845 Ekonomija Amortizacija Zajma SRB 16str

8/6/2019 845 Ekonomija Amortizacija Zajma SRB 16str

http://slidepdf.com/reader/full/845-ekonomija-amortizacija-zajma-srb-16str 1/16

BESPLATNI GOTOVI SEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKIRAD.

RADOVI IZ SVIH OBLASTI, POWERPOINT PREZENTACIJE I DRUGIEDUKATIVNI MATERIJALI.

WWW.SEMINARSKI-RAD.COMWWW.DIPLOMSKI-RAD.COMWWW.MATURSKI-RAD.COM

NA NAŠIM SAJTOVIMA MOŽETE PRONACI SVE BILO DA JE TOSEMINARSKI,DIPLOMSKIILI MATURSKI RAD, POWERPOINT PREZENTACIJA I DRUGIEDUKATIVNI MATERIJAL. ZA RAZLIKU OD OSTALIH MI VAM PRUŽAMO DA

POGLEDATE SVAKI RAD NJEGOV SADRŽAJ I PRVE TRI STRANE TAKO DAMOŽETE TACNO DA ODABERETE ONO STO VAM U POTPUNOSTIODGOVARA. U NAŠOJ BAZI SE NALAZEGOTOVI SEMINARSKI,DIPLOMSKI I MATURSKI RADOVI KOJE MOŽETE SKINUTI I UZ NJIHOVUPOMOC NAPRAVITI JEDINISTVEN I UNIKATAN RAD. AKO UBAZINE NADJETERAD KOJI VAM JE POTREBAN, U SVAKOM MOMENTU MOZETE NARUCITI DASE IZRADI NOVI UNIKATAN SEMINARSKI ILI NEKI DRUGI RAD NA LINKUNOVI RADOVI. SVA PITANJA I ODGOVORE MOŽETE DOBITI NA NAŠEMFORUMU. ZA BILO KOJI VID SARADNJE ILI REKLAMIRANJA MOZETE NASKONTAKTIRATI [email protected]

http://www.seminarski-rad.com/

http://www.diplomski-rad.com/

http://www.maturski-rad.com/

http://www.seminarski-rad.com/index.php?option=com_content&view=article&id=79:seminarski-baza-radova&catid=34




http://www.seminarski-rad.com/index.php?option=com_rsform&Itemid=171

http://www.seminarski-rad.com/index.php?option=com_agora&Itemid=185

mailto:[email protected]

http://www.diplomski-rad.com/

http://www.maturski-rad.com/





http://www.seminarski-rad.com/index.php?option=com_rsform&Itemid=171

http://www.seminarski-rad.com/index.php?option=com_agora&Itemid=185

mailto:[email protected]






SADRŽAJ:

KREDIT – ZAJAM – AMORTIZACIJA ZAJMA..........................................41.1. KREDIT SA JEDNAKIM OTPLATAMA ......................................................................41.2. KREDIT SA JEDNAKIM ANUITETIMA .................................................................... 8

UPOREĐIVANJE KREDITA SA JEDNAKIM OTPLATAMA I KREDITASA JEDNAKIM ANUITETIMA......................................................................12Literatura:..........................................................................................................17[1] Miodrag Ivović, Branislav Boričić, MATEMATIKA ZAEKONOMISTE, Bijeljina, 2004.......................................................................17[2] Milošević V., Ivović M., Nenadović R., Simić K., MATEMATIKA SAZBIRKOM ZADATAKA, zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd1997.....................................................................................................................17



KREDIT – ZAJAM – AMORTIZACIJA ZAJMA

Kreditni odnosi se uspostavljaju između dužnika i poverioca, a nastaju kada dužnik, pod

određenim ugovornim uslovima, od poverioca uzme određenu sumu novca na zajam. Ovusumu sa pripadajućom kamatom dužnik poveriocu vraća u ugovorenom roku kroz određeni broj rata.

Uobičajeno je da se ugovara vraćanje kredita kroz određeni broj godišnjih ili mesečnihrata čije iznose nazivamoanuitetom. Anuiteti mogu ali ne moraju biti isti u svim otplatnim periodima. Kamata se najčešće otplaćuje zajedno sa glavnicom, ali može se ugovarati idrugačije vraćanje kredita. Ako se kamata vraća zajedno sa glavnicom, onda se svaki anuitetsastoji od dela otplate i date kamate. Vremenski interval jednog otplatnog perioda, poredgodine i meseca, može biti i bilo koji vremenski interval.

Vraćanje zajma-kredita, obično se nazivaamortizacijom zajma, može se realizovati naviše načina. Kredit se može amortizovati jednakim ili nejednakim anuitetima. Dogovoromizmeđu dužnika i poverioca određuje se ne samo broj već i vrsta anuiteta.

Ako se kredit vraća pomoću nejednakih anuiteta, onda su oni najčešće rastući, odnosnoopadajući po aritmetičkoj ili geometrijskoj progresiji. Anuiteti mogu biti opadajući i zbog, unjima, udela kamate koja se , iz anuiteta u anuitet, smanjuje zbog smanjenja ostatka duga i pored toga što je u svakom od njih otplata ista.

U ovoj glavi prvo će biti obrađen kredit koji se realizuje jednakim otplatama, alirazličitim anuitetima, kod kojeg se za sva izračunavanja koristi samo aparatura prostoginteresa. Zatim, kredit sa jednakim anuitetima i na kraju krediti po kojima otplate obrazujuaritmetičku, odnosno geometrijsku progresiju.

1.1. KREDIT SA JEDNAKIM OTPLATAMA

Ako se kredit od K n.j. realizuje san nejednakih anuiteta u kojima su otplate jednake isa godišnjom kamatnom stopom p, onda se kamata za ovu vrstu kredita izračunava tako štose, u prvom otplatnom periodu ona izračunava na ceo dug, u drugom na dug umanjen za jednu

otplatu, ,n K

. . . uk -tom periodu izračunava na dug umanjen za (k – 1) otplatu i tako sve dovraćanja poslednjegn-tog anuiteta. Za ovaj kredit iz same definicije kamate sledi tvrđenje

Teorema 1. Pripadajući interes (kamata) k-tom anuitetu, u slučaju da su anuiteti godišnji, iznosi

(1) ,1,1

1 nk pn

k K I k ≤≤

−−=

4



a za slučaj da su anuiteti mesečni, iznosi

(1´) .1,12

11 nk

pn

k K I k ≤≤

−−=

Teorema 2. Ukupna kamata koju dužnik daje poveriocu sa vraćanjem celog duga, sa n- godišnjih anuiteta, iznosi

(2) ,2

)1( += n Kp I

a sa n-mesečnim anuitetima iznosi

(2´) .24

)1( += n Kp I

Dokaz. Ukupna kamata je zbir svih pripadajućih kamata svakog od anuiteta, odnosnoukupna kamata je

.)1(11

111

−+=

−+= ∑∑

==

n

k

n

k

k n

n pn

k K I

Kako je, na osnovu formule za zbir n prvih članova aritmetičke progresije

∑=

−=−n

k

nn

k 1

)1(2

)1( , to je ukupna kamata

.2

)1()1(

21 +=

−⋅+= n Kp

nn

nn Kp I

Ako su anuiteti mesečni, onda se za kamatnu stopu p uzima12

p . Primer. Izračunati ukupnu kamatu na kredit od 100 n.j. sa godišnjom kamatnom stopom

od 8%, uzetog na pet: a) godišnjih, b) mesečna rata. Rešenje. a) Prema (2) ukupna kamata za 5 godina iznosi

2608,0100 ⋅⋅= I = 24 n.j..

b) Prema (2´) ukupna kamata za 5 godina iznosi

24608,0100 ⋅⋅= I = 2 n.j..

Anuiteti za ovaj kredit, izračunati ovim matematičkim modelom, nisu jednaki i oni sedobijaju sabiranjem kamate dobijene formulom (1), odnosno (1´), i otplate koja je za svakianuitet ista i iznosi

n

k .Kod ove vrste kredita formule za izračunavanje anuiteta daje:

Teorema 3. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n-rata uz godišnju kamatnu stopu p,tada su iznosi anuiteta a k , k = 1,2, ...,n toga kredita sa n-godišnjih rata

(3) ,1

1

−−+=

nk

Kpn

K a k 1 ≤k ≤ n,

a sa n-mesečnih rata

(3´) ,1

112

−−+=

nk Kp

n K

a k 1 ≤k ≤ n.

Tačnost ove teoreme sledi direktno iz definicija anuiteta i kamate.

5



Teorema 4. Anuiteti a k , k = 1,2, ...,n ove vrste kredita obrazuju opadajuui aritmetičku

progresiju razlike d = -n

Kp.

Dokaz. Kako je za svakok = 1,2, ...,n razlika dva uzastopna člana

.

1

111 n

Kp

n

k

Kpn

K

n

k

Kpn

K

aa k k −=

−−+−

−+=−+

stalna veličinan

Kp− , to članovi obrazuju aritmetičku progresiju.

Vidimo da su kod anuiteta ove vrste kredita prvi sabircink uvek isti i da oni

predstavljaju otplate, a da se drugi sabirci smanjuju iz anuiteta u anuitet i da oni predstavljajutom anuitetu odgovarajuću kamatu.

Na ovakav način izračunati i napisati anuiteti daju jasan postupak načina razbijanja,razdvajanja, anuiteta na otplatu i kamatu.

Iznos anuiteta, kamate i otplate za jedan kredit i njihovi međusobni odnosi najbolje se

sagledavaju na konkretnom primeru, tj. na njegovom amortizacionom planu. Ako je izračunatianuitet u saglasnosti sa vrstom kredita, onda je u amortizacionom planu zbir svih kamata jednak ukupnoj kamati i zbir svih otplata jednak pozajmljenom kapitalu, kao i da je poslednjestanje duga jednako nuli.

Ovo ćemo ilustrovati amortizacionim planom kredita od 100 n.j. uzetog na 5 godina (5meseci) sa godišnjom kamatnom stopom od 8%.

U tabeli 1. prikazan je plan kredita koji se realizuje za 5 godina, a u tabeli 1´ plankredita koji se realizuje za 5 meseci.

Tabela 1.

godina otplata kamata anuitet stanjeduga

12345∑

2020202020100

8,06,44,83,21,624,0

28,026,424,823,221,6124

100806040200

6



Tabela 1´

godina otplata kamata anuitet stanjeduga

12345∑

2020202020100

0,670,530,400,270,132,00

20,6720,5320,4020,2720,13102,00

1008060402000

U tabeli 1, a i tabeli 1´, u kolonama koje predstavljaju anuitete, otplatu i kamatu,očigledno je da su ispunjeni svi ranije pomenuti uslovi: zbir anuiteta jednak je dugu, zbir kamata jednak je ukupnoj kamati, zbir otplata jednak je pozajmljenom kpitalu, a i poslednjestanje duga jednako je nuli.

Ovaj raspored ne samo da je u skladu sa definicijom otplate i kamate, već je ugrađen i usam matematički model izračunavanja ovih veličina, pa su tako njime jednoznačno određeni iotplata i kamata. Sve druge metode koje bi anuitete ujednačavale ili ih još više izdeferencirali,ne bi bile u skladu sa ovim načinom izračunate kamate. Anuiteti mogu biti i jednaki i još višeizdiferencirani ali se za takve anuitete kamata izračunava na sasvim drugi način.

Sada ćemo ukazati na neke nelogičnosti koje nastaju kada se dužniku ukupni interesizračuna po formulama (1) ili (1´), a anuiteta mu se odredi uprosečenjem duga i ukupnoginteresa po formuli

(4)n

I K a += ,

gde je K kapital, I ukupni interes izračunat formulom (1) ili (1´), an broj otplata.Ako bi dužnik vratio ceo kredit sa anuitetima izračunatim po formuli (4), onda bi njemu

deo obaveze iz prvih otplatnih perioda bio pomeren za kasnije, što bi mu olakšalo vraćanjekredita, praktično dodatnim beskamatnim kreditiranjem. Ovaj način određivanja anuiteta ne bitrebao da odgovara kreditoru jer, prvo, dodatno beskamatno kreditira dužnika i drugo, on pravi poremećaje u odnosu na otplatu i kamatu na štetu otplate, što nije beznačajno.

Problem ovakvog kredita sa ovakvim anuitetima je u tome što je u formuli zaizračunavanje ukupne kamate poštovan jedan princip u stvaranju anuiteta, a u formuli (4) sekoristi drugi princip za razbijanje anuiteta na kamatu i otplatu.

Ovaj problem zaslužuje veću pažnju s obzirom da se ovaj način izračunavanja anuiteta

nalazi u skoro svim udžbenicima u kojima se obrađuje ova materija, što znači da ga,verovatno, i banka koristi. O kakvim se problemima radi najbolje se može ilustrovati naranijem primeru kredita, formiranju tabele 2.

Ako bi se anuiteti izračunali po problematičnoj formuli (4) onda su oni prikazani u 7.koloni i oni su svi jednaki 24,80 n.j., a ako se oni izračunavaju po formuli (3) onda oni trebaredom da iznose 28,00; 26,40; 24,80; 23,20; ....,21,60 dunara i prikazani su u 4. koloni.Odavde vidimo da je dužniku ovim načinom izračunavanja anuiteta, u prvoj rati odloženovraćenje duga, od 3,2 n.j., u drugoj 1,6 n.j., za kasnije periode, što je ustvari dodatno beskamatno kreditiranje. Kako je ovo bio primer kredita od 100 n.j. to su iznosi odlaganjaduga od 3,2; i 1,6 n.j. istovremeno i iznosi u procentima odloženog duga, što nikako nijezanemarljivo.

7



Tabela 2.

g. kam. otp. an. kam. otp. an. s.d.1

12345∑

2

8,06,44,83,21,624

3

2020202020100

4

28,026,424,823,221,6124

5

8,006,665,203,641,9425,44

6

16,8018,1419,6021,1622,8698,56

7

24,824,824,824,824,8124

8100

83,2065,0645,4624,301,44

0

Ovde postoji još jedan važan problem koji se lepo vidi iz prethodnog amortizacionog plana. Kod ovoga kredita ukupna kamata je 24 n.j., a sa metodologijom uprosečenja pomoćuformule (4) od ukupno vraćenog duga za kamatu se izdvaja 25,44 n.j., znači 1,44 n.j. više, dok se za sve otplate izdvaja 98,56 n.j. što je za 1,44 n.j. manje. Znači ovde je 1,44 n.j. iz otplate prešlo u kamatu! Ovo je očigledan nesklad sa definicijom pomenutog kredita.

1.2. KREDIT SA JEDNAKIM ANUITETIMA

Amortizacija kredita (zajam) metodom jednakih anuiteta je način da dužnik poveriocuvrati dug (pozajmljeni iznos) kroz dogovoreni broj jednakih anuiteta.

Prvi problem koji se ovde javlja je kako izračunati taj anuitet kojim će se amortizovati(vratiti) zajam zajedno sa pripadajućom kamatom kroz ugovoreni broj otplatnih perioda.

Ako se radi o kreditu sa jednakim anuitetima onda važi:

Teorema 5. Ako se realizuje kredit od K n.j. sa godišnjom stopom p i sa n-godišnjih i jednakih anuiteta, onda se anuitet izračunava po formuli

(5) ( )( ) 11

1

−++= n

n

p

p Kpa ,

ili

(5´) ( ) n p Kp

a −+−=

11.

Dokaz. Ako označimo saa anuitet koji realizuje vraćanje glavnice K zajedno sakamatom krozn istih iznosa, onda je stanje dugaS k , k= 1,2, ....,n iz perioda u period jednako

.0)1(,)1(

)6(,)1(

,)1(

1

21

12

1

=−+=−=+=

−+=−+=

−

−−

a pS S a pS S

a pS S a p K S

nn

nn

Kako se amortizacija kredita završava sa poslednjimn-tim anuitetom, to je stanje duga

posle vraćanja poslednjeg anuiteta0

=nS

.

8



Ako se u sistemu jednačina (6) veličineS 1 ,S 2 ,...,S n-1 , eliminišu, tj. vrednostS 1 iz prve jednačine zameni u drugoj, zatim iz izmenjene druge vrednostiS 2 zameni u trećoj i takoredom do pretposlednje iz koje se vrednostiS n-1 zamenjuje u poslednjoj jednačini. Na ovajnačin se dobija jednakost

( )( ) ,0)1()1())1(( =−+−+−+ a pa pa p K

u kojoj figurišu samo veličine K, p, i a.Ova jednakost posle sređivanja, dobija oblik

,0)1()1()1()1( 21 =−+−−+−+−+ −− a pa pa pa p K nnn

onosno

(7) ( )1)1()1()1()1( 21 +++++++=+ −− p p pa p K nnn .

Izraz u zagradi kod ove jednačine predstavlja geometrijsku progresiju, čiji je zbir

p p

p p pn

nn 1)1(1)1()1()1( 21 −+=+++++++ −− ,

što, zamenjeno u (7), daje

p p

a p K n

n 1)1()1(

−+=+ ,

odakle je

1)1()1(

−++= n

n

p p Kp

a ,

Što predstavlja dokaz formule (5). Ako se u formuli (5) i brojilac i imenilac podele sa

(1+ p)n

, dobija se formula (5´).Znači ako se kredit realizuje san-jednakih godišnjih anuiteta, sa anuitetima koji seračunaju po formulama (5) ili (5´), onda se isplatom svihn-anuiteta poveriocu obezbeđujevraćanje celog duga zajedno sa pripadajućom kamatom. Ovo je moguće jer se u sastavuanuiteta nalazi kamata plus otplata. Formula (5´) je pogodnija za kompjutersko računanje.

Ako se uk -tom anuitetu označi otplata sabk ,, a kamata saik , tada se anuitet moženapisati u obliku

(8) .,,2,1, nk iba k k =+=

Kako je svaka vrsta kredita jednoznačno definisana načinom izračunavanja njegovihanuiteta, na osnovu veličina: kapitala K , interesne stope p, broja ratan sa kojima se kreditrealizuje, to je sada za izradu amortizacionog plana kredita potrebno još izračunatiodgovarajuće veličine: kamate, otplate i stanja duga svakom odn anuiteta.

Kod kredita jednakih anuiteta, izračunatim po formuli (5) ili (5´), za veličine K, p, i nvaže sledeće teoreme, koje dajemo bez dokaza.

Teorema 6. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n jednakih anuiteta i sa kamatnom stopom p, tada je otplata b k ),,2,1( nk = jednaka

(9) ,,,2,1,

1)1(

)1( 1

nk

p

p Kpb n

k

k =−+

+=−

a u funkciji anuiteta a ona je

9



(9´) .,,2,1,)1( 1 nk pab nk k =+= −−

Teorema 7. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n jednakih anuiteta, interesnom stopom p, tada je interes koji odgovara k-tom anuitetu i k nk ,,2,1= jednak

(11) ,,,2,1,1)1(

)1()1( 1

nk p

p p Kpi n

k n

k =−++−+=

−

a u funkciji anuiteta je

(11´) .,,2,1),)1(1( 1 nk pai nk k =+−= −−

Teorema 8. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n-godišnjih i jednakih anuiteta sa godišnjom kamatnom stopom p, onda vraćeni dug sa k-tim anuitetom J Sk iznosi

(12) ,,,2,1,1)1(1)1( nk

p p K J n

k

Sk =−+−+=

a u funkciji anuiteta je

(12´) .,,2,1,)1(

1)1(nk

p p p

a J n

k

Sk =+−+=

Specijalno ako se želi iznos stanja duga S k onda on iznosi:

(13) ,,,2,1,1)1()1()1(

nk p p p

K S n

k n

k =−++−+

=a u funkciji anuiteta iznosi

(13´) ( )nk k paS −+−= )1(1 .

Primer. Napraviti amortizacioni olan, kredita jednakih anuiteta os 100 n.j., uzetog na 5godišnjih rata i godišnjom kamatom od 8%.

Rešenje. Prema (5´) anuitet je

..0456,2508,11

08,01005

jna=−

⋅

= −

Ako se sada sa formulama (9´), (11´), i (12´) izračunavaju sve kamate, otplate, kao iredom sva stanja duga, može se formirati amortizacioni plan koji prikazujemo na tabeli 3. ukojoj se vidi sve karakteristike ovog kredita.

10



Tabela 3.

godina stanje duga kamata otplata anuitet

1

2345∑

100,0082,9543

64,545044,603023,1904

0

8,0000

6,63635,16353,57301,855225,228

17,0457

18,409319,882021,472623,1904100,00

25,0456

25,045625,045625,045625,0456125,228

11



UPOREĐIVANJE KREDITA SA JEDNAKIM OTPLATAMA IKREDITA SA JEDNAKIM ANUITETIMA

Faktori koji direktno, a i najznačajnije, utiču na povoljnost jednog kredita su visinakamatne stope, način i vremenski raspored otplata, kao i metoda po kojima su anuitetiizračunati. Ovi faktori su najznačajniji u neinflacionim uslovima. U inflacionim uslovima onimogu postati čak i nevažni.

Sada ćemo, za neinflacione uslove, uporediti kredit jednakih otplata i kredit sa jednakimanuitetima.

Ako sa n označimo broj godišnjih rata kredita od K n.j., sa godišnjom kamatnomstopom p, onda se za kredit jednakih otplata anuiteta računaju po formuli (3), a za kredit jednakih anuiteta po formuli (5´).

U formuli (3) prvi sabirak n

K predstavlja otplatu koja je jednaka u svim anuitetima, a

drugi sabirak )1(),1

1( nk n

k Kp ≤≤−− čini kamatu pripadajućuk -tom anuitetu i ona se iz

anuiteta u anuitet smanjuje. Ukupni iznos kamate kod ove vrste kredita izračunava se poformuli (2).

Kod kredita sa jednakim anuitetima ukupna kamata I se dobija oduzimanjem glavnice K od ukupno vraćenog dugana , tj. ona je

(14) K na I −=

Najznačajniji problemi kod ove dve vrste kredita su:

1) problemi koji se odnose na razlaganje duga na anuitete i 2) problemi koji se odnosena iznos kamate u anuitetima.

Što se tiče problema 1), važi sledeće:Kod kredita sa jednakim otplatama anuiteti nisu jednaki, prvi je najveći, a sledeći se

smanjuju zbog sve manjeg učešća kamate, dok su kod kredita sa jednakim anuitetima svianuiteti jednali. Na ranije posmatranom kreditu, čiji su amortizacioni planovi prikazanitabelama 1. i 4., imali smo redom anuitete: 28,00; 26,40; 24,80; 23,20; i 21,60 n.j. za kredit sa jednakim otplatama, a 25,0456 n.j. za kredit sa jednakim anuitetima.

Logično su korisniku kredita povoljniji anuiteti od 25,0456 n.j. nego da mu buduredom: 28,00; 26,40; 24,80; 23,20; i 21,60 n.j., iz prostog razloga što ga rasterećuje u prvimotplatnim periodima, u kojima se kredit po pravilu i najteže podnosi.

Što se tiče problema 2), važi sledeće:Pri istim veličinama p, n i K , formule (3) i (5) mogu davati velike razlike iznosa kamate

i anuiteta. Ove razlike se povećavaju sa povećanjem kamatne stope i nastaju zbog toga što jeformula (5) jedno uprosečenje (aproksimacija) formule (3).

U principu aproksimativne formule mogu dovoljno dobro zamenjivati datu formulu idavati iznose sa unapred željenom tačnošću, pod uslovom da se one koriste samo u planiranimintervalima promenljive p. Formule (5) i (3) jedna drugu dobro aproksimiraju samo za malevrednosti kamatne stope p. U protivnom one daju potpuno neprihvatljive iznose, što se uinflacionim uslovima po pravilu i dešava.

Kako smo već videli, ukupna kamata za kredit od K n.j. koji se realizuje san-rata idekurzivnom kamatnom stopom p:

12



a) u slučaju kredita jednakih otplata iznosi

(15)2

)1( pn K I

+= ,

što izraženo u procentima iznosi

(15´) %2

)1(100

pn I

+= .

b) u slučaju kredita jednakih anuiteta iznosi

(16)

−

+−= − 1

)1(1 n p pn

K I ,

Što u procentima iznosi

(16´) %1)1(1

100

−+−= −n p

pn I .

Ako se želi potpunija uporedna analiza iznosa kamate koju daju ove dve vrste kredita,onda se to najbolje može iznvest konstrukcijom grafika funkcije (15) i (16), pri fiksiranom K in, u funkciji kamatne stop p, za koju se, zbog prirode problema, pretpostavlja da je .0≤ p

Preglednost radi grafike ovih funkcija daćemo na istoj slici 1.

Slika 1.

13



Grafik funkcije (15) je prava linija koja prolazi kroz koordinatni početak i imakoeficijent pravca

2)1( +n K , dok funkcija (16) nije linearna funkcija i složenija je od (15).

Ona na krajevima posmatrane oblasti ima sledeća svojstva:

,1)1(1

lim ∞=

−

+− −∞→ n p p Kp K i

.0)1(1

lim0

=

+− −→ n p pnp

K

Ova funkcija je rastuća, ima kosu asimptotu pravu I=Knp – K, a izvod joj teži ka

2)1( +n K kada 0→ p . Zatim, kako su ove funkcije jednake za 0= p , to je prava (15)

tangenta funkcije (16) u tački 0= p i predstavlja u toj tački njen Maklorenov razvoj.Iznosi kamata dobijene sa (16) teže dvostrukim iznosima kamate dobijene po formuli

(15) kada ∞→ p , jer je

2

2)1(

1)1(1

lim =+

−+− −

∞→ pn K p

np K n

p.

Sa slike 1. jasno se vidi da se povećanjem kamatne stope p povećavaju razlike izmeđuvrednosti ovih dveju funkcija, kao i da se ova razlika smanjuje smanjenjem kamatnih stopa ida teži nuli kada stopa p teži nuli.

Razlike u iznosu kamate povlače u visini ukupno vraćenog duga. Ako se ovo ilustrujena kreditu od 100 n.j., uzetog na deset rata, uz kamatnu stopu od 8 %, onda dužnik vraćanjemsvih anuiteta, metodom jednakih anuiteta vraća ukupno 149,03 n.j., a metodom jednikimotplatama vraća ukupno 144 n.j.. znači, metoda jednakih otplata na svakih 100 n.j., dužnikaopterećuje za 5,03 n.j. manje, što u procentima iznosi 5,03%. Da je kamatna stopa bila većaod 8% i ova bi razlika bila veća. Za kamatne stope veće od 41,5% ova bi razlika premašila isamu glavnicu.

Sve ovo postaje očiglednije ako se ilistruje na primeru kredita od K n.j., uzetog na desetgodišnjih anuiteta, za koji ćemo formirati tabelu 4, u kojoj će u procentima biti iskazani, uodnosu na dug K , iznosi ukupne kamate u zavisnosti od kamatne stope p i to u koloni 2 iznosiza kredit sa jednakim anuitetima, a u koloni 3 za kredit sa jednakim otplatama.

14



Tabela 4.

God.kam.stopa p%

kamata jed.anuit.

kamata jed.otpl. Δ%

11%2%3%4%5%6%7%8%9%10%12%15%20%30%40%50%80%100%

25,58%11,33%17,23%23,29%29,50%35,87%42,38%49,03%55,82%62,75%76,98%99,25%138,52%223,46%314,32%408,82%702,25%900,98%

35,5%11,00%

16,50%22,00%27,50%33,00%38,50%44,00%49,50%55,00%66,00%82,50%110,00%165,00%220,00%275,00%440,00%550,00%

40,08%0,33%0,73%1,29%2,00%2,87%3,88%5,03%6,32%7,75%10,98%16,75%28,52%58,46%94,32%133,82%262,25%350,98%

Tabela 4. na očigledan način pokazuje koloko se metoda jednakih anuiteta od dužnikauzima više na ime kamate nego po metodi izračunavanja anuiteta jednakih otplata. Ovarazlika se drastično povećava povećanjem kamatne stope p tako da ona, na primer, prikamatnoj stopi od 2% iznosi 0,33%, pri stopi od 5% iznosi 2%, pri 10% ona iznosi 7,75% itd.,a pri većim kamatnim stopama ova razlika dostiže i neverovatne iznose. Tako bi pri stopi od30% ona iznosila 58,46%, pri stopi od 50% ona iznosila 133,82%, pri stopi od 80% ona bi bila 262,25%, a pri stopi od 100% bila bi čak 350,98%. Za veće kamatne stope ove bi razlike bile i veće.

Neverovatna je činjenica da bi, na primer, pri kamatnoj stopi od 80% dužnik, po metodi jednakih anuiteta, na svakih 100 n.j. duga vratio ukupno 702,25 n.j., a po metodi anuiteta jednakih otplata ukupno vratio 440 n.j., što je za 262,25 n.j. manje. Ova razlika metodi jednakih anuiteta daje 262,25% veću kamatu nego što daje metodi jednakih otplata.

Činjenica je da u neinflacionim uslovima kamatne stope ne dostižu tako visoke iznose

kao tšo su 80%. One te iznose, a i više, dostižu u inflacionim uslovima, u šta se ovde nećemoupuštati.Međutim, ova razlika nije zanemarljivani pri nižim kamatnim stopama koje nisu retkost

i u neinflacionim uslovima. Tako su, na primer, pri stopama od 8%, 10% i 12% ove razlike5,03%, 7,75% i 10,98%, što se nikako ne može smatrati zanemarljivim.

Ako se sada posmatraju iznosi kamate po anuitetima unutar istog kredita, onda se možezaključiti da u prvim anuitetima veću kamatu ima kredit sa jednakim otplatama u odnosu nakredit sa jednakim anuitetima, što za dužnika, takođe, ne može biti povoljno.

Ovo postaje jasnije ako se ponovo ilustruje na primeru kredita od 100 n.j. kojie serealizuje u 5 rata sa dekurzivnom kamatnom stopom od 8% i to prikažemo pomoću tabele 6. ukojoj će poslednja kolona davati razlike anuiteta kredita a jednakim anuitetima i kredita sa jednakim otplatama, a ćiji će iznosi biti upravo razlike ove dve vrste kredita.

15



Tabela 5.

godina jednaki anuit. jednake otp. Δ%12345∑

25,045625,045625,045625,045625,0456125,228

28,0026,4024,8023,2021,60124,00

- 2,9544- 1,35440,24561,84563,44561,228

Iz tabele 5. se može zaključiti da metod jednakih otplata u prve dve rate ima većekamate od metode jednakih anuiteta i pored toga što je kod ove metode ukupna kamata manja.Ovo znači da je kredit sa jednakim otplatama u prvim otplatnim periodima po dužnikanepovoljniji, s obzirom, da se, prirodno, u prvim otplatnim periodima kredit teže otplaćuje.Ovo može uticati i na ukupnu povoljnost nekog kredita, bez obzira što je dužniku u zadnjimotplatnim periodima kamata manja. Ova činjenica je itekako značajna u slučajevima, da je u periodu realizacije kredita bila, pa i ne previše velika, inflacija.

16



Literatura:

[1] Miodrag Ivović, Branislav Boričić, MATEMATIKA ZA EKONOMISTE,

Bijeljina, 2004

[2] Milošević V., Ivović M., Nenadović R., Simić K., MATEMATIKA SAZBIRKOM ZADATAKA, zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1997.

17

Documents

845 Ekonomija Amortizacija Zajma SRB 16str