9-FÍSICA 2DO (1 - 16)

CORPORACIÓN EDUCATIVA

Forma

ndo líd

eres, c

on una

autén

tica ed

ucació

n integ

ral Primero de Secundaria

School´s

Física

Segundo

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los

mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr

alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

DidácticoPresentaciónPresentación Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando

una enseñanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad

asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que

permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

Capítulo 1. Dimensiones I ................................................................... 9

Capítulo 2. Dimensiones II .................................................................. 15

Capítulo 3. Vectores I ............................................................................ 21

Capítulo 4. Vectores II .......................................................................... 28

Capítulo 5. Movimiento Mecánico ...................................................... 35

Capítulo 6. Movimiento Rectilíneo Uniforme I ................................ 42

Capítulo 7. Movimiento Rectilíneo Uniforme II ............................... 49

Capítulo 8. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado I ...... 56

Capítulo 9. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado II ..... 63

Capítulo 10. Movimiento Vertical de Caída Libre .............................. 69

Capítulo 11. Estática I ............................................................................. 79

Capítulo 12. Estática II ............................................................................ 87

Capítulo 13. Dinámica ............................................................................ 95

Capítulo 14. Trabajo Mecánico .............................................................. 103

Capítulo 15. Energía ................................................................................ 112

Capítulo 16. Electrostática ..................................................................... 120

9

Física - 2do Sec.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Capítulo

1Dimensiones I

OBJETIVOS:

• Conocerlarelaciónentrelasmagnitudesderivadasconlasmagnitudesfundamentales.

• Conocerlasfórmulasdimensionalesdealgunasmagnitudesderivadas.

DEFINICIÓN: El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente matemático. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos de lo que en adelante llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

Por ser este texto de un nivel básico de Física, diremos como ejemplo que la dimensión del área es L2, aunque esto solo sea convencional, para minimizar la complejidad del análisis.

Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá:

1ro. Relacionar una magnitud fìsica con otras elegidas como fundamentales.2do. Establecer el grado de verdad de una fórmula.3ro. Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

MAGNITUDFUNDAMENTAL UNIDAD SÍMBOLO

[ ]DIMENSIÓN

MASA

LONGITUD

TIEMPO

TEMPERATURATERMODINÁMICA

INTENSIDADDE CORRIENTE

CANTIDAD DESUSTANCIA

INTENSIDADLUMINOSA

KILOGRAMO

METRO

SEGUNDO

KELVIN

AMPERE

MOL

CANDELA

Kg

m

s

K

I

mol

Cd

M

L

T

I

N

J

FORMULAS DIMENSIONALESDesignamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. Así, si x es una magnitud derivada, se establece que es la fórmula dimensional de x, tal que:

[ ]x L M T I J N= θa f gb c d e

IMPORTANTE:

[ a ] : Se leedimensión de a

10 Formando líderes con una auténtica educación integral

Física - 2do Sec.

Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

2) De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F):

I. [Densidad] = ML-3

II. [Presión] = ML-1T-3

III. [Caudal] = L3 T-1

2) Indique la relación correcta:

I. [Velocidad] a. ML-3

II. [Densidad] b. LT-3

III. [Aceleración] c. ML2T-3

IV. [Potencia] d. LT-2

3) Determine la dimensión de las siguientes magnitudes físicas derivadas:

[fuerza] = [masa . aceleración] La unidad de fuerza es: 1newton=1N=1kg.m2.s-2


[área] = [base . altura]


[volumen] = [base . altura . ancho]

Rpta.: _______


[velocidad] =d ist a nc ia

tiempo

5) Determine la dimensión de Q sabiendo que:Sec 60Q (De nsid a d) (V e loc id a d) °=

6) En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K.

Donde: m = masa ; v : velocidad F = Fuerza ; t : tiempo

4m vK

F t⋅

=⋅


[Aceleración] =

Rpta.: _______

velocidadtiempo


[densidad] =

Rpta.: _______

masavolumen

5) Determine la dimensión de K sabiendo que:

Rpta.: _______

Sec 60K (F ue rz a) (D ist a nc ia) °=

6) Determine la dimensión de B en la siguiente fórmula física:

Donde: m = masa F = fuerza v = velocidad A = área

Rpta.: _______

mvB

F A=

⋅

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

11

Física - 2do Sec.


PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Resolución:

Resolución:

Resolución:Resolución:

Determinar la dimensión de K, si:

a) LT–1 b) LT–2 c) LT–3

d) LT–4 e) LT–5

Determine la dimensión de S sabiendo que: S = (Potencial)(Aceleración)

a) ML4T–3 b) ML3T–3 c) ML2T–3

d) ML4T–5 e) ML3T–5

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K.

Donde: m = masa ; v : velocidad F = Fuerza ; t : tiempo

a) L2 b) T3 c) LT–3

d) ML–3 e) M0

2(a c e l e r a c ión)K

ti e mpo=

Determine la dimensión de A en la siguiente fórmula física:

Donde: F = fuerza m = masa t = tiempo V = velocidad

a) L–2 b) T0 c) T2

d) ML–2T e) ML–2

F tA

m v⋅

=⋅ 4m v

KF t

⋅=

⋅


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución: Resolución:

Determine la dimensión de R sabiendo que: R = (Fuerza)(Densidad)

a) M2L–1T–2 b) M2L–2T–2

c) M2L T–2

d) ML–2T–3 e) M2L–1T–3

Determine la dimensión de R sabiendo que:

a) M0 b) M c) Ld) T e) L2

(P ot e nc ia) (ti e mpo)R

(pr e sión) (V olume n)=

Resolución:

Resolución:

Determine la dimensión de K sabiendo que:

a) ML2T–2 b) ML3T–2 c) ML T2

d) ML–1 T–2 e) ML2T–1

Determine la dimensión de C en la siguiente fórmula física:

Donde: m = masa F = fuerza v = velocidad h = altura

a) ML–2 b) T0 c) LT2

d) ML–2T e) MT2

Sec 60mvC

F h=

⋅Sec 60K (F ue rz a) (D ist a nc ia) °=

13

Física - 2do Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Determine la dimensión de B en la siguiente fórmula física:

Donde: m = masa F = fuerza v = velocidad A = área

a) TL–2 b) T0 c) T2

d) L2 T e) T

Hallar las dimensiones de "F":

a) TL–2 b) T0 c) T2

d) L2 T e) T

Determine la dimensión de A en la siguiente fórmula física:

Donde: F = fuerza m = masa t = tiempo V = velocidad

a) L–2 b) T0 c) T2

d) ML–2 T e) ML–2

Halle la dimensión de "R":

a) MTL-1 b) MTL+3 c) MTd) MTL+2 e) MTL-4

F tA

m v⋅

=⋅

mvB

F A=

⋅

=Masa.Volumen

RVelocidad

=Velocidad

FAceleración


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:


Hallar "M":

a) TL–2 b) T1 c) T–1/2

d) L2 T e) T

Hallar "M":M = Trabajo x Velocidad

a) ML3T3 b) ML3T-3 c) MLT-1

d) ML2T-2 e) MLT-2

Hallar "S":E = (Masa)S

a) -1 b) -2 c) xd) 1 e) 0

Hallar "x":(Volumen)x

a) 1x b) x c) 2x

d) 1 e) 2

=

Sen 30ºVelocidad

MAceleración

15

Física - 2do Sec.


Capítulo

2Dimensiones II

OBJETIVOS:

• Conocerlasreglasimportantesdelasecuacionesdimensionales.

• Aplicarelprincipiodehomogeneidadparareconocersiunafórmulafísicaesdimensionalmentehomogénea.

ECUACIONES DIMENSIONALESSon aquellas relaciones de igualdad en donde algunas mag-nitudes físicas son conocidas y otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas. Veamos los siguientes ejemplos:

a) L3M[X] – L3[Y] = L3MT–1

Incógnitas: [X], [Y] (Magnitudes)

b) MS . L3 . T-2 = M4 . Lr . T2r-u

Incógnitas: r, s, u (Números)

Reglas Importantes:

1º)

2º) ; ;

;

CANTIDAD ADIMENSIONAL:Es aquella que carece de dimensiones, es decir el exponente de las magnitudes fundamentales en la fórmula dimensional es cero (0). De este modo se tiene que la fórmula dimensio-nal de una cantidad adimensional es:

[Cantidad adimensional] = 1

Entre ellas tenemos: los números reales, los ángulos, las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales,... etc.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (FOüRIER)“Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los tér-minos que componen una adición o sustracción tienen las mismas dimensiones”.

Dada la fórmula física:A + B = C – D

Debe cumplirse que los términos de cada una de estas ope-raciones deben tener las mismas dimensiones, para que sea dimensionalmente homogénea.

[A] + [B] = [C] – [D] [A] = [B] = [C] = [D]

Cuando existan expresiones con magnitudes físicas en los exponentes, deberá procederse con sumo cuidado, recor-dando que el exponente es siempre un número, por consi-guiente la expresión exponencial deberá ser adimensional en su totalidad.

Ejemplo: Sea la siguiente una expresión dimensionalmente correcta:

Por consiguiente un número

2 2 2 2

2 2 2

L L L L

L T L T L T− − −

+ + =

− =

3 1 = [ ]2 rad 1p =

[ ]Sen 45 1° = [ ]log19 1=

Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones aritméticas.

Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensio-nal es la unidad.

x y2 z x y

P mv d e s un expone nt ez⋅

=⋅

x y 1z

⇒ = ⋅


Física - 2do Sec.

Rpta.: _______Rpta.: ______

Rpta.: _______

Rpta.: ______

Rpta.: _______ Rpta.: ______



1) En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de .

Donde: E = Energía ; v = Velocidad P = Presión

AB

2E A v B P= +

2) ¿Cuál debe ser la dimensión de A/B para que la expresión sea dimensionalmente homogénea?

Donde: E = Energía ; m = masa g = aceleración

21E m A mg B

2= +

3) En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de A.

Donde: K = longitud

3 n 2K B 5 A n= +

4) En la siguiente fórmula, determinar la dimensión de K.

Donde: h = distancia

3

2x

K(y h) (y 3x)

=− +

5) Si la siguiente fórmula física, x = A + Bt + 0,5ct2 es dimensionalmente homogénea. Determinar la dimensión de , si x = distancia t = tiempoA B

C

6) Se tiene la siguiente fórmula dimensionalmente homogénea.

Donde: V = volumen ; h = altura t = tiempo Determinar la dimensión de .

3h A C

VB t

+= +

AB C

1) En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de .

Donde: P = Potencia ; m = masa v = Velocidad

Rpta.: _______

AB

P m A v B= +

2) En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de .

Donde: W = trabajo ; d = distancia a = aceleración

Rpta.: _______

BA

2W A d B a= +

3) En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K.

Donde: a = aceleración ; t = tiempo

Rpta.: _______

2 nK na t B= +

4) Determine las dimensiones de A.B en la fórmula dimensionalmente correcta.

Donde: F = Fuerza ; h = Altura d = distancia ; m = masa

Rpta.: ______

2 2F d Se n

Am(B h )

θ=

+

⋅

5) En la siguiente fórmula física, determinar las dimensiones de A y B.

Donde: a = aceleración ; v = velocidad t = tiempo

Rpta.: ______

2a A v B t= +

6) Sabiendo que la siguiente fórmula física es dimensionalmente correcta.

Donde: m = masa ; a = aceleración e = distancia ; t = tiempo Determinar los dimensiones de .

Rpta.: ______

2A (B a e)t m

−=

BA

17

Física - 2do Sec.



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2





Donde: A = distancia ; f = frecuencia

a) LT-1 b) LT-2 c) Ld) LT e) T0

En En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de P.

Donde: F = fuerza ; a = aceleración

a) M b) M-1 c) M-2

d) M2 e) M3


Donde: v = velocidad

a) L2 b) LT-2 c) L3T-2

d) L2T-2 e) LT-1

En la siguiente ecuación determinar la dimen-sión de K.

Donde: t = tiempo

a) 0 b) 1 c) T d) T-1 e) T-2

K A C os( f )= ω ω + p1

C os(2 k t)2

p =

aP Q

H F− =

+2v K A= −


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de K.

Donde: A = Área ; t = tiempo

a) T-2 b) T2 c) Ld) L2 e) L-2

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de AB.

Donde: V = volumen ; d = densidad t = tiempo

a) ML2T-1 b) ML3T-1 c) ML-3T-1

d) MLT-1 e) ML-2T-1

2

2A K t

Se n30K R

+ = ° dV A t

B= +


En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de .

Donde: a = aceleración ; m = masa d = distancia ; V = volumen

a) ML2T-1 b) ML-1T-2 c) ML-2T2

d) ML-2T-1 e) ML2T-2

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K . R

Donde: A = Área ; m = masa v = volumen

a) M-2L3 b) M-2L2 c) M-2Ld) M-2L-1 e) M2L-2

KR 2V

a d k mR Rm

+ = 3 3A K V R K m= −⋅

19

Física - 2do Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de A . B . C

Donde: y = distancia ; t = tiempo

a) LT-1 b) L-1T c) LT-2

d) T-1 e) L

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de .

Donde: A = Fuerza ; E = Energía

a) MLT3 b) ML3T3 c) LTd) ML3T-2 e) MLT-2

En la siguiente ecuación, determinar la dimensión de A.

Donde: d = distancia ; F = fuerza m = masa

a) LT b) L2T-2 c) LT-2

d) L-2T e) LT-1

En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de KR.

Donde: m = masa ; t = tiempo A =Área

a) MLT b) MLT2 c) ML2 T-1

d) ML2T2 e) ML-1T

y A Se n(2 B t C)= p +

xy

E A x B Se n(B y)= +

Sec 602

2d K mK

RB(F K A)

° − = −

2K A tSec 60

m R+ = °


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de xy.

F = Ax Sen (yt + C) Donde: F = Fuerza t = tiempo A = Área

a) ML-1T-3 b) MLT3 c) LTd) MLT e) ML3T-2

En la siguiente fórmula física, determine la dimensión de x

Donde: m = masa ; A =distancia t = tiempo

a) ML b) MLT-1 c) MLT-2

d) MT e) MLT

x mwAsen(wt)=

Resolución:

Resolución:

En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de AB.

Donde: v = velocidad ; a = aceleración m = masa

a) M-1L b) ML-1 c) ML-2

d) M-1L2 e) ML

En la siguiente fórmula física determinar la dimensión de N.

Donde: W = trabajo ; m = masa t = tiempo

a) L0 b) L-1 c) Ld) L2 e) L-3

v A m B a= + 22W t

N 6nm

= +

21

Física - 2do Sec.


Capítulo

3Vectores I

OBJETIVOS:

• Conocerloselementosylaexpresiónmatemáticadeunvector.

• Aprenderagraficarunvectorycalcularsumódulo.

¿QUé ES UN VECTOR?Es un elemento matemático que nos permite representar a un magnitud vectorial. Debemos recordar que una magnitud vectorial presenta: módulo y dirección.

Los vectores se representan gráficamente como un segmento de recta orientado (flecha).

IMPORTANTELos vectores pueden ser desplazados conservando su módulo y su dirección; a lo largo de su línea de acción ó de una recta paralela a ella. Si a un vector lo colocamos en el plano cartesiano, se puede expresar en función de sus coordenadas.

Hacemos coincidir el origen del vector con el origen de coordenadas.

Módulo o Magnitud

Dirección

Línea deAcción

A

Recta de referencia

IMPORTANTE:

A : Se lee Vector A

A_

X

Y

37°

A5µ


Física - 2do Sec.

Notamos que presenta una componente en el eje “x”, y también una componente en el eje «y»; lo cual puede ser expresado de la siguiente manera.

Donde :

Para el ejemplo dado será:

VECTORES UNITARIOS CARTESIANOSSon aquellos vectores cuyo módulo es la unidad de medida y se encuentran en los ejes coordenados cartesianos.

: vector unitario en el eje x. Además: = (+1, 0) ⇒ - = (-1, 0) : vector unitario en el eje y. = (0, +1) ⇒ - = (0, -1)

EjemploExprese en función de los vectores unitarios y el vector

A (A , A )=

x y A Componente del vector A en el eje

A Componente del vector A en el eje

=

=

x x

y y

A (4 , 3) Ax 4

Ay 3

= =

=

u

u

Para determinar El Módulo del vector Ase procederá de la siguiente forma|A| = 2 2

x yA + A |A| =25 5u

IMPORTANTE:

|A| : Se lee módulo o magnitud del vector A.

|A| = A

–jj

Y

X–i i

Y

X

1

1

1

1

| i | | j| 1∧ ∧

⇒ = =

A = 4 i + 3 j

componente en ycomponente en x

i i i

j j j

( )A= 4; 3

i j

23

Física - 2do Sec.




1) Indique las componentes de los vectores mostrados.

A B

1u

1u

2) Los vectores expresarlos en función de los vectores unitarios y .

A, B y Cˆ î y j

BA

( )C 4; 2=

3) Los vectores mostrados expresarlo en función de vectores unitarios .ˆ î y j

A B

4) Determine los componentes del vector mostrado.

A1µ

1µ

5) Expresar en función de los vectores unitarios los siguientes vectores.

E

1u

1u

F

6) Expresar en función de los vectores unitarios los siguientes vectores:

( )C 6; 8=

( )D 7; 2= −

ˆ î y j

1) Determine las componentes del vector mostrado.

B

1u

1u

1u

1u

2) Grafique el siguiente vector ( )D= 3;5−

3) Expresar los vectores en función de î y j

( )E 1; 3=

( )F 4; 5= −

C

D

4) Determine las componentes del vector mostrado.

X

Y

1

2

3

4

0 1 2 3

5) Determine el vector mostrado en función de vectores unitarios ˆ î y j

1u

1u

6) Grafique el vector ˆ ˆC 2i 10 j→

= −


Física - 2do Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:


Resolución:

Expresar los siguientes vectores en función de los vectores unitarios

Grafique y determine el módulo de los vectores: Grafique y determine el módulo de los vectores:

Grafique y determine el módulo de los vectores:ˆ î y j

( )R= 3;4−

( )S= 6; 2−

( )A= 3; 4

( )B= 5;12−

( )C 6; 8= −

( )D 4; 4= −

ˆ ˆR 4i+3j= −

ˆ ˆS 7i 24 j= + −

25

Física - 2do Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Grafique y determinar el módulo del vector:

Grafique y determine el módulo de los vectores:

Grafique y determinar el módulo del vector:

Grafique el vector y determine su módulo.( )P 1; 4= −

ˆ ˆQ 6i 6 j= −

( )A 6; 8= −

( )G 2; 3= −

( )F 4; 6= −


Física - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Determine los componentes del vector mostrado.

Grafique y determine el módulo del vector:

Determine los componentes del vector mostrado.

El vector expresarlo en función de vectoresˆ ˆH 5i 12j= − +

( )s 8; 3→

= −ˆ î y j

X

Y

37º

5 µ45º

Y

X

8 µ

27

Física - 2do Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Exprese el vector mostrado en función de los vectores

Determine los componentes del vector mostrado. Determine los componentes del vector mostrado.

Determine los componentes rectangulares del vector mostrado.

106º

Y

25 µ

X

Y

X323º

20 µ

ˆ î y j

Y

X233º

40µ

Y

X344º

µ25


Física - 2do Sec.

Capítulo

4Vectores II

OBJETIVOS:

• Conocerlasoperacionesquesepuedenrealizarconlosvectores(adición,sustracción)

• Determinarlaresultantemáximaymínimadedosvectores.

OPERACIONES CON VECTORES

ADICIÓN DE VECTORESCuando dos o más vectores están representados mediante pares ordenados, para determinar el vector resultante se suman los componentes rectangulares en los ejes x e y en forma independiente.

Ejemplo: Sabiendo que: ; hallar el módulo de:

Resolución: Ordenando los vectores

En módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: Luego:

SUSTRACCIÓN DE VECTORESCuando dos vectores están representados mediante pares ordenados, para determinar el vector diferencia se restan las componentes rectangulares de los vectores minuendo y sustraendo.

Ejemplo: Sabiendo que hallar el módulo de:

Resolución: Ordenando los vectores minuendo y sustraendo:

El módulo del vector diferencia se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: Luego:

A (5 ; 6) y B (4; 6)= =

A B+

A (5; 6)

B (4; 6)

A B (5 4; 6 6)

R (9; 12)

= +=

+ = + +

=

2 2|R| 9 (12) 225= + =

|R| 15 u=

A (13; 11) y B (7; 3);= =

A B−

A (13; 11)

B (7; 3)

A B (13 7; 11 3)

D (6; 8)

= −=

− = − −

=

2 2|D| 6 8 100= + =

|D| 10 u=

29

Física - 2do Sec.


MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALARSea la cantidad y K la cantidad escalar, entonces K es un vector paralelo al , donde la dirección depende del signo de K. Debo advertir que K es un número real.

– Si, K es positivo, los vectores y K son paralelos de igual dirección. – Si, K es negativo, los vectores y K son paralelos de dirección opuestos.

El vector también se puede expresar como un par ordenado = (x ; y) Entonces: K = K(x; y) ; K = (Kx; Ky)

De la última expresión podemos deducir que: si el vector se multiplica por un escalar; entonces sus coordenadas también se multiplican por esta cantidad escalar.

Primer ejemplo: Si, = (–6 ; 9). Hallar las coordenadas del vector:

Resolución: Producto de un escalar por un vector:

Luego:

Segundo Ejemplo: Si . Hallar:

Resolución: Producto de un escalar por un vector

CASOS PARTICULARES

A. Resultante Máxima La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman entre sí un ángulo de cero grados.

B. Resultante mínima La resultante de dos vectores es mínima, cuando forman entre sí un ángulo de 180º.

Ejemplo: Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 y la mínima es 4. Determine el módulo de ellos.

Resolución: Sabemos que: A + B = 28 A – B = 4 Resolviendo las ecuaciones tenemos: A = 16 y B = 12

2 A

A - A

- 2 A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A 2

A3

2 2 2 2A ( 6; 9) ( 6); (9)

3 3 3 3 = − = −

2A ( 4; 6)

3= −

A (4; 6) y B (2; 1)= = 1

A 3B2

+

1 1A (4; 6) (2; 3)

2 2

3B 3(2; 1) (6; 3)

= =

= =

2 2

1A 3B (2 6; 3 3) (8 ; 6)

2

1A 3B 8 6 10 u

2

+ = + + =

+ = + =

B A R = A + Bmax

B A R = A – Bmin


Física - 2do Sec.



1) Se tienen los vectores

Determine el módulo de

A, B y C

R A B C= + +

|A| = 4

|B| = 3

|C| = 2

A

B

C

2) Del conjunto de vectores


|A| = 8

|B| = 4

|C| = 3

A

B

C

R 2A 3B C= + −

3) Dados los vectores


|A| = 6

|B| = 4

|C| = 5

A

B

C2 3 2

R A B C3 4 5

= − −


Determine el módulo de:

A, B y C

( ) ( )2 3R A B C

3 5= + +

|A| = 30

|B| = 15

|C| = 50

A

B

C


A 3i+4j=

B 2i 6j= −

C 5i+2j=

Determine el vector :M

M 2A 3B C= + −


ˆ Â 2i 6 j= −

ˆ ˆB 5i 15 j= −

ˆ ˆC 18i 3j= −

Determine el vector :N A B C

N 3 22 5 3

= + −



A, B y C

|A| = 10

|B| = 4

|C| = 12

A

B

C

R A B 2C= − +



A, B, C

|A| = 4

|B| = 8

|C| = 2

A

B

C

R 4A 2B 3C= − +



A, B y C

1 1 1R A B C

2 5 3 = − −

|A| = 8

|B| = 10

|C| = 12

A

B

C



A, B y C

|A| = 15

|B| = 12

|C| = 6

A

B

C

( ) ( )2 4R A B B 2C

3 5= + − +


ˆ Â 3i 4 j= −

ˆ ˆB 9i 12j= +

ˆ ˆC 15i 36 j= +

Determine el vector :R 2

R 3A 2B C3

= + −


ˆ Â 15i 30 j= −

ˆ ˆB 6i 12j= +

ˆ ˆC 7i 21j= −

Determine el vector :P 2A 5B C

P15 6 7

= + −

31

Física - 2do Sec.



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:


Resolución:

Dados los vectores

ˆ Â 3i+4j=

ˆ ˆB 8i+10j= −

Determine el vector para que sea cero.

a) 5 i -14 j b) 6 i -10 j c)5 i +10 j

d) 5 i +14 j e) 6 i + 4 j

Se tienen los vectores


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Dados los vectores

ˆ Â 2i 5 j= −

ˆ ˆB 3i+7j= −

Determine el vector para que sea

a) 5 i +2 j b) 6 i +3 j c) 6 i +2 j

d) 5 i + j e) 6 i + j

C

R A B C= + +

C

R A B C= + +

ˆ ˆ4i+3j

A, B y C

|A| = 6

|B| = 3

|C| = 5

A

B

C

( )2 2R A B C

3 5= + +

A, B y C

|A| = +4

|B| = +3

|C| = 6 –

x

x

x

A

B

C

A B CR

2 3 6= − +


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Dado el conjunto de vectores

Determine el valor de x para que el módulo de sea 14.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Dados los vectores

ˆ Â 3i 4 j= −

ˆ ˆB 9i 12j= +

ˆ ˆC 15i 36 j= +

Determine el vector R

( ) ( )1 2

R C A C A 2B3 3

= − + − −

a) ˆ ˆ26i 34 j+ b) ˆ ˆ24i 56 j+ c) ˆ24 jd) ˆ ˆ24i 24 j+ e) ˆ ˆ36i 24 j+

Dados los vectores

ˆ Â i+3j=

ˆ ˆB 27i 9 j= − −

ˆ ˆC 10i 35 j= −

Determine el vector

a) ˆ ˆ15i 3 j+ b) ˆ ˆ5i 3 j+ c) ˆ ˆ10i 5 j+

d) ˆ ˆ5i 3 j− e) ˆ ˆ15i 10 j+

Dados los vectores

ˆ Â 3i 9 j= −

ˆ ˆB 6i 12j= −

ˆ ˆC 18i 39j= +

a) ˆ ˆ6i 9j+ b) ˆ ˆ9i 6 j+ c) ˆ12id) ˆ12i 9j+ e) ˆ3i 6j+

|A| = 2

|B| = 3 – 1

|C| = 5 – 3

x

x

x

A

B

C

R

R A B C= + +

R

5 2R 4A B C

9 5= − −

( ) ( ) ( )1 1 1R C A B A B C B C A

3 3 3= − + + − + + − +

33

Física - 2do Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Dados los vectores ( ) ( )ˆ Â a 3 i i b 2 j= + + −

( ) ( )ˆ ˆB 5 2a i b 7 j= − + +

( ) ( )ˆ ˆC 2 a i 5 2b j= + + −


R A B C= + +

a) ˆ10 10 j− b) ˆ ˆ10j 5 j+ c) ˆ ˆ5i j+d) ˆ ˆ5i 10 j+ e) ˆ ˆ10i 10 j+

Se tienen los vectores: A, B y C

( ) ( )ˆ Â 4 2a i 5 a j= − + −

( ) ( )ˆ ˆB a 3 i a 2 j= − + −

( ) ( )ˆ ˆC 3a 2 i 4a 2 j= − + −

Determine el valor de a, para que R A B C= + +

sea ˆ ˆ7i 17j+

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Dados los vectores

( ) ( )ˆ Â 2 a i+ a 2 j= − −

( ) ( )ˆ ˆB 5 a i 7 a j= + + −

Determine el vector C

para R A B C= + +

que sea ˆ ˆ12i 9 j+

a) ˆ ˆ5i 3j+ b) ˆ ˆ3i 4 j+ c) ˆ ˆ3i j+

d) ˆ ˆ5i 4 j+ e) ˆ ˆ12i 9 j+

Dados los vectores

( ) ( )ˆ Â 3 2 i+ +5 jx x= +

( ) ( )ˆ ˆB 7 6 i+ 5 3 jx x= − −

Determine R A B= +

, si A B=

a) ˆ ˆ8i 7 j+ b) ˆ ˆ5i 7 j+ c) ˆ ˆ16i 14 j+

d) ˆ ˆ6i 3 j− e) ˆ ˆ2i 5 j+


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

Dados los vectores

( ) ( )ˆ Â 5 a i+ 7 b j= − −

( ) ( )ˆ ˆB 2a 3 i+ 4 b j= − −

( ) ( )ˆ ˆC 2a a i+ 2b 2 j= − −


R A B C= + +

a) ˆ ˆ4i 4j+ b) ˆ ˆ5i 7 j+ c) ˆ ˆ4i 9 j+

d) ˆ ˆ2i 3 j+ e) ˆ ˆ2i 11j−

Dados los vectores

ˆ Â 2i 3j= −

ˆ ˆB 4i 5 j= −

ˆ ˆC 6i 7 j= −


a) ˆ ˆ5i 3j− b) ˆ ˆ3i 2j+ c) ˆ ˆ4i 3 j−

d) 0 e) ˆ ˆ6i 8 j−

Dados los vectores

( ) ( )ˆ Â 5 a i+ 7 b j= − +

( ) ( )ˆ ˆB 3 a i+ 3 b j= + − −

Determine el vector C

para que R A B C= + +

sea ˆ ˆ10i 5 j+

a) ˆ ˆ2i j+ b) ˆ ˆ2i 5 j+ c) ˆ ˆ5i 3 j+

d) ˆ ˆ3i j+ e) ˆ ˆ5i 10 j+

A, B y C

|A| = 12

|B| = 4

|C| = 8

A

B

C

A B CR 2 3

3 2 4= − −

( ) ( ) ( )A B B C C AR

2 2 2

− − −= + +

35

Física - 2do Sec.


Capítulo

5Movimiento Mecánico

OBJETIVOS:

a DescribirgeométricamenteelMovimientoMecánico.

a Conocerloselementosdelmovimientomecánico.

MOVIMIENTO MECÁNICOEs el continuo cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo.Veamos el movimiento del balón.

Elmovimientomecánicoesrelativo.

SISTEMA DE REFERENCIAPara describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

Para ubicar al cuerpo que estamos analizando trazamos desde el origen de coordenadas un vector, hasta la ubicación del cuerpo, a dicho vector se le denomina “vector posición”. Para una mejor descripción del movimiento mecánico se hace uso de ciertos elementos:

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO:

A. MóvilEs el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, este está en reposo relativo.

B. TrayectoriaEs aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir, la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

c. Recorrido(e)Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).

d. Desplazamiento d( )→

Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.

E. Distancia(d)Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo del vector desplazamiento.

A B

rA rB r = vector posición AA

r = vector posición BB

X(m)

Y(m)

observador

El observador nota que el

balón cambia continuamente

de posición. Entonces el balón

experimenta "Movimiento Mecánico".

r = vector posición

X(m)

Y(m)

observador

reloj

rB

X(m)

Y(m)

observador

relojd

rA

A

B

= desplazamiento

e = recorrido

d = r rB A−d = d = distancia

Módulo deldesplazamiento

Trayectoria


Física - 2do Sec.

Lectura

¡COGERCONLAMANOUNABALADISPARADA!

Durante la primera guerra mundial, según información de prensa, a un aviador francés le ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilómetros de altura, este aviador se dió cuenta de que junto a su cara se movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto, y, haciendo un ágil movimiento con la mano, lo cogió. Cual sería su sorpresa cuando comprendió, que lo que acababa de cazar era...... ¡una bala de fusil alemana!. ¿Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barón Münchhausen, que también aseguró haber cogido una bala de cañón con las manos?. No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala, no tiene nada de imposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800-900m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez más despacio y al final de su trayectoria, pero antes de empezar a caer, recorren solamente 40m. por segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Por consi-guiente, la bala y el aeroplano podían volar a una misma velocidad, en un momento dado, y, en estas condiciones, aquélla resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con guante (porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire). Si en condiciones determinadas una bala puede resultar inofensiva, también se da el caso contrario, es decir, el de un “cuerpo pacífico”, que lanzado a poca velocidad puede producir efectos destructores. Esto es lo que ocurrió cuando, durante la carrera automovilística Leningrado-Tiflis (en el año 1924), los campesinos de los pueblos del Cáucaso saludaban a los automovilistas, que junto a ellos pasaban a gran velocidad, arrojándoles sandías, melones y manzanas. El efecto que produjeron estos inesperados obsequios fue bastante desagradable. Las sandías y los melones abollaban, hundían y hasta rompían las carrocerías de los coches, mientras que las manzanas lesionaban seriamente a los pasajeros. La causa es comprensible. La velocidad que llevaban los automóviles se sumaba a la de las propias sandías o manzanas y convertía a éstas en peligrosos proyectiles destructores. No es difícil calcular, cómo una sandía de 4kg. lanzada al encuentro de un automóvil que marcha a 120km. por hora, desarrolla la misma energía que una bala de 10g. de peso.

Claro que, en estas condiciones, el efecto de penetración de la sandía no puede compararse con el de la bala, ya que la primera carece de la dureza de la segunda.

Las grandes velocidades alcanzadas por la aviación a reacción han dado lugar a que, en algunos casos, los choques entre aviones y pájaros motiven averías e incluso catástrofes de aviación. Cabe preguntarse, ¿qué peligro puede representar un pajarillo para una aeronave capaz de transportar decenas de pasajeros? Sin embargo, cuando el avión desarrolla velocidades de 300-500 m/seg, el cuerpo del pájaro puede perforar la cubierta metálica de aquél o los cristales de la cabina del piloto o, si acierta a entrar por la tobera del motor, inutilizarlo por completo. A causa de un choque de este tipo, en 1964 pereció el cosmonauta norteamericano Theodore Fryman, cuando realizaba un vuelo de entrenamiento en un avión a reacción. El peligro de estos encuentros se agrava por el hecho de que los pájaros no temen a los aviones y no se apartan de ellos.

fig. Las sandías lanzadas al encuentro de los veloces automóviles se convierten en “proyectiles”

37

Física - 2do Sec.




4) Una piedra fué lanzada como se muestra en la figura. Trace el desplazamiento; cuando la piedra alcanza

su máxima altura; y cuando logra el mayor alcance.

4) Una araña recorre la cuarta parte de una circunferencia de radio 2m. Determine e l recorrido y la distancia.

1) La figura muestra la trayectoria de una bala que pasa por los puntos A, B, C, D y E. Respecto del sistema coordenado trace el vector posición para los puntos A; B; C; D y E.

1) Miguel sale del punto A, pasa por los puntos B y C hasta llegar al punto D. Determine la distancia entre los puntos inicial y final. ¿Qué longitud recorre?

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Si Marco que estaba en “A” para llegar al punto “C” tuvo que pasar por “B”. Determine el recorrido y la distancia.

5) Un hombre sale de su cabaña con dirección hacia el Este desplazándose 26km luego cambia su dirección hacia el Norte caminando 8km. más, finalmente cambia su dirección hacia el Oeste caminando 20km. ¿A qué distancia de su cabaña se encuentra?.

2) La figura muestra la trayectoria de una partícula que pasa por los puntos A; B;C;D;E y F. Trace el desplazamiento entre los puntos:A y B; A y C; A y D; B y D; B y E.

2) María sale del punto A, pasa por los puntos B, C, D y E hasta llegar al punto F. Determine el recorrido y la distancia.

6) José sale del punto A, pasa por los puntos B y C hasta llega al punto D. Determine la distancia entre los puntos A y D. ¿Qué longitud recorre?

6) Pedro sale de casa con dirección al Oeste caminando 6 km y luego cambia de dirección hacia el Norte caminando 8km. más. Determine el recorrido y el módulo del desplazamiento.

3) Una esfera es soltada en el punto A de una superficie cilindrica tal que logra llegar al punto B. Trace el desplazamiento que la esfera realizó durante todo su movimiento.

3) Una hormiga recorre 3/4 de una circunferencia de radio 8m. Determine el recorrido y la distancia.

X(m)

Y(m)

reloj

O

AB

CD

E

(t=1s)(t=2s)

(t=3s)

(t=4s)

(t=5s)

A B

C D

E F

A

B

R

R

o

B

A C

12m5m

5m

17m

5m

A B

CD

6km

15km

AB

C D

7km

10m

18m

AB

C D

6m 6mEF

10m

A

A

B

O


Física - 2do Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Un explorador sale de su cabaña con dirección ha-cia el Este caminando 180 m en línea recta; luego se dirige al Sur caminando 60 m; para finalmente recorrer 100 m en dirección hacia el Oeste. Deter-mine el recorrido y el módulo del desplazamiento.

a) 340 - 100 m b) 150 - 50 m c) 380 - 90 md) 1000 - 50 m e) 320 - 120 m

Un insecto se traslada desde el punto A=(4;1) hasta el punto B=(7;5). Si la longitud se expresa en metros, determine el módulo del vector desplazamiento.

a) 7m b) 5m c) 4md) 3m e) 1m

Una esfera es dejada en libertad en el punto A de una superficie cilindrica de radio R=2m.Determinar el módulo del desplazamiento experi-mentado hasta el instante que sale de la superficie. a) pmb) 2pmc) 2md) 2 2me) 2 mp

La figura muestra el recorrido de una liebre, que sale desde A pasa por B y C hasta llegar al punto D. ¿Qué longitud recorre la liebre? ¿A qué distancia del punto de origen A, se encuentra ahora la liebre?

a) 18mb) 15 mc) 13 md) 12 me) 10m

A B

CD

12m 18m

5m

AR

R

O

B

39

Física - 2do Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Una partícula parte del punto D(1;0) y se mueve hacia el punto 0(0; 0) siguiendo la trayectoria DBO. Determinar la longitud de su recorrido y el módulo de su desplazamiento.

a) 1 m; 1m4p +

b) 2m; m

4p

c) 2m; 2m

d) 1 m; 2m4p +

e) 1 m; m8p + p

Una hormiga recorre la trayectoria mostrada desde el punto A hasta el punto D. Determine el recorrido y el módulo del desplazamiento.

a) 2p; 6m b) p+4; 8m c) 2p; 8md) 2p+4; 8m e) 4p+2; 6m

Una paloma recorre la sexta parte de una circunferencia de radio 6m. Determine el recorrido y la distancia.

a) 6m; 6mb) 2m; 6pmc) 6pm; 2pmd) 2pm; 6me) 6m; 2pm

Una persona sobre un bote que reposa en un lago empieza a remar, dirigiéndose 6m. al Oese y de inmediato rema dirigiéndose 8m. al Norte. Determinar el recorrido y la distancia desplazada por el bote.

a) 6m; 8m b) 10m; 15m c) 10m; 14md) 8m; 10m e) 14m; 10m

A

B

OX

Y 2m2m 2m

A B O C D

O A

B

129

Física - 2do Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Halla la carga final que posee cada cuerpo después de separarlos:

a) - 1b) - 4c) - 2d) - 5e) - 3

q = + 11C q2 = - 17C

+ ++ +

- -- -

Calcula la carga final que posee cada cuerpo después de separarlos.

a) - 5b) + 5c) - 4d) + 4e) - 3

q1 = - 10C q2 = + 20C

+ ++ +

- -- -

Del problema 5(profesor), ¿cuánto es la carga del sistema?

a) + 6 b) + 5 c) - 6d) - 3 e) - 5

Del problema 5(alumno), ¿cuánto es la carga del sistema?

a) - 6 b) +10 c) - 5d) + 8 e) - 10


Física - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Se tiene una esfera metálica con + 20. Calcula la carga que debe ganar para quedar eléctricamente neutra si la conectamos a tierra.

a) - 10 Cb) - 40 C c) - 20 Cd) - 50 Ce) - 30 C

+ ++ +

Se tiene una esfera metálica con + 40. Calcula la carga que debe ganar para quedar eléctricamente neutra si la conectamos a tierra.

a) - 10 Cb) - 40 Cc) - 20 Cd) - 50 Ce) - 30 C

+ ++ +

Del problema 7 (alumno), calcula la cantidad de electrones que gana.

a) 2 x1020 b) 2,5 x 1021 c) 2,5 x1020

d) 3 x 1020 e) 2 x 1021

Del problema 7 (profesor), la cantidad de electrones ganados es:

a) 1 x 1020 b) 2 x 1020 c) 1,25 x 1020 d) 2,5 x 1020 e) 1,5 x 1020

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