1

887110 Introduction to discrete

structureบทท�� 8 กราฟ

2

ภาพรวมเนื้��อหา• ก�าเนื้�ดของทฤษฎี�กราฟ• นื้�ยามและชนื้�ดของกราฟ• คำ�าศั#พท$เก��ยวก#บกราฟ (Graph

Terminology)• การเช��อมต่&อของกราฟ (Connectivity)

3

ก�าเนื้�ดของทฤษฎี�กราฟ• เกิ�ดขึ้��นเมื่�อ ค.ศ. 1736 โดยน�กิคณิ�ตศาสตร์�ชาว

สว�สเซอร์�แลนด� ช�อ เลออนฮาร์�ด ออยเลอร์� (Leonhard Euler)

• ออยเลอร์� ได สร์ างทฤษฎี&ท&�เร์&ยกิว'า ทฤษฎี&ออย“เลอร์� ” (ทฤษฎี&กิร์าฟ) ขึ้��นมื่าเพื่�อแกิ ปั+ญหาสะพื่านเคอน�กิส�เบอร์�กิ “Konigsberg Bridge problem” ได เปั0นผลส2าเร์3จ

• ด�งน��น ออยเลอร์� จ�งได ช�อว'าเปั0นบ�ดาขึ้องทฤษฎี&กิร์าฟ

4

ก�าเนื้�ดของทฤษฎี�กราฟ• ปั+ญหาสะพื่านเคอน�กิส�เบอร์�กิ (Konigsberg)– มื่&เกิาะ 2 เกิาะ อย5'กิลางแมื่'น2�าพื่ร์&เกิล (Pregel) ในเมื่องเคอน�

กิส�เบอร์�กิ มื่&สะพื่าน 7 แห'ง เช�อมื่ร์ะหว'างเกิาะกิ�บแผ'นด�น ด�งร์5ปั

คำ�าถามคำ�อ เป็)นื้ไป็ได+ไหมท��คำนื้ๆหนื้-�งจะเด�นื้จากจ/ด“หนื้-�งแล+ววนื้กล#บมาท��จ/ดเด�มโดยข+ามสะพานื้ท#�ง 7 เพ�ยงสะพานื้ละ 1 คำร#�ง ”

5

ก�าเนื้�ดของทฤษฎี�กราฟ 2• ออยเลอร์�แกิ ปั+ญหาน&�โดยแปัลงเปั0นกิร์าฟ โดยใช

จ7ดยอดแทนพื่�นด�น และ เส นเช�อมื่แทนสะพื่าน ด�งร์5ปั

– ออยเลอร์�ท2ากิาร์พื่�ส5จน�เพื่�อยนย�นว'าเปั0นไปัไมื่'ได ท&�จะเด�นทางในล�กิษณิะด�งกิล'าว

– หากิจะท2าได กิร์าฟน&�จะต องมื่&จ2านวนเส นขึ้องแต'ละจ7ดเปั0นจ2านวนค5'

6

การป็ระย/กต่$ใช+งานื้ทฤษฎี�กราฟ• ปัร์ะย7กิต�ใช แกิ ปั+ญหาเคร์อขึ้'าย• กิาร์ออกิแบบวงจร์• กิาร์วางแผนกิาร์เด�นทาง• กิาร์จ�ดตาร์างเวลา• ฯลฯ

7

นื้�ยามของกราฟ• ข+อต่กลง– Family หมื่ายถึ�ง กิล7'มื่ขึ้องสมื่าช�กิ โดยท&�แต'ละสมื่าช�กิ

อาจซ2�ากิ�นได เช'น {a,a,a,b,c,c}– ส�ญล�กิษณิ� (a,b) แทนค5'ล2าด�บขึ้อง a และ b– ส�ญล�กิษณิ� {a,b} แทนค5'ไม&ล2าด�บขึ้อง a และ b

8

นื้�ยามของกราฟ• นื้�ยาม 1 กิร์าฟ G ปัร์ะกิอบด วยค5'ล2าด�บขึ้องเซต

(V(G),E(G))– V(G) คอ เซตจ2ากิ�ดท&�ไมื่'เปั0นเซตว'างขึ้องจ7ดยอดต'างๆ ขึ้องกิร์าฟ

(vertex)– E(G) คอ เซตขึ้องเส นเช�อมื่ (edge) ร์ะหว'างค5'ขึ้องจ7ดยอดใน

กิร์าฟ• ต่#วอย&าง ให G เปั0นกิร์าฟกิ2าหนดโดย V(G) = {u, v, w,

z} และ E(G) = {{u,v} , {v,w} , {v,w} , {u,w} , {w,z} ,

{u,u}} จะได กิร์าฟ G ด�งร์5ปั

9

นื้�ยามของกราฟ• หมายเหต่/– เพื่�อความื่สะดวกิเร์าสามื่าร์ถึเขึ้&ยนแทนเส นเช�อมื่

{u,v} ด วย uv ด�งน��นE(G) = {{u,v} , {v,w} , {v,w} , {u,w} ,

{w,z} , {u,u}} สามื่าร์ถึเขึ้&ยนแทนด วยE(G) = {uv , vw , vw , uw , wz ,uu}

– ในกิาร์เขึ้&ยนแผนภาพื่ขึ้องกิร์าฟ • จะกิ2าหนดจ7ดยอดท&�ต2าแหน'งใดกิ3ได • จะลากิเส นเช�อมื่ขึ้องกิร์าฟเปั0นเส นตร์งหร์อเส นโค งท&�มื่&ความื่

ยาวเปั0นเท'าใดกิ3ได • เช'น กิาร์ลากิเส นเช�อมื่ ab เร์าสามื่าร์ถึท2าได ด�งน&�

10

นื้�ยามของกราฟ• หมายเหต่/ (ต่&อ)– เส นเช�อมื่ 2 เส นขึ้องกิร์าฟ อาจลากิต�ดกิ�นได – จ7ดต�ดขึ้องเส นเช�อมื่ท��งสองไมื่'ถึอว'าเปั0นจ7ดยอดขึ้อง

กิร์าฟ

– สามื่าร์ถึเขึ้&ยนภาพื่ขึ้องกิร์าฟได หลายแบบ เช'น กิ2าหนดกิร์าฟ G เมื่�อ v(G) = {a,b,c} E(G) = {ab, ac, bc} สามื่าร์ถึเขึ้&ยนได หลายร์5ปัแบบ ด�งน&�

ไม&เป็)นื้จ/ดยอดของกราฟ

11

นื้�ยามของกราฟ• นื้�ยาม 2 วงวน (loop) คอ เส นเช�อมื่ท&�อย5'ในร์5ปั

uu หร์อ เส นท&�มื่&จ7ดต นจ7ดปัลายเปั0นจ7ดเด&ยวกิ�น• นื้�ยาม 3 เส นขึ้นาน (parallel edges) หร์อเส น

หลายช��น (multiple edges) คอ เส นเช�อมื่ท&�มื่&มื่ากิว'า 1 เส นท&�เช�อมื่จ7ดค5'เด&ยวกิ�น

วงวนื้

เส+นื้ขนื้านื้

12

ชนื้�ดของกราฟ• กราฟเช�งเด��ยว (Simple graph) คอ กิร์าฟท&�

ไมื่'มื่&เส นขึ้นานและไมื่'มื่&วงวน

• กราฟเท�ยม (Pseudograph) คอ กิร์าฟท&�มื่&วงวน

• กราฟผสม (Multigraph) คอ กิร์าฟท&�มื่&เส นขึ้นานและไมื่'มื่&วงวน

13

ชนื้�ดของกราฟ• นื้�ยาม 4 ถึ ากิร์าฟ G เปั0นกิร์าฟเช�งเด&�ยว เร์าจะ

เร์&ยกิกิร์าฟ G ว'าเปั0นกราฟสมบ4รณ์$ (Complete Graph) กิ3ต'อเมื่�อ ท7กิๆจ7ดขึ้องกิร์าฟมื่&เส นเช�อมื่หมื่ด

• จ�านื้วนื้เส+นื้ของกราฟ (kp) = p(p-1) / 2– เมื่�อ kp แทนกิร์าฟสมื่บ5ร์ณิ�ท&�มื่& p จ7ด– p แทน จ2านวนจ7ดยอดขึ้องกิร์าฟ

14

ชนื้�ดของกราฟ• กราฟท��ไม&ม�ท�ศัทาง (undirected graph)

คอ กิร์าฟท&�แต'ละเส นเช�อมื่ไมื่'มื่&ล5กิศร์ร์ะบ7ท�ศทางกิ2ากิ�บอย5'

• กราฟท��ม�ท�ศัทาง (directed graph) คอ กิร์าฟท&�แต'ละเส นเช�อมื่จะมื่&ล5กิศร์ร์ะบ7ท�ศทางกิ2ากิ�บอย5'

15

ด�กร�• เร์าเร์&ยกิจ7ดยอดสองจ7ดว'า ป็ระช�ดก#นื้

(adjacent) ถึ ามื่&เส นเช�อมื่เส นหน��งเช�อมื่ร์ะหว'างจ7ดท��งสอง

• เร์&ยกิจ7ดยอดท&�เปั0นจ7ดปัลายขึ้องเส นเช�อมื่ว'า ต่�ดก#บ (incident) เส นเช�อมื่น��น

• ต�วอย'าง เช'น กิร์าฟด�งร์5ปัจะบอกิได ว'า– V4 ปัร์ะช�ดกิ�บ v2– v2 ต�ดกิ�บ e2, e3 และ e6

16

ด�กร�ของกราฟไม&ม�ท�ศัทาง• ด�กร�(degree) ขึ้องจ7ด v มื่&ค'าเท'ากิ�บ จ2านวน

ขึ้องเส นเช�อมื่ท&�ต�ดกิ�บจ7ด v • ในกิร์ณิ&ท&�เส นเช�อมื่น��นเปั0นวงวนจะว'ามื่&ค'าเปั0น 2• ต�วอย'าง จากิกิร์าฟ ด�งร์5ปั พื่บว'า– ด&กิร์&ขึ้องจ7ด v1, v2, v3 และ v4 มื่&ค'าเปั0น 5, 3, 3 และ 1 ตามื่ล2าด�บ

• จ7ดยอดใดท&�มื่&ด&กิร์&เปั0น 1 จะเร์&ยกิว'า จ7ดค าง (pendant vertex)

• จ7ดยอดใดมื่&ด&ดร์&เปั0น 0 จะเร์&ยกิว'า จ7ดโดดเด&�ยว (isolated vertex) จากิร์5ปั– จ7ดค างคอ V4– จ7ดโดดเด&�ยว คอ v5

17

ต่#วอย&างกิร์าฟต'อไปัน&�จ7ดใดเปั0นจ7ดโดดเด&�ยว จ7ดใดเปั0นจ7ดค าง และจ7ดใดมื่&ด&กิร์&มื่ากิท&�ส7ด และกิร์าฟท&�กิ2าหนดให เปั0นกิร์าฟชน�ดใด

ต่อบ จ7ด i เปั0นจ7ดโดดเด&�ยว และ จ7ด a, d, j เปั0นจ7ดค างจ7ดท&�มื่&ด&กิร์&มื่ากิส7ดคอจ7ด g ซ��ง deg(g) = 5 กิร์าฟท&�กิ2าหนดให เปั0นกิร์าฟเท&ยมื่ (pseudograph)

น��นคอ มื่&วงวน(loop)

a

b c

df h

gji

e

18

ก�จกรรมจงพื่�จาร์ณิากิร์าฟเด�มื่อ&กิคร์��ง และหาจ2านวนด านท��งหมื่ด และผลร์วมื่ขึ้องด&กิร์&ขึ้องท7กิจ7ดในกิร์าฟว'าเท'ากิ�บเท'าไหร์'

a

b c

df h

gji

e

19

ด�กร�ของกราฟม�ท�ศัทาง• ด&กิร์&ขึ้องจ7ดในกิร์าฟท&�มื่&ท�ศทางน��น สามื่าร์ถึจ2าแนกิ

ได เปั0น– ด&กิร์&ขึ้าเขึ้ า (in-degree) คอ จ2านวนเส นเช�อมื่ท&�มื่&

ท�ศทางเขึ้ าส5'จ7ด ใช ส�ญล�กิษณิ� deg-(v)– ด&กิร์&ขึ้าออกิ (out-degree) คอ จ2านวนเส นเช�อมื่ท&�มื่&

ท�ศทางออกิจากิจ7ด ใช ส�ญล�กิษณิ� deg+(v)

20

ต่#วอย&าง• จงหาด&กิร์&เขึ้ าและด&กิร์&ออกิขึ้องจ7ด a, b, c, d ในกิร์าฟต'อ

ไปัน&�

deg-(a) = 1 , deg-(b) = 4 , deg-(c) = 0 , deg-(d) = 2

deg+(a) = 2 , deg+(b) = 2 , deg+(c) = 2 , deg+

(d) = 1

ab

cd

21

คำวามส#มพ#นื้ธ์$ของด�กร�ก#บจ�านื้วนื้เส+นื้เช��อม

• ทฤษฎี�บทท�� 1 (Handshaking Lemma) ผลร์วมื่ขึ้องด&กิร์&ขึ้องจ7ดท7กิๆจ7ดในกิร์าฟ

แบบไมื่'มื่&ท�ศทาง จะมื่&ค'าเปั0น 2 เท'าขึ้องจ2านวนเส นเช�อมื่ท��งหมื่ดในกิร์าฟ น��นคอ ถึ ากิร์าฟ G มื่& p จ7ดและ q เส น แล ว

22

ต่#วอย&างกิร์าฟท&�มื่&เส นเช�อมื่ 30 เส น และด&กิร์&ขึ้องท7กิจ7ดเท'ากิ�บ 4 จงหาว'า กิร์าฟน&�มื่&ท��งหมื่ดกิ&�จ7ดยอดว�ธ์�ท�า จากิทฤษฎี&บท : ผลร์วมื่ขึ้องด&กิร์&ท7กิจ7ดยอด = 2 x

จ2านวนเส นเช�อมื่สมื่มื่7ต�ให v แทนจ2านวนจ7ดยอด เมื่�อแทนค'าตามื่ทฤษฎี&บทจะ

ได 4v = 2 x 304v = 60 v = 60/4 = 15

ด�งน��น กิร์าฟน&�มื่&จ7ดยอดท��งหมื่ด 15 จ7ด

23

ต่#วอย&างผลกิาร์ส2าร์วจขึ้ อมื่5ลกิาร์ใช โทร์ศ�พื่ท�มื่อถึอขึ้องพื่น�กิงาน 20 คน ในบร์�ษ�ทแห'งหน��งในเดอนท&�ผ'านมื่า พื่บว'า พื่น�กิงาน 15 คน แต'ละคนค7ยโทร์ศ�พื่ท�ถึ�งเพื่�อนในบร์�ษ�ท 5 คน และ พื่น�กิงานอ&กิ 5 คนท&�เหลอ ค7ยโทร์ศ�พื่ท�กิ�บเพื่�อนในบร์�ษ�ท 3 คร์��ง จงหาจ2านวนกิาร์ใช โทร์ศ�พื่ท�มื่อถึอขึ้องพื่น�กิงานบร์�ษ�ทน&�ว�ธ์�ท�า แปัลงปั+ญหาเปั0นกิร์าฟ โดยให - จ7ดยอดแทนพื่น�กิงาน - เส นเช�อมื่แทนกิาร์ค7ยโทร์ศ�พื่ท�ขึ้องพื่น�กิงาน (n)แทนค'าในทฤษฎี&บท 1 จะได

15(5) + 5(3) = 2n75 + 15 = 2n

n = 45ด�งน��น จ2านวนกิาร์ใช โทร์ศ�พื่ท�ขึ้องพื่น�กิงานบร์�ษ�ทน&�คอ 45 คร์��ง

24

คำวามส#มพ#นื้ธ์$ของด�กร�ก#บจ�านื้วนื้เส+นื้เช��อม

• ทฤษฎี�บทท�� 2 (Directed Handshaking Lemma)

ในกิร์าฟแบบมื่&ท�ศทาง เมื่�อกิ2าหนดให กิร์าฟ G มื่&จ7ดแทนด วยเซต V และเส นเช�อมื่แทนด วยเซต E จะได ว'า Evvv

VvVvVv

)deg(2

1)(deg)(deg

25

คำวามส#มพ#นื้ธ์$ของด�กร�ก#บจ�านื้วนื้เส+นื้เช��อม

• ทฤษฎี�บทท�� 3 จ2านวนจ7ดท&�มื่&ด&กิร์&เปั0นเลขึ้ค&� ต องเปั0นเลขึ้ค5'

• ต่#วอย&าง จากิกิร์าฟด�งร์5ปั ให น�บจ2านวนเส นเช�อมื่ ผลบวกิด&กิร์&ขึ้องท7กิจ7ดยอด จ2านวนจ7ดยอดค&�

26

การพ+องร4ป็ของกราฟ• กิร์าฟ G1 และ G2 จะเท&ยบเท'ากิ�นหร์อเร์&ยกิว'าพ+อง

ร4ป็ก#นื้ (isomorphic) ถึ ากิร์าฟท��งสองมื่&ค7ณิสมื่บ�ต�ขึ้องกิร์าฟเหมื่อนกิ�น น��นคอ– กิร์าฟท��งสองมื่&จ7ดและเส นเช�อมื่คล องจองกิ�นจ7ดต'อจ7ด

และเส นต'อเส น• ต�วอย'าง กิร์าฟ (กิ) และ (ขึ้) พื่ องร์5ปักิ�น เพื่ร์าะ – มื่&จ7ด a,b และ c ตร์งกิ�บจ7ด 1,2 และ 3 ตามื่ล2าด�บ– มื่&เส นเช�อมื่ (a,b) และ (b,c) ตร์งกิ�บ (1,2) และ

(2,3)

27

ต่#วอย&างจงพื่�จาร์ณิาว'ากิร์าฟ G และ H พื่ องร์5ปักิ�นหร์อไมื่'

ว�ธ์�ท�า กิร์าฟท��งสองมื่&จ7ด 7 จ7ด และเส นเช�อมื่ 14 เส น ท7กิจ7ดมื่&ด&กิร์&เปั0น 4 เหมื่อนกิ�นแต'เร์าย�งไมื่'สามื่าร์ถึสร์7ปัได ว'ากิร์าฟท��งสองพื่ องร์5ปักิ�น จนกิว'าจะลองจ�บค5'จ7ดต'อจ7ดเส นต'อเส น- เร์��มื่ต นจ�บค5'จ7ด a ขึ้องกิร์าฟ G กิ�บ จ7ด 1 ขึ้องกิร์าฟ H แล วพื่�จาร์ณิาเส นเช�อมื่ ได เส นทาง

ด�งน&� G : g-e-d-b , H : 7-6-3-2 ด�งน��น จ�บค5' g กิ�บ 7, e กิ�บ 6, d กิ�บ 3 และ b กิ�บ 2

- จ7ดท&�เหลอขึ้องกิร์าฟท&�ย�งไมื่'ได จ�บค5'กิ�นคอ G: f , c กิ�บ H : 5 , 4 พื่บว'า f ต'อกิ�บ g-b-c-eส'วน 4 ต'อกิ�บ 5-6-2-3 ซ��ง f-g-b-e-d ถึ5กิจ�บค5'กิ�บ 4-7-2-6-3 ไปัแล ว ด�งน��น c ค5'กิ�บ 5

- จากิกิาร์พื่�จาร์ณิาท��งหมื่ดพื่บว'า เส นเช�อมื่ขึ้องสองกิร์าฟคล องจองกิ�น ด�งน��น กราฟนื้��พ+องร4ป็ก#นื้

28

ก�จกรรมจงพื่�จาร์ณิาว'า กิร์าฟท&�มื่&ท�ศทางท��งสองกิร์าฟด�งร์5ปั

พื่ องร์5ปักิ�นหร์อไมื่'

29

แนื้วเด�นื้• นื้�ยาม แนวเด�น W ในกิร์าฟ G คอ ล2าด�บสล�บขึ้อง

จ7ดและเส นขึ้องกิร์าฟ G ด�งน&�W : v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , …, vn-1, en , vn

ซ��งเส น e1 มื่&จ7ดปัลายคอ vi-1 และ vi ส2าหร์�บ 1 i n

30

ต่#วอย&างในอ2าเภอหน��งมื่&ต2าบลอย5' 5 ต2าบล ได แกิ' ต2าบล A, B, C, D และ E ร์ะหว'างต2าบลต'างๆจะมื่&ถึนนเช�อมื่ร์ะหว'างต2าบล ซ��งแสดงแผนผ�งเปั0นกิร์าฟ ด�งร์5ปั โดยให จ7ดยอดแทนต2าบล เส นเช�อมื่แทนถึนน

เร์าสามื่าร์ถึเขึ้&ยนแต'ละเส นทางเปั0นแนวเด�น ในร์5ปัล2าด�บขึ้องจ7ดยอดและเส นเช�อมื่ ด�งน&�เส นทางท&� 1 มื่&ล2าด�บคอ A, AB, B, BA, A, AD, D, DC, C, CD, D, DC, Cเส นทางท&� 2 มื่&ล2าด�บคอ A, AD, D, DB, B

31

วงจร• ส2าหร์�บแนวเด�นท&�มื่&เส นเช�อมื่แตกิต'างกิ�น โดยมื่&จ7ด

เร์��มื่ต นและจ7ดส7ดท ายเปั0นจ7ดเด&ยวกิ�น เร์าจะเร์&ยกิว'า วงจร หร�อ ว#ฏจ#กร (cycle)

• ต่#วอย&าง กิ2าหนดให กิร์าฟ G ด�งร์5ปั จงหาว'าแนวเด�นในขึ้ อใดเปั0นวงจร์

32

วงจร

ว�ธ์�ท�า พื่�จาร์ณิาแนวเด�นแนวเด�นน&�ไมื่'เปั0นวงจร์ เพื่ร์าะ จ7ดเร์��มื่ต นและจ7ดส7ดท ายคนละจ7ดกิ�น

ไมื่'เปั0นวงจร์ เพื่ร์าะมื่&เส นเช�อมื่ซ2�ากิ�น

ไมื่'เปั0น เพื่ร์าะมื่&เส นเช�อมื่ e7 ซ2�ากิ�น

เปั0น เปั0น

33

กราฟเช��อมโยง กราฟไม&เช��อมโยง• นื้�ยาม ให u และ v เปั0นจ7ดใดๆในกิร์าฟ G เร์า

กิล'าวว'า u และ v เช�อมื่โยงกิ�น (connect) เมื่�อมื่&แนวเด�น u-v ท&�ไมื่'ซ2�ากิ�น– ถึ ามื่&แนวเด�นร์ะหว'างจ7ดสองจ7ดใดๆแล ว กิร์าฟ G เปั0น

กิร์าฟเช�อมื่โยง (connected graph)– ถึ าไมื่'มื่&แนวเด�นร์ะหว'างจ7ดสองจ7ดใดๆแล ว กิร์าฟ G

เปั0นกิร์าฟไมื่'เช�อมื่โยง (disconnected graph)

34

ต่#วอย&าง• กิ2าหนดแผนผ�งขึ้องสวนสาธาร์ณิะ 2 แห'ง ด�งร์5ปั

จงพื่�จาร์ณิาว'าส'วนสาธาร์ณิะแห'งใดสามื่าร์ถึเด�นเท&�ยวชมื่บร์�เวณิสวนสาธาร์ณิะได ท7กิบร์�เวณิ

• ว�ธ์�ท�า เขึ้&ยนกิร์าฟแทนแผนผ�งส'วนสาธาร์ณิะท��ง 2 แห'ง ได ด�งน&�

35

ต่#วอย&าง• พื่�จาร์ณิากิร์าฟ G1 และ G2

• กิร์าฟ G1 เปั0นกิร์าฟเช�อมื่โยง เพื่ร์าะมื่&แนวเด�นไปัย�งท7กิจ7ด

• กิร์าฟ G2 เปั0นกิร์าฟไมื่'เช�อมื่โยง เพื่ร์าะไมื่'มื่&แนวเด�นท&�เช�อมื่ไปัย�งจ7ด C

36

ก�จกรรม• กิ2าหนดขึ้'ายงานกิาร์เช�อมื่โยงร์ะหว'างเสาโทร์ศ�พื่ท�

และ สายโทร์ศ�พื่ท� ด�งร์5ปั ถึ าเกิ�ดเหต7กิาร์ณิ�เสาโทร์ศ�พื่ท�ต นหน��งล มื่ จงหาว'าเสาโทร์ศ�พื่ท�ต นใด เมื่�อล มื่แล วจะท2าให กิาร์เช�อมื่โยงขึ้องขึ้'ายงานเส&ยหายมื่ากิท&�ส7ด

37

กราฟถ&วงนื้��าหนื้#กนื้�ยาม ค'าน2�าหน�กิ (weight) ขึ้องเส นเช�อมื่ e ในกิร์าฟ คอ จ2านวนท&�ไมื่'เปั0นลบท&�กิ2าหนดไว บนเส นเช�อมื่ eกราฟถ&วงนื้��าหนื้#ก (weight graph) คอ กิร์าฟท&�เส นเช�อมื่ท7กิเส นมื่&ค'าน2�าหน�กิต่#วอย&าง กิร์าฟถึ'วงน2�าหน�กิ