8.1 Обчислення площ за допомогою інтегралівsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/8.pdf · 2009. 10. 26. · Площа може бути

8 ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

Н.М. Д’яченко 262

8 ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ 8.1 Обчислення площ за допомогою інтегралів

Означення. Многокутником називається фігура, що об-межена скінченою кількістю замкнених ламаних.

Площа може бути знайдена шляхом суму-вання площ трикутників, на які він розбивається (рис. 8.1). Оскільки площу трикутника ми можемо обчислити, то будемо вважати, що площу многоку-тника ми завжди можемо визначити.

Нехай є деяка, обмежена скінченою кількіс-тю замкнених кривих, фігура D. Навколо цієї фігури можна описати многокутники A, тобто помістити

фігуру D в середину многокутника А, також можна вписати многокутники В (рис. 8.2).

Рис. 8.1.

А D

B D A⊂ ⊂ . В Розглянемо множини Α ={ A – описані многокутники}, Β = { B – вписані многокутники}. Множина {S(A), A∈Α } обмежена знизу будь-

яким значенням ( ),S B B∈Β . Множина {S (B), B∈Β } обмежена звер-ху будь-яким значенням ( ),S A A∈Α . Тому

Рис. 8.2.

inf{ ( )}S A I∃ = – верхня площа D, sup{ ( )}S B I∃ = - нижня площа D.

Оскільки , то B D A⊂ ⊂ ( ) ( )S B S A≤ . За означенням точних меж ( ) , ( )S B I S A I≤ ≥ .

Доведення того факту, що I I≤ , здійснюється аналогічно доведенню нерівності для верхнього і нижнього інтегралів Дарбу. Таким чином,

**I I≤

( ) ( )S B I I S A≤ ≤ ≤ . (*) Означення. Плоска фігура D називається квадровною,

якщо I I I= = , а значення ( )I S D= називається площею фігури D. Tеорема (критерій №1 квадровності плоскої фігури).

Фігура є квадровною ⇔ 0 : ( ) ( )A B S A S B∀ε > ∃ ∈Α∧∃ ∈Β − < ε . Доведення. Необхідність. Нехай D – квадровна



⇒ I I I= = . sup{ ( )}S B I= 0 : ( )

2B I S Bε

⇔ ∀ε > ∃ ∈Β − < ≤ I

inf{ ( )}S A I= 0 : ( )2

A I S Bε⇔ ∀ε > ∃ ∈Α − < ≤ I

⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭

( ) ( )

2 2( ) ( ) .

I S B I S A I

S A S B

ε ε− < ≤ ≤ < +

⇒ − < ε

⇒

Підкреслене співпадає з тим, що потрібно довести. Достатність.

Дано: . 0 : ( ) ( )A B S A S B∀ε > ∃ ∈Α∧∃ ∈Β − < ε

Із (*)⇒ ( ) ( )S B I I S A≤ ≤ ≤ }⇒ 0I I I I∀ε > − <ε⇒ =

⇒ D – квадровна. ■ Означення. ε - околом т. ( 0 0,x y ) наз. відкритий круг з

центром в т.( 0 0,x y ) радіуса ε . ( ) { }2 2 2

0 0 0 0, ( , ) : ( ) ( )B x y x y x x y yε = ∈ − + − < ε . Означення. Точка ( )0 0, 0M x y наз. межовою точкою обла-

сті D, якщо у будь-якому її ε - околі містяться як точки, що нале-жать D, так точки, що їй не належать, тобто

( ) ( )( )20 0 0 00 , , ( \ )B x y D B x y Dε ε∀ε > ∩ ≠ ∅∧ ∩ ≠ ∅ .

Означення. Множина усіх межових точок множини D наз. межцею цієї множини (позначення: ( )D∂ = Γ ).

Означення. Кажуть, що множина Г має площу 0 (S(Г)=0), якщо Р – многокутник: P0∀ε > ∃ ⊃ Γ (покриває Г) ( )S P∧ < ε .

Теорема (критерій №2 квадровності плоскої фігури). D – квадровна її границя має площу нуль, тобто ⇔ ( ( )) 0.S D∂ =

Доведення. Необхідність. Нехай D – квадровна 0 : ( ) ( )A B S A S B⇒∀ε > ∃ ∈Α∧∃ ∈Β − < ε (критерій №1). Тоді , крім того, B D A⊂ ⊂

( \ ) ,( ) ( \ ) ( ) ( ) .D A B

S P S A B S A S B∂ = Γ ⊃ = Ρ

= = − < ε

Підкреслена частина означає, що ( ( )) 0.S D∂ = Достатність. Нехай : ( ) 0 0 : ( )D S P S∂ = Γ Γ = ⇒∀ε > ∃ ⊃ Γ Ρ < ε

Многокутник B утворюється як множина точок, що лежать в непо-критій многокутником Р області D, а многокутник А, як Α = Β∪Ρ , тоді . Звідки маємо Α ⊃ Β \Α Β = Ρ

( ) ( ) ( )S P S A S B= − < ε .



Підкреслена частина означає, що D – квадровна. ■ Теорема. Якщо – неперервна функція, на ( )f x ( ) 0f x ≥

[ ],a b ⇒ криволінійна трапеція 2{( , ) : 0 ( )}D x y a x b y f x= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

є квадровною фігурою. Доведення. – неперервна функція (теорема Кантора)

– рівномірно неперервна на ( )f x ⇒

( )f x [ ],a b ⇒

( )1 1

0 0 { }:

.

k k

n n

k k kk k

R x db a

S S x x b ab a b a= =

ε⇒ ∀ε > ∃δ > ∀ = < δ⇒ ω < ⇒

−ε ε

⇒ − = ω ∆ < ⋅ ∆ < − = ε− −∑ ∑

Тут 1

n

kk k

S M=

= ∆∑ x - площа сходинкової фігури, що містить в собі об-

ласть D (див. рис. 7.4). Оберемо цю фігуру в якості многокутника

A∈Α , тобто [ ] [11

, 0,n

k k kk

]x x M−=

Α = ×∪ , а ( )S S A= . Аналогічно будуємо

многокутник : B D⊂ [ ] [ ]11

, 0, , ( )n

k k kk

B x x m S B−=

S= × =∪ .Тоді

\ 0 \ : ( ) ( ) ( )D A B P A B S P S A S B S S∂ ⊂ ⇒ ∀ε > ∃ = = − = − < ε ⇒

( ) 0S D⇒ ∂ = ⇒ D – квадровна. ■ Зауважимо, що насправді многокутник P покрив лише графік

функції на ( )f x [ ],a b , а границя області D ще містить дві вертикаль-ні і одну горизонтальні твірні. Доведіть самостійно, що площа цих відрізків дорівнює нулю !

Наслідок. Графік функції f(x) – неперервної, невід’ємної на [ ],a b є кривою площі нуль.

Теорема. Площа криволінійної трапеції D, утвореної графі-ком неперервної, невід’ємної на [ ],a b функції ( )f x , прямими x=a,

x=b, y=0 обчислюється як . ( ) ( )b

a

S D f x dx= ∫Доведення. В наслідок попередньої теореми криволінійна

трапеція 2{( , ) : 0 ( )}D x y a x b y f x= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ - квадровна, то за кри-терієм №1 квадровності



( )0 : ( )A B S A S B∀ε > ∃ ∈Α∧∃ ∈Β − < ε . За доведенням попередньої теореми ( ), ( )S S A S S B= = . Тому ( ) ( )S S S A S B− = − < ε .

За умовою 0

( ) . [ , ] ( ) . [ , ] ( ) limb

da

f x неп на a b f x інт на a b f x dx→

− ⇒ − ⇒ ∃ =∫ . σ

Оскільки S S≤ σ ≤ , то ( ) ( )S B S A≤ σ ≤ . Оскільки D – квадровна ⇒ ( )I I S D= = і ( ) ( ) ( )S B S D S A≤ ≤ ε< ( )S D⇒ σ . − < ε

( )S B ( )S D S A ( )σ

Таким чином, 0 0 : ( )d S D∀ε . Це означає, що > ∃δ > < δ⇒ σ− < ε

0||

lim ( )d

S D→σ =

( )b

a

f x dx∫ . ■

У означенні криволінійної трапеції припускається не-від’ємність функції. Якщо функ-ція може приймати різні знаки, то потрібно область, яку вона обме-жує розбити на ділянки постійності знаку функції і просумувати їх площі. Площу тої ділянки, що відповідає від’ємним значенням функ-ції, потрібно обчислювати, ставлячи перед інтегралом знак «-». На-приклад, у випадку функції, графік якої представлено на Рис. 8.3, площа заштрихованої фігури дорівнює

1x

2x а b

Рис. 8.3.

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

| ( ) | .

x x b

a x xb

a

S D f x dx f x dx f x dx

f x dx

= − + =

=

∫ ∫ ∫

∫

Площа плоскої фігура D , що обмежена на декартовій площині неперервними на відрізку кривими ,

]b,[a)(1 xfy = )(2 xfy = , де

)()( 12 xfxf ≤ , відрізками прямих

y=f1(x)

X a O

Y

b

D

y=f2(x)
Рис. 8.4.



ax = , bx = (рис. 8.4), обчислюєть а ф улою (доведіть !)

=b

S

ся з орм

a

dxxfxf )()( 21 . ( )∫ −

Випадок полярних координат Нехай ϕ - полярний кут, а ρ - полярна відстань, тоді

stρ = = ρ - коло радіуса0ρ ≥ ,

0ρ , 0con - промінь, що виходить0constϕ = = ϕ із початку координат і утворює

кут ϕлярній системі координат

D = ρде - неперервна на

0 з полярною віссю. Розглянемо область D в по

, ) : 0 ( )}ϕ α ≤ ϕ ≤ β∧ ≤ ρ ≤ ρ ϕ , {( ( )ρ = ρ ϕ [ , ]α β .

( )ρ = ρ ϕϕ = β

k∆ϕ ϕ = αβ

α ρ

Рис.8.5.

Графік неперервної кривої ( )ρ = ρ ϕ - лінія площі нуль, похилі

твірні, що розташовані на ;ϕ = α ϕ мають площу нуль, тому криволінійний сектор D є ква фігурою.

Розіб’ємо відрізок [ , ]

= β теждровною

α β скінченною кількістю точок: α = ϕ < < ϕ

Завдяки неперервності функції0 1 1 1k k n n− −ϕ < < ϕ < ϕ < < ϕ = β… … .

( )ρ ϕ і теоремі Вейєрштрасса

k k−[ ] [ ]1 ,,sup ( ) max ( )

k kkm

−ϕ ϕϕ ϕρ ϕ = ρ ϕ = .

1

Крива kmρ = є колом діусу Знайдемо площу сектора, що утворюється променями

ра km . 1,k k−ϕ = ϕ ϕ = ϕ і колом kmρ = :



212сектора k kS m= ⋅ ⋅∆ϕ .

Аналогічно знаходження зробимо після [ ] [ ]1 1, ,

inf ( ) min ( )k k k k

kM− −ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ϕ = ρ ϕ = .

Утворимо фігури іB D⊂ A D⊃ , повторивши зазначену процедуру лінійним многокутникамдля 1,2,...,k n= . Ці фігури будуть «криво и».

Знайдемо їх площі: 2

1

( )2

n

k kk

S A=

∆ϕ , 1 M= ⋅∑2

1

1( )2

n

k kk

S B m=

= ⋅ ∆ϕ∑ .

Оскільки фігура , то Значення S(A), S (B) являют собою верхню та нижню інтегральні суми Дарбу

квадровнаь

**( ) ( ) ( )S B I I S D S A≤ = = ≤ .

відповідно для функції 21 ( )2ρ ϕ . Ця а [ , ] функція неперервна н α β , то-

му інтегрована. Отже, після граничного переходу при max 0kd = ∆ϕ → отримає

kмо

( ( ) ( )S B S D S A≤ ⇒

2

)

1 ( )2

dβ

α

≤⇓

ρ ϕ ϕ∫∫α

ϕϕρ= dβ

)(21 .

Висновок. Площа сектора OAB (рис. 8.6), що обмежений неперервною криво в

S 2

S

ю )(ϕρ=ρ , заданою полярній сис-темі координат, і двома півпрямими α=ϕ і β=ϕ ( орівнює β<α ) д

∫α

ϕϕρ= dS )(21 2 . ■β

ρ O

D A

B

β α

Рис. 8.6.

8.2 Обчислення довжин ліній за допомогою ів

x t t t Ty= ϕ ∈= ψ .

інтеграл

Розглянемо функцію, що задана параметрично.

{ [ ]0( ) , ,( )t



Вона задає множину точок на декартовій площині, які утворюють криву

L . Означення. Кажуть, що плоскі крива L є простою, якщо

кожному значенню [ ]0 ,t t T∈ відповідає єдина на кривій і кожній

точка L точці на кривій L відповідає єдине значення [ ]0 ,t t T∈ . Тобто

[ ] [ ]0 0, ! ! ,t t T M L M L t t T∀ ∈ → ∀ ∈ → ∈ . Означення. рива наз. зімкненою, якщо аченням

∈ ∧

К двом знпараметра t t= і 0 t T= відповідає одна і та ж точка лощини.

Розг

пЗімкнена крива не може бути простою. Приклад. лянемо параметрично задану функцію

{ cossin

x ty t , == [ ]0, 2t∈ π .

Вона відповідає не-явно заданій функції x y2 2 1+ = задає рняння кола з центром в т. О(0,0) р 1.

р кє просто

ення па-раметра и

ти криву АВС, то п

tB

/ 2

, що ів-

= π

tC= π

адіусаК ива L ( оло) не ю параметризов-

ною, оскільки точці А від-повідає два знач

(див. р с. 8.7). Ця крива є зімкненою. араметризація

sin

Якщо розгляну

{ cosx t=y t= , [ ]0,t∈ π

є простАналогічно кри з параметризацією ою, а крива АВС є простою.

ва CDA

{ cossin

x t=y t= , [ ], 2t∈ π π

утворю розбито на дві прості параметризовні д .

Я кнену крива є об’єднанням двох простих кривих, то

є просту криву (дугу). Таким чином, коло L уги

кщо зімвона називається простою зімкненою.

Позначимо через { }t множину, що може бути однією із чоти-рьох наступних множин

0, 2t tA= = π

3 / 2Dt = π

X O

Y

Рис. 8.7.



[{ }

]( )

]([ )

0 ,;

t T

t −∞ +∞→ . ;

,a

a−∞+∞

Означення. Якщо для функції { ( )( )

x ty t= ϕ= ψ , заданої парамет-

рично на { }t , множину { }t можна предст ді скінченого

об’єднанн ідрізків [ ]11

{ } ,n

i it t t− , на кожному з яких крива, що за-

дається цим рівняння , то кажуть, що крива є парамет-ризовною.

Задамо відношення упорядкування на простій кривій. Будемо казати, що т.

авити у вигля

м, є простою

я вi=

=∪

передує т.1M 2M (позначення: 1 2M M≺ ) на простій кри-вій L , якщо відповідні значення параметрів 1t і 2t , що задають точки

1M і 2M пов’я ні знаком нерівності 1 2t t< . Якщо на простій кривій L задано відношення упорядкування,

ка

за

то жуть, що на цій кривій заданий напрямок обходу.

Якщо крива не є про-стою, а є параметризовною, то на кожній складовій, де вона є простою задається відношення порядку і за умо-ви, що 0 1 nt t t T< < < =… на такій кривій утворюється на-прям. А саме

{ [ ]0( ) , ,( )

x t t t Ty t= ϕ ∈= ψ - параме-

:

T

≺ ≺…≺ ≺ ≺…≺ ≺р ку.

Введемо поняття довжини кривої. дов-жина ламаної є визначеним поняттям.

M 1i−1M

1t

тризація кривої L ; 0 1 1 1

0 1 1 1

i i n n

i i n n

t t t t t t

M M M M M M

− −

− −

< < < < < < < =… … утворення по яд

Будемо вважати, що

Введемо позначення:

nM

1nM −

0M

nt

1nt −

it 1it −

0t

iM

Рис. 8.8.



P P[ ]1 ,i i iM MP−

= - ланцюг ламаної, 1

n

ii

P=

= ∑ - ламана, що сполучає точки-

вузли 0 1 1 1, , , , , , ,i i n .nM M M M M M− −… … Якщо вузли ламаної належать кривій, то кажуть, що ламана вписана в криву. При додаванні точок розбиття параметра t і, відповідно, вуз-лів ламаної, довжина ламаної не зменшиться.

Означення. Крива наз. спрямлюваною, якщо довжини усіх ламаних утворюють множину, яка є обмеженою зверху, а значення величини { }supL = P наз. довжиною кривої.

Властивості спрямлюваних кривих. 1. Для спрямлюваної кривої її довжина не залежить від способу

параметризації. ► Рзглянемо дві переметризації за допомогою параметрів

[ ],t a b∈ [ ],s∈ α β . Тоді

0 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

i i n n

i i n

i i n n

a t t t t t t b

M M M M M M

s s s s s s

− −

− −

− −

= < < < < < < < =

α = < < < < < < < = β

… …

≺ ≺…≺ ≺ ≺…≺ ≺

… …

n

s

Тобто в різних параметризаціях отримаємо тотожні ламані , тому { } { }tP P≡

{ } { }sup supt s tP P L= ⇒ = sL . ◄ 2. Якщо спрямлювана крива розбита скінченою кількістю точок

0 1, , , nM M M… на скінчену кількість кривих, крім того цим то-чкам відповідають значення параметра а= , то кожна з кривих, що сполучає точки

0 1 1 1i i n nt t t t t t b− −< < < < < < < =… …

1,i iM M− є спрямлюваною, і відповідно дов-жина кривої дорівнює сумі довжин кривих, що її утворюють.

( )1 ,1

i i

n

M Mi

L L−

=

= ∑ .

Довести самостійно ! Означення. Проста крива, параметризована рівняннями

називається простою гладкою кривою, якщо

функції , - неперервно диференційовні на

{ [ 0( ): ,( )

x tL ty t= ϕ ∈= ψ ],t T

( )tϕ ( )tψ [ ]0 ,t T .



Теорема. Проста гладка крива { [ 0( ): ,( )

x tL ty t= ϕ ∈= ψ ],t T є спря-

млюваною, і її довжина | обчислюється за формулою: |L

0

2 2( ) ( )T

t tt

L d′ ′= ϕ + ψ∫ t .

Доведення. Розглянемо точки на кривій 0 1, , , nM M M… , що відповідають розбиттю параметра { } : t

0 1 1 1

0 1 1 1

i i n n

i i n n

t t t t t t

M M M M M M

− −

− −

< < < < < < < =… …

≺ ≺…≺ ≺ ≺…≺ ≺

T

( ( ), ( ))i i iM t t= ϕ ψ , Тоді

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 21 1

1 1

2 21 1 1

1

2 2 2 2

1 1

2

1

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( )( ) ( )( ) , [ , ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

n n

i i i i ii i

n

i i i i i i i i i iin n

i t i t i t i t i ii in

i t i t ii

P P t t t t теорема Лагранжа

t t t t t t

t t

t

− −= =

− − −=

= =

=

= = ϕ −ϕ + ψ −ψ =

′ ′= ϕ α − + ψ β − = α β ∈ =

′ ′ ′ ′= ∆ ⋅ ϕ α + ψ β = ϕ α + ψ α ∆ +

′ ′+ ∆ ⋅ ϕ α + ψ β

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑ ( )

=

( ) ( )( )2 2 2) ( ) ( ) .t i t i

A

′ ′− ϕ α + ψ α

Оцінимо виділений вираз, який позначений через А:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

(*)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) )

i i

t i t i t i t i

i i i i

t i t i t i t i

i ii i

i i i i

′ψ β − ψ αΑ = =

′ ′ ′ ′ϕ α + ψ β + ϕ α + ψ α

′ ′ ′ ′ψ β −ψ α ⋅ ψ β +ψ α= ≤

′ ′ ′ ′ϕ α + ψ β + ϕ α + ψ α′ ′ψ β + ψ α

′ ′≤ ψ β −ψ α ⋅′ ′ ′ ′ϕ α + ψ β + ϕ α + ψ α 2

2 2 2 2 2 2

;

(*) 1.a b a b a b

a bc b c a b a

+ + += ≤ = =

++ + + +



Таким чином, 1 ( ) ( )i′ ′ iΑ ≤ ⋅ ψ β −ψ α . Оскільки функція ( )tψ - неперервно диференційовна на [ ]0 ,t T , то функція ( )t′ψ - рівномірно неперервна на [ ]0 ,t T (теорема Кантора), тому

( )

0

0

0 0 { }4 ( )

| ( ) ( ) | { }, { }.4 ( )

i i

i i i i

R t dT t

T t

ψ ε∀ε > ∃δ > ∀ = < δ ⇒ ω <

⋅ −ε′ ′⇒ ψ β −ψ α < ∀ β ∀ α

⋅ −

Отже,

1 1 1

01 10 0 0

0 1

( ) ( )

( )4 ( ) 2( ) 2( ) 2

lim 0.

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n

id i

t A t A t

t tT t T t T t

t A

= = =

= =

→=

′ ′∆ ⋅ ≤ ∆ ≤ ∆ ⋅ ψ β −ψ α <

ε ε ε< ∆ ⋅ = ⋅ ∆ == ⋅ − = ⇒

⋅ − − −

⇒ ∆ ⋅ =

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

T t ε

Разом одержимо: { } 2 2

0 1sup lim ( ( )) ( ( ))

n

i id iP t

→=

′ ′ i= ϕ α + ψ α ∆∑ .

Сума 2

1( ( )) ( ( ))

n

i ii

t=

′ ′ 2iϕ α + ψ α ∆∑ є інтегральною сумою функції

( ( )) ( ( ))t′ ′ϕ + ψ t , яка є неперервною, тому границя інтегральних сум не залежить від способу розбиття і вибору проміжних точок. Промі-жні точки обираємо ті, що отримали за теоремою Лагранжа для фун-кції . ( )tϕ

Висновок: 2 2

0 1lim ( ( )) ( ( ))

n

i i id it

→=

′ ′ϕ α + ψ α ∆∑ =0

( ( )) ( ( ))T

t

t t′ ′ϕ + ψ∫ dt , то-

му { }sup P - скінченний, а значить гладка крива є спрямлюваною,

крім того, її довжина 0

| | ( ( )) ( ( )) .T

t

L t′ ′= ϕ + ψ∫ t dt

,t T

■

Зауваження. Якщо крива є параметризованою

{ [ ]0( ): ,( )

x tL ty t= ϕ ∈= ψ ,

а функції , ( )tϕ ( )tψ - неперервно диференційовні на [ ]0 ,t T , то роз-іб’ємо її на прості параметризовні ділянки iL = [ 1,i iM M− ] і застосуємо доведену теорему до кожної з них:



1

| | ( ( )) ( ( )) .i

i

t

it

L t t−

′ ′= ϕ + ψ∫ dt

Отримаємо суму інтегралів 1

1...

i

i

tn

i t −=∑ ∫ , потім застосуємо властивість ади-

тивності інтегралу 0 1

1

... ...i

i

tT n

it t −=

= ∑∫ ∫ , одержимо, що загальна довжина кри-

вої буде обчислена як 0

1| | | | ( ( )) ( ( ))

Tn

ii t

L L t t=

′ ′= = ϕ + ψ∑ ∫ dt . Тобто у ви-

падку параметризовної кривої, де функції ( )tϕ , ( )tψ - неперервно диференційовні на [ ]0 ,t T , для обчислення її довжини використову-ється та сама формула, що і в теоремі:

0

2 2( ) ( )T

t tt

L d′ ′= ϕ + ψ∫ t .

Іноді цю формулу записують інакше:

0

2 2( ) ( )T

t tt

L x y′ ′= +∫ dt .

Розглянемо явно задану, неперервно диференційовну на [ ],a b функцію ( )y f x= . Її параметризація:

{ ( )x ty f t== , тобто { , ( )

( ) ( )t tt f t

ϕ =ψ =

тоді - неперервна на ( ) 1t′ϕ = [ ],a b , f (t) – неперервно диференційовна – неперервно диференційовна на [( )t⇒ψ ],a b . Отже,

2 21 ( ) 1 ( )b b

xa a

L f dx àáî L y dx′ ′= + = +∫ ∫ .

Випадок полярної системі координат. Нехай ( )ρ = ρ ϕ , [ ],ϕ∈ α β , функція ( )ρ ϕ - неперервно диференційовна на [ ],α β , тоді

{ ( ) cos( )sin

xy= ρ ϕ ϕ= ρ ϕ ϕ - параметризація кривої, [ ],ϕ∈ α β . Маємо



2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( cos sin ) ( sin cos )( ) cos sin ( ) sin cos 2 cos sin 2 cos sin

( ) .

t tx y′ ′ ′ ′+ = ρ ϕ−ρ ϕ + ρ ϕ+ρ ϕ =′ ′= ρ ϕ+ρ ϕ+ ρ ϕ+ρ ϕ+ ρ ϕ ϕ− ρ ϕ ϕ =

′= ρ + ρ

Тому 2 2( )L d

β

α

′= ρ + ρ ϕ∫ .

Зауваження. Нехай

{ ( )( )

x ty t= ϕ= ψ , [ ]0 ,t t T∈ - зімкне-

на крива. Під додатнім на-прямом обходу параметрично заданої замкненої кривої ро-зуміють такий напрям, що при обході по кривій об-ласть, яку вона обмежує, за-лишається зліва. Це відпові-

дає обходу проти годинникової стрілки.

D

T M0t

Рис. 8.9.

Розглянемо:

.

( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

| || |

b

криволін трапеціїa

x x tS f x dx f x t y t y t x t dt

x a bt

β

α

=′= = = = ⋅

α β

∫ ∫ .

При додатному напрямку обході α > β . Наприклад, для кривої 21 , [ 1,1y x t= − ∈ − ] з параметризацією { cos , [0,sin

x t ty t= ]∈ π= площа

криволінійної трапеції, яку вона утворює 1 0

2 2

1

1 sinS x dx− π

= − = −∫ ∫ tdt .

Висновок: у випадку області, що обмежується зімкненою па-

раметризованою кривою { ( )( )

x ty t= ϕ= ψ , [ ],t∈ α β , параметризація якої за-

дає додатний напрям обходу, площа області, яку вона обмежує дорі-внює



dt( ) ( )S y t x tβ

α

′= − ⋅∫

8.3 Диференціал дуги

Нехай :L { ( )( )

x ty t= ϕ= ψ , [ ]0 ,t t T∈ - гладка параметризована крива,

тоді ϕ і ψ - непер. диф. на [ ]0 ,t T . Розбиття відрізка [ ]0 ,t T : 0 1 1i i nt t t t t T−< < < < < < =… … .

Довжина дуги, що відповідає відрізкові розбиття [ ]1,i it t− :

1

2 2( ( )) ( ( ))i

i

t

it

L t t−

′ ′= ϕ + ψ∫ dt .

Якщо [ ]0

20 , ( ) ( ( )) ( ( ))

t

t

t t T L t t t dt′ ′∈ ⇒ = ϕ + ψ∫ 2 - інтеграл із змінною

верхньою межею, підінтегральна функція є непер., функція ⇒ ( )L t

- диференційована на [ ]0 ,t T , крім того, 2( ) ( ) ( )t tL t ′ 2′ ′= ϕ + ψ . Звідси 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t td L t dt dt dt dx dy′ ′ ′ ′= ϕ + ψ = ϕ + ψ = + 2 .

Зазвичай знак « » опускають. Вираз 2 2( ) ( ( )) ( ( ))dL t d x d y= +

називається диференціалом дуги. [ ]11 1 ,( ) ( ) ( )

i ii i i t tdL t L t L t L L−− −≈ − = = i

Наближена формула: 2 2( ( )) ( ( ))i iL d x d y≈ + t∆ .

Розглянемо просторову просту гладку параметризовану криву:

( )( )( )

x x ty y tz z t

=⎧⎪ =⎨=⎪⎩

, [ ]0 ,t T

( )x t , , - неперервно диференційовані на ( )y t ( )z t [ ]0 ,t T функції ⇒

0

(3) 2 2 2

(3) 2 2 2

( ) ( ) ( ) ,

( ) .

T

t

L x y z

d L dx dy dz

′ ′ ′= + +

= + +

∫ dt



8.4 Площа поверхонь обертання

Розглянемо просту гладку параметризовну криву

( )( ) 0

, [ , ],x t t t Ty t= ϕ⎧

∈⎨ = ψ⎩,

де функції і ( )tϕ ( )tψ є неперервними і мають неперервні похідні і , крім того, ( )t′ϕ ( )t′ψ ( ) 0tψ ≥ . Розглянемо параметризацію довжиною дуги s :

( )( )

, [0, ],,x s s Ly s= ϕ⎧

∈⎨ = ψ⎩

де L - довжина усієї кривої.

Рис. 8.10. Розглянемо розбиття кривої і параметру, що йому відповідає:

0 1 1 1

0 1 1 10 |

i i n n

i i n n

M M M M M M

|s s s s s s

− −

− −= < < < < < < < =

≺ ≺…≺ ≺ ≺…≺ ≺

… … L

При сполученні точок iM відрізками утвориться ламана. Означення. Площею поверхні обертання будемо називати

границю площ поверхонь, що утворені обертанням вписаних лама-них навколо осі O x при діаметрі розбиття, що прагне до нуля.

0lim ламаної поверхніd

P Р→

= .

Зауваження: Замість границі в означенні можна застосову-вати супремум.



Позначення: il - довжина прямолінійного відрізку 1i iM M− ;

is∆ - довжина дуги кривої, що сполучає точки 1i iM i M− , ( )i iy s= ψ ; ( )1 1i iy s− −= ψ ;

( ) ( )1 1i i i i iy y y s s− −∆ = − = ψ − ψ . Виведемо формулу для обчислення площі поверхні обертання

ламаної навколо OX . Очевидно. що

1

n

ламаної ii

Р P=

= ∑ ,

де - площа поверхні обертання відрізка iP 1[ ;i ]iM M− навколо осі , тобто - площа поверхні обертання зрізаного конуса.

O x

iP

( ) (12 22

i ii i i i i i i i

y yP l l y y y l y− += π = π + − ∆ = π − ∆ );iy

( )1 1 1 1 1

2 2 2n n n n n

лам i i i i i i i i i i ii i i i i

P l y l y l s y s y l= = = = =

= π − π ∆ = π − ∆ + π ∆ − π ∆∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y

i

.

Нехай

( )1 1

2 ;n n

i i i ii i

l s y l y= =

α = π − ∆ β = π ∆∑ ∑ .

Доведемо, що

0 0lim lim 0d d→ →

α = β = .

Розглянемо ( ) ( 1: i i iy s s −β ∆ = ψ − ψ ) ; Оскільки ( )tψ неперервна на , тому 0[ , ]t t ( )sψ неперервна

на [0, ]L . За теоремою Кантора ( )sψ - рівномірно неперервна, тобто

( )( ) ( )

1

1

0 0 : { } max

2

i i i

i i i

R s d s s

y s sL

−

−

∀ ε > ∃ δ > ∀ = = − < δ ⇒ε

⇒ ∆ = ψ − ψ <⋅

Тоді

1 1 12 2ламаної

n n n

i i i i ii i i

L L

l y l y l LL L= = =

= ≤

2ε ε ε

∆ ≤ ∆ < ⋅ ≤ ⋅ = ⇒⋅ ⋅∑ ∑ ∑ ;

0lim 0

2 d →

ε⇒ β < π⋅ ⇒ β = .



Розглянемо . Оскільки α ( )sψ неперервна на [0, ]L ⇒ (теорема Вейєрштрасса) обмежена на [0, ]L ⇒

( )0: | | [0, ]K s y K L⇒ ∃ > ψ = ≤ ∀ ;

( )1 1

n n

i i i i i кривої ламаноїi i

l s y K l s K L L= =

α ≤ − ∆ ⋅ ≤ ⋅ − ∆ = ⋅ −∑ ∑ .

Оскільки крива гладка, спрямлювана⇒0

limкривої ламаноїd

L L→

⇒ = ⇒

. ⇒0

lim 0d →

α =

Отже, має місце наближена рівність

1

2n

ламаної i ii

P y s=

≈ ⋅π ⋅ ∆∑ ( )i i, y s= ψ

s

;

0 0 1lim lim 2

n

ëàì àí î ¿ i id d iP y

→ →=

= ⋅π ⋅ ∆∑ ;

0

2L

ламаноїP y= ⋅π ⋅ ds∫ ;

Оскільки s параметр, що виражає довжину кривої, то - диференціал дуги:

ds

гладка крива задана параметрично

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2; ;t tds dx dy x t y t x y dt′ ′= + = = ϕ = ψ = + задана явно:

( )21 tds y dt′= + = ( )y f x= ; задана в полярній системі координат:

( ) ( ) ( )22 21 tds y dt dϕ′ ′= + = = ρ + ρ ϕ= ρ = ρ ϕ .

Загальний випадок: ( )0

2L

xP y s= ⋅π ⋅ ∫ ds

гладка крива задана параметри-чно:

( ) ( ) ( )0

2 22t

x tt

P y t x y′ ′= ⋅ π ⋅ +∫ t dt

крива задана явно: ( ) ( )22 1b

x xa

P f x f ′= ⋅ π ⋅ +∫ dx

крива задана в полярній системі координат: ( ) ( )222 sinP d

β

ρ ϕα

′= ⋅π ⋅ ρ ϕ ⋅ ϕ⋅ ρ + ρ ϕ∫



8.5 Схема застосування визначених інтегралів

Нехай необхідно знайти значення деякої величини , що за-лежить від . Наприклад, в якості може бути

Q[ ; ]a b Q , ,xL P S . Ве-

личина може бути геометричною, фізичною або іншою величи-ною.

Q

Припущення на Q : 1) залежить від [ ,[ , ] [ , ]a b Qα β ⊂ ⇒ ]α β ; 2) - адитивна функція відрізка, тобто Q

[ , ] [ , ] [ , ], , [ , ]a b Q Q Qα β β γ α γ∀ α β γ ∈ + = .

Рис. 8.11.

На рис. 8.11 наочно показана властивість адитивності у випадку, ко-ли є площею криволінійної трапеції і довжиною дуги. Q

Розглянемо ( ) ( )[ , ] ,x x x Q x x Q x+∆ → ∆ = ∆ - функція що за-лежить від [ ; ]x a b∈ .

Схема застосування визначеного інтегралу: 1) Розглянемо ( )Q x∆ , що відповідає [ , ]x x x+∆ . Мета: отримати наближену рівність ( ) ( )Q x q x x∆ ≈ ⋅∆ , де

знак “≈” слід розуміти так: ( )Q x∆ представляється у вигляді суми, один із доданків якої ( )q x x⋅∆ , а інші – нескінченно малі більш висо-кого порядку мализни, ніж x∆ .

Наприклад, при обчисленні площі поверхні обертання суми, що позначалися α і β , складалися з доданків більш високого поряд-ку мализни, ніж діаметр розбиття. (Діаметр відповідає приросту ар-гументу.)



2) Якщо вважати, що в якості x∆ виступають довжини відрізків розбиття ix∆ , то величині буде відповідати ( )Q x∆ ( )iQ x∆ . Якщо ми просумуємо

( ) [ , ]1

n

i ai

Q x Q=

∆ =∑ b

b

,

( ) [ , ]1

n

i i ai

q x x Q=

∆ ≈∑ ,

То після переходу до границі

0limd →

↓

( ) [ , ]

b

a ba

q x dx Q=∫ .

8.6 Статичні моменти і центр тяжіння плоских кривих

Статичний момент матеріальної т. M масою відносно

прямої дорівнює m

l lK m d= ± ⋅ . ( “+” або “-” визначається в залежно-сті від розташування т. M відносно прямої l (рис.8.12).

Рис. 8.12.

Рис. 8.13.

Тоді 1

n

l ii

iK m d=

= ⋅∑ - статичний момент системи матеріальних то-

чок, де має той знак, що відповідає розташуванню точки відносно прямої l .

id

Статичний момент кривої lK - ? (рис. 8.13) xK - ? або yK - ? (статичний момент кривої відносно або O y ) O x

Будемо вважати, що густина маси кривої 1 кгconstм

⎡ ⎤γ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Маса будь-якої ділянки кривої [ , ]s s s+ ∆ наближено дорівнює



m s∆ ≈ γ ⋅∆ . Тому після застосування зазначено схеми отримаємо формулу для обчислення маси кривої:

0 0

1L L

m ds ds L= γ = ⋅ =∫ ∫ ;

В загальному випадку constρ ≠ , тому використовується формула

( )0

L

m s= γ∫ ds .

Статичний момент ділянки кривої [ , ]s s s+ ∆ відносно осі абс-цис наближено можна замінити на статичний момент s точки, що належить цій ділянці:

( ) ( )xK m y s s y s∆ ≈∆ ⋅ = ∆ ⋅ . Тому після застосування зазначено схеми отримаємо формулу для обчислення статичного момент кривої відносно осі абсцис:

( )0

L

xK y s ds= ∫ .

Наприклад, для кривої, що задана явно

( ) ( )( )21

b

xa

K f x f x dx′= +∫ .

Рис. 8.14.

Означення. Центр тяжіння кривої – це матеріальна т. M , маса якої дорівнює масі цієї кривої, і статичний момент цієї точки відносно і до-рівнює статичному моменту цієї кривої відносно цих осей.

O x O y

За означенням і отриманими фо-рмулами маємо:

( ) ( ) ( ) ( ); ;M êð M êðx x y yK K K K= =

( )

( )( )

. .. .

. .. . ( )0

0

M ц тLx M M x ц т

Lц тц т кр

x x

K m y K L yL y y s ds

K K y s ds

⎫= ⋅ ⇒ = ⋅⎪⇒ ⋅ = ⇒⎬

= = ⎪⎭

∫∫

( ). .0

1 L

ц тy yL

⇒ = ⋅ ∫ s dx .

Аналогічно



( ). .

0

1ö ò

L

x x s dxL

= ⋅ ∫

Обидві частини рівності ( ). .0

L

ц тL y y s ds⋅ = ∫ помножимо на

, одержимо 2π

L ⋅ ( ). .0

2 2L

ö òy y⋅ π ⋅ = ⋅ π ⋅ ∫ s ds

- довжина кривої - довжина кола ,що описує центр тяжін-ня

- площа поверхні обер-тання кривої навколо вісі абсцис

Таким чином, отримано теорему. Теорема Гюльдена. Площа поверхні обертання кривої на-

вколо вісі абсцис дорівнює довжині цієї кривої, помноженій на дов-жину кола, що описує центр тяжіння кривої.

Задача. Знайдіть площу поверхні тора, що утворюється обер-танням кола навколо вісі абсцис.

Теми «Об’єм тіла обертання», «Центр тяжіння криволі-

нійної трапеції», «Механічна робота» виносяться на самостійне опрацювання.

Documents

8.1 Обчислення площ за допомогою інтегралівsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/8.pdf · 2009. 10. 26. · Площа може бути