AMORTIZACIJA KREDITA

1

Jednaki anuiteti Rj = R

-zajam Z mora biti jednak sumi diskontovanih vrednosti buducih

anuiteta, odnosno Z je sadašnja vrednost buducih n periodicnih

placanja iznosa R

-obracun pomocu konformne kamatne stope

r = rk - kamatna stopa po periodu placanja

r = rk =(1 +

ra

m

)1/s

− 1

s - broj placanja u jednom periodu kapitalisanja

ra - godišnja kamatna stopa

m - broj kapitalisanja u toku godine

28. mart 2007.

2

Jednaki anuiteti

Z = R1− (1 + r)−n

r

R =Zr

1− (1 + r)−n

n - broj periodicnih placanja

R - anuitet

Z - iznos kredita

r = rk - kamatna stopa po periodu placanja

28. mart 2007.

3

dug u j−tom periodu - razlika duga iz prethodnog perioda i otplate

Bj

Dj = Dj−1 −Bj , j = 1, 2, . . . , n

pocetni dug je jednak iznosu kredita

D0 = Z

kamata za j−ti period

Ij = rDj−1, j = 1, 2, . . . , n

otplata je razlika anuiteta i kamate

Bj = R− Ij , j = 1, 2, . . . , n

28. mart 2007.

4

j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 Bj = R− Ij R

1 D0 = Z I1 = r ·D0 B1 = R− I1 R

2 D1 = D0 −B1 I2 = r ·D1 B2 = R− I2 R

......

......

...

l Dl−1 = Dl−2 −Bl−1 Il = r ·Dl−1 Bl = R− Il R

......

......

...

n Dn−1 In = r ·Dn−1 Bn = R− In R

=Dn−2 −Bn−1

Pnj=1 Dj−1 r

Pnj=1 Dj−1

Pnj=1 Bj n ·R

28. mart 2007.

5

kontrolna vrsta

1) poslednja otplata mora biti jednaka poslednjem ostatku duga

Bn = Dn−1

2) zbir svih otplata mora biti jednak zajmu

n∑

j=1

Bj = Z

3) zbir ukupne kamate i ukupnih otplata mora biti jednaka zbiru svih

anuitetan∑

j=1

Bj +n∑

j=1

Ij = nR

28. mart 2007.

6

Plan amortizacije

Zadatak

Banka odobrava kredit na dve godine sa godišnjom kamatnom

stopom 8%, polugodišnjim kapitalisanjem i tromesecnim anuitetima.

Firma je uzela kredit od 20 000 USD. Napraviti plan amortizacije

kredita.

28. mart 2007.

7

j Dj−1 Ij Bj R

1 20000.00 396.08 2331.81 2727.89

2 17668.19 349.90 2377.99 2727.89

3 15290.20 302.81 2425.08 2727.89

4 12865.12 254.78 2473.11 2727.89

5 10392.01 205.80 2522.09 2727.89

6 7869.92 155.86 2572.03 2727.89

7 5297.89 104.92 2622.97 2727.89

8 2674.92 52.97 2674.92 2727.89

92058.23 1823.11 20000.00 21823.11

28. mart 2007.

8

Plan amortizacije

ostatak duga nakon placanja prvih l anuiteta (ostatak duga na

pocetku (l + 1)−vog perioda)

Dl = R (1 + r)−1+· · ·+R (1 + r)−(n−l) = R1− (1 + r)−(n−l)

r

kamata u (l + 1)−vom periodu

Il+1 = r ·Dl

otplata u (l + 1)−vom periodu

Bl+1 = R−Il+1 = R−Rr1− (1 + r)−(n−l)

r= R(1+r)−(n−l)

28. mart 2007.

9

Dl = Bl+1 + Bl+2 + · · ·+ Bn

otplaceni deo duga

Ol = Z −Dl = B1 + B2 + · · ·+ Bl

= R(1 + r)−n + R(1 + r)−(n−1) + · · ·+ R(1 + r)−(n−(l−1))

= R(1 + r)−n (1 + r)l − 1r

28. mart 2007.

10

Plan amortizacije

R =Zr

1− (1 + r)−n

odredjivanje broja anuiteta (n)

n = −ln

(1− Zr

R

)

ln(1 + r)

odredjivanje vremena amortizacije kredita (N )

N =n

ms

28. mart 2007.

11

Plan amortizacije

anuitetni ostatak R0

Z = R (1 + r)−1+R (1 + r)−2+· · ·+R (1 + r)−(n−1)+R0 (1 + r)−n

Z = R1− (1 + r)−(n−1)

r+ R0(1 + r)−n

R0 =(

Z −R1− (1 + r)−(n−1)

r

)(1 + r)n

28. mart 2007.

12

Plan amortizacije

Zadatak Kredit od 10 000 dinara treba otplacivati mesecnim

anuitetima od 2 000 din, uz 10% kamate mesecno. Odrediti broj

anuiteta i anuitetni ostatak.

Zadatak Kredit od Z = 10 000 EUR sa kamatnom stopom

ra = 12% i polugodišnjim kapitalisanjem treba vratiti polugodišnjim

anuitetima zaokruženim na deset EUR za 3 godine. Napraviti plan

amortizacije.

28. mart 2007.

13

j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 Bj = R− Ij R

1 10 000.00 600.00 1 430.00 2 030

2 8 570.00 514.20 1 515.80 2 030

3 7 054.20 423.25 1 606.80 2 030

4 5 447.40 326.84 1 703.20 2 030

5 3 744.20 224.65 1 805.40 2 030

6 1 938.80 116.33 1 938.80 2 055. 10∑

36 754.60 2 205.27 10 000.00 12 205.10

28. mart 2007.

14

Razliciti anuiteti Rj

opšta pravila

D0 = Z dato

Ij = r ·Dj−1

Bj = Rj − Ij

Dj = Dj−1 −Bj , j = 1, 2, . . . , n

28. mart 2007.

15

Razliciti anuiteti Rj

Zadatak Kredit od 30 000 EUR treba otplatiti za najviše 6 meseci,

mesecnim anuitetima koji su najmanje 10% od ostatka duga i 8%kamate mesecno. Napraviti plan amortizacije.

napomena -u ovakvim slucajevima plan amortizacije nije

jedinstveno odredjen

28. mart 2007.

16

Razliciti anuiteti Rj

j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 Bj = Rj − Ij Rj

1 30 000 2 400 3 000 5 400

2 27 000 2 160 5 000 7 160

3 22 000 1 760 5 000 6 760

4 17 000 1 360 5 000 6 360

5 12 000 960 6 000 6 960

6 6 000 480 6 000 6 480∑

114 000 9 120 30 000 39 120

28. mart 2007.

17

Razliciti anuiteti i jednake otplate po anuitetu

B1 = B2 = · · · = Bn = B

Z =n∑

j=1

Bj = nB

otplata

B =Z

nkamata

Ij = r ·Dj−1 = r ·B(n− (j − 1))

28. mart 2007.

18

anuitet

Rj = B + Ij = B + rB(n− (j − 1))

= B (1 + r(n− (j − 1)))

ukupna kamata

n∑

j=1

Ij = rZn + 1

2= rB

n(n + 1)2

suma svih anuiteta

n∑

j=1

Rj=n∑

j=1

Bj +n∑

j=1

Ij= Z + rZn + 1

2= Z

(1 + r

n + 12

)

28. mart 2007.

19

Razliciti anuiteti i jednake otplate po anuitetu

Zadatak Kredit od 30 000 EUR treba otplatiti za 6 meseci sa 8%mesecne kamatne stope i sa anuitetima kod kojih su otplate

jednake. Napraviti plan amortizacije.

28. mart 2007.

20

j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 B = Rj − Ij Rj

1 30 000 2 400 5 000 7 400

2 25 000 2 000 5 000 7 000

3 20 000 1 600 5 000 6 600

4 15 000 1 200 5 000 6 200

5 10 000 800 5 000 5 800

6 5 000 400 5 000 5 400∑

105 000 8 400 30 000 38 400

28. mart 2007.

21

Razliciti anuiteti koji cine aritmeticku progresiju

R1 = R

R2 = R + d

R3 = R + 2d

...

Rn = R + (n− 1) d

28. mart 2007.

22

Razliciti anuiteti koji cine aritmeticku progresiju

Z = R (1 + r)−1+(R + d) (1 + r)−2+· · ·+(R + (n− 1) d) (1 + r)−n

Q = (1 + r)−2 + 2 (1 + r)−3 + · · ·+ (n− 1) (1 + r)−n

Q(1 + r)−Q = Qr =1− (1 + r)−n

r− n(1 + r)−n

28. mart 2007.

23

Q =1r

(1− (1 + r)−n

r− n (1 + r)−n

)

Z = R1− (1 + r)−n

r+ dQ

R =r

1− (1 + r)−n (Z − dQ)

Ij = r ·Dj−1, Bj = Rj − Ij , Dj = Dj−1 −Bj

28. mart 2007.

24

Razliciti anuiteti koji cine aritmeticku progresiju

Zadatak Kredit od 200 000 dinara sa 5% kamatne stope treba

vratiti godišnjim anuitetima koji rastu za 3 000 dinara u roku od 6godina. Odrediti anuitete.

28. mart 2007.

25

Razliciti anuiteti koji cine geometrijsku progresiju

R1 = R

R2 = Rq

R3 = Rq2

...

Rn = Rqn−1

28. mart 2007.

26

Razliciti anuiteti koji cine geometrijsku progresiju

Z = R (1 + r)−1 + Rq (1 + r)−2 + . . . + Rqn−1 (1 + r)−n

=R

q

(q (1 + r)−1 + q2 (1 + r)−2 + . . . + qn (1 + r)−n

)

Neka je r1 = q (1 + r)−1

Z =R

1 + r

1− rn1

1− r1, ako je r1〈1

Z =R

1 + r

rn1 − 1

r1 − 1, ako je r1〉1

28. mart 2007.

27

anuitet

R = Z (1 + r)1− r1

1− rn1

, ako je r1〈1

R = Z (1 + r)r1 − 1rn1 − 1

, ako je r1〉1

Zadatak Kredit od 1 000 000 dinara se amortizuje za 4 godine sa

kamatnom stopom 6% tako da svaki anuitet bude za 50% veci od

prethodnog. Odrediti anuitete.

28. mart 2007.