OPERACIONES CON

FUNCIONESUNIDAD 1

FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.3.1

J. POMALES / OCTUBRE 2009

INTRODUCCIÓN

• Hasta el momento hemos visto como las funciones sirven para representar procesos.

• Hoy trataremos a las funciones como objetos.• Al estudiarlas como objetos matemáticos, las

funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones.

SUMA DE FUNCIONES

• Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente)

• En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma.

• Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.

SUMA DE FUNCIONES

• Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo:

Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

SUMA DE FUNCIONES

• Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios.

• La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g.

• En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g

SUMA DE FUNCIONES

• Al lado aparecen tablas de valores para dos funciones f y g.

• Observa que estas funciones tienen sólo 3 elementos comunes en su dominios.

• Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir la nueva función f + g

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

¿Puedes identificar estos 3 elementos

comunes en el dominio?

SUMA DE FUNCIONES

• El dominio de f + g es {3, 9, 11}

• No es posible definir los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números.

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

SUMA DE FUNCIONES

• Naturalmente que si los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar.

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2 x (f + g)(x)

3 4 + 1 = 5

9 -1 + 0 = -1

11 3 + 1 = 4

Finalmente, en este caso si podremos sumar

aquellos valores donde los dominios eran comunes

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES

• De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división.

• Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero.

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

))(/( xgf

))(( xgf ⋅))(( xgf −

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

x (f - g)(x)

3 3

9 -1

11 2

x (f · g)(x)

3 4

9 0

11 3

311

43

(f / g)(x)x

Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida,

así que ese valor queda excluido en la división

DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES• Sean f y g funciones, y sea

D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x ∈ D.

• La función ( f / g )(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador

{x ∈ D | g ≠ 0}

( f + g )(x) = f(x) + g(x)

( f – g )(x) = f(x) - g(x)

( f ∙ g )(x) = f(x) ∙ g(x)

EN OTROS CASOS

• Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas.

• Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.

Si y realiza las siguientes operaciones

EJEMPLO

))(/(,))((,))((, xhfxhfxhf ⋅−

D = ℜ

( f + h )(x) = f(x) + h(x)= (3x3 + x2 – 4) + (5x + 1)

= 3x3 + x2 (+) –4 + 5x + 1

= 3x3 + x2 + 5x + –3

( f + h )(x)

f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1

EJEMPLO

D = ℜ

Si y realiza las siguientes operaciones

))(/(,))((, ,))(( xhfxhfxhf ⋅+

f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1

( f – h )(x)

( f – h )(x) = f(x) – h(x)= (3x3 + x2 – 4) – (5x + 1)

= 3x3 + x2 (+) –4 + –5x + –1

= 3x3 + x2 + –5x + –5

EJEMPLO

D = ℜ

Si y realiza las siguientes operaciones

))(/(, ,))((,))(( xhfxhfxhf −+

f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1

( f ∙ h )(x)

( f ∙ h )(x) = f(x) ∙ h(x)= (3x3 + x2 (+) –4) (5x + 1)

= 15x4 + 5x3 + –20x + 3x3 + x2 +–4

= 15x4 + 8x3 + x2 + –20x + –4

EJEMPLO

Si y realiza las siguientes operaciones

,))((,))((,))(( xhfxhfxhf ⋅−+

D = ℜ, pero x ≠ - 1 /5

(Dominio Restringido)

f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1

( f / h )(x)

( f / h )(x) = f(x) / h(x)

3x3 + x2 (+) –4

5x + 1=

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

• Utiliza las tablas de la izquierda para realizar las siguientes operaciones

x f(x)

-50 5

-20 3.2

-3 8

-1.1 -1

-1 4

0 3

2 10.5

e 9

17.3 6

41 -5

109 14

x g(x)

-50 4

-21 -8

-3 -3

-1.4 4

-1.2 7.2

10 8

2 0

e -1

16 -1

41 4

109 3.9

1. ( f + g )

2. ( f – g )

3. ( f ∙ g )

4. ( f / g )

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

• Utiliza las tablas de la izquierda halla los siguientes valores, si es posible

x f(x)

-50 5

-20 3.2

-3 8

-1.1 -1

-1 4

0 3

2 10.5

e 9

17.3 6

41 -5

109 14

x g(x)

-50 4

-21 -8

-3 -3

-1.4 4

-1.2 7.2

10 8

2 0

e -1

16 -1

41 4

109 3.9

5. ( g + f )(e)

6. ( g ∙ f )(-3)

7. ( g + g )(1)

8. ( f – f )(-20)

9. ( f / g )(0)

EJERCICIOS DE PRÁCTICA• Sean f(n) = 3n2 + 5n + 1 g(n) = 5n + 4

h(n) = en + 2 j(n) = 3en

Escribe en su forma más simple y especifica su dominio.

10. f + g

11. f ∙ g

12. g – f

13. f / g

14. g3

15. h ∙ j

16. h + j

17. j / h

18. h½

Dudas o Preguntas

REFERENCIAS

• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas

• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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CURSO:

FUNCIONES Y MODELOS

11mo Grado

Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel

Distrito Escolar de Naguabo

http://juanpomales.blogspot.com/