8-15-1-SM

PENGGUNAAN METODE CROSS … (JEMMY WIJAYA, DKK)

JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 9. NO. 3 NOPEMBER 2013 | 167

PENGGUNAAN METODE CROSS PADA BALOK DENGAN

KEKAKUAN TIDAK MERATA

Jemmy Wijaya dan Fanywati Itang

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Tarumanagara

e-mail: [email protected]

ABSTRACT

There are several methods that can be used in analyzing the statically indeterminate beam with beam's difference

stiffness EI: Consistent Deformation Method, Slope deflection method, Clapeyron method, and Cross methods. In

this paper the Cross method will be discussed in the completion of statically indeterminate beam with a

difference of the beam's stiffness EI for the completion with this method is more simple. In the application of the

Cross method, the distribution coefficient at a point of bifurcation, the value of carry-over factor and the

magnitude of primary moment at the beam's end need to be known before.

Keywords: Stiffness, distribution coefficient, carry over factor, fixed end moment.

ABSTRAK

Ada beberapa metode yang bisa dipakai dalam menganalisis balok dengan kekakuan yang tidak merata antara

lain metode Consistent Deformation, metode Slope Deflection, metode Clapeyron, dan metode Cross. Dalam

tulisan ini akan dibahas penggunaan metode Cross dalam penyelesaian struktur balok statis tak tentu dengan

kekakuan yang tidak merata karena penyelesaian dengan metode ini lebih sederhana. Pada penggunaan metode

Cross, ada beberapa hal yang harus diketahui terlebih dahulu yaitu koefisien distribusi pada satu titik

percabangan, besar faktor pemindah (carry over factor) dan besaran momen primer (fixed end moment) pada

ujung-ujung balok.

Kata kunci: kekakuan, koefisien distribusi, faktor pemindah, fixed end moment.

PENDAHULUAN

Metode Cross ini awalnya

diperkenalkan oleh Prof. Hardy Cross pada

tahun 1930 yang merupakan suatu metode

dalam penyelesaian analisis struktural balok

kontinu dan kerangka kaku statis tak tentu.

Pada hakekatnya metode ini merupakan

suatu cara untuk menyelesaikan persaman-

persamaan serempak di dalam metode

defleksi dengan pendekatan berturut-turut,

dengan derajat ketelitian berapapun sesuai

dengan kehendak [1].

Dalam metode distribusi moment

terdapat beberapa pengertian sebagai

berikut:

a. Faktor pemindah/koefisien induksi

(carry over factor)

Suatu faktor pemindah terhadap perataan

momen pada satu titik untuk

mendapatkan momen pada ujung titik

lainnya.

b. Faktor distribusi (distribution factor)

Perbandingan besaran momen yang

terdistribusi pada batang-batang yang

bertemu di satu titik atau koefisien

distribusi untuk besaran momen-momen

yang diterima batang-batang yang

bertemu pada satu titik percabangan.

c. Faktor kekakuan (stiffness factor)

Suatu faktor pengali yang didapat dari

kekakuan balok untuk menentukan

besarnya momen di satu titik yang

diperlukan untuk berputar sudut dititik

tersebut sebesar satu radial.

d. Momen primer (fixed end moment)

Besaran momen pada ujung balok akibat

beban luar.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Analisis Struktur Metode Cross

1. Hitung momen primer setiap balok

akibat beban merata maupun terpusat

sesuai dengan rumus yang diturunkan

pada bab IV dan V.



2. Hitung nilai kekakuan lentur (faktor

kekakuan) setiap balok sesuai dengan

penurunan rumus pada bab VI.

3. Hitung koefisien distribusi balok pada

setiap titik kumpul dengan faktor

pemindah yang diturunkan pada bab

VI.

4. Buat tabel Cross dan lakukan distribusi

momen akibat beban luar sehingga

diperoleh momen- momen diujungnya.

5. Untuk menghentikan pendistribusian

momen, paling sedikit sudah melakukan

5 putaran dalam perataan momen dan

momen yang didistribusikan sudah

mencapai nilai yang kecil dibandingkan

dengan nilai awal dari momen itu

sendiri.

Besar Putaran Sudut

Untuk mendapatkan besaran Fixed

End Moment (momen primer) akibat

berbagai jenis beban pada balok dengan

kekakuan yang tidak merata, maka perlu

dicari terlebih dahulu besar putaran sudut

yang terjadi. Untuk mendapatkan rumus

deformasi/putaran sudut akibat berbagai

beban digunakan metode unit load.

Penurunan rumus tersebut sudah dibahas

pada penulisan "Penggunaan Metode

Clapeyron Pada Balok dengan Kekakuan

yang berbeda" yang diterbitkan pada Jurnal

Teknik Universitas Pancasila Volume 26

Nomor 1, Februari 2013 [2].

Dari rumus tersebut, dapat dihasilkan

putaran sudut untuk keadaan sebagai

berikut:

24EI

PL θ

2

A 96EI

5PL θ

2

B

256EI

7qL θ

3

A EI256

9qL θ

3

B

EI16

L3M θ A

A 8EI

LM θ A

B

8EI

LM θ B

A EI16

L5M θ B

B

1/2 L E

I 1/2 L 2E

I

MB

L

B A

1/2 L EI

1/2 L 2EI

MA

L

B A

q

1/2 L 1/2 L

L

B A 2EI EI

A

1/2 L 1/2 L

L

P

B 2EI EI

Gambar 1. Struktur Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI diberi Beban Terpusat P di Tengah-tengah Bentang

Gambar 2. Struktur Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI diberi Beban Merata q

Gambar 3. Struktur Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI Diberi Beban Momen MA di Titik A

Gambar 4. Struktur Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI Diberi Beban Momen MB di Titik B



Fixed And Moment/Momen Primer

48EI

2BA

AB 024EI

PL

8EI

LM

EI16

L3M θ

x

96EI

2BA

BA 096EI

5PL

16EI

L5M

EI8

LM θ

x

)........(2PL6ML M9 2BA i )........(5PL30ML M12 2

BA ii

dari kedua persamaan di atas diperoleh: PL66

10 MA dan PL

66

7 MB

Maka: FE PL66

10MAB dan FE PL

66

7MBA

L

256EI

3BA

AB 0=256EI

7qL+

8EI

LM

EI16

L3M= θ

x

L

256EI

3BA

BA 0256EI

9qL

16EI

L5M

EI8

LM θ

x

).........(7qLM32 M48 2BA i )........(qL9M80 M32 2

BA ii

dari kedua persamaan diatas diperoleh 2

B2

A qL176

13 Mdan qL

176

17 M

Maka: FE 2

AB qL176

17M dan FE

2BA qL

176

13M

Stifness Factor (Faktor Kekakuan) dan

Carry Over Factor (Faktor Pemindah)

Apabila momen berlawanan jarum

jam M dikerjakan di ujung bersendi suatu

batang lurus bermomen inersia berbeda yang

bersendi di salah satu ujungnya serta terjepit

di ujung lainnya, sebagaimana diperlihatkan

pada gambar 7. rotasi θA di tumpuan sendi

dan momen MB di tumpuan jepitnya dapat

dicari.

B A

MA MB q

1/2 L 1/2 L

L

2EI EI

2EI 1/2 L

MA

A

MB

1/2 L C

L

P

B EI

Gambar 5. Struktur Jepit-jepit Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI Diberi Beban Terpusat P di Tengah

Bentang

Gambar 6. Struktur Jepit-jepit Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI diberi Beban Merata q Sepanjang Bentang



Kondisi I

Terapkan teorema balok padanan untuk

mendapatkan θA1, θB1 (gambar 10) dan θA2,

θB2 (gambar 12), kemudian samakan θB

dengan nol untuk mendapatkan nilai faktor

pemindah.

16EI

3MLV θ

1A1A 8EI

MLV θ

1B1B

8EI

LMV θ B

2A2A 16EI

L5MV θ B

2B2B

(1) ......persM.........5

2=M→

8

M=

16

5M

0=16EI

L5M-

8EI

ML=θ+θ=θ

BB

B2B1BtotalB

M A sendi

1/2 L 1/2 L

L

B jepit 2EI EI

MB M

1/2 L 1/2 L

L

B sendi

2EI EI

A sendi

1/2 MB MB

A5 A6

MB/EI

MB/2EI

MB/4EI

VB2 VA2 A4

VB1 VA1

A B

A3 A2 A1

M/2EI

M/4EI

M/2EI

M

1/2 M

Gambar 8. Struktur Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI diberi Beban M di ujung Sendi A dan Beban MB di

Ujung Sendi B.

Gambar 9. Diagram momen akibat beban luar M

di titik A

Gambar 11. Diagram momen akibat MB

di titik B

Gambar 10. Bidang momen sebagai beban

akibat M di titik A Gambar 12. Bidang momen sebagai beban

akibat MB di titik B

Gambar 7. Struktur Dengan Kekakuan Balok 2EI dan EI diberi Beban M di Ujung Sendi A



artinya carry over factor (COF) di B = 2/5

atau faktor pemindah dari A ke B = 2/5.

Jumlahkan θA1 dan θA2 dan subtitusi nilai

MB yang didapat dari persamaan (1) untuk

mendapatkan faktor kekakuan balok AB

A

2A1AtotalA

θ11L

80EI=M

80EI

11ML=θ+θ=θ

Bila θA = 1 radial maka 11L

80EIM . Angka

11L

80EIini disebut faktor kekakuan balok AB atau

disebut juga stiffness factor AB.

Kondisi II

Hal yang sama dikerjakan untuk kondisi seperti gambar 13 dibawah ini.

8EI

MLV θ

1A1A 48EI

15MLV θ

1B1B

A2 A3

M/EI

M/2EI

M/4EI

VB1 VA1

A1

1/2 M M

Gambar 17. Bidang momen akibat beban MA

di titik A

M A jepit

1/2 L 1/2 L

L

B sendi 2EI EI

MA M

1/2 L 1/2 L

L

B sendi

2EI EI

A sendi

Gambar 14. Struktur Dengan Kekakuan

Balok 2EI dan EI di beri Beban Momen MA

di titik A dan Momen M di Titik B

Gambar 15. Diagram Momen Akibat Beban Luar

M di titik B


akibat M di titik B

MA

1/2 MA

Gambar 13. Struktur Dengan Kekakuan Balok ˆ2EI

dan EI diberi Beban M di Ujung Sendi B



16EI

L3MV θ A

2A2A

8EI

LMV θ A

2B2B

M3

2=M→

8

M=

16

3M

0=16EI

L3M+

8EI

ML-=θ+θ=θ

AA

A2A1AtotalA

artinya carry over factor (COF) di A = 2/3 atau faktor pemindah dari B ke A = 2/3

48EI

11ML=θ+θ=θ 2B1BtotalB

Bθ11L

48EI=M

Bila θB = 1 radial maka 11L

48EIM . Angka

11L

48EIini disebut faktor kekakuan balok BA atau

disebut juga stiffness factor BA.

Rangkuman

COF = 2/5 COF = 2/3

Faktor pemindah (COF) untuk perataan momen (Balance moment) dari titik A ke B adalah

2/5,

Faktor pemindah (COF) dari titik B ke A adalah 2/3.

Kekakuan balok AB adalah 11L

80EI dan kekakuan balok BA adalah

11L

48EI


akibat momen MA di titik A

A

1/2 L 1/2 L

B 2EI EI

VA2

A B

A6 A5 A4

MA/2EI

MA/4EI

MA/2EI

VB2

Gambar 5. Beban COF dari A ke B dan dari B ke A



Analisis Free Body dan Gambar Bidang

Momen, Lintang dan Normal

Analisis free body dilakukan untuk

menghitung reaksi perletakan akibat beban

luar dan momen ujung pada setiap balok.

1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang-

batang yang bebas.

2. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap

ujung balok akibat beban luar dan

momen ujung yang telah diperoleh.

3. Jumlahkan semua hasil perhitungan

langkah 2 untuk memperoleh besarnya

reaksi perletakan total.

4. Dengan data-data pada langkah 2, hitung

momen maksimum yang terjadi pada

setiap balok.

5. Gambar bidang momen, lintang dan

normal.

CONTOH SOAL

Koefisien distribusi

μba : μbc = 11(12)

48EI:

11(10)

80EI= 4 : 8

μba = 4/12 = 0.3333 dan μbc = 8/12 = 0.6667

μcb : μcd = 11(10)

48EI:

11(8)

80EI= 4.8 : 10

μcb = 4.8/14.8 = 0.3243 dan μbc = 10/14.8 = 0.6757

Fixed end moment (FEM)

FEMAB = kNm 0909.109)12)(60(66

10-PL

66

10-

FEMBA = kNm 3636.76)12)(60(66

7PL

66

7

FEMBC = kNm 3636.386)10)(40(176

17qL

176

17 22

FEMCB = kNm 4545.295)10)(40(176

13qL

176

13 22

FEMCD = kNm 9697.96)8)(80(66

10-

FEMDC = kNm 8788.67)8)(80(66

7

FEMDE = - 60 kNm

G F E D C B A

q = 40 kN/m P3 = 20 kN P2 = 80 kN P1 = 60 kN

EI EI EI EI 2 EI 2 EI 2 EI

3.00 4.00 4.00 5.00 5.00 6.00 6.00



-109.0909 + 76.3636 - 386.3636 + 295.4545 - 96.9697 + 67.8788 - 60

0 + 103.323 + 206.677 - 64.3686 - 134.1162 - 7.8788

+ 68.882 0 - 42.9124 + 82.6708 - 5.2525 - 53.6465

0 + 14.3027 + 28.6097 - 25.1068 - 52.3115 + 53.6465

+9.5351 0 - 16.7379 + 11.4439 + 35.7643 - 20.9246

0 + 5.5787 + 11.1592 - 15.3096 - 31.8986 + 20.9246

+ 3.7191 0 - 10.2064 + 4.4637 + 13.9497 - 12.7594

0 + 3.4018 + 6.8046 - 5.9705 - 12.4419 + 12.7594

+ 2.2679 0 - 3.981 + 2.7218 + 8.5063 - 4.9768

0 + 1.3269 + 2.6541 - 3.6413 - 7.5868 + 4.9768

+ 0.8846 0 - 2.4275 + 1.0616 + 3.3179 - 3.0347

0 + 0.8091 + 1.6184 - 1.4203 - 2.9592 + 3.0347

+ 0.5394 0 - 0.9469 + 0.6474 + 2.0231 - 1.1837

............ ............. .............. ............. ............ ..........

+ 22.874 + 205.7346 - 205.7347 + 281. 622 - 281. 6219 + 60 - 60

1 0.6757 0.3234 0.6667 0.3333 0

COF=2/3 COF=2/3 COF=2/3 COF=2/5 COF=2/5 COF=2/5 E

D C B A

q = 40 kN/m P3 = 20 kN P2 = 80 kN P1 = 60 kN



Lakukan perataan momen sampai diperoleh hasil yang sama/mendekati hasil yang diperoleh

dari metode lain.

H G F

VDki

12.2973 VDka

20

VCka

67.702

VCki

207.5887 VBka

192.4113

VBki

45.2384 VA=14.7616

P3 = 20 kN

2 EI

MB MA

q = 40 kN/m P1 = 60 kN

2 EI

MC

2 EI

MD P2 = 80 kN

G F E D C B A

q = 40 kN/m P3 = 20 kN P2 = 80 kN P1 = 60 kN

EI EI EI EI 2 EI 2 EI 2 EI

3.00 4.00 4.00 5.00 5.00 6.00 6.00 192.411

3

14.7616

12.2973

207.588

7

20

45.2384

67.7027

L

60

205.7346

M

22.874

65.695

6

MG=256.331

9 MMAKS = 257.0417

281.6219

10.8111



Hasil perhitungan dengan menggunakan Program GRASP



KESIMPULAN

1. Untuk kondisi kekakuan dan letak beban

yang berbeda perlu penurunan rumus

untuk mendapatkan faktor pemindah,

kekakuan balok dan momen primer.

2. Perhitungan perataan momen harus

dilakukan minimal lima kali untuk

mendapatkan hasil yang akurat.

3. Contoh Perhitungan di atas sudah

dibuktikan kebenarannya dengan

perhitungan program komputer GRASP

(Graphical Rapid Analysis of Structures

Program).

4. Untuk kondisi beban dan kekakuan yang

lebih kompleks bisa menggunakan

bantuan program matematika untuk

mencari faktor kekakuan, momen

primer, koefisien distribusi dan carry

over factor.

DAFTAR PUSTAKA

[1] C.K.Wang, Intermediate Structural

Analysis, Mc Graw Hill International

Book Company, 1985.

[2] Fanywati Itang, Penggunaan Metode

Clapeyron Pada Balok dengan Kekakuan

yang berbeda" Jurnal Teknik Universitas

Pancasila Volume 26 Nomor 1, 2013.

[3] A. Ghali, A.M. Neville, Structural

Analysis, A Unified Classical and Matrix

Approach, London Chapman and Hall,

1978.

[4] Anthony E. Armenakas, Classical

Structural Analysis, A Modern

Approach, McGraw Hill International

Editions. 1988.

[5] Rooseno., Prof. Dr. Ir, Perhitungan

dengan Metode Cross, penerbit buku

teknik H. STAM. 1953.

[6] Soemono Prof. Ir, Ilmu Gaya,

Bangunan-bangunan Statis Tak

Tertentu, Penerbit Djambatan. 1971.

Documents

8-15-1-SM