42 43 44 45

itd…. DZ

( ) ( ) ( ) ( )20 8 2 2 2 4 1 2 1 2 045 44 35 34 43 25 − + + + + =

( ) ( ) ( )20 8 2 2 2 2 1 2 2 035 25 34 45 24 44 33 15 − + + + + + + =

čvor (45)

čvor (35)