78059740 Memoir de Fin d Etude4

7/29/2019 78059740 Memoir de Fin d Etude4

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U n i v e r s i t M o h a m m e d V A g d a l

F a c u l t d e s S c i e n c e s

R a b a t

A p p l i c a t i o n d u p r o c e s s u s

d ' A r n o l d i l a r s o l u t i o n d e

l ' e q u a t i o n d e S y l v e s t e r

s o u t e n u p a r

K h a l O u s s a m a

L e . . . / . . . / 2 0 0 9


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T a b l e d e s m a t i r e s

I n t r o d u c t i o n i

1 P r l i m i n a i r e 1

1 . 1 C o n t r l e d e s s y s t m e s l i n a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 1 . 1 S y s t m e s l i n a i r e s d y n a m i q u e s . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 1 . 2 C o n t r l a b i l i t e t o b s e r v a b i l i t . . . . . . . . . . . . . . 2

1 . 2 S t a b i l i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 3 O b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r e t q u a t i o n d e S y l v e s t e r . . . . . . 3

1 . 4 L e p r o b l m e d e p l a c e m e n t p a r t i e l d e s p l e s . . . . . . . . . . . 5

1 . 5 P r o c e s s u s d ' A r n o l d i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 5 . 1 p o l y n m e m i n i m a l e t l e p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e . . . 8

1 . 6 L a m t h o d e d u G M R E S e t s o n i m p l m e n t a t i o n . . . . . . . . 9

1 . 6 . 1 D n i t i o n d e l a m t h o d e d u G M R E S . . . . . . . . . . 9

1 . 6 . 2 I m p l m e n t a t i o n d e l a m t h o d e d u G M R E S . . . . . . . 1 0

1 . 7 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r 1 7

2 . 1 P o s i t i o n d u p r o b l m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 2 A p p l i c a t i o n d u p r o c e s s u s d ' A r n o l d i . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 2 . 1 M t h o d e d e S a a d e t D a t t a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 2 . 2 P l a c e m e n t d e s p l e s d e l a m a t r i c e d e H e s s e n b e r g . . . 2 1

2 . 3 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 P r e m i r e t a p e d e l a m t h o d e d e S a a d e t D a t t a 2 7

3 . 1 P r s e n t a t i o n d u p r o b l m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

3 . 2 A p p r o c h e p a r f r a c t i o n r a t i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 3 R s o l u t i o n d e qm(A)x = c p a r l a m t h o d e d u G M R E S . . . . . 2 9

3 . 4 L e c h o i x d e s p o l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . 5 A l g o r i t h m e d e r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r . . . . . . 3 1

3 . 6 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3


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4 T A B L E D E S M A T I R E S

4 E s s a i s n u m r i q u e s 3 3

4 . 1 M a t r i c e d e G e a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

4 . 2 M a t r i c e L F S S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 . 3 R e p r s e n t a t i o n g r a p h i q u e s d e s s p e c t r e s . . . . . . . . . . . . . 3 7

C o n c l u s i o n 3 9

R s u m 4 1

A n n e x e s 4 1

A l g o r i t h m e s s o u s M a t l a b 4 3

B i b l i o g r a p h i e 5 0


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I n t r o d u c t i o n

L ' o b j e c t i f d e c e t r a v a i l e s t d e r s o u d r e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r , q u i j o u e u n

r l e i m p o r t a n t d a n s l a c o n s t r u c t i o n d e l ' o b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r e t a u s s i

d a n s l a t h o r i e d e c o n t r l e , d e c o m m u n i c a t i o n , m o d l e s d e r d u c t i o n e t l e s

m t h o d e s n u m r i q u e s p o u r l a r s o l u t i o n d e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s [ 6 ] .

O n s ' i n t r e s s e a u r l e d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r d a n s l a c o n s t r u c t i o n d e

l ' o b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g u e r a s s o c i a u s y s t m e d e c o n t r l e s u i v a n t x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Dx(t)

a v e c A Mn(R) , B Mnk(R) , D Mmn(R) , y Rm , x Rn e t

u Rk. E t q u i d o n n e u n e a p p r o x i m a t i o n

z(t) Rmd u v e c t e u r d ' t a t

x(t). I l

s ' a g i t d ' u n e v a r i a n t e d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r c l a s s i q u e , e t e s t d e l a f o r m e

AX XH = CGo

X Mnm(R) , H Mm(R) e t G Mm(R) s o n t d t e r m i n e r e t l e s m a t r i c e s

A Mn(R), e t C Mnm(R) s o n t d o n n e s . P a r m i l e s m t h o d e s p r o p o s e s p o u r r s o u d r e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r o n

t r o u v e l a m t h o d e d e H e s s e n b e r g - S c h u r q u i c o n s i s t e c h o i s i r

H Mm(R)m a t r i c e r e l l e d e S c h u r e t

G Mm(R) m a t r i c e i d e n t i t Im m a i s l ' a p p l i c a t i o n d e c e t t e d e r n i r e n ' e s t p a s a i s e s i

Ae s t l a r g e e t c r e u s e [ 3 ] . I l e s t d o n c

i n t r e s s a n t d e v o i r d ' a u t r e s m t h o d e s p o u r c e g e n r e d e s i t u a t i o n s ( A

l a r g e

e t c r e u s e ) e t c ' e s t p o u r c e t t e r a i s o n q u ' o n a p p l i q u e r a l a m t h o d e d e S a a d e t

D a t t a [ 3 ] .

A v a n t d e p r o c d e r l a r s o l u t i o n , r e m a r q u o n s q u e l e s m a t r i c e s H

,G

e t

Xd o i v e n t v r i e r l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s [ 6 ] :

1 .

Hs t a b l e

2 .X

b i e n c o n d i t i o n n e

3 . l a p a i r e {H, G}

e s t c o n t r l a b l e .

c a r s i H

e s t s t a b l e ( t o u s l e s l m e n t s d u s p e c t r e d e H

s o n t p a r t i e r e l l e

n g a t i v e ) o n p e u t m o n t r e r q u e l ' a p p r o x i m a t i o n z(t)

d ex(t)

o b t e n u e p a r l ' o b -

s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r v r i e e(t) = z(t) Xx(t)

t e n d v e r s 0 q u a n d t

t e n d

i


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i i I N T R O D U C T I O N

v e r s

. E n p l u s l ' e n s e m b l e d e s c e s t r o i s m a t r i c e s c o n t r i b u e r a u n e b o n n e

a p p r o x i m a t i o n z(t) d e x(t).N o t o n s a u s s i q u e s i l e s p e c t r e d e

Ae t l e s p e c t r e d e

Hs o n t d i s j o i n t s , i l

e x i s t e u n e u n i q u e m a t r i c e X

q u i s a t i s f a i t l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r .

S u p p o s o n s q u e G = Im ( s a n s p e r t e d e g n r a l i t , c a r l e p r o d u i t d e G e t C

e s t u n e m a t r i c e d e t y p e n m

) e t q u e l a m a t r i c e C

e s t d e r a n g 1 ; l ' q u a t i o n

a l o r s d e v i e n t

AX HX = ceTm,c e q u i d o n n e l ' i d e d ' a p p l i q u e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i a v e c u n p r e m i e r v e c t e u r

v1 t e l q u e vm+1 = c ; o n t r o u v e r a c e v e c t e u r e n e x p l o i t a n t l e f a i t q u e t o u s l e s v e c t e u r s d e l a b a s e d ' A r n o l d i d u s o u s - e s p a c e d e K r y l o v a s s o c i A e t v1s o n t t e l s q u e

vi+1 = qi(A)v1 o qi e s t u n p o l y n m e d e d e g r i.L e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i c a l c u l e r a e n s u i t e , e n u t i l i s a n t

v1 , l a m a t r i c e Hm ,m a t r i c e d e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e , q u i n ' e s t p a s f o r c m e n t s t a b l e ; o n v a d o n c

p r o c d e r u n p l a c e m e n t d e p l e s p o u r l a s t a b i l i s e r ; c e q u i v e u t d i r e q u ' o n

p r s e n t e u n a l g o r i t h m e e n d e u x t a p e s p r i n c i p a u x

1 . t r o u v e r v1 t e l q u e vm+1 = c e n t r o u v a n t l a s o l u t i o n d e c = qm(A)v1

p a r l a m t h o d e d u G M R E S [ 1 2 ] .

2 . a p p l i q u e r l ' a l g o r i t h m e d e p l a c e m e n t d e s p l e s , p r o p o s p a r S a a d e t

D a t t a [ 3 ] s u r l a m a t r i c e

Hmp o u r l a s t a b i l i s e r .

O n p o u r r a e n s u i t e c a l c u l e r l a s o l u t i o n X

p a r t i r d e s r s u l t a t s o b t e n u s .

L e c h a p i t r e 1 s e r a r s e r v q u e l q u e s r a p p e l s , s u r l a t h o r i e d e c o n t r l e ,

s u r l a m t h o d e d u G M R E S e t l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i . A u c h a p i t r e 2 o n r e -

v i e n d r a s u r l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r e t o n v e r r a c o m m e n t e x p l o i t e r l e p r o c e s s u s

d ' A r n o l d i p o u r l a r s o u d r e . A u c h a p i t r e 3 o n e x p l i q u e r a c o m m e n t o b t e n i r v1

t e l q u e vm+1 = c, p u i s o n c l t u r e r a c e t r a v a i l p a r d e s e s s a i s n u m r i q u e s s o u s

m a t l a b .


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C h a p i t r e 1

P r l i m i n a i r e

D a n s c e c h a p i t r e , o n r a p p e l l e q u e l q u e s n o t i o n s s u r l a t h o r i e d u c o n t r l e ,

o n e n c h a n e e n s u i t e a v e c d e s r a p p e l s s u r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i [ 9 ] e t o n

c l t u r e r a c e c h a p i t r e p a r u n r a p p e l s u r l a m t h o d e d u G M R E S [ 1 2 ] .

S a u f m e n t i o n d u c o n t r a i r e , d a n s t o u t c e c h a p i t r e A Mn(R),

C Mmn(R) , B Mnr(R) e t x0 Rn .

1 . 1 C o n t r l e d e s s y s t m e s l i n a i r e s

1 . 1 . 1 S y s t m e s l i n a i r e s d y n a m i q u e s

D n i t i o n 1 [ 1 0 ] : U n s y s t m e l i n a i r e d y n a m i q u e d i s c r e t a d m e t l a d e s c r i p -

t i o n i n t e r n e s o u s f o r m e d e r e p r s e n t a t i o n d ' t a t s u i v n a t e : xk+1 = Axk + Bukyk = Cxk

( 1 . 1 )

o xk Rn e s t l e v e c t e u r d ' t a t e t s a d i m e n s i o n e s t c e l l e d u s y s t m e ;

yk

Rm

s o r t i e d u s y s t m e ; uk

Rr

d i t e e n t r e d u s y s t m e .

D n i t i o n 2 [ 1 0 ] : U n s y s t m e l i n a i r e d y n a m i q u e c o n t i n u a d m e t l a d e s -

c r i p t i o n i n t e r n e s o u s f o r m e d e r e p r s e n t a t i o n d ' t a t s u i v a n t e : x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)

( 1 . 2 )

o x(t) Rn

e s t l e v e c t e u r d ' t a t e t s a d i m e n s i o n e s t c e l l e d u s y s t m e ;

y(t) Rms o r t i e d u s y s t m e ;

u(t) Rrd i t e e n t r e d u s y s t m e .

1


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2 C H A P I T R E 1 . P R L I M I N A I R E

1 . 1 . 2 C o n t r l a b i l i t e t o b s e r v a b i l i t

C o n t r l a b i l i t

D n i t i o n 3 [ 1 ] L e s y s t m e d n i p a r ( 1 . 2 ) e s t d i t c o n t r l a b l e s i i l e x i s t e

u n e f o n c t i o n t u(t), 0 t

, d i t e c o n t l e o u c o m m a n d e , p e r m e t t a n t l e p a s -

s a g e d u s y s t m e d e l ' e t a t i n i t i a l x0 = x(t0) u n e t a t n a l q u e l c o n q u e x(t1)

(0 t t1 < ) .

D n i t i o n 4 [ 1 ] L e s y s t m e d n i p a r ( 1 . 1 ) e s t d i t c o n t r l a b l e s i i l e x i s t e

u n e f a m i l l e n i {u0, u1,...,uN1} p e r m e t t a n t l e p a s s a g e d u s y s t m e d e l ' e t a t

i n i t i a l

x0 u n e t a t n a l xN ( 0 < N < ) .P r o p o s i t i o n 1 c a r a c t r i s a t i o n d e l a c o n t r l a b i l i t [ 1 0 , 1 ]

O n c o n s i d r e l e s y s t m e d n i p a r ( 1 . 2 ) , l e s p r o p r i t s s u i v a n t e s o n t q u i -

v a l e n t e s :

1 . l a p a i r e {A, B}

e s t d i t e c o n t r l a b l e

2 . l a m a t r i c e =

B AB A2B . . . An1B

e s t d e r a n g m a x i m a l

i . e : rg() = n

( c r i t r e d e c o n t r o l a b i l i t d e K a l m a n )

3 .

rg(A I,B) = n (A)o

(A)e s t l e s p e c t r e d e

A.

P o u r l e s s y s t m e s d i s c r e t s ( d n i s p a r ( 1 . 1 ) ) l a c o n t r o l a b i l i t e s t d o n n e

p a r l e c r i t r e d e K a l m a n [ 1 ] .

O b s e r v a b i l i t

D n i t i o n 5 L e s y s t m e d n i p a r ( 1 . 2 ) e s t o b s e r v a b l e , s i p o u r t o u t

0 t t1 , i l e x i s t e t1 > 0 t e l q u e l ' e t a t i n i t i a l x0 p e u t t r e d t e r m i n d e m a n i r e u n i q u e p a r t i r d e

u(t)e t

y(t).

D n i t i o n 6 L e s y s t m e d n i p a r ( 1 . 1 ) e s t o b s e r v a b l e , s i i l e x i s t e u n r a n g

N < t e l q u e l ' e t a t i n i t i a l

x0 p e u t t r e e n t i r e m e n t d t e r m i n d e m a n i r e u n i q u e p a r t i r d e l a c o n n a i s s a n c e d e s e n t r s

{u0, u1,...,uN1} e t d e s s o r t i e s y0,...,yN.

P r o p o s i t i o n 2 C a r a c t r i s a t i o n d ' o b s e r v a b i l i t [ 1 0 ] U n s y s t m e l i n a i r e

( c o n t i n u o u d i s c r e t ) e s t d i t o b s e r v a b l e ( o u l a p a i r e {A, C}

e s t d i t e o b s e r v a b l e )

s i l a m a t r i c e d n i e p a r

=

C CA CA2 . . . CAn1

e s t d e r a n g m a x i m a l i . e :

{A, C}o b s e r v a b l e

rg() = nP r o p o s i t i o n 3 [ 1 0 ] D u a l i t

L a p a i r e {A, C}

e s t o b s e r v a b l e s s i l a p a i r e {AT, CT}

e s t c o n t r l a b l e .


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1 . 2 . S T A B I L I T 3

1 . 2 S t a b i l i t

C a s d i s c r e t : O n c o n s i d r e l e s y s t m e l i n a i r e s u i v a n t xk+1 = Axkx0 d o n n

( 1 . 3 )

D n i t i o n 7 [ 1 ] O n d i r a q u e l e s y s t m e ( 1 . 3 ) e s t s t a b l e s i l e s p e c t r e d e l a

m a t r i c e A

e s t l ' i n t r i e u r d u c e r c l e u n i t ( d a n s l e p l a n c o m p l e x e ) i . e :

(A) D(0, 1)

C a s c o n t i n u : O n c o n s i d r e l e s y s t m e l i n a i r e s u i v a n t x(t) = Ax(t) t > 0x(0) = x0

( 1 . 4 )

D n i t i o n 8 [ 1 ] O n d i r a q u ' u n s y s t m e d e t y p e ( 1 . 4 ) e s t s t a b l e s i t o u t e s l e s

v a l e u r s p r o p r e s d e A

s o n t p a r t i e r e l l e n g a t i v e . i . e :

( (A)) () R

1 . 3 O b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r e t q u a t i o n d e

S y l v e s t e r

E n p r a t i q u e , o n a p a s a c c s t o u t e s l e s c o m p o s a n t e s d e l ' t a t x(t)

d u

s y s t m e ( 1 . 2 ) ( n i x0 ) d e m a n i r e e x p l i c i t e ; o n c o n s t r u i t a l o r s u n e a p p r o x i -

m a t i o n z(t)

p o u r l e v e c t e u r d ' t a t x(t)

. E t c ' e s t d a n s c e t h o r i z o n q u e l ' o n

u t i l i s e l ' o b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r [ 1 ] .

D n i t i o n 9 [ 1 ] L ' o b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r a s s o c i a u s y s t m e d e c o n t r l e

( 1 . 2 ) e s t d o n n p a r z(t) = F z(t) + Dy(t) + P u(t)z(0) = z0

( 1 . 5 )

o F, D Mm(R), P Mmk(R) s o n t d t e r m i n e r .

l e v e c t e u r z(t)

, d o n n p a r ( 1 . 5 ) , e s t u n e a p p r o x i m a t i o n d e x(t)

s i l ' e r r e u r

e(t) = z(t) Xx(t)t e n d s v e r s z r o q u e l q u e s o i t l e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s

x(0),

z(0)e t

u(t), c e q u i n e p e u t a v o i r l i e u , s a u f s i l e s c o n d i t i o n s d u t h o r m e

s u i v a n t s o n t v r i e s .


10/58


T h o r m e 1 [ 1 ] L e s y s t m e ( 1 . 5 ) e s t l e s y s t m e o b s e r v a t e u r a s s o c i a u s y s -

t m e ( 1 . 2 ) , e t z(t) e s t u n e a p p r o x i m a t i o n d e Xx(t) d a n s l e s e n s o l ' e r r e u r e(t) = z(t) Xx(t) 0

q u a n d t

p o u r t o u t e c o n d i t i o n i n i t i a l e s x(0)

,

z(0)e t

u(t)s i l e s 3 c o n d i t i o n s s u i v a n t e s s o n t v r i e s :

1 )XA F X = DC

,

2 )P = XB

,

3 )F

s t a b l e .

P r e u v e

E n d r i v a n t l a r e l a t i o n e(t) = z(t)

Xx(t)

o n o b t i e n t

e(t) = z(t) Xx(t)= F z(t) + Dy(t) + P u(t) X(Ax(t) + Bu(t)),

( 1 . 6 )

o n u t i l i s e y(t) = Cx(t)

e t o n a j o u t e e t o n r e t r a n c h e F Xx(t)

d a n s ( 1 . 6 ) ,

o n o b t i e n t :

e(t) = F e(t) + (F X XA + DC)x(t) + (P XB)u(t),( 1 . 7 )

s i 1 ) e t 2 ) s o n t v r i e s l a r e l a t i o n ( 1 . 7 ) d e v i e n t u n e q u a t i o n d i r e n t i e l l e

d e p r e m i e r o r d r e d o n n e p a r

e(t) = F e(t)

e t s i 3 ) e s t v r i e o n a e v i d e m e n t limt

e(t) = 0q u e l q u e s o i t l e s c o n d i t i o n s

i n i t i a l e s x(0)

,z(0)

e tu(t)

.

E t p o u r d t e r m i n e r l e s m a t r i c e s F

,D

e tP

, o n u t i l i s e l ' q u a t i o n d e S y l -

v e s t e r ; c e l l e - c i e s t d o n n e p a r l ' q u a t i o n m a t r i c i e l l e s u i v a n t e

XA F X = DC( 1 . 8 )

o A

e tC

s o n t d o n n e s , e t X

e s t l a s o l u t i o n t r o u v e r . S o n e x i s t e n c e e t s o n

u n i c i t e s t a s s u r e p a r l a c o n d i t i o n [ 6 ] :

(F) (A) = ( 1 . 9 )

O n v e r r a a u c h a p i t r e 2 c o m m e n t r s o u d r e c e t t e q u a t i o n p a r l e p r o c e s s u s

d ' A r n o l d i .


11/58

1 . 4 . L E P R O B L M E D E P L A C E M E N T P A R T I E L D E S P L E S 5

1 . 4 L e p r o b l m e d e p l a c e m e n t p a r t i e l d e s p l e s

O n c o n s i d r e l e s y s t m e d e c o n t r l e ( d e t y p e ( 1 . 2 ) ) s u i v a n t x(t) = Ax(t) + bu(t)y(t) = Cx(t)

( 1 . 1 0 )

( o b Rn

) e t o n s u p p o s e q u e l e v e c t e u r f Rn

e s t t e l q u e u = fTx(t)

a i n s i l a s o l u t i o n d u s y s t m e ( 1 . 1 0 ) s ' c r i t [ 7 ]

x(t) = exp[(A bfT)t]x0 ( 1 . 1 1 ) i l s e r a i t d o n c s o u h a i t a b l e q u e x(t) s o i t s t a b l e c . . d

limt+

x(t) = 0( 1 . 1 2 )

o n c o n s i d r e a l o r s (A) = {i}ni=1 l e s p e c t r e d e A e t o n s u p p o s e q u e

(i) 0, p o u r i = 1,...,m ( 1 . 1 3 ) (i) < 0, p o u r i = m + 1,...,n ( 1 . 1 4 )

e t s o i t P = {1,...,m} C a v e c (i) < 0 . A i n s i d o n c ( 1 . 1 2 ) n e p e u t t r e v r i e q u e s i

A bfTe s t s t a b l e , a u t r e m e n t d i t q u e s i o n a ( d ' a p r s l a

d n i t i o n 8 )

(A bfT) () R( 1 . 1 5 )

l e c h o i x d u v e c t e u r

f Rnd o i t d o n c t r e o r i e n t v e r s u n r e m p l a c e m e n t d e s

v a l e u r s p r o p r e s i n s t a b l e s i . e

(A

bfT) = P

{i

}ni=m+1 ( 1 . 1 6 )

a n d e v r i e r l a r e l a t i o n ( 1 . 1 2 ) .

E n r s u m o n d n i t l e p r o b l m e d e p l a c e m e n t p a r t i e l d e s p l e s c o m m e

s u i t [ 7 ]

D n i t i o n 1 0 S o i t P = {1,...,m} C a v e c (i P) (i) < 0 e t s o i t

b Rno n d n i t l e p r o b l m e d e p l a c e m e n t p a r t i e l d e s p l e s d e l a m a t r i c e

Ap a r :

c h o i s i r f Rn

t e l q u e (A bfT) = P {i}ni=m+1


12/58


R e m a r q u e 1 L o r s q u ' i l s ' a g i t d ' u n s y s t m e d y n a m i q u e d i s c r e t , l e p r o b l m e

d e p l a c e m e n t d e p l e s c o n s i s t e m e t t r e l e s v a l e u r s p o r p r e s a u t o u r d e l ' o r i g i n e

( l ' i n t r i e u r d u c e r c l e u n i t ) c ' e s t d i r e q u ' o n r e p r e n d l a m m e d n i t i o n

1 0 s a u f q u e l ' e n s e m b l e P D(0, 1)

e t p o u r l e s p e c t r e d e A

o n a :

|i| 1, p o u r i = 1,...,m|i| < 1, p o u r i = m + 1,...,n

.

1 . 5 P r o c e s s u s d ' A r n o l d i

L e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i u t i l i s e l a m t h o d e d e G r a m - S c h m i d t [ 9 ] p o u r l a

c o n s t r u c t i o n d e l a b a s e o r t h o n o r m a l d u s o u s - e s p a c e d e K r y l o v . C e p r o c d

e s t s o u v e n t u t i l i s d a n s l e s m t h o d e s d e p r o j e c t i o n s u r l e s s o u s - e s p a c e d e

K r y l o v a n d e r s o u d r e l e s s y s t m e s l i n a i r e s d e g r a n d e t a i l l e . C e t t e s e c t i o n

s e r a r s e r v e c e p r o c e s s u s .

D n i t i o n 1 1 [ 9 ] O n a p p e l l e s o u s - e s p a c e d e K r y l o v d ' o r d r e k

a s s o c i A

p o u r v = 0

l e s o u s - e s p a c e e n g e n d r p a r l e s v e c t e u r s v,Av,...,Ak1v

i . e :

Kk(A, v) = vect{v,Av,...,Ak1v}R e m a r q u e 2 P o u r

z Kk(A, v) o n a

z Kk(A, v) q Pk1 t e l q u e z = q(A)v

U n e b a s e o r t h o n o r m a l d u s o u s - e s p a c e d e K r y l o v Kk(A, v) , e s t c o n s t r u i t e p a r

l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i [ 9 ] .

A l g o r i t h m e 1 P r o c e s s u s d ' A r n o l d i

- c h o i s i r v

= 0

e t c a l c u l e r v1 = v/

v

,

- p o u r j = 1,...,k f a i r ec a l c u l e r

hi,j = (Avj, vi) p o u r i = 1,...,j

c a l c u l e r vj = Avj

ji=1

hi,jvi ,

hj+1,j = vj ,s i

hj+1,j = 0 a r r t e r ,

vj+1 =vj

hj+1,j,

- F i n j .


13/58

1 . 5 . P R O C E S S U S D ' A R N O L D I 7

O n p o s e

Vk = [v1,...,vk],Hk = (hi,j)(1i,jk) l a m a t r i c e d e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e

e tHk =

Hk

hk+1,keTk

l a m a t r i c e

(k + 1) kd e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e ( o

ek =

0

.

.

.

01

e s t l e kieme v e c t e u r d e l a b a s e c a n n o n i q u e d e Rk ) .O n a d o n c l e s r s u l t a t s s u i v a n t s [ 9 ] .

AVk = VkHk + hk+1,kvk+1eTk , ( 1 . 1 7 )

AVk = Vk+1Hk, ( 1 . 1 8 )

VTk AVk = Hk. ( 1 . 1 9 )

P r o p o s i t i o n 4 [ 4 ] l e s v e c t e u r s {v1,...,vk} g n r s p a r l ' a l g o r i t h m e 1 c o n s t i -

t u e n t u n e b a s e o r t h o n o r m e d u s o u s - e s p a c e d e K r y l o v Kk(A, v) e t o n a e n

p l u s p o u r i = 1,...,k :

vi = qi1(A)v1 ( 1 . 2 0 )

a v e c qi1 u n p o l y n m e d e d e g r i 1

E n p r a t i q u e , o n u t i l i s e l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i m o d i c a r i l e s t p l u s s t a b l e

[ 9 ] .

A l g o r i t h m e 2 L e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i m o d i

- c h o i s i r v

q u e l c o n q u e , c a l c u l e r = v

e tv1 = v/

- p o u r j = 1,...,k

f a i r e

vj = Avjp o u r i = 1,...,j f a i r e

hi,j = (vj, vi)

vj = vj hi,jvifin i

hj+1,j = vjs i

hj+1,j = 0 a r r t e r

vj+1 = vj/hj+1,j-fin j

.


14/58


1 . 5 . 1 p o l y n m e m i n i m a l e t l e p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e

D n i t i o n 1 2 [ 4 ]q

e s t l e p o l y n m e m i n i m a l d e A

p o u r v

s iq

e s t l e p o l y n m e

d e p l u s p e t i t d e g r v r i a n t

l e c o e c i e n t d o m i n a n t d e q

e s t e g a l 1

q(A)v = 0

.

R e m a r q u e 3 - D ' a p r s l e t h o r m e d e C a y l e y - H a m i l t o n l e p l o y n m e m i n i -

m a l d e A

p o u r v

e s t a u p l u s d e d e g r g a l n

.

P r o p o s i t i o n 5 [ 4 ] L e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i s ' a r r t e l ' t a p e m

(hm+1,m = 0 ) , o m e s t l e d e g r d u p o l y n m e m i n i m a l d e A p o u r v

D ' a p r s l a p r o p o s i t i o n 4 l e s v e c t e u r s vi s ' c r i v e n t s o u s f o r m e vi = qi1(A)v1

o qi1(A) e s t u n p o l y n m e d e d e g r i1. N o t o n s p a r m l e d e g r d u p o l y n m e

m i n i m a l d e A

p o u r v1 o n a

qi1(t) =1

hi,i1(tqi2(t)

i1j=1

hj,i1qj1(t)) p o u r t o u t i = 1,...,m, ( 1 . 2 1 )

e t p o u r l e c a s o i = m + 1

o n a

qm(t) = tqm1(t) mi=1

hi,mqi1(t).

I l e x i s t e u n e r e l a t i o n e n t r e l e p o l y n m e ( 1 . 2 1 ) e t l e p o l y n m e c a r a c t r i s -

t i q u e d e l a m a t r i c e Hi d e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e d ' o r d r e i ; c e t t e r e l a t i o n e s t

d o n n e p a r l e t h o r m e s u i v a n t .

T h o r m e 2 [ 4 ] S o i t m

l e d e g r d u p o l y n m e m i n i m a l d e A

p o u r v

, a l o r s

p o u r i = 1,...,m

o n a

det(tIi Hi) = iqi(t) ( 1 . 2 2 ) E n c o n s q u e n c e o n a l e c o r o l l a i r e s u i v a n t

c o r o l l a i r e 1 [ 4 ] p o u r i = 1,...,m

(m

l e d e g r d u p o l y n m e m i n i m a l d e A

p o u r v

) l e p o l y n m e qi e s t l e p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e d e l a m a t r i c e i n t e r m -

d i a i r e Hi ( c a l c u l e p a r l ' a l g o r i t h m e 1 ) u n e c o n s t a n t e m u l t i p l i c a t i v e p r s .

C e c o r o l l a i r e d o n n e l a r e l a t i o n e n t r e l e p o l y n m e qi(t) t e l q u e

vi+1 = qi(A)v1 e t l e p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e d e l a m a t r i c e Hi . C e r - s u l t a t n o u s p e r m e t t r a d e d m a r r e r l a m t h o d e d e S a a d e t D a t t a [ 3 ] p o u r l a

r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r .


15/58

1 . 6 . L A M T H O D E D U G M R E S E T S O N I M P L M E N T A T I O N 9

1 . 6 L a m t h o d e d u G M R E S e t s o n i m p l m e n -

t a t i o n

O n c o n s i d r e l e s y s t m e l i n a i r e

Ax = b,( 1 . 2 3 )

o b Rn

e t l a m a t r i c e A

e s t s u p p o s e r e l l e e t i n v e r s i b l e .

1 . 6 . 1 D n i t i o n d e l a m t h o d e d u G M R E S

L a m t h o d e d u G M R E S ( G e n e r a l i z e d M i n i m a l R E S i d u a l [ 1 2 ] ) e s t c o n u e

p o u r r s o u d r e l e s y s t m e ( 1 . 2 3 ) . E l l e e s t d n i e p a r :

t a n t d o n n x0 u n e a p p r o x i m a t i o n q u e l c o n q u e d e x, s o l u t i o n d u s y s t m e

( 1 . 2 3 ) , e t r0 = b Ax0 l e r s i d u a s s o c i x0 . A l ' t a p e k m ( m t a n t l e

d e g r d u p o l y n m e m i n i m a l d e A

p o u r v1 = r0/r0) , t r o u v e r l e v e c t e u r xk ,

a p p r o x i m a t i o n d e x

, t e l q u e

xk x0 + Kk(A, r0), ( 1 . 2 4 ) rkAKk(A, r0). ( 1 . 2 5 )

O n u t i l i s e l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i p o u r c o n s t r u i r e u n e b a s e o r t h o n o r m e d u

s o u s - e s p a c e d e K r y l o v Kk(A, r0) , v1 , . . . , vk ( rk = b Axk e s t l e r s i d u a s s o c i

xk ) e t o n p o s e :

Vk = [v1,...,vk],

d o n c ( 1 . 2 4 ) d e v i e n t

xk = x0 + Vk,

a v e c =

12

.

.

.

k

Rk, e t l a r e l a t i o n ( 1 . 2 5 ) s e t r a d u i t p a r

(AVk)Trk = 0

(AVk)T(b Axk) = 0 (AVk)T(b A(x0 + Vk)) = 0 (AVk)Tr0 (AVk)TAVk = 0 (AVk)TAVk = (AVk)Tr0,


16/58

1 0 C H A P I T R E 1 . P R L I M I N A I R E

o r(AVk)

TAVk e s t t o u j o u r s i n v e r s i b l e d o n c

= [(AVk)TAVk]

1(AVk)Tr0,

c e q u i d o n n e

xk = x0 + Vk[(AVk)TAVk]

1(AVk)Tr0.

P r o p o s i t i o n 6 [ 1 2 ] P o u r l a m t h o d e d u G M E R S , o n a :

rkAKk(A, r0) = argminyRkr0 AVky= [(AVk)

TAVk]1(AVk)

Tr0,

R e m a r q u e 4 L a p r o p o s i t i o n 6 m o n t r e q u e l e p r o b l m e d ' o r t h o g o n a l i t s e

r a m n e u n p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n .

A l g o r i t h m e 3 A l g o r i t h m e d e l a m t h o d e d u G M R E S

1 . c h o i s i r x0 p u i s c a l c u l e r r0 = b Ax0 , = r0 e t v1 = r0/

2 . u t i l i s e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i m o d i p o u r c a l c u l e r v1,...,vk e t Hk

3 . r s o u d r e argminyRke1 Hky = yk

4 . c a l c u l e r xk = x0 + Vkyk

1 . 6 . 2 I m p l m e n t a t i o n d e l a m t h o d e d u G M R E S

P o u r r s o u d r e l e p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n ( t a p e 3 A l g o r i t h m e 3 ) o n a

r e c o u r s ( d ' a p r s l e s t r a v a u x d e S a a d e t S c h u l t z [ 1 2 ] ) , a u x r o t a t i o n s d e G i v e n s

p o u r d c o m p o s e r l a m a t r i c e Hk e n p r o d u i t d ' u n e m a t r i c e t r i a n g u l a i r e Rk e t

u n e m a t r i c e o r t h o g o n a l Qk .

S i o n r a l i s e u n e t e l l e d c o m p o s i t i o n o n a u r a

Hk = QkRk,

a v e c Qk Mk+1k+1(R) , Rk = Rk0T e t Rk t r i a n g u l a i r e d ' o r d r e k .D o n c l e p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n d e l ' t a p e 3 d e l ' a l g o r i t h m e 3 d o n n e

e1 Hky = e1 QkRky,= QkQ

Tk e1 QkRky (c a r QkQTk = Ik+1),

= Qk(QTk e1 Rky),


17/58

1 . 6 . L A M T H O D E D U G M R E S E T S O N I M P L M E N T A T I O N 1 1

Qk e s t o r t h o g o n a l d o n c c o n s e r v e l a n o r m e , a l o r s o n a

e1 Hky = Qk(QTk e1 Rky)= (QTk e1 Rky),

o n p o s e QTk (e1) = gk =

1...

k+1

e t gk = 1..

.

k

o n o b t i e n t

gk Rky2 =

gkk+1

Rky0

2

=

gk Rkyk+1

2

= gk Rky2 + |k+1|2,

e n p a s s a n t a u m i n i m u m o n o b t i e n t

yk = R1k gk Rk. ( 1 . 2 6 ) P o u r d c o m p o s e r l a m a t r i c e

Hk o n d n i t l a m a t r i c e d e r o t a t i o n d e G i v e n s i

i =

1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0

0.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . ..

.

.

.

.

.

.

.

. 1 0 0 0 . . ..

.

.

.

.

.

. . . 0 ci si 0 . . ..

.

.

.

.

.

. . . 0 si ci 0 . . ..

.

.

.

.

.. . . 0 0 0 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.. . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

. 00 . . . . . . . . . . . . . . . 0 1

,

o l e s si e t ci s o n t t e l s q u e s

2i + c

2i = 1 ( ci = cosi , si = sini ) .

O n p o s e

H(0)k = Hk e t p o u r i = 1,...,k o n a

i...21H(0)k = H

(i)k = (h

(i)l,m),


18/58


e t o n p o s e

QTk = kk1...1,

a i n s i l a r s o l u t i o n d u p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n s e f a i t p a r t a p e s c o m m e

s u i v a n t

t a p e 1

o n c a l c u l e c1 =h1,1

(h21,1+h22,1)

s1 =h2,1

(h21,1+h22,1)

d o n c

QT1 (e1) =

c1 s1 0 . . . 0

s1 c1 0 . . . 00 0 1 . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 . . . . . . 0 1

0

.

.

.

.

.

.

0

=

c1s1

0.

.

.

0

=

(1)1

(1)2.

.

.

0

= g1,

QT1 ( H(0)k ) = 1 H(0)k= H(1)k

=

h(1)11 h(1)12 . . . . . . h

(1)1k

0 h(1)22 . . . . . . h

(1)2k

.

.

.h(1)32

.

.

. . . . h(1)3k

.

.

.0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. h(1)kk

0 0 . . . 0 h(1)k+1,k


19/58


t a p e 2

d e m m e o n c a l c u l e c2 =

h(1)2,2

((h(1)2,2)

2+(h(1)3,2)

2)

s2 =h(1)3,2

((h(1)2,2)

2+(h(1)3,2)

2)

a l o r s

QT2 (e1) = 2(1(e1))

= 2(QT1 (e1))

= 2g1

=

1 0 0 0 . . . 00 c2 s2 0 . . . 00 s2 c2 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 . . . . . . . . . 0 1

(1)1(1)2

0.

.

.

.

.

.

0

=

(1)1

c2

(1)

2s2(1)20

.

.

.

0

=

(2)1(2)2

(2)30

.

.

.

0

= g2,


20/58


d o n c

(2)1 =

(1)1 ,

(2)2 = c2(1)2 ,

(2)3 = s2(1)2 ,

QT

2 ( H(0)k ) = 2 H(1)k

=

1 0 0 0 . . . 00 c2 s2 0 . . . 00 s2 c2 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 . . . . . . . . . 0 1

h(1)11 h

(1)12 . . . . . . h

(1)1k

0 h(1)22 . . . . . . h

(1)2k

.

.

.h(1)32

.

.

. . . . h(1)3k.

.

.0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. h(1)kk

0 0 . . . 0 h(1)k+1,k

=

h(2)11 h

(2)12 h

(2)13 . . . . . . h

(2)1k

0 h(2)

22 h(2)

23 . . . . . . h(2)

2k.

.

.0 h

(2)33 . . . . . . h

(2)3k

.

.

.

.

.

.h(2)43

.

.

. . . ..

.

.

.

.

.

.

.

.0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. h(2)kk

0 0 0 . . . 0 h(2)k+1,k

= H(2)k

e n g n r a l t o u t t a p e i o n a

QTi (e1) = i(i1...1(e1))

= i(QTi1(e1))

= igi1


21/58


=

1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0

0.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . ..

.

.

.

.

.

.

.

. 1 0 0 0 . . ..

.

.

.

.

.. . . 0 ci si 0 . . .

.

.

.

.

.

.. . . 0 si ci 0 . . . ...

.

.

.. . . 0 0 0 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.. . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

. 00 . . . . . . . . . . . . . . . 0 1

(i1)1

(i1)2

.

.

.

(i1)i1

(i1)i

0.

.

.

0

=

(i)1

(i)2

.

.

.

ci(i1)i

si(i1)i0

.

.

.

0

= gi,

a v e c si =

h(i1)i+1,i

(h(i1)i,i )

2+(h(i1)i+1,i )

2,

ci =h(i1)i,i

(h(i1)i,i )

2+(h(i1)i+1,i )

2,

o l e s si e t ci s o n t t e l s q u e s

2i + c

2i = 1 ( ci = cosi , si = sini ) .

l e v e c t e u r gi e s t d o n n p a r

gi =

(i)1(i)2

.

.

.

(i)i

(i)i+1

0.

.

.

0

,


22/58


a v e c (i)j =

(i1)j j = 1,...,i 1,

(i)i = ci

(i1)i ,

(i)i+1 = si(i1)i ,u n i q u e m e n t l e s c o m p o s a n t e s

(i)i e t

(i)i+1 q u i c h a n g e n t t o u t t a p e i.

QTi (H(i1)k ) = i H(i1)k

= H(i)k

=

h(i)11 . . . h

(i)1i h

(i)1,i+1 . . . h

(i)1k

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. h(i)ii

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. 0 h(i)i+1,i+1 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. 0 h(i)i+2,i+1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. h(i)kk

0 . . . 0 . . . 0 h(i)k+1,1

t o u t e t a p e

is e u l e s l e s t e r m e s

h(i)i,i e t h

(i)i+1,i q u i s e r o n t m o d i s :

h(i)i,i = cih(i1)i,i + sih(i1)i,i+1 ,h(i)i+1,i = 0.

A i n s i l e v e c t e u r yk , s o l u t i o n d u p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n ( l ' t a p e 3 d e

l ' a l g o r i t h m e 3 ) , e s t o b t e n u p a r t i r d e l ' q u a t i o n s u i v a n t e

Rkyk = gk,

c e q u i c o n r m e l a r e l a t i o n d o n n p a r ( 1 . 2 6 ) .

1 . 7 C o n c l u s i o n

O n a v u d a n s c e c h a p i t r e d e s r a p p e l e s p o u r l a r s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n

d e S y l v e s t e r d o n n e p a r AXXH = CG

, n o t a m e n t l a c o n d i t i o n d ' u n i c i t e t

d ' e x i s t a n c e d e l a s o l u t i o n X

. O n i n t r o d u i r a a u p r o c h a i n c h a p i t r e l e p r o b l m e

p o s p a r c e t t e q u a t i o n e t o n r e v i e n d r a e n d e t a i l s u r s a r s o l u t i o n e n u t i l i s a n t

l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i .


23/58

C h a p i t r e 2

R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e

S y l v e s t e r

L e b u t d e c e c h a p i t r e e s t d e r s o u d r e AX XH = CG,(H) = {1,...,m}, ( 2 . 1 )

e n a p p l i q u a n t l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i , o A Mn(R), C Mnm(R) s o n t

d o n n e s e t H

Mm(R), X

Mnm(R), G

Mm(R) s o n t t r o u v e r .

O n v e r r a a u s s i c o m m e n t o b t e n i r l a d e u x i m e g a l i t d o n n e p a r l ' e x p r e s -

s i o n c i - d e s s u s .

S a u f m e n t i o n d u c o n t r a i r e , d a n s t o u t c e q u i s u i t l e s m a t r i c e s A

,X

,H

,C

,

Gs o n t d n i s c o m m e c i - d e s s u s e t

P = {1,...,m} e s t u n e n s e m b l e a r b i t r a i r e d e

mn o m b r e s c o m p l e x e s p a r t i e r e l l e n g a t i v e e t d i r e n t s d e u x d e u x ,

o m

e s t s u s e m e n t i n f r i e u r n

.

2 . 1 P o s i t i o n d u p r o b l m e

N o u s a v o n s v u a u c h a p i t r e 1 , q u e l a c o n s t r u c t i o n d e l ' o b s e r v a t e u r d e

L u e n b e r g e r n c e s s i t e l a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r . P o u r r s o u d r e

c e t t e q u a t i o n o n p e u t u t i l i s e r l a m t h o d e d e H e s s e n b e r g - S c h u r [ 3 ] , m a i s c e t t e

d e r n i r e n e d o n n e p a s d e b o n s r s u l t a t s s i l a m a t r i c e A

e s t d e g r a n d e t a i l l e ,

d ' o l ' u t i l i s a t i o n d e l a m t h o d e d ' A r n o l d i .

O n c o n s i d r e l e s y s t m e d e t y p e ( 1 . 2 ) x(t) = Mx(t) + Bu(t),y(t) = Ex(t),

( 2 . 2 )

1 7


24/58

1 8 C H A P I T R E 2 . R S O L U T I O N D E L ' Q U A T I O N D E S Y L V E S T E R

o E

Mmn(R), M

Mn(R) , B

Mnk(R), x(t)

Rn u(t)

Rk

e t

y(t) Rm .L ' o b s e r v a t e u r d e L u e n b e r g e r [ 1 ] a s s o c i c e s y s t m e e s t d o n n p a r

z(t) = F z(t) + Dy(t) + P u(t),z(0) = z0,

( 2 . 3 )

o l e s m a t r i c e s F, D Mm(R) , P Mmk(R) s o n t d t e r m i n e r .

D ' a p r s l e t h o r m e 1 , v u a u c h a p i t r e 1 , l ' e r r e u r e n t r e z(t)

e tx(t)

d o n n e

p a r

e(t) = z(t) Y x(t),( 2 . 4 )

a v e c Y

Mm,n(R) , t e n d v e r s 0 l ' i n n i s i l e s t r o i s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s s o n t

v r i e s

1 .

Y M F Y = DE,

2 .P = Y B

,

3 .F

s t a b l e .

L a c o n d i t i o n 1 n ' e s t a u t r e q u e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r , e t c o m m e o n a v u

a u c h a p i t r e 1 , e l l e a d m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e s i

(F) (M) = ,( 2 . 5 )

p o u r r e t r o u v e r l a r e l a t i o n ( 2 . 1 ) o n p o s e

M = AT, F = HT, E = CT, D = GT, Y = XT

a i n s i l a c o n d i t i o n 1 d e v i e n t

XTAT HTXT = GTCT,( 2 . 6 )

c ' e s t d i r e

AX XH = CG,( 2 . 7 )

d o n c l a c o n d i t i o n d ' e x i s t e n c e e t d ' u n i c i t d e l a s o l u t i o n d o n n e p a r ( 2 . 5 ) d e -

v i e n t

(H) (A) = .( 2 . 8 )

E n c e q u i c o n c e r n e l a m a t r i c e G

, o n l a c h o i s i t d e f a o n q u e l a p a i r e {H, G}

s o i t c o n t r l a b l e [ 7 ] .

A i n s i l e s c o n d i t i o n s r e q u i s e s p o u r r s o u d r e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r s o n t

1 .H

s t a b l e ,


25/58

2 . 2 . A P P L I C A T I O N D U P R O C E S S U S D ' A R N O L D I 1 9

2 .(H)

(A) =

,

3 . l a p a i r e {H, G} c o n t r l a b l e . P u i s q u e l e p r o d u i t d e s m a t r i c e s

Ge t

Cd o n n e u n e m a t r i c e d e t y p e

n mo n p e u t s u p p o s e r d a n s t o u t c e q u i s u i t , e t s a n s p e r t e d e g n r a l i t , q u e l a

m a t r i c e G

e s t l a m a t r i c e i d e n t i t ; d o n c l ' q u a t i o n r s o u d r e e s t AX XH = C,(H) = P.

( 2 . 9 )

O n r e m a r q u e q u e s i o n m u l t i p l i e C

p a r u n s c a l a i r e a l o r s l a n o u v e l l e s o l u t i o n

e s t o b t e n u e e n m u l t i p l i a n t l a m a t r i c e X

p a r l e m m e s c a l a i r e .

D a n s t o u t c e q u i s u i t o n v a t u d i e r l e p r o b l m e d a n s l e c a s o

Ce s t d e

r a n g 1 .

2 . 2 A p p l i c a t i o n d u p r o c e s s u s d ' A r n o l d i

L ' a p p l i c a t i o n d u p r o c e s s u s d ' A r n o l d i p a r t d e l ' a n a l o g i e p r s e n t e p a r c e

d e r n i e r a v e c l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r d o n n e p a r ( 2 . 9 ) , e t c e t t e a n a l o g i e e s t l a

b a s e d e l a m t h o d e d e S a a d e t D a t t a [ 3 ] . E t c ' e s t c e q u ' o n f a i t d a n s c e q u i

s u i t .

2 . 2 . 1 M t h o d e d e S a a d e t D a t t a

P u i s q u e C

e s t d e r a n g 1 , o n p e u t l ' c r i r e s o u s l a f o r m e

C = (0, 0,...,c),( 2 . 1 0 )

a i n s i o n p e u t l a r e n d r e s o u s f o r m e d e p r o d u i t m a t r i c i e l l e

C = ceTm, ( 2 . 1 1 )

l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r s ' c r i t d o n c s o u s l a f o r m e

AX XH = ceTm, ( 2 . 1 2 ) c e q u i n o u s r a p p e l l e l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i . E n e e t , c e t t e d e r n i r e s ' c r i t (

l ' t a p e m

) c o m m e s u i v a n t :

AVm VmHm = hm+1,mvm+1eTm, ( 2 . 1 3 ) d o n c o n e n d d u i t q u e p o u r r s o u d r e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r , i l s u t d e

t r o u v e r u n v e c t e u r v1 t e l q u e l e s e c o n d m e m b r e s o i t ce

Tm a p r s e x c u t i o n d e


26/58


m t a p e s d u p r o c e s s u s d ' A r n o l d i (

mi n f r i e u r a u d e g r d u p o l y n m e m i n i m a l

d e A p o u r v1 ) .

D ' a u t r e s p a r t l a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n ( 2 . 9 ) e x i g e a u s s i q u e (H) = P ,

c ' e s t d i r e q u e l e p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e d e l a m a t r i c e Hm d o i t t r e

qm(t) = (t 1)...(t m), ( 2 . 1 4 ) P u i s q u ' o n a

pm(A)v1 = vm+1,

a v e c

pm(t) = det(tIm Hm) ( d ' a p r s l e c o r o l a i r e 1 , p a g e 8 ) , e t s a c h a n t q u e l e p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e d e l a m a t r i c e

Hm s ' c r i t

qm(t) = det(tIm Hm),

o n e n d d u i t q u e

vm+1 = qm(A)v1,

P u i s q u e o n c h e r c h e a v o i r vm+1 = c a v e c R , o n e n d d u i t q u e v1

d o i t t r e p r o p o r t i o n n e l c

, e n e e t

qm(A)v1 = c

v1 =

[qm(A)]1cv1 = [qm(A)]

1c( 2 . 1 5 )

o

e s t l a c o n s t a n t e d e n o r m a l i s a t i o n .

D o n c l ' i d e d e b a s e e s t d ' e x c u t e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i e n c o m m e n a n t

p a rv1 ( l e v e c t e u r o b t e n u p a r l a r e l a t i o n ( 2 . 1 5 ) ) p u i s f a i r e u n p l a c e m e n t d e

p l e s s u r l a m a t r i c e H

m, p o u r a v o i r l e s p e c t r e d s i r , e t a c o n s i s t e t r o u v e r

y Rmt e l q u e

(H) = (Hm yeTm) = P, ( 2 . 1 6 ) A i n s i l a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r c o n s i s t e r s o u d r e d e u x p r o -

b l m e s q u i s o n t

1 . t r o u v e r v1 s o l u t i o n d e qm(A)x = c

2 . t r o u v e r y Rm

t e l q u e l a r e l a t i o n ( 2 . 1 6 ) s o i t v r i e .


27/58


L a p r e m i r e t a p e c o n s i s t e r s o u d r e qm(A)x = c c ' e s t d i r e l a r s o -

l u s t i o n d e m s y s t m e s s a v o i r (A iI)xi = xi1 c e q u i n ' e s t p a s s i m p l e . O n d o n n e r a p l u s d e d t a i l s , a u c h a p i t r e 3 , p r o p o s d e l a r s o l u t i o n d e t e l s

s y s t m e s . L e c h o i x d e l ' e n s e m b l e P

d o i t s e f a i r e d e f a o n s q u e s e s l m e n t s

n e s o i e n t p a s p r o c h e s d e s v a l e u r s p r o p r e s d e l a m a t r i c e A

, c a r d a n s c e c a s l a

s o l u t i o n x

o b t e n u e s e r a m a l c o n d i t i o n n e [ 6 ] . O n s ' o c c u p e r a d a n s l e c h a p i t r e

3 d e l a r s o l u t i o n d e c e p r o b l m e .

L e p l a c e m e n t d e s p l e s d e l a m a t r i c e Hm s e f a i t a v e c u n e p r o c d u r e s i m p l e

q u ' o n v e r r a d a n s l a s e c t i o n s u i v a n t e .

2 . 2 . 2 P l a c e m e n t d e s p l e s d e l a m a t r i c e d e H e s s e n b e r g

O n p r s e n t e r a d a n s c e p a r a g r a p h e l e s i d e s d e b a s e p o u r c e t t e t a p e .

D n i t i o n 1 3 S o i t E = {1,...,j} . O n d i t q u e l ' e n s e m b l e E e s t s t a b l e p a r

c o n j u g a i s o n s i :

(j E) : j ET h o r m e 3 [ 6 ] S o i t

Hm l a m a t r i c e d e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e o b t e n u e p a r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i . O n n o t e p a r

(Hm) l e s p e c t r e d e l a m a t r i c e Hm . O ns u p p o s e q u e

P (Hm) = ,

s =m

j=1

(Hm jI)e1, =m1j=1

h1j+1,j ( 2 . 1 7 )

a l o r s

(Hm seTm) = P e t l a m a t r i c e Hm seTm e s t d e H e s s e n b e r g s u p - r i e u r e .

D e p l u s s i P e s t s t a b l e p a r c o n j u g a i s o n a l o r s (Hm seTm) e s t r e l . O n r e p r e n d l ' e x p r e s s i o n d o n n p a r ( 2 . 1 3 ) , o n a l e l e m m e s u i v a n t

L e m m e 1 [ 6 ] O n c o n s i d r e l e s m a t r i c e s Vm , Hm d o n n e s p a r l e p r o c e s s u s

d ' A r n o l d i e t o n s u p p o s e q u e

c

Km+1(A, v1) e t v

Tm+1c

= 0

a l o r s

f

Rm

e t

m R t q :AVm Vm(Hm f eTm) = mceTm ( 2 . 1 8 )

P r e u v e

S o i t m = hm+1,m/v

Tm+1c e t s o i t f Rm t e l q u e

mc = Vmf + m(vTm+1c)vm+1

= Vmf + hm+1,mvm+1, ( 2 . 1 9 )

d ' a p r s ( 2 . 1 9 ) e t ( 2 . 1 3 ) o n a :


28/58


AVm Vm(Hm f eTm) = hm+1,mvm+1eTm + Vmf eTm,= hm+1,mvm+1e

Tm + (mc hm+1,mvm+1)eTm.

C e q u i m o n t r e ( 2 . 1 8 )

O n r e m a r q u e q u e Hm f eTm e s t d e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e .

A i n s i l e l e m m e 1 m o n t r e q u e s i o n c h o i s i t v1 d e f a o n q u e c Km+1(A, v1)

a l o r s l ' g a l i t ( 2 . 1 8 ) e s t d e l a m m e f o r m e q u e ( 2 . 1 2 ) u n e c o n s t a n t e m u l t i -

p l i c a t i v e p r s .

L e s r s u l t a t s s u i v a n t s m o n t r e n t c o m m e n t t r o u v e r u n t e l e s p a c e d e K r y l o v

e t c o m m e n t o b t e n i r l a r e l a t i o n ( 2 . 1 6 )

L e m m e 2 [ 6 ] S o i t Vm e t Hm l e s m a t r i c e s c o n s t r u i t e s p a r l e p r o c e s s u s d ' A r -

n o l d i e t s o i t p

u n p o l y n m e d e d e g r i n f r i e u r m

a l o r s

p(A)v1 = Vmp(Hm)e1.

P r e u v e

i l s u t d e v r i e r q u e : Ajv1 = VmH

jme1 0 j < m e t l e l e m m e s ' e n

d d u i t .

L e m m e 3 [ 6 ] S o i t Hm+1 Mm+1(R) u n e m a t r i c e d e H e s s e n b e r g s u p r i e u r e

e t

pu n p o l y n m e u n i t a i r e d e d e g r

m( l e c o e c i e n t d e p l u s h a u t d e g r e s t

g a l 1 ) . A l o r s

eTm+1p(Hm+1)e1 =m

j=1

hj+1,j.

T h o r m e 4 [ 6 ] S o i t c

l e v e c t e u r d n i p a r ( 2 . 1 0 ) . O n s u p p o s e q u e

(A) P = . O n d n i t l e p o l y n m e u n i t a i r e

pm(t) =m

j=1

(t j) ( 2 . 2 0 )

e t x l a s o l u t i o n u n i q u e d e pm(A)x = c ( 2 . 2 1 )

e t s o i e n t Vm, Hm, vm+1 e t hm+1,m d t e r m i n s p a r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i a v e c

v1 =xx

. O n p o s e m = hm+1,m/v

Tm+1c e t f = mV

Tm c, a l o r s

c Km+1(A, v1), ( 2 . 2 2 ) e t

(Hm f eTm) = P. ( 2 . 2 3 )


29/58


P r e u v e

L a r e l a t i o n ( 2 . 2 2 ) p r o v i e n t d e ( 2 . 2 1 ) e t d e ( 2 . 2 0 ) e n e e t

c = pm(A)x = c = xpm(A) v1 (c a r v1 = xx)= c = gm(A)v1 (a v e c gm(t) = xpm(t))= c Km+1(A, v1) (p a r d n i t i o n d u s o u s - e s p a c e d e K r y l o v )

P o u r m o n t r e r l a r e l a t i o n ( 2 . 2 3 )

f = mVTm c

= mVTmpm(A)x

= mxVTmpm(A)v1, ( 2 . 2 4 )

o n p o s e : pm1(t) =

m1j=1

(tj) a i n s i e n r e m p l a a n t pm(t) = (tm)pm1(t)

d r o i t e d a n s l ' e x p r e s s i o n ( 2 . 2 4 ) e t e n a p p l i q u a n t l e l e m m e 2 o n a

mxVTmpm(A)v1 = mxVTm (A mI)pm1(A)v1= mxVTm (A mI)Vmpm1(Hm)e1= mx(Hm mI)pm1(Hm)e1= mxpm(Hm)e1= mxs,

o s

e s t d n i p a r l e t h o r m e 3 .

E n p l u s o n a

mx = hm+1,mvTm+1c

x

=hm+1,m

vTm+1pm(A)xx

=hm+1,m

vTm+1pm(A)v1,

d o n c , d ' a p r s l e l e m m e 2 e t l e l e m m e 3 , o n a


30/58


hm+1,mvTm+1pm(A)v1

=hm+1,m

vTm+1Vm+1pm(Hm+1)e1

=hm+1,mm

j=1

hj+1,j

=1

m1j=1

hj+1,j

A i n s i o n e n d d u i t q u e = mx ( c a r =

m1j=1

h1j+1,j )

e t i l s ' e n s u i t q u e s = f

e t d ' a p r s l e t h o r m e 4 o n a

(Hm f eTm) = P.R e m a r q u e 5 E n p r a t i q u e , o n n ' u t i l i s e p a s l e s c a l a i r e

m t e l q u ' i l e s t d n i a u t h o r m e 4 c a r l e s r s u l t a t s n u m r i q u e s o b t e n u s s e r o n t m o i n s b o n s q u e

c e u x o b t e n u s p a r c e t t e e x p r e s s i o n

m =cTdc2 . ( 2 . 2 5 )

a v e c d = hm+1,mvm+1 + Vmf.

O n a d ' a p r s l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i

AVm VmHm = hm+1,mvm+1eTm,e n a j o u t a n t

Vmf eTm a u x d e u x m e m b r e s d e l ' g a l i t o n a

AVm

VmHm + Vmf eTm = hm+1,mvm+1e

Tm + Vmf e

Tm ( 2 . 2 6 )

d o n c

AVm Vm(Hm f eTm) = (hm+1,mvm+1 + Vmf)eTmo n p o s e

H = Hm f eTm , d = hm+1,mvm+1 + Vmfe t o n n e m a n q u e r a p a s d e s i g n a l e r q u e

de s t l a d e r n i r e c o l o n n e d e l a m a t r i c e

AVm VmH c e q u i f a i t q u ' o n a AVm VmH = deTm


31/58

2 . 3 . C O N C L U S I O N 2 5

e t p o u r s e r a m m e n e r l a r e l a t i o n ( 2 . 1 2 ) i l f a u t q u e d

s o i t p r o p o r t i o n n e l c

d = mc

c e q u i m n e

d = mc cTd = mcTc m = c

Td

cTc

m = cTd

c2 .

E n d n i t i f , o n a

AVm VmH = mceTme t d o n c p a r i d e n t i c a t i o n a v e c l a r e l a t i o n ( 2 . 1 2 ) , l a s o l u t i o n

Xr e c h e r c h e

e s t d o n n e p a r

X =1

mVm.

A p r s e n t q u ' o n s a i t c o m m e n t o b t e n i r l e s m a t r i c e s H

e tX

, o n p e u t

p r s e n t e r l ' a l g o r i t h m e d e p l a c e m e n t p a r t i e l d e s p l e s d e l a m a t r i c e Hm [ 3 ] :

A l g o r i t h m e 4 P l a c e m e n t d e s p l e s d e Hm

l1 = e1 ; = 1;p o u r

i = 1,...,m 1f a i r e

li+1 = (Hm iI)li ; = .h1i+1,i ;

n i

s = (Hm mI)lm ;f = s

;

c a l c u l e r Hm f eTm ; n

M a i n t e n a n t i l n e r e s t e p l u s q u ' s a v o i r c o m m e n t o b t e n i r l e v e c t e u r v1 .


L a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r p a r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i n o u s

c o n d u i t d o n c r s o u d r e d e u x p r o b l m e s .


32/58


L e p r e m i e r r s i d e d a n s l a d t e r m i n a t i o n d u v e c t e u r v1 p e r m e t t a n t d e d -

m a r r e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i , e t l e d e u x i m e p r o b l m e s ' a g i t d ' u n p l a c e m e n t

d e p l e s s u r l a m a t r i c e Hm .

O n r e v i e n d r a p l u s e n d t a i l s s u r l e p r e m i e r p r o b l m e a u c h a p i t r e 3 .


33/58

C h a p i t r e 3

P r e m i r e t a p e d e l a m t h o d e d e

S a a d e t D a t t a

D a n s c e c h a p i t r e o n r s o u d l e s y s t m e qm(A)x = c, q u i c o n s t i t u e l a p r e -

m i r e t a p e d e l a m t h o d e d e S a a d - D a t t a [ 3 ] ( v o i r a l g o r i t h m e 6 , p a g e 3 1 )

p o u r l a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r . L ' i m p o r t a n c e d e c e t t e t a p e

r s i d e d a n s l e f a i t q u ' e l l e p e r m e t d e t r o u v e r l e v e c t e u r v1 , q u i d m a r r e r a l e

p r o c e s s u s d ' A r n o l d i .

D a n s t o u t c e c h a p i t r e , P = {1,...,m} e s t u n e n s e m b l e d e m n o m b r e s c o m p l e x e s p a r t i e r e l l e n g a t i v e e t d i r e n t s d e u x d e u x ,

(A)d s i g n e l e

s p e c t r e d e A

e tqm(t) =

mi=1

(t iI).

3 . 1 P r s e n t a t i o n d u p r o b l m e

O n s a i t q u e l e v e c t e u r v1 d o i t v r i e r l a r e l a t i o n ( 2 . 1 5 ) ( c h a p i t e 2 p a g e

2 0 ) c e q u i m n e a u f a i t q u e v1 e s t s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s u i v a n t e

qm(A)x = c, ( 3 . 1 )

s a c h a n t q u e

qm(t) = (t 1)...(t m),c ' e s t d i r e

(A 1I)...(A mI)x = c, ( 3 . 2 ) e n p o s a n t

x = xm e t x0 = c, l a r e l a t i o n ( 3 . 2 ) d e v i e n t

2 7


34/58

2 8 C H A P I T R E 3 . P R E M I R E T A P E D E L A M T H O D E D E S A A D E T D A T T A

(A 1I)...(A mI)xm = x0, ( 3 . 3 ) o n p o s e

(A mI)xm = xm1 d o n c l a r e l a t i o n ( 3 . 3 ) d e v i e n t

(A 1I)...(A m1I)xm1 = x0,e n r p t a n t l a m m e o p r a t i o n o n o b t i e n t

(A iI)xi = xi1i = 1,...,m

( 3 . 4 )

A i n s i , r s o u d r e ( 3 . 1 ) q u i v a u t r s o u d r e ( 3 . 4 ) . L e d e r n i e r v e c t e u r xm e s t

b i e n e n t e n d u l a s o l u t i o n r e c h e r c h e . C e p e n d a n t o n n e p e u t u t i l i s e r c e t t e m -

t h o d e c a u s e d e d e u x r a i s o n s . L a p r e m i r e c ' e s t q u ' e l l e e s t t r s c o t e u s e ;

c a r l e s m t h o d e s d i r e c t s n e s o n t p a s e n v i s a g e a b l e s d a n s l e c a s d e s s y s t m e s

l i n a i r e s d e g r a n d e t a i l l e . L a d e u x i m e r a i s o n e s t d u e a u x p o s s i b l e s p e r t u r -

b a t i o n s d a n s l e s i t r a t i o n s ; v o i r [ 1 ] p o u r p l u s d e d t a i l s .

3 . 2 A p p r o c h e p a r f r a c t i o n r a t i o n n e l l e

S i l a r s o l u t i o n d e s m

s y s t m e s l i n a i r e s n e p e u t a b o u t i r p o u r l e s r a i s o n s

d j a c i t e s , a l o r s u n e a p p r o c h e d i r e n t e s ' i m p o s e .

O n s a i t d ' a p r s ( 3 . 1 ) q u e

x = [qm(A)]1c,

( 3 . 5 )

e t o n a a u s s i

1

qm(t)=

1mi=1(t i)

,( 3 . 6 )

s i o n d s i g n e p a r qm(i) l a d r i v e d e qm(t) c a l c u l e a u p o i n t i o n a

qm(i) =m

j=1j=i

(i

j),

l e s n o m b r e s d r i v s qm(i) s o n t t o u s d i r e n t s d e z r o , c e l a e s t d u a u f a i t

q u e t o u s l e s l m e n t s d e P

s o n t d i s j o i n t s d e u x d e u x , a i n s i l a d c o m p o s i t i o n

e n l m e n t s s i m p l e s d e ( 3 . 6 ) d o n n e

1

qm(t)=

mi=1

1

qm(i)(t i),

( 3 . 7 )


35/58

3 . 3 . R S O L U T I O N D E QM(A)X = C P A R L A M T H O D E D U G M R E S 2 9

d o n c l a r e l a t i o n ( 3 . 5 ) d e v i e n t

x =mi=1

1

qm(i)(A iI)1c, ( 3 . 8 )

l ' e x p r e s s i o n ( 3 . 8 ) n ' a a u c u n s e n s s i l ' u n e d e s m a t r i c e s (A iI) n ' e s t p a s

i n v e r s i b l e . P u i s q u e P (A) =

, l e s p e c t r e d e l a m a t r i c e A

n e c o n t i e n t

a u c u n e r a c i n e d u p o l y n m e qm(t) e t d o n c l e s m a t r i c e s (A iI) s o n t t o u t e s

i n v e r s i b l e s .

E e c t i v e m e n t s i (A)

o n a

(A) n ' e s t p a s r a c i n e d u p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e d e A det(A I) = 0 (A I)

i n v e r s i b l e ,

c e q u i p r o u v e c e q u ' o n v i e n t d e d i r e .

O n p o s e

xi = (A iI)1c,d o n c l a r e l a t i o n ( 3 . 8 ) d e v i e n t

x =mi=1

1qm(i)

xi, ( 3 . 9 )

a i n s i p o u r t r o u v e r x

i l f a u t r s o u d r e l e s m

s y s t m e s l i n a i r e s s u i v a n t s

(A iI)xi = c a v e c i = 1,...,m, ( 3 . 1 0 ) e t p u i s u t i l i s e r l a c o m b i n a i s o n l i n a i r e d o n n e p a r ( 3 . 9 ) p o u r t r o u v e r

x.

P o u r l a r s o l u t i o n d e ( 3 . 1 0 ) o n v a u t i l i s e r l a m t h o d e d u G M E R S [ 1 2 ] ;

c e p e n d a n t l e v e c t e u r v1 r e c h e r c h d o i t t r e n o r m , c e q u i n ' e s t p a s f o r c m e n t

l e c a s d e x

, d o n c o n p o s e r a

v1 =x

x ,

3 . 3 R s o l u t i o n d e qm(A)x = c p a r l a m t h o d e

d u G M R E S

L a m t h o d e d u G M R E S [ 1 2 ] e s t l ' u n e d e s m t h o d e s l e s p l u s e c a c e s

p o u r l a r s o l u t i o n d e s s y s t m e s d e t y p e ( 3 . 1 0 ) . P o u r a p p l i q u e r l a m t h o d e


36/58


d u G M R E S o n c o n s t r u i t Vl e t Hl p a r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i a p p l i q u A e t

v1 = cc , c e t t e b a s e s e r a u t i l i s e d a n s t o u s l e s m s y s t m e s d o n n s p a r ( 3 . 1 0 ) c a r l a b a s e d ' A r n o l d i , d o n n e p a r l a m a t r i c e

Vl , n e v a r i e p a s s i o n r e m p l a c e A

p a r(A I)

( o

e s t u n s c a l a i r e ) . L e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i d o n n e

AVl = VlHl + hl+1,lvl+1eTl ,

s i o n a j o u t e Vl a u x d e u x m e m b r e s d e l ' g a l i t p r c d e n t e

AVl Vl = VlHl + hl+1,lvl+1eTl Vl,o n o b t i e n t a l o r s

(A I)Vl = Vl(Hl I) + hl+1,lvl+1eTl . ( 3 . 1 1 ) L ' i n t r t d e c e t t e i d e r s i d e d a n s l e f a i t q u e l a m m e b a s e

Vl s e r v i r a t r o u v e r t o u s l e s v e c t e u r s

xi c e q u i p e r m e t d ' c o n o m i s e r d a n s l e s c a l c u l s c a r o n s e c o n t e n t e r a j u s t e d e m o d i e r l a m a t r i c e

Hl e n l a r e m p l a a n t p a r HliIp o u r

i = 1,...,m.

R e m a r q u e 6 - O n c h o i s i t l ' e n t i e r l

c o m m e t a n t l e p l u s p e t i t e n t i e r t e l q u e

r(l)i < p o u r i = 1,...,m ( 3 . 1 2 ) a v e c

r(l)i = c (A iI)xi p o u r i = 1,...,m ( v o i r [ 6 ] p o u r p l u s d e d t a i l s ) .

F i n a l e m e n t o n r s o u t l e s y s t m e d o n n p a r ( 3 . 1 ) p a r l ' A l g o r i t h m e s u i v a n t

A l g o r i t h m e 5 R s o l u t i o n d e qm(A)x = c

1 . C a l c u l e r = c

e tv1 =

cc

;

2 . A p p l i q u e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i s u r l a m a t r i c e A

e tv1 p o u r c o n s t r u i r e

l e s m a t r i c e s Hl e t Vl ;

3 . p o u r i = 1,...,m

f a i r e

c a l c u l e r H

(i)l = Hl iI ;

t r o u v e r y(

i)l = argminyCl

e1

H

(j)l y

o

H(j)l =

H(i)l

0 . . . hl+1,l ;s i

c H(j)l y(i)l c h o i s i r

lp l u s g r a n d s e t a l l e r 2 .

n s i

c a l c u l e r xi = Vly

(i)l ;

ni

4 . c a l c u l e r x =

mi=1

1

qm(i)xi


37/58

3 . 4 . L E C H O I X D E S P O L E S 3 1

3 . 4 L e c h o i x d e s p o l e s

L e s v a l e u r s p r o p r e s d e A

n e s o n t p a s p r a l a b l e m e n t c o n n u e s , d o n c i l e s t

d i c i l e d e c h o i s i r l ' a v a n c e l ' e n s e m b l e d e s p l e s P d e f a o n q u e P(A) = .S i l ' u n d e s

i e s t p r o c h e d e l ' u n e d e s v a l e u r s p r o p r e s d e A , l e s y s t m e l i n a i r e q u i l u i e s t a s s o c i

(A iI)xi = c s e r a m a l c o n d i t i o n n . P o u r r e m d i e r c e p r o b l m e o n p e u t f a i r e u n e e s t i m a t i o n s u r l e s v a l e u r s p r o p r e s d e

A, u n e

t e l l e e s t i m a t i o n p e r m e t d e b i e n c h o i s i r l e s l m e n t s d e P

. D ' a u t r e s m t h o d e s

p e r m e t t e n t l ' e s t i m a t i o n d e s v a l e u r s p r o p r e s d e A

, c o m m e l a m t h o d e d e d -

a t i o n , c o m b i n e a u x i t r a t i o n s p o l y n o m i a l e s , c o m m e d a n s [ 3 ] , o u l a m t h o d e

d ' A r n o l d i r e d m a r r e i m p l i c i t e m e n t ( m t h o d e I R A : I m p l i c i t l y r e s t a r t e d A r -

n o l d i ) q u i p e r m e t d e d o n n e r u n e e s t i m a t i o n d e s v a l e u r s p r o p r e s d e l a m a t r i c e

A, c o m m e d a n s l e s t r a v a u x d e L . R e i c h e l , B . L e w i s e t D . C a l v e t t i ( p o u r p l u s

d e d t a i l s v o i r [ 6 ] ) .

I l e s t n o t e r q u e d a n s p l u s i e u r s s i t u a t i o n s e n p r a t i q u e , c o m m e l e c a s

d e s s t r u c t u r e s s p a t i a l e s l a r g e s e t e x i b l e s ( L F S S ) [ 3 ] , l e s v a l e u r s p r o p r e s d e

l a m a t r i c e A

s o n t d o n n e s p a r u n e f o r m u l e a n a l y t i q u e ( v o i r p a g e 3 5 ) c e q u i

f a c i l i t e l e c h o i x d e s l m e n t s d e P

.

3 . 5 A l g o r i t h m e d e r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e

S y l v e s t e r

A p r s e n t n o u s s a v o n s c o m m e n t o b t e n i r x

, e t p a r l a m m e o c c a s i o n l e

v e c t e u r v1 =

xx

q u i p e r m e t d ' a v o i r vm+1 = c , e t p u i s q u ' o n a d j a v u a u

c h a p i t r e 2 c o m m e n t c a l c u l e r l e s m a t r i c e s H

e tX

, n o u s p o u v o n s a l o r s d o n n e r

l ' a l g o r i t h m e d n i t i f d e l a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r .

A l g o r i t h m e 6 R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r

1 . r s o u d r e qm(A)x = c p a r l a m t h o d e d u G M R E S ( i . e . l ' a l g o r i t h m e 5 ) ,

p u i s c a l c u l e r v1 =

xx

2 . e x c u t e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i p o u r c a l c u l e r Vm e t Hm

3 . t r o u v e r y t e l q u e (H) = (Hm yeTm) = P4 . c a l c u l e r

m = cTd/c2

a v e c d

e s t l a d e r n i r e c o l o n n e d e AVm VmH

5 .Xm =

1m

Vm


P u i s q u e l e s m a t r i c e s A

e tAiI p o s s d e n t l e m m e s o u s - e s p a c e d e K r y l o v

c e c i p e r m e t d e f a i r e d ' i m p o r t a n t e s c o n o m i e s e n c a l c u l e t e n m m o i r e , c a r


38/58


s e u l e l ' t a p e d e r s o l u t i o n d u p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n ( d a n s l a m t h o d e d e

G M R E S ) q u i s ' e x c u t e r a a u t a n t d e f o i s q u e l e n o m b r e d ' l m e n t s d e P. E n

c e q u i c o n c e r n e l e c h o i x d e l ' e n s e m b l e P

, i l e s t p r i m o r d i a l d e l e b i e n c h o i s i r

c a r a u t r e m e n t l e s y s t m e ( 3 . 1 ) s e r a m a l c o n d i t i o n n .


39/58

C h a p i t r e 4

E s s a i s n u m r i q u e s

L e s e s s a i e s o n t t f a i t s u r u n P C q u i p d ' u n p r o c e s s e u r I n t e l C e l e r o n D

3 . 2 G H z , 2 G o d e R A M , d e p r c i s i o n 2, 2204.1016

e t m u n i d e l a v e r s i o n

7 . 4 d e M a t l a b .

D a n s t o u s l e s e s s a i s , l e v e c t e u r c

e s t g n r a l a t o i r e m e n t p a r l a c o m m a n d e

r a n d d e m a t l a b ( e n t e n n a n t c o m p t e d e l a d i m e n s i o n d e l a m a t r i c e A

) . L e

v e c t e u r v1 , s o l u t i o n d e ( 3 . 1 0 ) , e s t d t e r m i n e p a r l ' a l g o r i t h m e 5 ( p a g e 3 0 )

a v e c = 108

. I l e s t n o t e r a u s s i q u ' a v a n t d e c o m m e n c e r o n s ' a s s u r e q u e l e

s p e c t r e d e A

e t l ' e n s e m b l e P

s o n t d i s j o i n t s .

D a n s c e c h a p i t r e , o n d s i g n e p a r

ul a n o r m e e u c l i d i e n n e [ 1 ] d u v e c t e u r

u

u1...

uk

d o n n e p a r u =

ki=1

|ui|2

e t p a r U

l a n o r m e s p e c t r a l [ 1 ] d e l a m a t r i c e U = (uij)1


40/58

3 4 C H A P I T R E 4 . E S S A I S N U M R I Q U E S

A =

1 1 0 . . . . . . 01 0 1

.

.

.

.

.

.

0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 10 . . . . . . 0 1 0

( 4 . 1 )

c e t y p e d e m a t r i c e s e n o m m e m a t r i c e d e G e a r ( " G e a r m a t r i x " ) , e t

p o u r p l u s d e d t a i l s s u r c e t y p e d e m a t r i c e o n r e n v o i e l e s l e c t e u r s l ' a r t i c l e

d e C . W G e a r [ 5 ] . O n a c h o i s i t l ' e n s e m b l e d e p l e s s u i v a n t

P = {k = 4k/k = 1,...,m}. ( 4 . 2 ) A p r s a v o i r e x c u t e r l ' a l g o r i t h m e 6 ( p a g e 6 ) o n c a l c u l e l e s n o r m e s

(AX XH) ceTm e t (Hm f eTm) o P, H = Hm f eTm ;l e s r s u l t a t s o b t e n u s s o n t r e p o r t s d a n s l e t a b l e a u s u i v a n t

R e m a r q u e 7 S il < 16

, l ' a l g o r i t h m e 6 s ' a r r t e ; m a i s l a p r c i s i o n a u g u e -

m e n t e e n p r e n n a n t l

p l u s g r a n d , c e q u e i l l u s t r e l e t a b l e a u 4 . 2

m (AX XH) ceTm (Hm f eTm)4 3, 3557.108 1, 3902.1013

6 5, 3488.108 2, 8664.1011

8 7, 5778.108 2, 1207.1010

10 1, 0016.107 3, 4674.108

12 1, 2644.107 6, 2719.107

14 1, 5445.107 2, 4907.104

T a b l e

4 . 1 R s u l t a t s o b t e n u s p o u r l a m a t r i c e A

d e G e a r d e t a i l l e n = 1000

e tl = 16

R e m a r q u e 8 O n r e m a r q u e q u e p l u s l e n o m b r e d e s p l e s e s t g r a n d , p l u s l e s

n o r m e s (AX XH) ceTm e t (Hm f eTm) a u g m e n t e n t .

O n r e f a i t l e m m e t r a v a i l e e c t u p r c d e m e n t , s a u f q u ' i c i l a m a t r i c e A

e s t u n e m a t r i c e d e G e a r d e t a i l l e n = 500

, e t o n g a r d e l e m m e e n s e m b l e P

u t i l i s d a n s l e t e s t 1


41/58

4 . 2 . M A T R I C E L F S S 3 5

m

(AX

XH)

ceTm

(Hm

f eTm)

4 3, 9215.1014 2, 8891.10136 1, 6637.1013 4, 4564.1011

8 7, 3598.1013 6, 5515.1010

10 2, 9257.1012 1, 4474.108

12 1, 0948.1011 3, 4224.106

14 4, 2106.1011 4, 8322.105

T a b l e

4 . 2 R s u l t a t s o b t e n u s l a m a t r i c e A


e t

l = 32

m (AX XH) ceTm (Hm f eTm)4 2, 3109.108 4, 6729.1014

6 3, 6771.108 1, 7709.1011

8 5, 2031.108 1, 3948.109

10 6, 8712.108 1, 0157.108

12 8, 6675.108 1, 5981.106

14 1, 0581.107 1, 5231.104

T a b l e



e t

l = 16

4 . 2 M a t r i c e L F S S

O n c o n s i d r e l a m a t r i c e A

d n i e p a r

A =

0p IpL D

( 4 . 3 )

o n = 2p

e s t l a t a i l l e d e c e t t e m a t r i c e ( p = 500

p o u r c e t e s t ) , e t l e s

m a t r i c e s D

,L

s o n t d n i s c o m m e s u i v a n t

D = diag{d1,...,dp} e t L = diag{l1,...,lp} , l e s v a l e u r s p r o p r e s d e c e t t e m a t r i c e s o n t l e s s o l u t i o n s d e s q u a t i o n s

x2 dkx lk = 0, k = 1,...,p ( 4 . 4 ) A i n s i s i

dk = 2k e t lk = (2k + 2k) l e s p e c t r e d e A e s t d o n n p a r (A) = {k, k} a v e c k = k + ik . C e t y p e d e m a t r i c e s e r t m o d l i s e r

l e s s t r u c t u r e s s p a t i a u x l a r g e s e t e x i b l e s ( L F S S p o u r L a r g e e x i b l e s p a c e

s t r u c t u r e s ) [ 3 ] .


42/58


m

(AX

XH)

ceTm

(Hm

f eTm)

4 3, 1980.1014 1, 5291.10136 1, 4500.1013 6, 9802.1011

8 6, 1146.1013 1, 4631.109

10 2, 3719.1012 2, 3719.108

12 9, 2488.1012 4, 3654.106

14 3, 4298.1011 1, 2756.104

T a b l e



e t

l = 32

P o u r i l l u s t r e r l ' i m p a c t d u c h o i x d e l ' e n s e m b l e d e s p l e s s u r l e s r s u l a t s

o b t e n u s , o n c h o i s i t 2 e n s e m b l e s d e p l e s q u ' o n d n i t p a r

P1 = {k = ak + ibk/ak [2, 1] e t bk [0, 1]} ( 4 . 5 ) e t

P2 = {k = ak + ibk/ak [4, 3] e t bk [0, 1]} ( 4 . 6 ) D a n s l e s d e u x c a s , o n d o n n e l a v a l e u r m i n i m a l

lp o u r q u e l ' a l g o r i t h m e s n e

s ' a r r t e p a s .

L e t a b l e a u s u i v a n t i l l u s t r e l e s r s u l t a t s o b t e n u s p o u r l ' e n s e m b l e P1 ,

l m (AX XH) ceTm (Hm f eTm)105 4 3, 1328.108 1, 6338.1014

151 6 6, 8162.107 2, 6208.1013

190 8 5, 5369.106 1, 6679.1012

T a b l e

4 . 5 R s u l t a t s o b t e n u s p o u r l ' e n s e m b l e d e p l e s P1

e t c e l u i l i l l u s t r e l e s r s u l t a t s o b t e n u s p o u r l ' e n s e m b l e P2 ,

l m (AX XH) ceT

m (Hm f eT

m)21 4 1, 1413.106 6, 8883.101321 6 1, 2864.104 2, 8424.1011

21 8 0, 0084 1, 6200.108

T a b l e

4 . 6 R s u l t a t s o b t e n u s p o u r l ' e n s e m b l e d e p l e s P2

L e s t a b l e a u x 4 . 5 e t 4 . 6 m o n t r e n t q u e l ' e n s e m b l e P1 d o n n e d e m e i l l e u r s

r s u l t a t s q u e l ' e n s e m b l e P2 .


43/58

4 . 3 . R E P R S E N T A T I O N G R A P H I Q U E S D E S S P E C T R E S 3 7

4 . 3 R e p r s e n t a t i o n g r a p h i q u e s d e s s p e c t r e s

D a n s c e t e x e m p l e o n r e p r s e n t e r a g r a p h i q u e m e n t l a r p a r t i t i o n d e s s p e c t r e s

d e s m a t r i c e s A

,H = Hm f eTm , e t Hm d a n s l e p l a n c o m p l e x e .

O n c o n s i d r e l a m a t r i c e d e S a a d A = A(r, s)

, d e t a i l l e n = 500

( a v e c

s = 10,

r = 50e t

n = rs) , d n i e c o m m e s u i v a n t

ai,i = 4 p o u r i = 1,...,nai,i+1 = 1.2 p o u r i = 1,...,n 1ai,i1 = 1.1 p o u r i = 2,...,nair+1,ir = air,ir+1 = 0 p o u r i = 1,...,s 1ai+r,i = ai,i+r =

1

p o u r i = 1, ..., (s

1)r

( 4 . 7 )

l ' e n s e m b l e d e p l e s c h o i s i t p o u r c e t e s t e s t l ' e n s e m b l e d n i t p a r ( 4 . 5 ) e t o n

p r e n d

m = 6.


44/58


f i g u r e 1 . j p g

F i g u r e

4 . 1 + : s p e c t r e d e A

, . : s p e c t r e d e Hm , * : s p e c t r e d e H


45/58

C o n c l u s i o n

D a n s c e t r a v a i l , o n a p r s e n t u n a l g o r i t h m e b a s s u r l e p r o c e s s u s d ' A r -

n o l d i p o u r l a r s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r , d a n s l e c a s d e s m a t r i c e s

c r e u s e e t l a r g e , t o u t e n s u p p o s a n t q u e l e s e c o n d m e m b r e e s t u n e m a t r i c e d e

r a n g 1 .

L e f a i t q u e l e s e c o n d m e m b r e d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r e s t d e r a n g 1

a p e r m i s d e f a i r e l ' a n a l o g i e a v e c l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i . C h o s e q u i a d o n n

l ' i d e d ' u t i l i s e r c e p r o c e s s u s p o u r t r o u v e r l a s o l u t i o n .

L a m a t r i c e d e H e s s e n b e r g u e s u p r i e u r e d o n n e p a r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i

n ' e s t p a s t o u j o u r s s t a b l e e t n e v r i e p a s f o r c e m e n t l a c o n d i t i o n d ' e x i s t e n c e

e t d ' u n i c i t d e l a s o l u t i o n , d o n c o n a f a i t u n p l a c e m e n t d e p l e s s u r c e l l e - c i

p o u r r e m d i e r c e p r o b l m e .

O n a a u s s i s o u l i g n q u e l e c h o i x d e l ' e n s e m b l e d e p l e s p e u t f a u s s e r l a

s o l u t i o n s ' i l n ' e s t p a s f a i t d e m a n i r e a d q u a t e c a r s i u n p l e e s t p r o c h e

d ' u n e v a l e u r p r o p r e d e l a m a t r i c e A

l e s y s t m e q u i l u i e s t a s s o c i e s t m a l

c o n d i t i o n n , c e q u i f a u s s e l e s r s u l t a t s p a r l a s u i t e .

O n p e u t e x p l o i t e r l e f a i t q u e l e s p e c t r e , d a n s p l u s i e u r s s i t u a t i o n s e n p r a -

t i q u e s , e s t d o n n p a r u n e f o r m u l e a n a l y t i q u e p o u r c h o i s i r u n e n s e m b l e d e

p l e s a d q u a t . E n c a s d ' a b s e n c e d ' u n e t e l l e f o r m u l e , l ' u t i l i s a t i o n d e s e s t i -

m a t i o n s d e l a p l u s g r a n d e e t l a p l u s p e t i t e v a l e u r p r o p r e d e l a m a t r i c e e n

q u e s t i o n e s t t o u j o u r s p o s s i b l e .

L a g n r a l i s a t i o n d e c e t r a v a i l a u c a s o l a m a t r i c e C

e s t d e r a n g r

q u e l c o n q u e r e s t e p o s s i b l e . O n s u i v r a l e m m e s c h m a , s a u f q u e d a n s c e c a s

o n s e b a s e r a s u r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i p a r b l o c s e t l a m t h o d e d u G M R E S

p a r b l o c s .

3 9


46/58

4 0 C O N C L U S I O N


47/58

R s u m

A n d e r s o u d r e l ' e q u a t i o n d e S y l v e s t e r d o n n p a r AX XH = C

o l a

m a t r i c e

Ce s t d e r a n g 1 ; o n p a r t d e l ' a n a l o g i e d o n n e p a r c e t t e d e r n i r e a v e c

l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i ; c e q u i d o n n e l ' i d e d e c h e r c h e r u n p r e m i e r v e c t e u r

q u i d o n n e r a ceTm a u s e o n d m e m b r e . A i n s i o n e x p l o i t e , d ' u n e p a r t , l e f a i t q u e

l e s v e c t e u r s d e l a b a s e d ' A r n o l d i s o n t d o n n s p a r vi = qi1(A)v1 e t d ' a u t r e s

p a r t l e f a i t q u e l e p o l y n m e qi e s t a u s s i l e p o l y n m e s c a r a c t r i s t i q u e d e l a

m a t r i c e Hi , c e q u i a c o n d u i t r s o u d r e m s y s t m e s l i n a i r e s p a r l a m t h o d e

d u G M R E S ; l o n e x p l o i t e l e f a i t q u e l a m a t r i c e f o r m p a r l e s v e c t e u r s d e l a

b a s e d ' A r n o l d i e s t l a m m e p o u r A

e tA I

( o R

) . L a s o l u t i o n d e s m

s y s t m e s l i n a i r e s s e r v i r a d m a r r e r l e p r o c e s s u s d ' A r n o l d i p o u r c a l c u l e r l e s

m a t r i c e s

Vm e t Hm , p u i s o n f a i t u n p l a c e m e n t d e p l e s s u r l a m a t r i c e Hm e ns e b a s a n t s u r l e s r s u l t a t s r e l a t i f s c e s u j e t s . A p r s , o n a d a p t e l a m a t r i c e

Vme n u t i l i s a n t u n s c a l a i r e o b t e n u e n u t i l i s a n t l a d e r n i r e c o l o n n e d e

AVmVmHe t l e v e c t e u r

cp o u r d o n n e r e n n l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e S y l v e s t e r .

4 1


48/58

4 2 R S U M


49/58

A l g o r i t h m e s s o u s M a t l a b

A l g o r i t h m e d u p r o c e s s u s d ' A r n o l d i

f u n c t i o n [ H , V , H t ] = A r n o l d i ( A , v , e p s i l o n , k )

% d o n n e s : m a t r i c e s A ; v e c t e u r v , r e l p o s i t i f e p s i l o n

% o b j e c t i f : m a t r i c e s H , V e t H t

% k = l e n g t h ( v ) ;

V = [ ] ;

V ( : , 1 ) = v ;

H = [ ] ;

H t = [ ] ;

f o r j = 1 : k

w = A * V ( : , j ) ;

f o r i = 1 : j

H t ( i , j ) = w ' * ( V ( : , i ) ) ;

w = w - H t ( i , j ) * V ( : , i ) ;

e n d

H t ( j + 1 , j ) = n o r m ( w ) ;

i f ( H t ( j + 1 , j ) < = e p s i l o n )

b r e a k ;

e n d

V ( : , j + 1 ) = w / H t ( j + 1 , j ) ;

e n d

f o r i = 1 : s i z e ( H t , 1 ) - 1

H ( i , : ) = H t ( i , : ) ;

e n d

e n d

A l g o r i t h m e d e l a m t h o d e d u G M R E S

f u n c t i o n [ x , r e s , f l o , t e m ] = g m r e s ( A , b , x 0 , i t e m a x , a e p s )

% x ( m ) = x ( 0 ) + [ v ( 1 ) v ( 2 ) . . . v ( m ) ] * y

v = z e r o s ( s i z e ( A ) ) ;

h = v ;

g = z e r o s ( s i z e ( b ) ) ;

4 3


50/58

4 4 A L G O R I T H M E S S O U S M A T L A B

y = g ;

c = g ;

s = g ;

x = x 0 ;

f l o = 0 ;

t e m = 0 ;

v ( : , 1 ) = b - A * x ;

n r = n o r m ( v ( : , 1 ) ) ;

r e s = l o g 1 0 ( n r ) ;

v ( : , 1 ) = v ( : , 1 ) / n r ;

g ( 1 ) = n r ;

f l o 1 = 0 ;

t e m 1 = 0 ;

i = 1 ;

w h i l e i < i t e m a x

i f n r < a e p s

b r e a k

e n d

f l o p s ( 0 ) ;

t e m 2 = c p u t i m e ;

w = A * v ( : , i ) ;

f o r j = 1 : i

h ( j , i ) = w ' * v ( : , j ) ;

w = w - h ( j , i ) * v ( : , j ) ;

e n d

h ( i + 1 , i ) = n o r m ( w ) ;

v ( : , i + 1 ) = w / h ( i + 1 , i ) ;

i f i > 1

f o r j = 1 : i - 1

t a = h ( j , i ) ;

h ( j , i ) = c ( j ) * t a + s ( j ) * h ( j + 1 , i ) ;

h ( j + 1 , i ) = - s ( j ) * t a + c ( j ) * h ( j + 1 , i ) ;

e n d

e n d

g a m = s q r t ( h ( i , i ) . ^ 2 + h ( i + 1 , i ) . ^ 2 ) ;

c ( i ) = h ( i , i ) / g a m ;

s ( i ) = h ( i + 1 , i ) / g a m ;

g ( i + 1 ) = - s ( i ) * g ( i ) ;

g ( i ) = c ( i ) * g ( i ) ;

h ( i , i ) = c ( i ) * h ( i , i ) + s ( i ) * h ( i + 1 , i ) ;

n r = a b s ( g ( i + 1 ) ) ;


51/58

4 5

r e s 1 = l o g 1 0 ( n r ) ;

r e s = [ r e s r e s 1 ] ;

y ( i ) = g ( i ) / h ( i , i ) ;

f o r j = i - 1 : - 1 : 1

w = g ( j ) ;

f o r k = j + 1 : i

w = w - h ( j , k ) * y ( k ) ;

e n d

y ( j ) = w / h ( j , j ) ;

e n d

x = x 0 + v ( : , 1 : i ) * y ( 1 : i ) ;

f l o 1 = f l o 1 + f l o p s ;

f l o = [ f l o f l o 1 ] ;

t e m 2 = c p u t i m e - t e m 2 ;

t e m 1 = t e m 1 + t e m 2 ;

t e m = [ t e m t e m 1 ] ;

i = i + 1 ;

e n d

P r o c d u r e p o u r t r o u v e r l e v e c t e u r v1 :

f u n c t i o n [ x ] = t r o u v e r v 1 3 ( A , c , a e p s , l , m u )

m = l e n g t h ( m u ) ;

v = c / n o r m ( c ) ;

n = s i z e ( A , 1 ) ;

I = e y e ( l + 1 , l ) ;

J = e y e ( n ) ;

z = z e r o s ( n , m ) ;

x = z e r o s ( n , 1 ) ;

a = z e r o s ( m , 1 ) ;

[ H , V , H t ] = A r n o l d i 2 ( A , v , a e p s , l ) ;

V 1 = V ( : , 1 : l ) ;

f o r i = 1 : m

% c a l c u l d e s n o m b r e s d r i v s e n m u _ i

a ( i ) = 1 ;

f o r j = 1 : m

i f j ~ = i

a ( i ) = a ( i ) * ( m u ( i ) - m u ( j ) ) ;

e n d

e n d

% c a l c u l d e H t - m u _ i

G = H t - m u ( i ) * I ;

% c a l c u l d e l a s o l u t i o n d e ( A - m u _ i ) x _ i = c


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4 6 A L G O R I T H M E S S O U S M A T L A B

[ G , y ] = r o t g i v e n s p o u r g m r e s ( G , c ) ;

z ( : , i ) = V 1 * y ;

% t e s t d ' a r r t s u r l a n o r m e | | A x _ i - c | |

r = n o r m ( ( A - m u ( i ) * J ) * z ( : , i ) - c ) ;

% s i l a n o r m e d u r s i d u e s t i n f e r i e u r l a p r c i s i o n c h o i s i e

% p u i s o n r e p r e n d s a v e c u n e n t i e r l p l u s g r a n d

i f r > = a e p s

d i s p ( ' c h o i s i r l p l u s g r a n d ' ) ;

e n d

% a u t r e m e n t o n c a l c u l e x

y = z ( : , i ) / a ( i ) ;

x = x + y ;

e n d

% o n n o r m e l e v e c t e u r x

x = x / n o r m ( x ) ;

e n d

L a p r o c d u r e " [ G , y ] = r o t g i v e n s p o u r g m r e s ( G , c ) " u t i l i s e d a n s l a p r o c d u r e

p r c d e n t e

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78059740 Memoir de Fin d Etude4