6

7th TMO With Shortlist

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 7th TMO With Shortlist
Page 2: 7th TMO With Shortlist
Page 3: 7th TMO With Shortlist

SHORTLIST TMO 7th . ������

�����������

1. (�����) � ������ ���������� n ���� np ���� �������������� n �!�

nr ���

�"#������� 2n �$�% 8 ���"#�������2

20101

1

np

n

n

r−

=∑ �$�% 17

2. (���)�!��) ��*���+ 2 3 100( , ,..., )a a a ��, � 13

na n n= −

3. (����.) .$� n > 1 �01�� �������� �2�3��4�� ( )

1

|n

n

i

n iφ

=

/∑ (COOL!)

4. (����*����,�) :�$ p �01�� ��������� �!� ���� !n

pa n

n= + � �������!�

n =1,2,..,p-1 �+�2�3��4�� p ��� 1 2 1 ...

pa a a

p p p

− + + +

!+���

5. (0@�����) :�$ m �01�� ���������� �2�3��4����� ���������� n �01������4 BC +

2553 | (2010 543 )m n n+

�������

1. (�����) :�$ ABC �01������!� %���$��� ��� �� AB =AC F�%�� D,E �%3���$�� AB,AC

���! ���� BC +� �:�$ CDE ABC=� � �� D !� DF ���� BC ��� AC �� F �!��� E !�

EG ���� BC ��� AB �� G �2�3��4�� 2 ( )( )DE BG EF=

2. (�)�!��KL���) :�$ ABC �01������!� %��� �� D �01��)����$�� BC �� � �:�$ 1

2BD CD=

�2�3��4�� 2 2 2 21 22

3 3AD c b a

= + −

(EASY)

3. (����.) :�$ ABC �01������!� %��)���!��� �� CD �01�����3+ E,F �01��)��� AD,BC

���! ���� F�% 15ECA BAF= = �� � :�$ AF ��� CE, CD �� G,H ���! ���� F�% AEH �!�

GFC �01������!� %���$��� ��� ���)�%���� E,G ���! ���� ��*� [ ]

[ ]

EDH

BCD

Page 4: 7th TMO With Shortlist

4. (��2�!�2�%��)��P4) :�$ ABCD �01��� ��!� %��� ��$���%+�)���Q+���� F�% AB > BC �!�

90B D= = �� � :�$�+!� O ���:��� ��!� %� ABCD F�% M,N ���T�� AB,BC ���! ���� �!�

:�$ C �01��)�"3�%4!�+�+!��� �� AB,AD �01���$����T�� ��$�+�30�� ��!� %� ' ' 'AB C D :�$

*!$�%�� ABCD F�%���+!� C ���:��� ��!� %� ' ' 'AB C D �!� 'N �01��)����T���$��

' 'B C .$� 'MN ������ 'AC ��*� ABBC

5. (����.) :�$ ABC �01������!� %��)���!��� �� AB > AC �!� D �01��)��� BC �� ��+��

C BC + AC= AD :�$ H �01� orthocenter ��+�����!� %� ABC , ', 'AA BB �01�����3+

��+�����!� %� ABC , DH ��� AC �!� ' 'A B �� E,F ���! ���� �!� G �01��)������+ AF

�� BH �2�3��4�� CE= DT ��, � T *,��)������+ GE �� AD (COOL!)

Combinatorics ( ��,�-��./��/0-�1�23 !)

1. (�!�%!�#P4) ��K���+2� 200 ��� �$�+����+�+2���, �:K$��%:� 4 ��� F�%����� 1 �!� 2 �$�+

��%����� 100 ������� F�%��:K$�+2���!���� �$�+��%�01�� ����������� �!�]�

� ��01��$�+��%�)��� .$��+2���!,�����:K$��%��Q+ 4 ��� �$�+� ��+2�]0^�L��*�� ��

� �����2L���+�+2���+��K����+, ��]���+!��

2. (�K�%+:��) lattice point :� 2 �2�2 *,�*3�������� �����K2�01�� �������� .$��)� lattice ��

��+���� 5 �)� �2�3��4���� 2 �)� BC +���)�C +!�+�01� lattice ( EASY)

3. (��2�!�2�%��)��P4) :�$ {( , , , , ) | , , , , , 12}S a b c d e a b c d e abcde a b c d e= ∈ ≤ + + + + ≤�

��� �������K2��+ S

4. (�K�%+:��) ��� ����T!��!%�� �01�� ������������+���� 2

1 2 3 1 2( )( ) 252x x x y y+ + + =

5. (0@�����) :���+�����!�Q%+0!���%+�� ��!30!� 6 K�2� 0!���!�K�2���]�� ��� 50 ���

��%:���+�%�+�2��� .$���0!��CQ����$�%��2+ ��, �:�.)+��% F�%��!�.)+]��2� 15 ���

Page 5: 7th TMO With Shortlist

F�%������!�*��Q+ �$�+��0!���!�K�2��2��%3:���2+�)�!� ��!�K�2�]��2� 3��� ��

� �����2L���0!��CQ���:�$]�$� ����0!��01�� ���������

6. (0@�����) ����:�$ {2010,2011,.., 2553}A = ��� �������K2:� A �� ����$�%� ����

������� �$�%�� 10 !+���

7. (���)�!��) ���� ISBN � �!�+ *,� �����!�d�� 7 :��30���1 2 3 1 2 3 x x x x x x � ����� i=

1,2,3 �$�+���*!$�+�� 1 2 36 (mod7)x x x+ ≡ ��� �������� ISBN � �!�+��Q+�����

���*!$�+���+, ��]���+!��

8. (�����) ���� {( , , , ) | , , , {1, 2,..,53} ,b-a 1,c-b 2, -c 3}S a b c d a b c d d= ∈ ≥ ≥ ≥ ��

� �������K2��+ S

9. (�����) ����

2 2 2

53 53 53(1 ) (2 ) ... 53

1 2 53

53 53 53(1) (2) ... 53

1 2 53

A

B

= + + +

= + + +

.$� 2nA B k− = ⋅ ��� ������� �����

10. ("2!0��) ��� ����f@+4K��]�!��!��� �.C+ 1 2 100:{ , ,.. } {0,1,5,10,20}f a a a →

(nondecreasing + onto) F�% 100

1

( ) 100i

i

f a=

=∑

11. (���:�k) :�$ p �01�� ���������*� �� k �$�%�)��� ��, ��)��!,�� �������� k ��� ���� 2

� ����BC +��T!����,�T!��+����$�% p !+�������

Algebra/ Functional equation/ Inequalities

1. (���)�!��) .$� , ,α β γ �01������� 3 23 2556 2553 0x x x− + − = ��*���+5 5 5( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)( 1)

α β γα β γ− + − + −

− − −

Page 6: 7th TMO With Shortlist

2. (���)�!��) ��� ���������� n �!�� ������2+ r ��Q+����� � �:�$ ( 1)nx r+ − ����$�%22 2 1x x+ + !+���

3. ("2!0��) ����:�$���)����+���� 17 1619 ... 35 0x x− + − = �01�� �������� ��

����Q+�����+����

4. (����.) ����� ������2+ a �!� 3{ | 2553 sin 0}aS x R x x a= ∈ − − =

:�$ :f →� � ���2

, { , , }&( )

, { }

a

a

pr S p q r p q rf a

r S r

= ≤ ≤=

=

��*��$�%�)���+����4��+ f

5. (���"��) ����:�$ c �01�� �������%� �2�3��4������ 3 23 3 0x cx x c− − + =

�������%��%�+�� 1 ���

6. (���"��) ����� ������2+ 1 2 ... na a a≥ ≥ ≥ �!� 1 2 ... nb b b≥ ≥ ≥ F�%�� 1 2( , ,..., )nc c c �01�

�����%+����0!� %���+ 1 2( , ,..., )nb b b �2�3��4�� 2 2

1 1

( ) ( )n n

i i i i

i i

a b a c= =

− ≤ −∑ ∑

7. (���:�k) :�$ x,y,z > 0 F�% x+y+z = 1 �2�3��4 4 1

( 2 )( 2 ) 27cyc

x

x y y x≥

+ +∑

8. (0@�����) :�$ a, b, c > 0 �2�3��4 3 3

5cyc

a ba b c

c≥ + +∑

9. (��2�!�2�%��)��P4) :�$ a, b, c > 0 �2�3��4 4

6 3 31

5 4cyc

b

c a b c≥

+∑

10. (����.) :�$ n �01�� ���������� �!� 1 2, ,..., 1nx x x > �2�3��4��1 1 2

1

1 ... 1

n

ni i n

n

x x x x=

≥− −∑

11. (0@�����) ��f@+4K�� :f →� � ��Q+���BC + ( 1) ( ) ( ) ( ) 2f xy f y f x f x y+ = − − + �)

� ������2+ x,y

12. (��2�!�2�%��)��P4) ����:�$ {0,1}A Q= − �!� :f A→ � �01�f@+4K���� ���*!$�+��1

( ) (1 ) logf x f xx

+ − = �) x A∈ ��*� f (2010)