Upload
others
View
20
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
390
8. ISPITNI ZADACI
Pismeni ispit 1
1. Preduzeće „Manufaktura“ koje proizvodi četiri proizvoda, A, B, C i D, treba
da odredi optimalan mesečni plan proizvodnje. Ugovorene obaveze sa firmom
„Distributer“ su takve da se mesečno mora proizvesti i isporučiti najmanje 700
proizvoda A, i najmanje 1400 proizvoda C. Za proizvodnju jednog proizvoda
A treba utrošiti 5 časova rada, za proizvod B 3 radna časa, za proizvodnju
proizvoda C 2 radna časa, i za proizvodnju proizvoda D 2 radna časa. Mesečni
kapacitet proizvodnje je 14.000 radnih časova. Profit po jedinici proizvoda A je
15 novčanih jedinica, proizvoda B 25 novčanih jedinica, proizvoda C je 35
novčanih jedinica i proizvoda D 45 novčanih jedinica.
a) (25 poena) Odrediti optimalan mesečni plan proizvodnje.
Baza u
opticaju
Rešenja za datu
bazu su:
Vrednost funkcije
cilja za datu bazu:
Koji vektor
ulazi/izlazi i
koeficijent ρ
0 =
z = A → 1 → A
ρ =
1 =
z = A → 2 → A
ρ =
2=
z = A → 3 → A
ρ =
3 =
z =
b) (5 poena) Menadžer preduzeća „Manufaktura“ uspeo je da promeni ugovor
nakon teških pregovora sa poslodavcima „Distributera“ i mesečno će im
isporučivati 750 proizvoda A.
Da li je menadžer postupio ispravno? Objasnite.
c) (5 poena) Koliko će iznositi profit nakon ove odluke?
Nova vrednost profita je z =
391
d) (5 poena) Adaptacijom postrojenja potrebno radno vreme za proizvodnju
proizvoda A sada je 2 radna časa. Usled pojave konkurencije profit po jedinici
proizvoda C smanjen je na 10 novčanih jedinica. Ispitati istovremeno uticaj
ovih promena na dobijeno optimalno rešenje.
Zaključak postoptimalne analize je da
___________________________________
2. Funkcije prihoda i troškova su zadate sledećim uslovima:
5000)0(2
797)2(;2
3400)(
TqT
RqqR
a) (5 poena) Odgovarajuće funkcije elastičnosti tražnje i elastičnosti prihoda
glase:
R
b) (7 poena) Interval rentabiliteta je ____________________
c) (8 poena) Maksimum profita u iznosu ________________ i koji se postiže
za q = ________ i p = ________.
3. Šef policije glavnog grada Nambije utvrdio je minimalni broj policajaca
koji treba da patrolira centrom grada tokom sledećih četvoročasovnih perioda
(tabela na sledećoj strani). Svaki policajac radi dve uzastopne četvoročasovne
smene.
a) (5 poena) Objasniti značenje uvedenih promenljivih.
b) (15 poena) Formulisati problem linearnog programiranja pomoću kojeg će
šef policije minimizirati broj policajaca koji će patrolirati centrom grada,
naravno, uz uslov da u svakom vremenskom periodu imamo neophodan broj
policajaca na ulici.
392
Vreme Minimalni
broj policajaca
00:00 - 04:00 8
04:00 - 08:00 7
08:00 - 12:00 6
12:00 - 16:00 6
16:00 - 20:00 5
20:00 - 24:00 4
4. Za projekat čiji se mrežni dijagam sastoji od devet realnih i dve
fiktivne aktivnosti poznati su podaci koji su pregledno dati u sledećoj
tabeli:
Posmatrane
aktivnosti
Neposredno
prethodne
aktivnosti
Vreme trajanja
aktivnosti
Troškovi izvođenja
aktivnosti
Normalno
Gij
Usiljeno
gij
Normalni
C(Gij)
Usiljeni
C(gij)
A - 17 15 32 44
B - 23 21 34 41
C - 18 14 33 40
D A 14 12 28 38
E B 22 19 36 42
F B 28 25 28 37
G B,C 22 20 24 27
H C,D 17 13 26 35
I E 17 15 20 28
Na osnovu podataka datih u tabeli potrebno je :
a) (10 poena) Konstruisati odgovarajući mrežni dijagram.
b) (10 poena) Odrediti minimalne troškove izvođenja projekta u zavisnosti od
njegovog vremena trajanja.
393
Rešenje
1. Preduzeće „Manufaktura“ koje proizvodi četiri proizvoda, A, B, C i D, treba
da odredi optimalan mesečni plan proizvodnje. Ugovorene obaveze sa firmom
„Distributer“ su takve da se mesečno mora proizvesti i isporučiti najmanje 700
proizvoda A, i najmanje 1400 proizvoda C. Za proizvodnju jednog proizvoda A
treba utrošiti 5 časova rada, za proizvod B 3 radna časa, za proizvodnju
proizvoda C 2 radna časa, i za proizvodnju proizvoda D 2 radna časa. Mesečni
kapacitet proizvodnje je 14.000 radnih časova. Profit po jedinici proizvoda A je
15 novčanih jedinica, proizvoda B 25 novčanih jedinica, proizvoda C je 35
novčanih jedinica i proizvoda D 45 novčanih jedinica.
a) (25 poena) Odrediti optimalan mesečni plan proizvodnje.
Baza u opticaju Rešenja za datu
bazu su:
Vrednost funkcije cilja
za datu bazu:
Koji vektor
ulazi/izlazi i ρ
0=(A5M,
A6M, A7)
x5M = 700
x6M = 1400
x7 = 14 000
z = −2100M A3 → 1 →
A6M
ρ = 1400
1=(A3, A5M,
A7)
x3 = 1400
x5M = 700
x7 = 11 200
z = 49 000 − 700M A1 → 2 →
A5M
ρ = 700
2=(A1, A3,
A7)
x1 = 700
x3 = 1400
x7 = 7700
z = 59 500 A4 → 3 →
A7
ρ = 3850
3=(A1, A3,
A4)
x1 = 700
x3 = 1400
x4 = 3800
z = 232 750
b) (5 poena) Menadžer preduzeća „Manufaktura“ uspeo je da promeni ugovor
nakon teških pregovora sa poslodavcima „Distributera“ i mesečno će im
isporučivati 750 proizvoda A.
Da li je menadžer postupio ispravno? Objasnite.
Nije postupio ispravno. Vrednost prve dualne promenljive iznosi
1 97,5.y Kako je prvo ograničenje 1 700x i na osnovu interpretacije
dualnih zaključujemo da povećanje ugovora za jednu jedinicu dovodi do
smanjenja profita za 97,5 novčanih jedinica.
394
c) (5 poena) Koliko će iznositi profit nakon ove odluke?
Nova vrednost profita je z = 232 500 – 50 ∙ 97,5 = 227875.
d) (5 poena) Adaptacijom postrojenja potrebno radno vreme za proizvodnju
proizvoda A sada je 2 radna časa. Usled pojave konkurencije profit po jedinici
proizvoda C smanjen je na 10 novčanih jedinica. Ispitati istovremeno uticaj
ovih promena na dobijeno optimalno rešenje.
Zaključak postoptimalne analize je da SE BAZA NE MENJA.
2. Funkcije prihoda i troškova su zadate sledećim uslovima:
5000)0(2
797)2(;2
3400)(
TqT
RqqR
a) (5 poena) Odgovarajuće funkcije elastičnosti tražnje i elastičnosti prihoda
glase:
400
p
p
400 2
400R
p
p
b) (7 poena) Interval rentabiliteta je [13,27; 215,3].
c) (8 poena) Maksimum profita u iznosu 17 857,143 se postiže za q = 114,29
i p = 314,28
395
3. Šef policije glavnog grada Nambije utvrdio je minimalni broj policajaca
koji treba da patrolira centrom grada tokom sledećih četvoročasovnih perioda
(tabela ispod). Svaki policajac radi dve uzastopne četvoročasovne smene.
Vreme Minimalni
broj policajaca
00:00 - 04:00 8
04:00 - 08:00 7
08:00 - 12:00 6
12:00 - 16:00 6
16:00 - 20:00 5
20:00 - 24:00 4
a) (5 poena) Objasniti značenje uvedenih promenljivih.
x1 – broj policajaca koji patroliraju gradom u periodu od 00:00 do 08:00
časova.
x2 – broj policajaca koji patroliraju gradom u periodu od 04:00 do 12:00
časova.
x3 – broj policajaca koji patroliraju gradom u periodu od 08:00 do 16:00
časova.
x4 – broj policajaca koji patroliraju gradom u periodu od 12:00 do 20:00
časova.
x5 – broj policajaca koji patroliraju gradom u periodu od 16:00 do 24:00
časova.
x6 – broj policajaca koji patroliraju gradom u periodu od 20:00 do 04:00
časova.
b) (15 poena) Formulisati problem linearnog programiranja pomoću kojeg će
šef policije minimizirati broj policajaca koji će patrolirati centrom grada,
naravno, uz uslov da u svakom vremenskom periodu imamo neophodan broj
policajaca na ulici.
396
1 2 3 4 5 6
1 6
1 2
2 3
3 4
4 5
(min)
8
7
6
6
v x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
5 6
1 2 3 4 5 6
5
4
, , , , , 0
x x
x x x x x x
4. Za projekat čiji se mrežni dijagam sastoji od devet realnih i dve
fiktivne aktivnosti poznati su podaci koji su pregledno dati u sledećoj
tabeli:
Posmatrane
aktivnosti
Neposredno
prethodne
aktivnosti
Vreme trajanja
aktivnosti
Troškovi izvođenja
aktivnosti
Normalno
Gij
Usiljeno
gij
Normalni
C(Gij)
Usiljeni
C(gij)
A - 17 15 32 44
B - 23 21 34 41
C - 18 14 33 40
D A 14 12 28 38
E B 22 19 36 42
F B 28 25 28 37
G B,C 22 20 24 27
H C,D 17 13 26 35
I E 17 15 20 28
Na osnovu podataka datih u tabeli potrebno je :
a) (10 poena) Konstruisati odgovarajući mrežni dijagram;
b) (10 poena) Odrediti minimalne troškove izvođenja projekta u zavisnosti od
njegovog vremena trajanja.
a)
397
b)
Rezultati minimizacije troškova izvođenja projekta
Red. broj
iteracije
Kritične
aktivnosti
Vreme trajanja projekta
T
Minimalni troškovi
izvođenja projekta C(T)
1.
2.
3.
4.
BEI *BE I
* *B E I
* * *B E I
T = 62
T = 59
T = 57
T = 55
C(T) = 261
C(T) = 267
C(T) = 274
C(T) = 282
398
Pismeni ispit 2
1. Linearan program rešiti počev od zadate baze 3. Rezultate SVAKE
ITERACIJE uneti u donju tabelu.
1 2 3
1 2
1 3
1 2 3
1 2 3
(max) 300 300 400
2 3 5000
2 6000
2 3 30 000
, , 0
z x x x
x x
x x
x x x
x x x
Baza u
opticaju
Rešenja za datu
bazu su:
Vrednost funkcije
cilja za datu bazu:
Koji vektor
ulazi/izlazi i
koeficijent ρ
3=(A2, A3,
A6)
x2 =
x3 =
x6 =
z = A → 4 → A
ρ =
4 =
z = A → 5 → A
ρ =
5 =
z = A → 6 → A
ρ =
6 =
z =
Optimalno rešenje se postiže za vrednost funkcije cilja _______________.
Vrednosti dodatnih promenljivih pokazuju da____________
Formulisati dualni
problem
Opt. vred.
dualnih
prom.:
Komentar svake dualne
promenljive (uneti ispod):
399
U postupku postoptimalne analize proveriti optimalnost dobijene baze za:
2
1
6 .
5
A
Zaključak postoptimalne analize je da
_______________________________________________________________
2. Funkcija prihoda preduzeća je zadata sa:
794)2(;3400)( RqqR
a) Funkcija ELASTIČNOSTI PRIHODA glasi:
R
b) Odgovarajuća funkcija ELASTIČNOSTI TRAŽNJE glasi:
c) Predstaviti funkcije ukupnog prihoda, graničnog prihoda i elastičnosti tražnje
na jednom grafiku.
d) Koristeći Amoroso-Robinsonovu relaciju izračunati prirast prihoda za
povećanje cene sa 200 na 250 novčanih jedinica.
Povećanje cene sa 200 na 250 novčanih jedinica dovedi do _______________
prihoda za ________________ jedinica.
400
3. Problem transporta je zadat tabelom:
B1 B2 B3 B4 Ponuda
10 7 0 3
A1 600
1 9 1 11
A2 200
0 4 5 9
A3 400
Tražnja 400 200 200 500
a) Početno bazično rešenje Vogelovim metodom je:
Ukupni troškovi dobijenog rešenja iznose ________________
b) Prvo poboljšano rešenje metodom skakanja sa kamena na kamen je:
Ukupni troškovi prvog poboljšanog rešenja iznose _____________________
c) Da li je prvo poboljšano rešenje optimalno? ____________
401
4. Za projekat čiji se mrežni dijagram sastoji od devet realnih aktivnosti poznati
su podaci koji su dati u sledećoj tabeli:
Posmatrane
Aktivnosti
Neposredno
Prethodne
aktivnosti
Vreme trajanja
aktivnosti
Troškovi izvođenja
aktivnosti
Normalno
Gij
Usiljeno
gij
Normal.
C(Gij)
Usiljeni
C(gij)
A - 26 22 39 49
B - 18 15 44 52
C A 20 17 40 49
D A 21 18 39 51
E B,D 13 11 41 53
F B 16 13 38 49
G B 21 20 36 45
H C,D 18 16 34 37
I F,E 17 16 24 31
Na osnovu podataka datih u tabeli potrebno je :
a) Konstruisati odgovarajući mrežni dijagram.
b) Odrediti minimalne troškove izvođenja projekta u zavisnosti od njegovog
vremena trajanja.
Rezultati minimizacije troškova izvođenja projekta
Red. Broj
iteracije
Kritične
aktivnosti
Vreme trajanja
projekta T
Minimalni troškovi
izvođenja projekta C(T)
402
Rešenje
1. Linearan program rešiti počev od zadate baze 3. Rezultate SVAKE
ITERACIJE uneti u donju tabelu.
.0,,
000.3032
000.62
000.532
400300300max
321
321
31
21
321
xxx
xxx
xx
xx
xxxz
Baza u
opticaju
Rešenja za datu
bazu su:
Vrednost funkcije
cilja za datu bazu:
Koji vektor
ulazi/izlazi i
koeficijent ρ
3=(A2, A3,
A6)
x2 = 1666,67
x3 = 6000
x6 = 10 333,33
z = 2 900 000 A5 → 4 →
A6
ρ = 3444,44
4=(A2, A3,
A5)
x2 = 1666,67
x3 = 9444,44
x5 = 3444,44
z = 4 277 777,78 A4 → 5 →
A5
ρ = 31 000
5=(A2, A3,
A4)
x2 = 12 000
x3 = 6000
x4 = 31 000
z = 6 000 000 A1 → 6 →
A3
ρ = 3000
6=(A1, A2,
A4)
x1 = 3000
x2 = 24 000
x4 = 73 000
z = 8 100 000
Optimalno rešenje se postiže za vrednost funkcije cilja 8 100 000. Vrednosti
dodatnih promenljivih pokazuju da
Donja granica prvog ograničenja prekoračena je za 73 000 jedinica. Donja
granica drugog ograničenja nije prekoračena. Gornja granica trećeg
ograničenja u potpunosti je iskorišćena.
403
Formulisati dualni problem
(uneti ispod)
Optimalne
vred.
dualnih
prom.:
Komentar svake dualne
promenljive
(uneti ispod):
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3
1 2 3
(min) 5000 6000 30000
2 2 2 300
3 300
3 400
, , 0
v y y y
y y y
y y
y y
y y y
1
2
3
0
150
300
y
y
y
Povećanje kapaciteta
prvog ograničenja za
jednu jedinicu neće
dovesti do promene
profita.
Povećanje kapaciteta
drugog ograničenja za
jednu jedinicu dovešće
do smanjenja profita od
150 jedinica.
Povećanje kapaciteta
trećeg ograničenja
dovešće do porasta
profita u iznosu od 300
jedinica.
U postupku postoptimalne analize proveriti optimalnost dobijene baze za:
2
1
6 .
5
A
Zaključak postoptimalne analize je da se baza menja.
2. Funkcija prihoda preduzeća je zadata sa:
794)2(;3400)( RqqR
a) Funkcija ELASTIČNOSTI PRIHODA glasi:
400 2
400R
p
p
b) Odgovarajuća funkcija ELASTIČNOSTI TRAŽNJE glasi:
400
p
p
404
c) Predstaviti funkcije ukupnog prihoda, graničnog prihoda i elastičnosti tražnje
na jednom grafiku.
Ostavljamo vam za samostalni rad.
d) Koristeći Amoroso-Robinsonovu relaciju izračunati prirast prihoda za
povećanje cene sa 200 na 250 novčanih jedinica.
Povećanje cene sa 200 na 250 novčanih jedinica dovedi do smanjenja prihoda
za 1666,67 jedinica.
3. Problem transporta je zadat tabelom:
B1 B2 B3 B4 Ponuda
10 7 0 3
A1 600
1 9 1 11
A2 200
0 4 5 9
A3 400
Tražnja 400 200 200 500
a) Početno bazično rešenje Vogelovim metodom je:
B1 B2 B3 B4 Ponuda
10 7 0 3
A1 100 500 600
1 9 1 11
A2 200 200
0 4 5 9
A3 400 400
0 0 0 0
4
FA 100 100
Tražnja 400 200 200 500
405
Ukupni troškovi dobijenog rešenja iznose: 2400.
b) Prvo poboljšano rešenje metodom skakanja sa kamena na kamen je:
B1 B2 B3 B4 Ponuda
10 7 0 3
A1 100 500 600
1 9 1 11
A2 100 100 200
0 4 5 9
A3 300 100 400
0 0 0 0
4
FA 100 100
Tražnja 400 200 200 500
Ukupni troškovi prvog poboljšanog rešenja iznose: 2100.
c) Da li je prvo poboljšano rešenje optimalno? DA
4. Za projekat čiji se mrežni dijagram sastoji od devet realnih aktivnosti poznati
su podaci koji su dati u sledećoj tabeli:
Posmatrane
Aktivnosti
Neposredno
Prethodne
aktivnosti
Vreme trajanja
aktivnosti
Troškovi izvođenja
aktivnosti
Normalno
Gij
Usiljeno
gij
Normal.
C(Gij)
Usiljeni
C(gij)
A - 26 22 39 49
B - 18 15 44 52
C A 20 17 40 49
D A 21 18 39 51
E B,D 13 11 41 53
F B 16 13 38 49
G B 21 20 36 45
H C,D 18 16 34 37
I F,E 17 16 24 31
Na osnovu podataka datih u tabeli potrebno je :
a) Konstruisati odgovarajući mrežni dijagram
406
Mrežni dijagram
b) Odrediti minimalne troškove izvođenja projekta u zavisnosti od
njegovog vremena trajanja.
Rezultati minimizacije troškova izvođenja projekta
Red. Broj
iteracije
Kritične
aktivnosti
Vreme trajanja
projekta T
Minimalni troškovi
izvođenja projekta C(T)
1.
2.
3.
4.
5.
ADEI *A DEI
* *A D EI * * *A D E I
* * * * A D E I
T = 77
T = 73
T = 70
T = 68
T = 67
C(T) = 335
C(T) = 345
C(T) = 357
C(T) = 369
C(T) = 376
407
Pismeni ispit 3
1. Fabrika „Rudnik“ proizvodi tri proizvoda, A, B i C, i treba da odredi
optimalni mesečni plan proizvodnje. Kapacitet fabrike je takav da ukupno sva
tri proizvoda mesečno može da proizvede najviše 27.000 jedinica proizvoda,
pri čemu je minimum proizvodnje, odnosno prag rentabiliteta, 8000 jedinica
sva tri proizvoda. Na osnovu ugovorenih obaveza sa kompanijom „Trgovac“,
fabrika „Rudnik“ mora proizvesti i isporučiti najmanje 3000 jedinica
proizvoda C. Profit po jedinici proizvoda je 50 za proizvod A, 100 za proizvod
B, i 50 za proizvod C.
a) Odrediti optimalni mesečni plan proizvodnje.
Baza u
opticaju
Rešenja za datu
bazu su:
Vrednost funkcije
cilja za datu bazu:
Koji vektor
ulazi/izlazi i
koeficijent ρ
0 =
z = A → 1 → A
ρ =
1 =
z = A → 2 → A
ρ =
2=
z = A → 3 → A
ρ =
3 =
z =
b) Preduzeće „Trgovac“ nudi novi ugovor kompaniji „Rudnik“ u kojem bi
kompanija „Rudnik“ dostavljala na mesečnom nivou 3500 proizvoda C.
Vrednosti dualnih promenljivih su:
_______________________________________________________________
Na osnovu ovih vrednosti dualnih promenljivih kakva treba da bude konačna
odluka menadžmenta kompanije „Rudnik“, da li treba prihvatiti ovakvu izmenu
ugovora? Objasnite.
_______________________________________________________________
408
c) Menadžment „Rudnika“ uspeo je da uspostavi saradnju sa kompanijom
"Mašine i alati" kojom je ugovoreno povećanje kapaciteta fabrike sa 27000 na
30000 jedinica. Dogovor je da "Mašine i alati" budu plaćeni tačno za porast
profita kompanije "Manufaktura" koji bi se ostvario povećanjem kapaciteta
fabrike. Koliko će "Rudnik" platiti kompaniji "Mašine i alati" ovo uvećanje
proizodnog pogona?
Platiće im __________________ novčanih jedinica.
2. Problem transporta je zadat tabelom
B1 B2 B3 B4 Ponuda
A1 8 7 0 3
500
A2 8 4 1 10
700
A3 0 4 5 8
500
Tražnja 500 500 400 400
a) Početno bazično rešenje Vogelovim metodom je:
Ukupni troškovi dobijenog rešenja iznose: _________________________
b) Prvo poboljšano rešenje metodom skakanja sa kamena na kamen je:
Nova vrednost troškova je _________________________. Da li je to
optimalno rešenje?
3. Markovljev model za odredjivanje konačnog stanja potraživanja je zadata
Markovljevom matricom M. Preduzeće ima potraživanja sa rokom naplate do
30 dana u iznosu od 250.000 dinara i potraživanja sa rokom naplate od 30 do
90 dana u iznosu od 350.000 dinara.
409
20.025.025.030.0
15.010.040.035.0
0010
0001
M
a) Fundamentalna matrica F iznosi:
F =
b) Matrica K iznosi:
K =
c) To znači da verovatnoća da će se potraživanja sa rokom naplate do 30 dana
NAPLATITI iznosi ___________ procenata, a verovatnoća da će BITI
OTPISANA iznosi ___________ procenata.
Takodje, verovatnoća da će se potraživanja sa rokom naplate od 30 do 90 dana
NAPLATITI iznosi ___________ procenata, a verovatnoća da će BITI
OTPISANA iznosi ___________.procenata.
d) Preduzeće će UKUPNO otpisati ______________________ dinara
potraživanja, a naplatiti ______________________ dinara svojih ukupnih
potraživanja.
410
4. Za projekat čiji se mrežni dijagram sastoji od devet realnih aktivnosti
poznati su podaci koji su dati u sledećoj tabeli:
Posmatrane
aktivnosti
Neposerdno
prethodne
aktivnosti
Vreme trajanja
aktivnosti
Troškovi izvođenja
aktivnosti Normalno
Gij
Usiljeno
gij
Normalni
C(Gij)
Usiljeni
C(gij)
A - 14 12 32 41
B - 22 21 31 34
C A 16 13 29 41
D B 11 9 33 36
E B 20 17 34 49
F B 32 28 32 42
G A,E 14 10 39 45
H D,E 17 14 31 34
I C,E 19 16 23 35
a) Konstruisati odgovarajući mrežni dijagram i obavezno označiti kritični put
na mrežnom dijagramu.
b) Odrediti minimalne troškove izvođenja projekta u zavisnosti od njegovog
vremena trajanja.
Redni broj
iteracije
Kritični put (uneti
svaki kritični put za
sve iteracije)
Vreme trajanja
projekta T
Minimalni troškovi
izvođenja projekta
C(T)
411
Rešenje
1. Fabrika „Rudnik“ proizvodi tri proizvoda, A, B i C, i treba da odredi
optimalni mesečni plan proizvodnje. Kapacitet fabrike je takav da ukupno sva
tri proizvoda mesečno može da proizvede najviše 27.000 jedinica proizvoda,
pri čemu je minimum proizvodnje, odnosno prag rentabiliteta, 8000 jedinica
sva tri proizvoda. Na osnovu ugovorenih obaveza sa kompanijom „Trgovac“,
fabrika „Rudnik“ mora proizvesti i isporučiti najmanje 3000 jedinica
proizvoda C. Profit po jedinici proizvoda je 50 za proizvod A, 100 za proizvod
B, i 50 za proizvod C.
a) Odrediti optimalni mesečni plan proizvodnje.
Baza u opticaju Rešenja za
datu bazu su:
Vrednost funkcije
cilja za datu bazu:
Koji vektor
ulazi/izlazi i ρ
0 = (A4, A5M, A6M)
x4 = 27 000
x5M = 8000
x6M = 3000
z = −11 000M A3 → 1 → A6M
ρ = 3000
1 = (A3, A4, A5M)
x3 = 3000
x4 = 24 000
x5M = 5000
z = 150 000 –
5000M
A2 → 2 → A5M
ρ = 5000
2 = (A2, A3, A4)
x2 = 5000
x3 = 3000
x4 = 24 000
z = 650 000 A5 → 3 → A4
ρ = 19 000
3 = (A2, A3, A5)
x2 = 5000
x3 = 3000
x5 = 19 000
z = 2 550 000
b) Preduzeće „Trgovac“ nudi novi ugovor kompaniji „Rudnik“ u kojem bi
kompanija „Rudnik“ dostavljala na mesečnom nivou 3500 proizvoda C.
Vrednosti dualnih promenljivih su:
1 2 3100, 0, 50.y y y
Na osnovu ovih vrednosti dualnih promenljivih kakva treba da bude konačna
odluka menadžmenta kompanije „Rudnik“, da li treba prihvatiti ovakvu izmenu
ugovora? Objasnite.
Ne treba prihvatiti izmenu ugovora. Dualna promenljiva iznosi 50,
ograničenje u zadatku je 3 50,x dakle povećanje ugovora za jednu
jedinicu dovodi do smanjenja prihoda od 50 jedinica.
412
c) Menadžment „Rudnika“ uspeo je da uspostavi saradnju sa kompanijom
"Mašine i alati" kojom je ugovoreno povećanje kapaciteta fabrike sa 27000 na
30000 jedinica. Dogovor je da "Mašine i alati" budu plaćeni tačno za porast
profita kompanije "Manufaktura" koji bi se ostvario povećanjem kapaciteta
fabrike. Koliko će "Rudnik" platiti kompaniji "Mašine i alati" ovo uvećanje
proizodnog pogona?
Platiće im 300 000 novčanih jedinica ( 3000 100)z
2. Problem transporta je zadat tabelom
B1 B2 B3 B4 Ponuda
8 7 0 3
A1 500
8 4 1 10
A2 700
0 4 5 8
A3 500
Tražnja 500 500 400 400
a) Početno bazično rešenje Vogelovim metodom je:
B1 B2 B3 B4 Ponuda
8 7 0 3
A1 100 400 500
8 4 1 10
A2 400 300 700
0 4 5 8
A3 500 500
0 0 0 0
4
FA 100 100
Tražnja 500 500 400 400
Ukupni troškovi dobijenog rešenja iznose: 3100
413
b) Prvo poboljšano rešenje metodom skakanja sa kamena na kamen je:
Početno bazično rešenje je optimalno jer su sve vrednosti 0.ijd
Nova vrednost troškova je _________________________. Da li je to
optimalno rešenje?
3. Markovljev model za određivanje konačnog stanja potraživanja je zadata
Markovljevom matricom M. Preduzeće ima potraživanja sa rokom naplate do
30 dana u iznosu od 250.000 dinara i potraživanja sa rokom naplate od 30 do
90 dana u iznosu od 350.000 dinara.
1 0 0 0
0 1 0 0
0,35 0,40 0,10 0,15
0,30 0,25 0,25 0,20
M
a) Fundamentalna matrica F iznosi:
1,17 0,22
0,37 1,32F
b) Matrica K iznosi:
0,48 0,52
0,52 0,48K
c) To znači da verovatnoća da će se potraživanja sa rokom naplate do 30 dana
NAPLATITI iznosi 48 procenata, a verovatnoća da će BITI OTPISANA iznosi
52 procenta.
414
Takodje, verovatnoća da će se potraživanja sa rokom naplate od 30 do 90 dana
NAPLATITI iznosi 52 procenata, a verovatnoća da će BITI OTPISANA iznosi
48.procenata.
d) Preduzeće će UKUPNO otpisati 298 000 dinara potraživanja, a naplatiti 302
000 dinara svojih ukupnih potraživanja.
4. Za projekat čiji se mrežni dijagram sastoji od devet realnih aktivnosti
poznati su podaci koji su dati u sledećoj tabeli:
Posmatrane
aktivnosti
Neposerdno
prethodne
aktivnosti
Vreme trajanja
aktivnosti
Troškovi izvođenja
aktivnosti
Normalno
Gij
Usiljeno gij Normal.
C(Gij)
Usiljeni
C(gij)
A - 14 12 32 41
B - 22 21 31 34
C A 16 13 29 41
D B 11 9 33 36
E B 20 17 34 49
F B 32 28 32 42
G A,E 14 10 39 45
H D,E 17 14 31 34
I C,E 19 16 23 35
a) Konstruisati odgovarajući mrežni dijagram i obavezno označiti kritični put
na mrežnom dijagramu:
415
b) Odrediti minimalne troškove izvođenja projekta u zavisnosti od njegovog
vremena trajanja.
Redni broj
iteracije
Kritični put (uneti svaki
kritični put za sve
iteracije)
Vreme trajanja projekta
T
Minimalni troškovi
izvođenja projekta
C(T)
1.
2.
3.
4.
5.
BEI *B EI * ' *,B EI B EH
* * ' * *,B E I B E H
* * * * * ',B E I B E H
T = 61
T = 60
T = 58
T = 55
T = 54
C(T) = 284
C(T) = 287
C(T) = 295
C(T) = 310
C(T) = 315
416
Usmeni ispit 1
Napomena autora: pred vama su primeri usmenog dela ispita koji su se javljali
u prethodnih par godina. Pitanja su esejskog tipa, ali nisu strana ni pitanja
zatvorenog tipa. Tačan odgovor na pitanje o broju esejskih pitanja ne postoji, i
varira od ispita do ispita. Ono što je izvesno je da će suma poena na usmenom
biti 100 i da će vam pored svakog pitanja biti naznačeno koliko poena ono nosi.
1. (20 poena) Izvesti formulu za izračunavanje drugog simpleks kriterijuma.
2. (20 poena) Višestruko optimalno rešenje i problem degeneracije – analitička
i grafička interpretacija.
3. (10 poena) Za izradu plana proizvodnje koristi se matematički model
linearnog programiranja u kome ima ukupno 200 promenljivih (koje
predstavljaju planirane količine koje treba proizvesti za tih 200 različitih
proizvoda) i 75 ograničenja (koja se odnose na 75 raspoloživih proizvodnih
resursa). Broj različitih proizvoda koje treba proizvoditi u optimalnom planu
proizvodnje koji bi se dobio rešavanjem ovog modela simpleks algoritmom
iznosi najviše:
a) 75
b) 200
c) 275
d) Zavisi od znaka ograničenja.
e) Nijedan od ponuđenih odgovora.
4. (10 poena) Odgovoriti sa da ili ne, za svaku sliku, da li ona predstavlja skup
mogućih rešenja mešovitog problema maksimuma.
__________ __________ __________
5. (15 poena) Dat je standardni problem maksimuma sa tri ograničenja i četiri
realne promenljive. Za optimalno rešenje zadatka neka su vrednosti dodatnih
а b c
417
promenljivih 5 6 70, 40 10x x i x , tada su optimalne vrednosti realnih
promenljivih duala:
a) 1 2 30, 0, 0y y y ;
b) 1 2 30, 0, 0y y y ;
c) 1 2 30, 0, 0y y y ;
d) 1 2 30, 0, 0y y y ;
e) nijedan od ponuđenih odgovora
6. (10 poena) Za iznos karakteristične cene 140 . .cp n j , marginalni prihod
dR
dp, je ________________.
7. (10 poena) Posmatramo transportni problem u kome prenosimo robu iz
m magacina u n prodavnica. Rešili smo zadatak i u njemu se jednom pojavio
problem degeneracije. Broj pozitivnih promenljivih u odgovarajućem problemu
transporta iznosi:
a) m n ; b) 1m n ; c) 3m n ; d) 2m n ; d) Nijedan od
ponuđenih odgovora.
Rešenje:
1. Pogledajte knjigu, strane 216 i 217.
2. Pogledajte knjigu, strane 285-291.
3. Tačan odgovor je a). Broj promenljvih u bazi zavisi od broja ograničenja, i
iznosi 75. Dakle, ukupan broj proizvoda (ili kombinacija proizvoda) koji se
dobija kao rešenje ovog modela za optimalnu proizvodnju može da iznosi
najviše 75.
4. Odgovori su redom, DA, NE, NE. Podsetite se u knjizi, šta znači da određeni
skup predstavlja skup mogućih rešenja i šta je karakteristčno za skup mogućih
rešenja mešovitog problema maksimuma.
5. Tačan odgovor je pod a). Dovoljno je uočiti da su druge dve dodatne
promenljive bazične. Samim tim, razlike 6 6c z i 7 7c z su jednake nuli, što
znači da za dve odgovarajuće dualne promenljive imamo 2 3 0.y y
418
6. Marginalni prihod iznosi 0.
7. Tačan odgovor je pod d). Problem degeneracije znači da ćemo imati jednu
promenljivu manje u optimalnom rešenju, ukupno m + n 2.
Usmeni ispit 2
1. (20 poena) Opšte osobine rešenja linearnog programiranja.
2. (20 poena) Za proizvode A i B koji se prodaju po ceni od .120 dinpA i
.210dinpB , koeficijent ukrštene elastičnosti je
, 1,2.A B
Objasniti dobijeni rezultat.
3. (10 poena) Početno bazično rešenje mešovitog problema minimuma zadatka
linearnog programiranja formiraju promenljive
a) samo dodatne;
b) samo veštačke;
c) realne i veštačke;
d) dodatne i veštačke e) zavisi od postavke zadatka
4. (10 poena) Za obim proizvodnje 800q t , koeficijent elastičnosti prosečnih
troškova je 0,80C , odnos između prosečnih troškova C
i graničnih
troškova 'C , je
a) 'C C ;
b) 'C C ;
c) 'C C ;
d) 'C C ;
e) 'C C ;
5. (10 poena) U transportnom problemu degeneracija se pojavljuje ako je:
a) Ukupna ponuda veća od ukupne tražnje.
b) Ukupna ponuda manja od ukupne tražnje.
c) Parcijalna suma ponude jednaka parcijalnoj sumi tražnje.
d) Ukupna ponuda jednaka ukupnoj tražnji.
e) Nijedan od prethodnih odgovora.
419
6. (15 poena) Date su vrednosti dualnih promenljivih u zadatku u kojem se ne
pojavljuje ni jedan specijalni slučaj:
1 2 3100, 200, 0.y y y
Broj bazičnih dodatnih promenljivih u optimalnoj bazi primarnog problema
tada je jednak ______________.
7. (15 poena) U proizvoljnoj bazi problema maksimuma linearnog
programiranja dobijene su sledeće vrednosti u drugom simpleks kriterijumu:
5 61
12 52 62
100, 100, 300.x xx
x x x
O kom specijalnom slučaju linearnog programiranja je reč?
a) Problem degeneracije
b) Nepostojanje skupa mogućih rešenja.
c) Neograničena vrednost funkcije cilja
e) Višestruko optimalno rešenje
f) U ovoj situaciji se ne javlja nijedan specijalni slučaj linearnog programiranja
Rešenje:
1. Pogledajte knjigu, reč je o teoremama 1 i 2, strane 203-206.
2. Pogledajte knjigu, strane 17-19.
3. Tačan odgovor je pod b). Reč je o standardnom problemu minimuma.
4. Tačan odgovor je pod d).
5. Tačan odgovor je pod c).
6. Broj bazičnih dodatnih promenljivih u optimalnoj bazi primarnog problema
tada je jednak 2.
7. Tačan odgovor je pod a).