Upload
arrizal-muhaemin-yunus
View
230
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Jurnal 8
Citation preview
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 1
TUGAS MATA KULIAH MPMT5103
FONDASI MATEMATIKA DAN BUKTI DALAM MATEMATIKA
NAMA : ARRIZAL MUHAEMIN YUNUS
NIM : 500638209
EMAIL : [email protected]
PROGRAM : S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA ONLINE
TUGAS JURNAL 8 TENTANG DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
PENGERTIAN TURUNAN
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis
L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan
mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat
dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:
h
xfhxfmm
hL
hL
)()(limlim
00 1
.
Bentuk h
xfhxf
h
)()(lim
0
dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang dinotasikan
dengan
dx
dy, y’ ,
dx
df, atau f’(x).
Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva
fungsi tersebut.
Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa
tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.
L
L1
x x+ h
f(x+h)
f(x)
y = f(x)
Gambar 1.
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 2
Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak xxf )( , yang grafiknya diberikan
dalam gambar di bawah ini.
Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik
fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis
y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu
y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi xxf )( tidak
mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa
fungsi xxf )( tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.
Karena
11limlim|0|||
lim)0()0(
lim0000
hhhh h
h
h
h
h
fhf
dan
1)1(limlim|0|||
lim)0()0(
lim0000
hhhh h
h
h
h
h
fhf,
maka
h
fhf
h
fhf
hh
)0()0(lim
)0()0(lim
00
,
sehingga h
fhff
h
)0()0(lim)0('
0
tidak ada.
Contoh:
a. Tentukan garis singgung kurva 2xy di titik (2,4)
b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi 2xy mempunyai turunan ?
Penyelesaian:
a. Gradien garis singgung kurva 2xy di titik (2,4) adalah
m = 4)4(lim2)2(
lim)2()2(
lim)2('0
22
00
h
h
h
h
fhff
hhh.
Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah
44)2(44)( 00 xyxyxxmyy
b. Karena 0lim0
lim)0()0(
lim)0('0
22
00
h
h
h
h
fhff
hhh, maka 2xy
mempunyai turunan di x = 0.
Gambar 2.
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 3
Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan,
maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan
cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan
sifat dan rumus turunan.
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau dx
dy= anxn-1
2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku
a. y = ± v → y’ = v’ ± u’
b. y = c.u → y’ = c.u’
c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’
d. 2
' ''
v
uvvuy
v
uy
e. y = un → y’ = n. un-1.u’
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi.
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
)()( xfdx
dcxcf
dx
d
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
)()()()( xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d
3. Aturan selisih.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
)()()()( xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d
4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
)()()()()()( xfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d
5. Aturan hasil bagi.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
2)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgdx
dxfxf
dx
dxg
xg
xf
dx
d
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 4
6. Aturan Rantai.
Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan
fungsi.
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang
didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai
turunan, maka
dx
du
du
dy
dx
dy .
Bukti:
)('))(('
)()(lim.
))(())((lim
)()(lim.
)()(
))(())((lim
)()(.
)()(
))(())((lim
))(())((lim
)()(lim)('
00
00
0
00
xgxgf
t
xgtxg
p
xgfpxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgftxgf
t
thtxhxh
tp
tt
t
tt
GARIS SINGGUNG PADA KURVA
1. Gradien garis singgung
Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0)
maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan
gradient
)('
)()(lim
0
afm
h
afhafm
g
hg
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1)
adalah
y – y1 = m (x – x1)
y
x
B(a+h),f(a+h)
x=a x=a+h
A(a,f(a) g
y=f(x) Perhatikan gambar di samping
Gradien garis AB adalah
m AB = 12
12
xx
yy
= aha
afhaf
)(
)()(
= h
afhaf )()(
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 5
Contoh :
Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)
a. Tentukan gradient garis singgung di titik A.
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.
Jawab:
y = x2 – 3x + 4
y’ = 2x – 3
a. Gradien di titik A (3,4)
m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3
b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)
y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 3 (x – 3 )
y – 4 = 3x – 9
y = 3x – 5
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1
dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 f(x2) > f(x1) (gb. 1)
2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam
interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 f(x2) < f(x1) (gb. 2)
3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0
4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0
0
f(x1)
f(x2)
x
y
f(x1)
f(x2)
x1 x2 x1 x2 x
y
0
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 6
Contoh
Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan :
a. Fungsi naik
b. Fungsi turun
Jawab:
f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
f’(x) = 3x2 + 18x + 15
a. Syarat fungsi naik
f’(x) > 0
3x2 + 18x + 15 > 0
x2 + 6x + 5 > 0
(x+1) (x+5) > 0
Harga batas
x = -1 , x = -5
Jadi fungsi naik pada interval
x < 5 atau x > -1
NILAI STASIONER
Jenis – jenis nilai stasioner
1. Nilai stasioner di titik A.
Pada : x < a diperoleh f’(x) > a
x = a diperoleh f’(x) = a
x > a diperoleh f’(x) < a
Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai
stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.
2. Nilai stasioner di titik B dan D.
a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0
x = b diperoleh f’(x) = 0
x > b diperoleh f’(x) < 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b))
disebut titik belok.
b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0
x = d diperoleh f’ (x) = d
x > d diperoleh f’ (x) > d
-5 -1
a. Syarat fungsi turun
f’(x) < 0
3x2 + 18x + 15 < 0
x2 + 6x + 5 < 0
(x+1) (x+5) < 0
Harga batas
x = -1 , x = -5
Jadi fungsi naik pada interval
-5 < x < -1
-5 -1
a
0
A B
C
D y
x 0 x=a x=b x=c x=d
Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping
Pada titik A,B,C dan D dengan absis
berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d
menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c)
dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.
0
b
d
0 + +
- -
+ +
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 7
fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d))
disebut titik belok
Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.
3. Nilai stasioner di titik E
Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0
x = e diperoleh f’(x) = 0
x > e diperoleh f’(x) > 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))
disebut titik balik minimum.
Contoh :
Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x
Jawab : f(x) = x2 + 2x
f’(x) = 2x + 2
= 2(x + 1)
Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0
2(x + 1) = 0
x = -1
f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1
Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)
x = 1
x
2 ( x + 1 )
f’(x)
-1- -1 -1+
- 0 +
- 0 +
Bentuk grafik
Titik balik minimum
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :
1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu
diperoleh dari y = 0.
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.
3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.
Contoh :
Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3, tentukan :
a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y.
b. Nilai stasioner dan titik stasioner.
c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative.
d. Titik Bantu
- + 0
e
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 8
Jawab:
a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.
Y = 0 = 3x – x3
↔ 0 = x (3 – x2)
↔ 0 = x ( 3 - x ) ( 3 + x)
Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 ,0), (- 3 ,0)
ii. memotong sumbu y, jika x = 0
y = 3x – x3
y = 3.0 - 03
y = 0
titik potong sumbu y adalah (0,0)
b. Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0
f’ (x) = 3 – 3x2
↔ 3 (1 - x 2)
↔ 3 (1 – x) (1 + x)
x = 1, x = -1
untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2
x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2
nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2
titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)
c. y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga
y = -x3. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y
besar positif.
d. Titik Bantu
x -2 2 -3 3 …
, y 2 -2 18 -18 …
-2 -1 0 1 2
1
2
-√3 √3 x
y
-1
-2
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 9
INTEGRAL TAK TENTU
1. Pengertian integral
Untuk mengetahui pengertian integral, akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi
turunan yang telah dipelajari sebelumnya.
Definisi :
Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu
pada interval [a, b] diperoleh dx
xFd ))((= F’(x) = f(x). Antiturunan
dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis f(x) dx
Secara umum dapat kita tuliskan :
∫ f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C
Catatan:
f(x) dx : disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f(x) terhadap x”
f(x) : disebut integran (yang diitegralkan)
F(x) : disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok)
C : disebut konstanta / tetapan integrasi
Perhatikan tabel dibawah ini !
Pendiferensialan
F(x) F′(x) = f(x)
x2 + 3x
x2 + 3x + 2
x2 + 3x - 6
x2 + 3x + 3
x2 + 3x +C, dengan
C = konstanta R
2x + 3
2x + 3
2x + 3
2x + 3
2x + 3
Pengintegralan
Berdasarkan tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa dari F(x) yang berbeda diperoleh
F′(x) yang sama, sehingga dapat kita katakan bahwa jika F′(x) = f(x) diketahui sama, maka
fungsi asal F(x) yang diperoleh belum tentu sama. Proses pencarian fungsi asal F(x) dari
F′(x) yang diketahui disebut operasi invers pendiferensialan (anti turunan) dan lebih
dikenal dengan nama operasi integral.
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 10
Jadi, secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut:
Integral fungsi aljabar
1. k dx = k x + C
2. ,1
1
Cn
xdxx
nn
bila n ≠ -1
3. ,1̀
`1 cxn
adxax nn
dengan n 1
4. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
5. ,)()(. dxxfadxxfa dimana a konstanta sebarang.
Integral fungsi trigonometri
1. Cxdxx cos sin
2. Cbaxa
dxbax )cos(1
)sin(
3. Cxdxx sin cos
4. Cbaxa
dxbax )sin(1
)cos(
Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan
sebagai berikut berikut ini:
1. sin2x +cos2x = 1 4. sin x. cos x = 2
1sin 2x
2. sin2x = 2
1(1- cos 2x) 5. 1 – cos x = 2 sin2 x
2
1
3. cos2x = 2
1(1 + cos 2x ) 6. 1 + cos x = 2 cos2 x
2
1
Contoh soal :
1. 5x dx = C
x
6
6
2. 3 x dx = 3
1
x dx = Cxx
3
43
4
4
3
3
4
3. Cxxx
dxxx 32
5
3
2)352(
232
4. Cxxdxxxdx 2sin4
1
2
1)2cos1̀(
2
1sin 2
5. dx4 4x + C
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 11
2. Kegunaan integral tak tentu
Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu.
Perhatikan contoh berikut :
Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan
percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik.
Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut !
Penyelesaian:
Percepatan molekul a(t) = -12t +24
Sehingga : v = a dt
v = )2412( t dt
v = -6t2 + 24t + C
pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20
Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20
INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu dinotasikan dengan
b
a
xf )( dx = ba
xF )( = F(b) – F(a)
Keterangan:
f(x) adalah integran, yaitu f(x) = F’(x)
a, b adalah batas-batas pengintegralan
[a, b] adalah interval pengintegralan
Contoh soal :
1.
2
2
3x dx =
2
2
4
4
1
x =
44 )2(4
1)2(
4
1 = ( 4 – 4 ) = 0
2. )4(
2
0
2 xx dx =
2
0
23 23
1
xx =
2323 )0(2)0(
3
1)2(2)2(
3
1
= (8/3 + 8 ) – ( 0 + 0 ) = 10 3
2
3. x2
0
2cos
dx= )2cos1(2
12
0
x
dx = 2
0
2sin4
1
2
1
xx
=
)
2(2sin
4
1
2.
2
1 =
4)00(
4
1)0
2(
2
1
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 12
TEKNIK PENGINTEGRALAN
1. Integral Substitusi
Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep
dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk
yang lebih sederhana.
Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.
duufdxdx
duuf )(])([
Contoh soal :
a. Tentukan dxxx 42 )3(2 !
b. Tentukan xxx d cos.sin 3 !
Penyelesaian:
a. Misalkan u = 32 x , maka xdx
du2 atau
x
dudx
2
Sehingga diperoleh, dxxx 42 )3(2 = x
duux
2 2 4
= duu 4
= Cu 5
5
1
= Cx 52 )3(5
1
b. Misalkan u = sin x, maka xdx
du cos atau
x
dudx
cos
Sehingga diperoleh, xxx d cos.sin 3 = x
dux
cos cosu 3
= duu 3
= Cu 4
4
1
= Cx 4sin4
1
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 13
2. Integral Parsial
Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan
dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah
sebagai berikut.
y = u .v dy = du.v + u.dv
dy = v du + u dv
y = v du + u dv
u.v = v du + u dv
u dv = u.v - v du
pengintegralan parsial integral tak tentu pengintegralan parsial integral tertentu
u v′ = uv - u′v b
a
u v′ = bauv - b
a
u′v
u dv = uv - v du b
a
u dv = bauv - b
a
v du
Contoh soal :
Tentukan xx sin2 dx !
Penyelesaian:
Cara 1: dengan menggunakan rumus u dv = uv - v du
Misal : u = x2, xdxdu 2
dv = sin x dx xdxv sin = - cos x
sehingga diperoleh, xx sin2 dx = x2. (-cos x) - xdxx 2)cos(
= x2. (-cos x) + xdxx 2.cos
= - x2.cos x + 2 (x.sin x - xdxsin )
= - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk
menentukan integral parsial bentuk ,udv yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan
integral ke- k dari v selalu ada.
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 14
Cara 2:
Diturunkan Diintegralkan
+ x2 sin x
- 2x - cos x
+ 2 - sin x
- 0 cos x
Deferensialkan sampai nol
Sehingga diperoleh, xdxx sin2 = - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU.
1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah.
Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y
y
y y = f(x)
x=a x=b
0 x
0 x=a x=b x
y =f(x)
(a) ( b)
y y1 = f(x) y
y= sin x
y2 = g(x)
0 a b x 0 a b x
(c) (d)
Keterangan:
(a) Luas daerah di atas sumbu x
(b) Luas daerah di bawah sumbu x
(c) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva
(d) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 15
Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir :
LA = b
a
xf )( dx LB =
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
LC = dxyy
b
a
)( 21 LD = b
a
xdxsin
Contoh soal :
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
1. y =2x - 2, untuk 0 2 x
2. y1= x2 dan y2 = 2x +3
3. y = cos x, untuk2
3
2
x
Penyelesaian:
1. y =2x - 2
Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2
y= 2x-2
y L = L1 + L2
0 1 2 x
-1
-2
L1=
2
1
)22( dxx 2
1
2 2xx ( 22-12)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1
L2=
1
0
)22( dxx 11.212 21
0
2 xx
Jadi luas L=1+ 1 = 2 satuan luas
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 16
2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3
Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan
y2 = 2x + 3
y=2x+3
y
9 y=x2 menentukan batas-batasnya
y1 - y2 = 0 jadi diperoleh
x2 - 2x-3=0 x1= -1 dan x2= 3
(x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3)
sebagai batas atas.
-1 0 3
L =
3
1
2)32( xx dx
=
3
1
32
3
13
xxx =
)1.(
3
1)1.(313.
3
13.33 3232
=
)
3
131(9
= 103
2satuan luas
atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva
yang belum diketahui batas-batasnya).
L = 26a
DD
Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2, D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16
L = 3
210
6
64
)1.(6
16162
satuan luas
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 17
3. y = cos x
y L = - 2
3
2
cos
xdx = - 2
3
2
sin
x = -(sin 2
3 – sin
2
)
= - (-1 - 1)
= 2 satuan luas
1 y = cos x
0 2
2
3 x
PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU.
1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah.
Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y
y
y y = f(x)
x=a x=b
0 x
0 x=a x=b x
y =f(x)
(a) ( b)
y y1 = f(x) y
y= sin x
y2 = g(x)
0 a b x 0 a b x
(d) (d)
Keterangan:
(e) Luas daerah di atas sumbu x
(f) Luas daerah di bawah sumbu x
(g) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva
(h) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 18
Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir :
LA = b
a
xf )( dx LB =
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
LC = dxyy
b
a
)( 21 LD = b
a
xdxsin
Contoh soal :
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
1. y =2x - 2, untuk 0 2 x
2. y1= x2 dan y2 = 2x +3
3. y = cos x, untuk2
3
2
x
Penyelesaian:
1. y =2x - 2
Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2
y= 2x-2
y L = L1 + L2
0 1 2 x
-1
-2
L1=
2
1
)22( dxx 2
1
2 2xx ( 22-12)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1
L2=
1
0
)22( dxx 11.212 21
0
2 xx
Jadi luas L=1+ 1 = 2 satuan luas
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 19
2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3
Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan
y2 = 2x + 3
y=2x+3
y
9 y=x2 menentukan batas-batasnya
y1 - y2 = 0 jadi diperoleh
x2 - 2x-3=0 x1= -1 dan x2= 3
(x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3)
sebagai batas atas.
-1 0 3
L =
3
1
2)32( xx dx
=
3
1
32
3
13
xxx =
)1.(
3
1)1.(313.
3
13.33 3232
=
)
3
131(9
= 103
2satuan luas
atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva
yang belum diketahui batas-batasnya).
L = 26a
DD
Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2, D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16
L = 3
210
6
64
)1.(6
16162
satuan luas
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 20
3. y = cos x
y L = - 2
3
2
cos
xdx = - 2
3
2
sin
x = -(sin 2
3 – sin
2
)
= - (-1 - 1)
= 2 satuan luas
1 y = cos x
0 2
2
3 x
Tugas membuat catatan
Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 21
2. Penggunaan integral tertentu, untuk menghitung volume benda putar.
Pengertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh 360o,
terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan
gambar berikut:
BENTUK BIDANG DATAR HASIL PENGAMATAN
1. A
B C
2. C
B D
3. K L
M N
1. ▲ABC diputar dengan AB
sebagai pusat sumbu putar.
A
C′ C
2. ▲BCD, diputar dengan BD
Sebagai pusat sumbu putar.
C
D
C′
3.Persegi panjang ABCD diputar
dengan KM sebagai pusat sumbu
putar.
K
L
M N
B
B