118

7. MODELOVANJE SUŠENJA VAZDUHOM

Sušenje je glavni postupak za konzerviranje prehrambenih proizvoda. Kada se vlaga uklanja iz nekog materijala dovođenjem toplote, koje je praćeno isparavanjem vode, reč je o termičkom sušenju materijala. Ako se kao nosioc potrebne energije za isparavanje vlage i istovremeno medijum koji prihvata vlagu, koristi neki gasoviti agens koji struji oko materijala, za takvo termičko sušenje se koristi termin konvektivno sušenjene (Valent, 2001). Najčešće korišćen agens za sušenje, posebno u prehrambenoj tehnologiji, je nezasićen vazduh.

7.1 Ravnotežni sadržaj vlage u materijalu

Dva su uobičajena načina definisanja sadržaja vlage u nekom materijalu. Jedan je: maseni odnos vlage i suve materije, tj. količina vlage (kg) na 1 kg suve materije:

sm

w

m

mX = (7.1a)

−smw mm , masa prisutne vlage u materijalu i odgovarajuća masa suve materije

i naziva se vlažnost u odnosu na suvu osnovu (dry basis moisture content). Drugi je: maseni udeo vlage u vlažnom materijalu , tj. količina vlage (kg) na 1 kg materijala :

( )10 <≤+

= xmm

mx

wsm

w (7.1b)

i naziva se vlažnost u odnosu na vlažnu osnovu (wet basis moisture content). Lako je izvesti sledeću vezu između te dve vlažnosti:

x

xX

−=

1 (7.1c)

Termodinamička ravnoteža između vlažnog materijala i okolnog vazduha je uspostavljena ako,

• su temperature materijala i vazduha međusobno jednake (termička ravnoteža)

• nema ni upijanja ni odavanja vlage (difuziona ravnoteža)

Ravnotežni sadržaj vlage u nekom materijalu zavisi od:

• njegove sposobnosti da upija vlagu – higroskopnosti,

• temperature i pritiska vazduha,

119

• relativne vlažnosti vazduha, definisane kao količnik parcijalnog pritiska vlage u vazduhu i napona pare vode na datoj temperaturi.

• Kao vlažan materijal mi ovde posmatramo neku tečnu ili čvrstu prehrambenu namirnicu (voće, povrće, sokovi, mleko, žitarice, različiti proizvodi ).

U slučaju tečne namirnice, pod pretpostavkom da se ona ponaša kao termodinamički idelan rastvor, odnos ravnotežnih koncentracija vode u vazduhu i u namirnici opisan je Raulovim zakonom:

p

Tp

x

y w

w

w )(0

= (7.2)

ili,

)(0 Tpxpyp wwww == (7.2a)

gde su: −pT, temperatura i pritisak vazduha, K, Pa

0wp - napon pare vode, Pa

−wx molski udeo vode u namirnici, -

−wy molski udeo vodene pare u vazduhu, -

−wp parcijalni pritisak vodene pare u vazduhu, Pa

Aktivnost vode u namirnici

Za realne rastvore neophodno je korigovati Raulov zakon (7.2a) množenjem sa koeficijentom aktivnosti vode u rastvoru wγ :

0wwww pxp γ= (7.3)

pri čemu za koeficijent aktivnosti, koji zavisi od temperature i sastava rastvora važi granična vrednost:

1lim1

=γ→

wxw

(7.3a)

Zavisnost koeficijenta aktivnosti vode u tečnoj namirnici od njenog sastava se može opisati jednostavnom jednoparametarskom jednačinom (Toledo, 1991):

( )21ln ww xk −−=γ (7.4)

Proizvod wa , molskog udela vode i njenog koeficijenta aktivnosti se naziva aktivnost vode u namirnici:

www xa γ= (7.5)

120

i njena veza sa parcijalnim pritiskom vodene pare u vazduhu u stanju ravnoteže je prema (7.3):

0www pap = (7.6)

Jednačina (7.6) se, u istom obliku, primenjuje i na čvrste namirnice. Tako, aktivnost vode u nekoj čvrstoj namirnici direktno dobijamo mereći relativnu vlažnost vazduha, ϕ koji je u ravnoteži sa namirnicom, jer iz (7.6) sledi:

ϕ==0w

ww p

pa (7.7)

Aktivnost vode je važna veličina stanja namirnice jer se sa njenim porastom intenzifikuju procesi kvarenja hrane (opširnije Toledo, 1991 i Vereš, 2004)

Sorpciona izoterma

Na konstantnom pritisku i temperaturi, ravnotežni sadržaj vlage (suva osnova) u nekom materijalu sX (sadržaj vlage kada je materijal zasićen vlagom - saturated) se

menja sa promenom relativne vlažnosti ϕ okolnog vazduha po krivoj koju zovemo sorpciona izoterma.Sorpciona izoterma se praktično dobija tako što se postepeno, počev od suvog vazduha )0( =ϕ menja relativna vlažnost vazduha konstantnog pritiska (obično atmosferski) i temperature. Za svaku vlažnost vazduha meri se, pošto se uspostavi ravnoteža (tj. ne menja se više sa vremenom masa uzorka hrane), masa uzorka i iz razlike masa vlažnog i suvog uzorka određuje sadržaj vlage sX za tu relativnu vlažnost vazduha.

Izgled sorpcione izoterme za neku namirnicu dat je dijagramom na na slici 7.1. Ona ima oblik slova S . Na krivoj se mogu locirati tri karakteristi čne tačke: A,B i C, koje izotermu dele na tri oblasti u kojima se razlikuje mehanizam sorpcije.

Tačka C odgovara maksimalnoj higroskopnoj vlažnosti date namirnice: 60.0, =maxsX . Neki materijal može sadržati i više vlage od te maksimalne higroskopne i

taj višak vlage predstavlja slobodnu vlagu, koja nije vezana nikakvim sorpcionim niti značajnijim kapilarnim silama za skelet materijala. Ona ispunjava makrokapilare u materijalu i pokriva njegovu površinu. Na datom dijagramu slobodnoj vlagi odgovara duž CD. Energija za uklanjanje slobodne vlage, koja se prvo uklanja u procesu sušenja, jednaka je latentnoj toploti isparavanja vode.

Tačka A predstavlja prevojnu tačku sorpcione krive. U oblasti 0A (na datom dijagramu joj odgovara interval relativne vlažnosti: 28.00 ≤ϕ≤ ), vlaga je vezana u monomolekulskom sloju za površinu kapilara u materijalu, adsorpcionim silama. Dakle, nema vlage u tečnom stanju. Monomolekulska adsorpcija vlage je egzoterman proces, sa toplotom adsorpcije reda veličine kgkJ310 . Energija potrebna za odstanjivanje ove vlage jednaka je zbiru latentne toplote isparavanja vode i toplote adsorpcije vlage.

U oblasti AB (na dijagramu: 75.028.0 ≤ϕ< ), vlaga je vezana za skelet materijala kapilarnom kondenzacijom i polimolekulskom (višeslojnom) adsorpcijom. Molekuli vode u slojevima su vezani silama koje potiču od polarnosti molekula vode za prethodno formiran monosloj. Kako su sorpcione sile u ovoj oblasti znatno slabije nego u

121

prethodnoj i toplota potrebna za odstanjivanje ove vlage u znatno manjem iznosu prevazilazi latentnu toplotu isparavanja vode.

U oblasti BC, u kojoj se zapaža povećanje nagiba izoterme, kondenzovana vlaga ispunjava makrokapilare i mali deo te vode je vezan kapilarnim silama, pa je toplota potrebna za njeno uklanjanje neznatno veća od latentne toplote isparavanja vode. Pri sušenju namirnica, obično se uklanja samo ova, slabo vezana vlaga, s obzirom da je oblast AB obično oblast najveće stabilnosti namirnice u pogledu kvarenja (Toledo, 1991).

Slika 7.1. Sorpciona izoterma

Formule koje približno opisuju sorpcione izoterme namirnica

Mogu se izdvojiti dve formule koje, bar u ograničenom opsegu relativne vlažnosti vazduha ϕ , tj. aktivnosti vode ( ϕ=wa ), uspešno fituju eksperimentalne podatke o sorpcionim izotermama:

1. Bruner- Emmet – Teller (BET) jednačina i

2. Guggenheim-Anderson-de Boer (GAB) jednačina.

Pošto imaju teorijsku osnovu, one omogućuju procenjivanje vrlo važnog parametra mx - količine vlage po kilogramu suve materije, koja je vezana u monomolekulskom sloju. Ako sadržaj vlage u namirnici padne ispod mx , raste oksidacija lipida, jer nema dovoljno vlage da bi se formirao zaštitini monomolekulski sloj. Zato je ta informacija bitna za određivanje potrebnog stepena sušenja namirnice kao i uslova njenog skladištenja.

122

BET jednačina

Ova dvoparametarska formula predstavlja linearizovani oblik sorpcione izoterme i glasi:

{ {

wmmw

w aCx

C

CxaX

ay

nagibakcodse

11

)1(

−+=

−=

(

(7.8)

i uspešno opisuje oblast 0A sorpcione izoterme. Parametar C je u vezi sa toplotom adsorpcije vlage.

GAB jednačina

Ova troparametarska jednačina ,

)1)(1( www

wm

Ckakaka

CkaxX

+−−= (7.9)

je novija i bolje fituje eksperimentalne podatke od BET jednačine. Primenljiva je u širem opsegu i uspešno opisuje i OA i AB oblast izoterme. Smisao parametra C je sličan onom u BET jednačini, dok treći parametar k omogućuje uzimanje u obzir prisustva tečne vlage (pored adsorbovane) u materijalu. Ostavljamo čitaocu da pokaže da se jednačina (7.9) može transformisati u formulu linearnu po parametrima - polinom 2. stepena po aktivnosti vode :

2

210

)1(21w

b

mw

b

m

b

m

w aCx

Cka

Cx

C

CkxX

ay

43421321321

−+

−+== (7.10)

Pošto se linearnom MNK (Dodatak D) odrede parametri 210 i , bbb , iz tri jednačine sa tri nepoznate:

210

)1(,

2,

1b

Cx

Ckb

Cx

Cb

Ckx mmm

=−

=−

=

se dobijaju parametri izoterme: kCxm i , . Ako izjednačimo izraze za mx dobijene iz prve, druge i treće jednačine dobijamo produženu jednakost,

Cb

Ck

Cb

C

Ckbxm

210

)1(21 −=

−== (7.11a)

iz koje slede dve nezavisne jednačine po nepoznatim parametrima Ck i :

0

22

0

1 )1(,2b

bCk

kb

bC =−+= (7.11b)

Smena izraza za C u drugu jednačinu daje kvadratnu jednačinu po k,

123

00

2

0

12 =++b

bk

b

bk

čiji pozitivan koren predstavlja traženu vrednost parametra k:

−

+−=

0

2

2

0

1

0

1 42

1

b

b

b

b

b

bk (7.12)

Vrednost parametra C dobijamo smenom izraza (7.12) u prvu od jednačina (7.11b). Konačno, mx dobijamo smenom dobijenih vrednosti k i C u jedan od izraza u produženoj jednakosti (7.11a).

Opisivanje segmenta BC sorpcione izoterme

Pošto se uticaj čvrste faze može zanemariti u oblasti BC, eksperimentalni podaci u toj oblasti se mogu uspešno fitovati jednoparametarskim izrazom (7.4) koji važi za tečne namirnice (Toledo, 1991).

PRIMER 7.1. Dati su eksperimenatalni podaci o sorpcionoj izotermi krompira na normalnom pritisku i temperaturi C025 (Toledo, 2007, E12.3).

wa : 0.112 0.201 0.327 0.438 0.529 0.577 0.708 0.753 0.843 0.903

sX : 0.035 0.057 0.080 0.105 0.130 0.145 0.190 0.204 0.270 0.370

Izračunati parametre kCxm i , u GAB izotermi i proveriti kvalitet fitovanja. (Rešenje u

Mathcadu -P 7.1)

PRIMER 7.2. Pored BET i GAB jednačine, u literaturi se mogu naći empirijske jednačine koje, bar u ograničenom intervalu aktivnosti vode, uspešno opisuju eksperimentalne ravnotežne podatke (Toledo, 1991). Jedna od njih je i Haslijeva (Hasley) jednačina:

−=

b

m

sw x

X

T

aa exp , gde su: T – apsolutna temperatura; a, b - parametri

a) Proveriti da li se podaci iz prethodnog primera mogu fitovati Haslijevom jednačinom.

b) Ukoliko se Haslijeva jednačina može prihvatiti, izračunati parametre ba i , uzimajući za mx vrednost izračunatu u prethodnom primeru.Uporediti kvalitet fitovanja sa onim

ostvarenim GAB jednačinom.

Da bi smo grafički proverili adekvatnost Haslijeve jednačine, izvršićemo linearizaciju. U tom cilju ćemo jednačinu prikazati u obliku:

[ ]bsw cXa −= exp

124

gde je parametar c:

0>=bmTx

ac

i dva puta logaritmovati obe strane jednačine:

{

xy

w

bw

Xbca

cXa

lnlnlnln

ln

+=

−=

43421

U drugom koraku je neophodno uzeti apsolutne vrednosti, jer logaritam negativnih brojeva nije definisan. Pokazuje se da jednačina korektno opisuje date eksperimentalne podatke pod uslovom da se za oblasti 125.0 i 125.0 ≥< ss XX odrede posebne vrednosti

parametara ba i . Rezultat fitovanja datih podataka je:

≥

−

<

−

=−

−

125.0 za 1.414

exp

125.0 za 3.300

exp

789.1

9493.0

sm

s

sm

s

w

Xx

X

T

Xx

X

Ta

(Rešenje u Mathcadu - P 7.2)

Desorpciona izoterma i histerezis

Sorpciona izoterma koju smo diskutovali, dobijena je eksperimentalno povećavanjem vlažnosti vazduha i merenjem uspostavljenog ravnotežnog sadržaja vlage u materijalu, pa se ona može nazvati i adsorpciona izoterma. Ako bi smo sorpcionu izotermu definisali merenjem vlažnosti pri postepenom smanjivanju relativne vlažnosti vazduha od 100% do 0%, dakle pri sušenju materijala mogli bi je nazvati desorpciona izoterma.

Slika 7.2. (Ad)sorpciona i desorpciona izoterma

C

sX

desorpcija

adsorpcija

maxs,X

0 1 ϕ=wa

125

Eksperimentalna je činjenica da se adsorpciona i desorpciona izoterma ne poklapaju, pri čemu je desorpciona izoterma iznad (ad)sorpcione (Slika 7.2), odnosno za jednu istu relativnu vlažnost vazduha, uzuzimajući φ = 0 i φ = 1, daje veći ravnotežni sadržaj vlage nego adsorpciona izoterma. Dakle postoji histerezis i površina ograničena adsorpcionom i desorpcionom izotermom naziva se površina histerezisa (Valent, 2001; Vereš, 2004). Ova pojava se može objasniti promenom strukture materijala . Na primer, primanjem vlage skrob bubri, dok se otpuštanjem vlage bubrenje smanjuje.

Treba napomenuti da se i adsorpciona i desorpciona izoterma namirnica opisuju istim, prethodno diskutovanim jednačinama. Imajući u vidu međusobni položaj adsorpcione i desorpcione izoterme, jasno je da se ravnotežni podaci, koji se koriste pri proračunima procesa sušenja, dobijeni iz desorpcione izoterme smatraju relevantnijim .

7.2 Promene svojstava vazduha u toku procesa sušenj a U različitim proračunima procesa sušenja, koriste se sledeća fizička svojstva - veličine stanja vlažnog vazduha:

• intenzivna:

- stepen zasićenja ili relativna vlažnost (percentage relative humidity) , (-)

- pritisak vazduha, Pa

- temperatura vazduha (temperatura suve kugle termometra- dry bulb temperature), K

- temperatura rose (dew point), K

- temperatura vlažne kugle termometra (wet bulb temperature), K

- temperatura adijabatskog zasićenja (adiabatic saturation temp.) , K

• ekstenzivna:

- sadržaj vlage, kg

- zapremina, 3m

- toplotni kapacitet, KJ

- entalpija, J

Ekstenzivne veličine stanja se prevode u intenzivna, tako što se računaju po kilogramu suvog vazduha. Takav izbor osnove proračuna za ekstenzivna svojstva je pogodan jer olakšava materijalne bilanse, s obzirom da u procesu sušenja količina (maseni protok) suvog vazduha ostaje nepromenjena, dok se ukupan maseni protok (vlažnog) vazduha menja, zbog povećanja sadržaja vlage u vazduhu tokom sušenja.

Vlažnost i relativna vlažnost vazduha

Vlažnost vazduha (apsolutna), χ ( kgkg ) definiše se kao količina vlage na 1kg suvog vazduha. Ako je vazduh zasićen vlagom, u pitanju je vlažnost zasićenog vazduha,

126

0χ .Pošto i parcijalni pritisak pare u vlažnom vazduhu, wp takođe predstavlja meru

sadržaja vlage, može se izvesti veza između wp i χ . Uz pretpostavku da se vazduh ponaša

kao smeša idealnih gasova, molski odnos vlage i suvog vazduha u proizvoljnoj zapremini, biće jednak odnosu njihovih parcijalnih pritisaka:

w

w

sv

w

pp

p

n

n

−= (7.13)

Kako vlažnost predstavlja maseni odnos vlage i suvog vazduha, imamo:

w

w

sv

w

sv

w

sv

w

pp

p

M

M

n

n

m

m

−===χ

29

18 (7.14)

Relativna vlažnost vazduha, ϕ ili stepen zasićenja vazduha vlagom, definisana je kao odnos aktuelnog parcijalnog pritiska vodene pare u vlažnom vazduhu, temperature T, i napona vodene pare na toj temperaturi:

)(0 Tp

p

w

w=ϕ (7.15)

i obično se izražava u procentima.

U zasićenom vazduhu ( %100=ϕ ), parcijalni pritisak vodene pare tačno je jednak naponu pare na temperaturi vazduha. Tako se za vlažnost zasićenog vazduha iz jedn.(7.14) dobija:

)(

)(

29

18)(

0

00

Tpp

TpT

w

w

−=χ (7.16)

Iz jednačina (7.14-7.16) dobijamo vlažnost u funkciji temperature vazduha i njegove relativne vlažnosti, tj jednačinu familije krivih ),( ϕχ T u dijagramu χ−T vlažnog vazduha (p = const.). Iz (7.14) i (7.16) za odnos vlažnosti vazduha temperature T i pritiska p i vlažnosti vazduha, koji bi na toj temperaturi i pritisku bio zasićen, dobijamo:

ϕ⋅ϕ−

−=−−=

χχ

0

0

0

0

0w

w

w

w

w

w

pp

pp

p

p

pp

pp

pa je:

.,)(

)()(),(

0

00 constp

Tpp

TppTT

w

w =ϕ⋅ϕ−

−χ=ϕχ (7.17)

gde je funkcija )(0 Tχ definisana jednačinom (7.16). Dakle, vlažnost kao intenzivna veličina stanja, određena je sa druge tri intenzivne veličine : temperaturom, rel. vlažnošću i pritiskom. To je u skladu sa Gipsovim pravilom faza, prema kome je broj stepeni slobode f , tj. broj nezavisnih intenzivnih svojstava jednak:

127

π−+= 2Cf (7.18)

C – broj komponenata u sistemu

π - broj faza u sistemu, koje su u ravnoteži

Ovde je broj komponenata 2 (vazduh i vodena para), a broj faza za nezasićen vazduh je 1, pa se iz (7.18) dobija: 3=f . Ako je međutim u pitanju zasićen vazduh ( 2=π ), broj

stepeni se svodi na 2=f . Zaista, tada χ postaje 0χ , a ono prema (7.16) zavisi od dva intenzivne veličine stanja: temperature i pritiska.

Da zaključimo generalno, da ćemo pomoću dijagrama za vlažan vazduh (koji važi sa konstantan pritisak), ili računskim postupkom, iz bilo koje dve zadate, međusobno nezavisne intenzivne veličine stanja nezasićenog vazduha, moći da odredimo bilo koju od preostalih.

PRIMER 7.3. Relativna vlažnost vazduha temperature K300 i pritiska bar1 je 25%. Izračunati:

a) parcijalni pritisak pare u vazduhu

b) vlažnost

c) zapreminu vazduha po kg suvog vazduha (humid volume)

a) Prema (7.15), parcijalni pritisak dobijamo množenjem napona pare na K300 , relativnom vlažnošću:

kPakPapp Kww 891.025.056.3,3000 =⋅=ϕ⋅=

b) Vlažnost računamo pomoću jednačina (7.16) i (7.17) :

3

0

105.5

25.056.325.033.101

56.333.1010226.0,0226.0

56.333.101

56.3

29

18

−×=χ

⋅−−=χ=

−=χ

Date su skice određivanja vlažnosti u χ−T dijagramu (psyhrometric cart) i u dijagramu vlažnost - entalpija po kg suvog vazduha ( h−χ ), poznatom pod nazivom Molierov dijagram (ili xi − dijagram, gde x označava vlažnost, a i entalpiju). Sami dijagrami su dati u Dodatku H.

c) Zapreminu vazduha po kg suvog vazduha – humid volume (zapremina vlažnog vazduha, koja sadrži 1 kg suvog vazduha) računamo iz jednačine idealnog gasnog stanja. To je tačno ona zapremina koju zauzima 1kg suvog vazduha na svom parcijalnom pritisku u smeši suvi vazduh-vodena para:

kgmMpp

TRv

svw

g 3856.0)(

=−

=

128

Skice uz Primer 7.3 b)

Temperatura rose

Temperatura rose vlažnog vazduha je ona temperatura do koje treba ohladiti (pri konstantnom pritisku) vazduh, da bi započela kondenzacija vode, tj. da bi on postao zasićen. Znači da je to ona temperatura na kojoj je napon pare tačno jednak aktuelnom parcijalnom pritisku pare u datom vazduhu.

Treba primetiti da, uz pretpostavku da je zadat pritisak, temperatura rose i vlažnost nisu međusobno nezavisne, te iz jedne od njih možemo odrediti drugu. Zaista ako znamo temperaturu rose, možemo da odredimo parcijalni pritisak pare u vazduhu, kao napon pare za tu temperaturu, a onda iz jedn. (7.14) vlažnost. Obratno, iz zadate vlažnosti, računamo pomoću jedn (7.14), parcijalni pritisak pare, a onda iz njega temperaturu rose, kao onu temperaturu na kojoj je napon pare jednak tom pritisku.

PRIMER 7.4. Vazduh (normalan pritisak) ima temperaturu rose C040 i relativnu vlažnost %50 . Odrediti vlažnost vazduha i njegovu temperaturu.

Date su skice rešavanja problema pomoću χ−T i Moliereovog dijagrama.

Skice uz Primer 7.4

%25=ϕ

0.0055

χ

h

T

300K

0.0055

χ %25=ϕ

T=300K

h

T=40

)2(

)1(

%100=ϕ

χ

)2(

)2( )1(

)1(

%100=ϕ

53.6 C0 40 C0

0.0487

χ

T

%50=ϕ

0.0487

%50=ϕ

T=53.6

129

Rešenja navedena na skici su dobijena sledećim računskim postupkom:

Iz tablica za vodenu paru (Smith i Van Ness, 1987), čitamo napon pare za zadatu temperaturu: kPapw 375.70

= i to je parcijalni pritisak pare u zasićenom vazduhu. Iz (7.14)

onda dobijamo sadržaj vlage (vlažnost):

0487.0375.733.101

375.7

29

18 =−

=χ

Iz parcijalnog pritiska pare i relativne vlažnosti računamo napon pare na (nepoznatoj) temperaturi vazduha:

kPakPap

p ww 75.14

5.0

375.70 ==ϕ

=

U tablicama za vodenu pare nalazimo da je na temperaturi C053 , napon pare 14.29 kPa a na C054 , njegova vrednost je 15.00kPa. Linearnom inverznom interpolacijom dobijamo traženu temperaturu:

CT 06.53=

Temperatura vlažne kugle termometra

Ako nezasićen vazduh struji velikim protokom preko vlažne kugle temometra, zbog isparavanja vode sa njene površine, temperatura vlažne kugle wT će biti niža od temperature dolazećeg vazduha, T. Energetski bilans za stacionarno strujanje će biti:

Ako, imajući u vidu veliki protok vazduha i malu površinu kugle, zanemarimo promene temperature i vlažnosti vazduha (temperatura i vlažnost vazduha nakon kontakta sa vlažnom kuglom praktično su jednake temperaturi i vlažnosti vazduha pre kontakta) bilans se može formulisati na sledeći način:

443442143421

ispQ

wwispw

Q

w AMNhATT ∆=−α )( (W) (7.19)

gde su,

−α koeficijent prelaza toplote, KmW 2 ,

A – površina vlažne kugle termometra, 2m

ispwh∆ - latentna toplota isparavanja vode, kgJ

Toplota koja se prenese sa vaz- duha na vlažnu površinu u jed. vremena (Q)

= Toplota utrošena za isparavanje vode u jed. vremena (Qisp)

= Latentna toplota isparavanja vode

×

Fluks vlage sa vlažne površine u vazduh

130

−wN gustina fluksa vodene pare sa površine u vazduh, 2msmol ⋅

Gustina fluksa vodene pare je data formulom za prelaz mase (vidi Tab 2.2):

w

wwww M

ccN

−β=0

gde su, −βw keficijent prelaza vodene pare sa površine kugle u vazduh, sm ,

−wc koncentracija vlage u struji vazduha, 3mkg

−0wc koncentracija vlage u zasićenom vazduhu, uz samu površinu, 3mkg

Ako, uz pomoć jednačine idealnog gasa, koncentracije vodene pare izrazimo preko parcijalnih pritisaka, za fluks pare imamo:

( )wwg

ww pp

TRN −β= 0 (7.20)

gde je 0wp napon vodene pare na temperaturi površine wT . Dalje, pomoću jedn. (7.14) i

(7.16) izražavamo parcijalne pritiske vodene pare preko vlažnosti:

000, χ=χ=w

svsvw

w

svsvw M

Mpp

M

Mpp

gde 0 u eksponentu označava zasićeno (ravnotežno) stanje. Iz poslednje dve jednačine dobijamo za razliku parcijalnih pritisaka:

( )χ−χ≈− 00

w

svsrsvww M

Mppp (7.21)

gde je srsvp neki “srednji“ parcijalni pritisak suvog vazduha, između 0 i svsv pp . Smenom

(7.21) u (7.20) dobijamo:

( ) ( )χ−χρβ=χ−χβ= 00sv

w

wsrsv

w

sv

g

ww M

pM

M

TRN (7.22)

gde je svρ gustina suvog vazduha na temperaturi T i srednjem parcijalnom pritisku srsvp .

Konačno, smenom dobijenog izraza (7.22) u jedn. (7.19), dobijamo:

( )χ−χ∆ρβ=−α 0)( ispwsvww hTT

i odatle:

( )ww

ispw

w TTTh

TT −∆γ=ϕχ−χ

)(),()(0 , p=const. (7.23)

gde je,

131

svwρβ

α=γ (7.23a)

a funkcije ),( i )(0 ϕχχ TT su definisane jednačinama (7.16) i (7.17). Vrednost parametra γ se ne razlikuje značajno od jedinice:

kgK

kJ1≈γ (7.23b)

Jednačina (7.23) zajedno sa jedn. (7.16) i (7.17) definiše temperaturu vlažne kugle termometra, wT u funkciji od temperature vazduha,T i njegove relativne vlažnosti. Pri tom pritisak (treća nezavisna intenzivna veličina) smatramo poznatim. Iz nje se jasno vidi, da će, uz aproksimaciju 1=γ , linije konstantne temperature vlažne kugle termometra ( .constTw = ), u χ−T dijagramu, biti prave linije.

PRIMER 7.5. Vazduh u sušnici, normalnog pritiska i temperature C071 , ima temperaturu vlažne kugle C054 . Odrediti: vlažnost i relativnu vlažnost.

Date su skice rešavanja problema u χ−T i h−χ dijagramu vlažnog vazduha.

54== wTT

%5.43=ϕ

0.101

h

χ

%100=ϕ

CTw054=

71 C0

0.101

χ

T

%5.43=ϕ

%100=ϕ

71=T

Skice uz Primer 7.5.

Dati rezultati na skici, su dobijeni pomoću sledećeg računskog postupka. Najpre ćemo iz jednačine (7.23) izračunati vlažnost iz prethodno izračunate vlažnosti zasićenog vazduha na temperaturi vlažne kugle )(0

wTχ i poznate temperature vazduha T. Za )(0wTχ nam

treba napon pare na C054 , i u tabeli svojstava zasićene vodene pare (Smith i Van Ness, 1987) nalazimo kPaCpw 00.15)54( 00

= .

1079.0)(

)(

29

180

00 =

−=χ

Tpp

Tp

w

w

Treba nam i latentna toplota isparavanje vode na istoj temperaturi, iz iste tabele, kgkJhisp

w 2.2373=∆ . Konačno računamo χ , uz )(1 kgKkJ=γ :

132

( ) 101.01007.0)(

)(0 ≈=−∆γ−χ=χ w

wispw

w TTTh

T

Da bi izračunali relativnu vlažnost, iz vlažnosti dobijamo parcijalni pritisak vodene pare,

kPap

pw 15.14

29

181

=

χ+

=

i delimo ga naponom pare na temperaturi C071 , kPapw 53.320= :

%5.434348.00

≈==ϕw

w

p

p

PRIMER 7.6. Za podatke iz Primera 7.4. odrediti temperaturu vlažne kugle.

Računski postupak za rešavanje ovog problema je iterativan: potrebno je numerički rešiti jedn. (7.23) po wT , za poznate vrednosti T i ϕ . Za to su nam potrebne analitički

definisane funkcije za napon pare i latentnu toplotu isparavanja vode, )(),(0 ThTp ispww ∆ .

Rezultati dati na skici su dobijeni rešavanjem jednačine (7.23) sa kubnim splajnovima za napon pare i toplotu isparavanja, dobijenim iz tabele svojstava zasićene vodene pare (Smith i Van Ness, 1987).

Najpre je, radi rešavanja jedn.(7.23), neophodno odrediti temperaturu vazduha, T iz zadate relativne vlažnosti. To je ona temperatura na kojoj je napon pare jednak:

ϕ

= ww

pp0

Aktuelni parcijalni pritisak pare jednak je naponu pare na temperaturi rose, pa imamo:

kPakPaCp

p ww 75.14

5.0

375.7)40( 000 ==

ϕ=

%100=ϕ

53.6 C0 40 C0

0.0487

χ

T

%50=ϕ

CTw07.41=

Skica uz Primer 7.6

133

Inverznom interpolacijom u tabeli temperatura – napon pare, kao u Primeru 7.4, ili rešavanjem po T jednačine,

kPaTpw 75.14)(0=

za temperaturu vazduha dobijamo: .6.53 0CT = Konačno, rešavanjem jedn. (7.23) po wT ,

dobijamo CTw07.41= . Računski postupak u Mathcad-u, dat je u mcd. fajlu: Vlazan

vazduh.

Temperatura adijabatskog zasi ćenja. Kriti čna vlažnost materijala

Pri adijabatskom vlaženju vazduha, početne temperature T, sve do zasićenog stanja, toplota potrebna za isparavanje vode se dobija hlađenjem vazduha do neke temperature, koju nazivamo temperatura adijabatskog zasićenja sT .Toplotni bilans po 1kg suvog vazduha glasi:

[ ]),()()( 0 ϕχ−χ∆=− TThTTc sispwsp (7.24)

gde je pc toplotni kapacitet vlažnog vazduha, računat po kg suvog vazduha. Opisani

proces se događa pri prolazu vazduha kroz izolovani sloj vlažnog zrnastog materijala u sušnici, pod uslovom da je površina kontakta materijala i vazduha prekrivena filmom vode..

Toplotni kapacitet vlažnog vazduha, računat po kg suvog vazduha, jednak je zbiru:

χ+=kgK

kJccc wpsvpp ,, (7.25)

gde su.

svpc , - specifična toplota suvog vazduha, )(kgKJ

−wpc , specifična toplota vodene pare, )(kgKJ

Za brojne vrednosti pc i parametra γ (jedn. 7.23a, b), imajući u vidu da je 1<<χ ,

približno važi :

γ≈≈χ+≈kgK

kJcp 19.11 (7.26)

Poređenjem jednačina (7.23) i (7.24), zaključujemo da je temperatura adijabatskog zasićenja vlažnog vazduha bliska temperaturi vlažne kugle termometra:

ws TT ≈ (7.27)

Znači da se linije adijabatskog vlaženja vazduha u χ−T dijagramu duž kojih se menja stanje vlažnog vazduha pri njegovom strujanju kroz izolovan sloj materijala koji se suši, definisane jednačinom (7.24), približno poklapaju sa linijama .constTw =

134

U proračunima procesa sušenja čvrstih zrnastih materijala, aproksimacija (7.27) je primenljiva samo ako tokom procesa sušenja površina zrna ostaje vlažna (što znači da brzinu sušenja određuje brzina prenosa toplote sa vazduha na površinu, kao najsporiji proces), pa važi jednačina (7.19). Iz prethodne diskusije sledi da za takav proces,

• temperatura materijala nakon sušenja je (približno) jednaka temperaturi vlažne kugle termometra za ulazni vazduh, ulwT , .

• tačka u dijagramu, koja definiše stanje izlaznog vazduha, leži na liniji adijabatskog vlaženja vazduha, odnosno na liniji konstantne temperature vlažne kugle termometra, ulww TT ,=

Za duža vremena trajanja sušenja, to nije tačno, jer vlaga biva uklonjena sa površine zrna (ne važi više jedn. 7.19), a sušenje postaje kontrolisano difuzijom vlage kroz pore u zrnu, kao najsporijim procesom. Granična vlažnost materijala, ispod koje više ne važi opisana aproksimacija, naziva se kriti čna vlažnost.

PRIMER 7.7. Odrediti temperaturu materijala na izlazu iz sušnice, ako izlazi sa vlažnošću većom od kritične, a izlazni vazduh ima temperaturu C0100 i sadržaj vlage

kgkg0135.0 .

Pošto je vlažnost materijala veća od kritične, važi aproksimacija (7.27), pa je temperatura materijala jednaka temperaturi vlažne kugle termometra za ulazni vazduh, koja je jednaka temperaturi vlažne kugle izlaznog vazduha (promena stanja vazduha se odvija u χ−T dijagramu duž prave .constTw = ). U Molierovom dijagramu, stanja

ulaznog i izlaznog vazduha leže na liniji .consth = (adijabatski proces), pa temperaturu vlažne kugle termometra dobijamo kao temperaturu zasićenog vazduha date entalpije, dakle u preseku linija %100=ϕ i .consth =

Skice uz Primer 7.7.

Numeričkim rešavanjem jedn. (7.23) po wT , za zadato T i χ , dobijamo: CTw05.36=

( Mathcad fajl : Vlazan vazduh).

PRIMER 7.8. Vazduh normalnog pritiska, temperature )7.26(80 00 CF i relativne

vlažnosti %50 se zagreva do )200(392 00 CF i uvodi u sprej sušnicu, iz koje izlazi sa

temperaturom )95(203 00 CF . Uz pretpostavku da se u sušnici vazduh adijabatski vlaži, odrediti njegovu vlažnost i relativnu vlažnost na izlazu.

χ 5.36== wTT

CT 0100=

0.0135

%100=ϕ

h %100=ϕ

100 C0

0.0135

χ

T

CTw05.36=

.consth =

135

Vrednosti na skici su dobijene sledećim računskim postupkom, u kome su korišćeni kubni splajnovi za napon pare i latentnu toplotu isparavanja vode. Stanja ulaznog i izlaznog vazduha leže na liniji adijabatskog zasićenja, tj. u skladu sa aproksimacijom (7.27) na liniji .constTw = Zato ćemo, rešavanjem jedn. (7.23), da

odredimo temperaturu vlažne kugle termometra za ulazni vazduh, čija je temperatura C0200 , a vlažnost jednaka vlažnosti polaznog vazduha, temperature C07.26 i relativne

vlažnosti %50 . Tako, najpre iz jednačina (7.16) i (7.17) (ili postupkom primenjenim u Primeru 7.3), najpre izračunavamo vlažnost polaznog vazduha: 011.0=χ . Zatim,

rešavanjem jedn. (7.23), po wT , sa CT 0200= , 011.0=χ , dobijamo: CTw05.47= .

Pošto istu temperaturu vlažne kugle ima i izlazni vazduh, sa CTCTw00 95,5.47 ==

izračunavamo njegovu relativnu vlažnost i vlažnost. To se može izvesti numeričkim rešavanjem jedn.(7.23) po ϕ , a onda izračunavanjem χ iz jednačine (7.17), ili postupkom opisanim u Primeru 7.5. Rezultati su: 0549.0,0974.0 =χ=ϕ . Računski postupak u Mathcad-u dat je u fajlu: Vlazan vazduh. PRIMER 7.9. U 4-stepenu sušnicu, uvodi se vazduh temperature K325 , koji sadrži i 0.005 kg vode po 1kg suvog vazduha. Svaki od stupnjeva, vazduh napušta sa relativnom vlažnošću od 60% i pre ulaska u naredni stupanj se zagreva na K325 . Pod pretpostavkom da u svakom stupnju materijal koji se suši dostiže temperaturu vlažnog termometra odrediti:

a) Temperaturu materijala i vazduha nakon svakog stupnja

b) Ukupnu količina uklonjene vode iz materijala ( skg ) u sušnici, ako iz sušnice

izlazi sm35 vazduha.

a) Računski postupak je dat u fajlu: Vlažan vazduh. Da bi smo izračunali količinu uklonjene vlage potrebna nam je vlažnost vazduha na izlazu iz 4. stupnja. Stanja vazduha na izlazu iz 1, 2, 3 i 4 stupnja, prikazana su na skici tačkama, označenim odgovarajućim brojem. Ulazno i izlazno stanje vazduha za svaki od stupnjeva leže na liniji Tw=const, definisanoj izračunavanjem temperature vlažne kugle termometra za ulazno stanje

2

1

0.055

95 C0

%100=ϕ

200 C0 26.7 C0

0.011

χ

T

%50=ϕ

CTw05.47=

Skica uz Primer 7.8

%7.9=ϕ

1- stanje ulaznog vazduha 2- stanje izlaznog vazduha

136

(temperatura i vlažnost), numeričkim rešavanjem jedn. (7.23). Temperatura materijala na izlazu iz nekog stupnja upravo je jednaka temperaturi vlažne kugle, wT za taj stupanj.

Izlazna temperatura vazduha izračunava se iz wT i zadate relativne vlažnosti na izlazu, rešavanjem jedn. (7.23), a onda iz temperature, pomoću jedn. (7.17), određuje i izlazna vlažnost.

b) Uklonjenu količinu vlage dobijamo množenjem masenog protoka suvog vazduha, razlikom vlažnosti vazduha na izlazu iz poslednjeg stupnja i ulaznog vazduha u prvi stupanj. Prethodno odredimo maseni protok suvog vazduha, deljenjem zapreminskog protoka vlažnog vazduha )( 3 sm na izlaznim uslovima, zapreminom vlažnog vazduha,

koja na tim uslovima sadrži 1 kg suvog vazduha (humid volume, kgm3 ):

Skica uz Primer 7.9

( ) kg

m

MTpp

TR

Mpp

TRv

svw

g

svw

g3

40

44 935.029)066.86.033.101(

315314.8

)()(=

⋅⋅−⋅=

⋅ϕ−=

−=

skgkgm

sm

v

Fmsv 347.5

935.0

53

3

===

( ) skgmm svw 14.0)005.0031.0(347.504 =−⋅=χ−χ=

301

301

Tw = 295

312

308

0.005

0.031

0.0275 0.022

4 3

2

1

0

325

%100=ϕ

0.015

χ

T,K

%60=ϕ

315

305

307

.

137

Entalpija vlažnog vazduha

Entalpija vlažnog vazduha je neophodna u energetskim bilansima procesa sušenja. Računata po kilogramu suvog vazduha, ako zanemarimo toplotni efekat pri mešanju vazduha i pare, ona se dobija kao je zbir specifične entalpije suvog vazduha )( kgkJ i entalpije prisutne vodene pare, na datoj temperaturi i pritisku :

χ+=kg

kJhhh wsv (7.28)

svh - specifična entalpija suvog vazduha, kgkJ

wh - specifična entalpija vodene pare, kgkJ

Kako vazduh i vodenu paru smatramo idealnim gasovima, pritisak je irelevantan. Uzimajući da su referentne entalpije jednake nuli, entalpije wsv hh i dobijamo kao dovedene (odvedene) količine toplote pri promeni njihovog stanja od referentnog do posmatranog. Kao referentno stanje za vazduh se uzima stanje idealnog gasa na referentnoj temperaturi CT 00 0= , a za vodu, tečno stanje na istoj temperaturi 0T . Kako opisana promena stanja vode obuhvata i isparavanje vode, entalpije suvog vazduha i pare se računaju kao:

dTTchT

T

svpsv ∫=0

)(, (7.29a)

43421

43421

pare zagrevanje

,

vodeeisparavanj

0.

0

)()( dTTcThhT

T

wpispww ∫+∆= (7.29b)

gde su )( i )( ,, TcTc wpsvp funkcije po kojima se, sa temperaturom, menjaju specifične

toplote vazduha i pare.U proračunima su korišćene sledeće funkcije (Smith i Van Ness, 1987):

−+=

kgK

kJ

TT

M

RTc

sv

gsvp 2,

1210000145.047.3)( (7.30a)

−+=

kgK

kJ

TT

M

RTc

w

gwp 2,

1600000575.0355.3)( (7.30b)

−gR univerzalna gasna konstanta, 8.314 )(kgKkJ ,

T- temperatura u K

PRIMER 7.10. U grejač vazduha (kalorifer) se uvodi struja vazduha (3) nastala mešanjem struje svežeg vazduha (1) ( 5.0,25 1

01 =ϕ= CT ) i struje iskorišćenog vazduha (2)

( 8.0,50 10

2 =ϕ= CT ) u odnosu količina (kg) suvog vazduha u strujama, 3:1 . U grejaču

138

se vazduh zagreva do C080 . Izračunati parametre (vlažnost, temperatura i entalpija) ulazne struje (3) i izlazne struje (4).

Opisani proces se može rasčlaniti na dva stupnja: I- adijabatsko mešanje struja (1) i (2) i II- zagrevanje rezultujuće struje (3). Najpre ćemo izračunati vlažnosti struja (1) i (2), iz jednačine (7.17), a onda i njihove entalpije iz jedn. (7.28-7.30b):

kgkJhkgkJh 7.223,15.50,067.0,10851.9 2123

1 ===χ×=χ −

Bilans vlage i enegetski bilans za adijabatsko mešanje struja su:

3212211

3212211

)(

)(

hmmhmhm

mmmm

+=+

χ+=χ+χ

gde su 21 i mm maseni protoci suvog vazduha u strujama (1) i (2).Uzimajući u obzir da je

12 3mm = , iz gornjih jednačina dobijamo:

kgkJhhh 18075.025.0,0527.075.025.0 213213 =+==χ+χ=χ

Temperaturu rezultujuće struje (3) dobijamo numeričkim rešavanjem jedn. (7.28-7.30b) po T za zadatu entalpiju i vlažnost. Rezultat je: CT 0

3 2.44= . Temperatura i vlažnost

nakon zagrevanja struje (3) su : CT 0434 80, =χ=χ , i sa tim vrednostima iz jedn. (7.28-

7.30b) izračunavamo entalpiju izlazne struje: kgkJh 2204 = . Rešenje u Mathcadu, dato je u fajlu: Vlazan vazduh.

Idealna i realna sušnica

Za idealnu sušnicu se pretpostavlja da se sva toplota dovedena vazduhu u predgrejaču koristi samo za isparavanje vlage iz materijala, tj da je promena stanja vazduha u kontaktu sa materijalom adijabatska - ne menja se njegova entalpija.. Tako je utrošena toplota za sušenje u idealnoj sušnici tačno jednaka razlici entalpija izlaznog i ulaznog vazduha.

Utrošak toplote u realnoj sušnici dobijamo kada na toplotu koja bi bila utrošena da je ona idealna dodamo toplotu utrošenu za zagrevanje materijala koji se suši, transportne opreme, zidova sušnice, kao i gubitke toplote u okolinu (Valent, 2001, Pavlov i sar., 1979)

PRIMER 7.11. Za 4-stepeni proces sušenja, opisan u Primeru 7.9, izračunati ukupnu utrošenu toplotu (W), za zagrevanje vazduha, pod pretpostavkom da je sušnica idealna.

Razmenjena toplota u jedinici vremena, pri nekoj izobarskoj promeni stanja strujećeg vlažnog vazduha, jednaka je proizvodu promene njegove entalpije )( kgkJ i masenog protoka suvog vazduha. U 4- stepenom procesu sušenja toplota se dovodi pri zagrevanju vazduha pre uvođenja u 2., 3. i 4. stupanj, pa je ukupna promena entalpije jednaka zbiru:

[ ] [ ] [ ]),(),(),(),(),(),( 333022201110 χ−χ+χ−χ+χ−χ=∆ ThThThThThThh

139

gde su indeksi oznake pojedinih stanja, tj. tačaka u dijagramu na skici uz Primer 7.9. Međutim, promena stanja vazduha na svakom od stupnjeva idealne sušnice je adijabatska, pa važi:

1. stupanj: 4342143421

izlaz

11

ulaz

00 ),(),( χ=χ ThTh 2. stupanj: 4342143421

izlaz

22

ulaz

10 ),(),( χ=χ ThTh

3. stupanj: 4342143421

izlaz

33

ulaz

20 ),(),( χ=χ ThTh 4. stupanj: 4342143421

izlaz

44

ulaz

30 ),(),( χ=χ ThTh

što ukupnu promenu entalpije u posmatranom procesu svodi na razliku entalpija izlaznog i ulaznog vazduha.

)(),(),( 0044 kgkJThThh χ−χ=∆

pa je tražena toplota jednaka:

[ ] )(),(),( 0044 WThThmQ sv χ−χ=

U Mathcad-u su izračunate entalpije vazduha na ulazu i na izlazu svakog od stupnjeva (Fajl: Vlazan vazduh). Rezultati dati sa 4 značajne cifre su:

84.65),(,27.65),( 1100 =χ=χ ThTh 47.90),(,18.90),( 2210 =χ=χ ThTh

3.108),(,1.108),( 3320 =χ=χ ThTh 0.122),(,0.122),( 4430 =χ=χ ThTh

Međusobna odstupanja izračunatih entalpija vazduha na ulazu i izlazu iz sekcije, rezultat su aproksimacija koje su navedene u tekstu po naslovom: ’Temperatura adijabatskog zasićenja’ i potpuno su prihvatljiva u inženjerskim proračunima.

Konačno, za utrošak toplote u 4-stepenom procesu, dobijamo:

[ ] kWThThmQ sv 5.303),(),( 0044 =χ−χ=

PRIMER 7.12. Za 4-stepeni proces sušenja, opisan u Primeru 7.9, rešiti problem b) koristeći uslov jednakosti entalpija ulazne i izlazne struje vazduha za idealan stupanj sušenja, tj. postupak koji se sprovodi u Molierovom dijagramu. Izračunati utrošenu toplotu za zagrevanje vazduha.

Ulazna i izlazna stanja vazduha za neki stupanj leže na liniji h = const. Tako proračun počinjemo izračunavanjem entalpije ulaznog vazduha u prvu sekciju iz temperature i vlažnosti, pomoću odgovarajuće Mathcad funkcije: kgkJh 27.65= (Fajl: Vlazan vazduh). Izlaznu temperaturu dobijamo numeričkim rešavanjem jednačine:

hTh =ϕ),(

po T, za dato 6.0=ϕ . Rezultat je CTT 01 3.28== i iz temperature, pomoću jedn. (7.12),

odnosno odgovarajuće Mathcad funkcije izračunavamo izlaznu vlažnost: 0145.01 =χ .

Entalpiju vazduha u drugom stupnju, kgkJh 78.89= dobijamo zamenjujući u

odgovarajuću funkciju, vrednosti: KT 325 i 1 =χ=χ za vlažnost i temperaturu. Sada

140

računamo izlazno stanje iz drugog stupnja analogno proračunu prvog stupnja, itd. Poređenje rezultata dobijenih u ovom i u Primerima 7.9 i 7.11 (uklonjena vlaga i utrošena toplota) pokazuje da relativna odstupanja ne prelaze 1%.

Skica uz Primer 7.12.

PRIMER 7.13. Materijal se suši od 60% do 25% vlage (vlažna osnova) u idealnoj sušnici sa recirkulacijom vazduha. Za zagrevanje vazduha se koristi suvozasićena para, pritiska 2 bar. Protok svežeg vazduha, temperature C025 i vlažnosti 0.01 iznosi 10000 hkg

suvog vazduha, a protok povratnog vazduha je 21000 hkg suvog vazduha. Vazduh

napušta sušnicu sa temperaturom C043 i relativnom vlažnošću od 70%.

Izračunati

a) Kapacitet sušnice ( hkg ) po ulaznom materijalu koji se suši;

b) Potrošnju pare

2

Sušnicalorif.

hkg21000

7.0,430 =ϕC

1 3

Kalorifer hkg10000

01.0,250 =χC 4

0.027

K315

χ

0.031

3

4

2 1

0

h

0.015 0.005

.consth =

%60=ϕ

KT 325=

kgkJh 122=

kgkJh 3.65=

K301

K308

K312

0.021

141

c) Temperaturu vazduha na ulazu u sušnicu

a) Kapacitet sušnice, definisan kao količina materijala koja se u jedinici vremena uvodi u sušnicu, )( hkgGul u vezi je sa količinom vlage )( hkgmw koja se ukloni datom

količinom suvog vazduha )( hkgmsv . Da bi formulisali tu vezu, napisaćemo ukupni bilans za materijal koji se suši i bilans suve materije u njemu:

)1()1( izizulul

wizul

xGxG

mGG

−=−

+=

gde su izul xx i sadržaji vlage u polaznom i osušenom materijalu. Iz druge jednačine,

iz

ululiz x

xGG

−

−=

1

1

što nakon smene u prvu i rešavanja po ulG daje,

iz

ul

wul

x

xm

G

−

−−

=

11

1

Potrebno je izračunati wm iz protoka ulaznog suvog vazduha (struja 3) i razlike njegove

vlažnosti na izlazu (struja 4) i ulazu. Veličine stanja ulaznog vazduha (struje 3): vlažnost i entalpiju dobijamo iz materijalnog i energetskog bilansa za mešač povratne struje (2) i struje svežeg vazduha (1):

332211

332211

213 31000

hmhmhm

mmm

hkgmmmmsv

=+χ=χ+χ=+==

Tako vlažnost ulazne struje dobijamo kao:

3

22113 m

mm χ+χ=χ

Pošto nije data vlažnost povratne struje, računamo je iz relativne vlažnosti odgovarajućom Mathcad funkcijom, definisanom prema jedn (7.17): 0394.02 =χ i iz gornje formule

dobijamo 0299.03 =χ (fajl: Vlažan vazduh). Sada možemo da izračunamo količinu

uklonjene vlage:

hkgmmmw 9.293)()( 323343 =χ−χ=χ−χ=

i iz nje traženi kapacitet:

142

hkg

x

xm

G

iz

ul

wul 630

11

1=

−

−−

=

b) Potrošnju suvozasićene pare dobijamo kao količnik utrošene toplote i latentne toplote kondenzacije pare zadatog pritiska.Utrošenu toplotu u idealnoj sušnici dobijamo iz razlike entalpija izlazne struje, 4. i ulazne struje, 3. Iz energetskog bilansa mešača struja dobijamo za entalpiju ulazne struje:

kgkJm

hmhmh 3.114

3

22113 =+=

pri čemu smo prethodno izračunali entalpije struja odgovarajućom Mathcad-funkcijom iz poznatih temperatura i vlažnosti: kgkJhkgkJh 7.144,53.50 21 == . Entalpija izlazne

struje jednaka je entalpiji povratne struje: 24 hh = , pa za utrošenu toplotu dobijamo:

( ) hkJhhmQ 5323 10417.9 ×=−=

Pošto raspolažemo Mathcad funkcijom za izračunavanje latentne toplote isparavanja vode na zadatoj temperaturi, neophodno je da odredimo temperaturu suvozasićene pare iz zadatog pritiska, numeričkim rešavanjem jednačine:

barpTp ssw 2)(0==

po sT , gde je za napon pare u funkciji temperature formirana Mathcad funkcija u obliku

splajna. Rezultat je: CTs02.120= . Za tu temperaturu, izračunata toplota kondenzacije je

kgkJhc 2202= , pa je traženi utrošak pare:

hkghQm cs 428==

c) Temperaturu vazduha na ulazu u sušnicu dobijamo iz entalpije vazduha, koja je jednaka entalpji izlaznog vazduha, 4h i poznate vlažnosti vazduha 3χ=χ , rešavanjem

jednačine:

43),( hTh =χ

i rezultat je: CT 09.65=

7.3 Difuzija vlage kroz sloj materijala pri sušenju va zduhom

Izvešćemo jednačinu jednodimenzione nestacionarne difuzije vlage kroz sloj porozne čvrste materije, površine A, koji je izložen sušenju vazduhom. Pri tom, nećemo uzeti u obzir promenu debljine sloja (kontrakcija) u toku sušenja, jer je to veoma kompleksan problem. Analogno izvođenju jednačine nestacionarnog prenosa toplote kroz

143

ravan zid (Pogl. 4.), posmatramo element sloja, beskonačno male debljine dx, normalan na pravac difuzije (Slika 7.3.)

A

izwM , ulwM ,

dxx+ x x 0

o

Slika 7.3. Skica uz izvođenje jednačine difuzije

Ukupan maseni fluks vlage wM , kroz površinu A, normalnu na pravac difuzije, dat

je Fikovim zakonom, primenjenim na pseudo-homogen medijum (porozni sloj):

)( skgAx

cDM w

ww ∂∂−= (7.31)

gde su: −wc masena koncentracija vlage, 3mkg

−wD efektivni koeficijent difuzije vlage, sm2 (vidi jedn. 2.15b)

U daljem tekstu ćemo umesto termina efektivni koeficijent difuzije vlage kroz porozni sloj koristiti jednostavno termin koeficijent difuzije vlage kroz porozni sloj. Ako zapreminu posmatranog elementa (Sl.7.3) u kome je sadržaj vlage X, označimo sa V ( AdxV = ) , masena koncentracija vlage u tom elementu će biti:

XXV

m

V

mc sm

smww ρ=== (7.32)

smρ - gustina suve supstance u materijalu, 3mkg

Sada možemo maseni fluks vlage da izrazimo preko sadržaja vlage smenjujući (7.32) u (7.31):

Ax

X

V

mDM smw

w ∂∂−= (7.33)

Dakle, ulazni maseni fluks vlage difuzijom ulwM , , u posmatrani element sloja biće dat

jednačinom (7.33). Izlazni fluks izwM , će biti jednak zbiru ulaznog fluksa i njegovog

priraštaja, tj. diferencijala (pošto dx 0→ ):

{

{ 2

2

,2

2

,

prirastaj

,, x

XmDMAdx

x

X

V

mDMdMMM smwulw

V

smwulwwulwizw ∂

∂−=∂∂−=+=

144

Tako za članove u masenom bilansu vlage,

Ulaz – Izlaz = Akumulacija (7.34)

imamo:

Ulaz – Izlaz = 2

2

x

XmDdM smww ∂

∂=−

Akumulacija = dt

dXm

dt

Xmd

dt

dmsm

smw==

)(

i njihovom smenom u (7.34) dobijamo traženu diferencijalnu jednačinu difuzije vlage:

2

2

x

XD

dt

dXw ∂∂= (7.35)

Uočavamo potpunu analogiju sa jednačinom nestacionarnog prenosa toplote kroz sloj (4.2).

Profil sadržaja vlage u sloju

Da bi smo dobilii profil sadržaja vlage ),( txX po debljini sloja, koji je od nekog momenta, t = 0 sa obe strane izložen dejstvu vazduha za sušenje, pretpostavićemo pre svega uniformno temperaturno polje (izotermičnost). Inače, problem bi bio vrlo kompleksan jer bi zahtevao simultano rešavanje (integraciju) jednačine nestacionarnog prenosa toplote (4.2) i jednačine difuzije (7.35) sa odgovarajućim početnim i graničnim uslovima.

Neophodni su nam početni i granični uslovi uz jedn. (7.35). Pretpostavimo da je otpor spoljašnoj difuziji vlage (prelaz vlage sa površine sloja u struju vazduha) mnogo manji od otpora unutrašnjoj difuziji (kroz sloj), tj. da je Biot-ov difuzioni broj DBi ,

w

w

D

Lβ= Bi D (7.36)

L – poludebljina sloja ( Sl. 7.3)

koji je analogan Biot-ovom kriterijumu kod prenosa toplote (jedn. 4.12), vrlo veliki , ( )∞→ Bi D . To znači da se u procesu spoljašnje difuzije uspostavlja termodinamička ravnoteža (vidi Pogl.2.5), tj. da je koncentracija vlage na spoljašnjim površinama sloja jednaka ravnotežnoj koncentraciji vlage sX u posmatranom materijalu, za datu relativnu vlažnost (stepen zasićenja vlagom) vazduha za sušenje. Ako pretpostavimo uniformnu vlažnost materijala pre izlaganja sušenju, možemo da skiciramo profile

),( txX (Sl.7.4) i formulišemo početni i granične uslove uz jednačinu (7.35).

pXxXt == )0,(:0 (7.37a)

0:0 =∂∂=

x

Xx (uslov ekstrema, ili simetričnosti profila) (7.37b)

145

12 tt >

sX

pX 01 >t

0

L

∞=t

x

0=t

Slika 7.4. Profili sadržaja vlage u sloju koji se suši

sXtLXLx == ),(: ( )∞→ Bi D (7.37c)

Uvođenjem novih, bezdimenzionih promenljivih θτ i ,z smenama:

L

xz = ,

2L

tDw=τ ,

sp

s

XX

XX

−−=θ (7.38)

analognim onima koje smo primenili u diskusiji modela prenosa toplote (4.22a,b i 4.26), jednačinu (7.35) prevodimo u bezdimenzioni oblik, identičan bezdimenzionoj jednačini prenosa toplote (4.27):

)10(2

2

<<τ∂θ∂=

∂θ∂

zz

(7.39)

sa početnim i graničnim uslovima:

1)0,(:0 =θ=τ z (7.39a)

0:0 =∂θ∂=z

z (7.39b)

0),1(:1 =τθ=z (7.39c)

Rešenje je identično bezdimenzionom rešenju jednačine prenosa toplote kroz sloj (4.31), pri vrlo velikom Biot - ovom broju:

( ) [ ] ( )ziii

zi

i

π+τπ+−π+

−=τθ ∑∞=

)5.0(cos)5.0(exp5.0

)1(2),(

0

22 (7.40)

Konačno, iz bezdimenzionog rešenja traženi nestacionaran profil sadržaja vlage dobijamo kao (vidi jedn. 7.38):

146

( ) )(,),( 2spws XXLtDLxXtxX −⋅θ+= (7.41)

U praktičnim proračunima, za veće vrednosti bezdimenzionog vremena (Furijeovog broja) τ , 2.0>τ dovoljno je uzeti samo prvi ( 0=i ) od beskonačno mnogo sabiraka sume (7.40):

2.02

exp2

cos4

),(2

>τ

τ

π−⋅

π

π≈τθ zz (7.42)

a za 2.005.0 <τ< dovoljna su prva tri ili četiri sabirka sume.

Srednji sadržaj vlage poroznog sloja. Eksperimenta lno odre đivanje efektivnog koeficijenta difuzije vlage

Od praktičnog interesa za proces sušenja je praćenje srednjeg sadržaja vlage u sloju za različita vremena sušenja. Srednji sadržaj vlage se definiše kao količnik ukupne količine vlage u nekom materijalu i ukupne mase suve materije u njemu. U nekom momentu t nakon otpočinjanja sušenja, matematički se može odrediti srednji sadržaj vlage posmatranog sloja poludebljine L kao srednja vrednost funkcije ),( txX u intervalu

Lx ≤≤0 :

∫=

L

dxtxXL

tX0

),(1

)( (7.43)

Jednačina (7.43) u stvari daje srednju vlažnost polusloja debljine L, ali je zbog simetričnosti (vidi Sl.7.4), to istovremeno i srednja vlažnost celog sloja. Srednji sadržaj vlage u nekom materijalu, nakon sušenja u trajanju t, se eksperimentalno dobija kao količnik ukupne izmerene količine vlage u materijalu i mase suve materije.

Umesto da se koristi jedn. (7.43), praktičnije je po analognoj formuli odrediti srednju bezdimenzionu vlažnost sloja, tj. srednju vrednost funkcije ),( τθ z u odgovarajućem intervalu bezdimenzione koordinate: 10 ≤≤ z :

∫ τθ=τθ1

0

),()( dzz (7.44)

a onda, imajući u vidu da je veza između θ i X identična vezi između θ i X (što se lako dokazuje smenjujući vezu između θ i X u definiciju (7.43)), iz nje izračunati X :

)()()( 2spws XXLtDXtX −⋅θ+= (7.45)

Kako podintegralna funkcija u (7.44) ima oblik sume, koristimo pravilo da je integral sume jednak sumi integrala. Traženi integral opšteg sabirka (čiji je indeks i) u sumi (7.40) je:

147

( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )[ ]

( ) [ ] [ ]π+τπ+−π+

−=

=π+⋅τπ+−π+

−=

=π+τπ+−π+

−=

=π+τπ+−π+

−

∫∫

)5.0(sin)5.0(exp5.0

)1(

)5.0(sin)5.0(exp5.0

)1(

)5.0(cos)5.0(exp5.0

)1(

)5.0(cos)5.0(exp5.0

)1(

22

22

10

22

22

1

0

22

1

0

22

iii

ziii

dzziii

dzziii

i

i

i

i

pa je integral beskonačnog reda (7.42) , tj. tražena srednja vlažnost (7.44):

( ) [ ] [ ]π+τπ+−π+

−=τθ ∑∞=

)5.0(sin)5.0(exp5.0

)1(2)(

0

22

22ii

ii

i

Konačno, imajući u vidu da je

[ ] ( ) ,...2,1,01)5.0(sin =−=π+ ii i

za srednju bezdimenzionu vlažnost dobijamo beskonačni red:

[ ]( )∑∞

= π+τπ+−=τθ

022

22

5.0

)5.0(exp2)(

i i

i (7.46)

Za veće vrednosti bezdimenzionog vremena (Furijeovog broja) τ , 2.0>τ približnu vrednost X dobijamo kao prvi sabirak reda (7.46):

( )

2.0,4

4exp2)(

2

2

>τπ

τπ−≈τθ (7.47)

ili u funkciji originalnog vremena t:

2.0,4

exp8

)(22

2

2>

π−π≈θ

L

tDt

LDt w

w (7.48)

a za manje vrednosti τ od praktičnog interesa, dovoljna su prva tri ili najviše četiri sabirka. Logaritmujući jedn (7.48), dobijamo pravolinijsku zavisnost logaritma srednje bezdimenzione vlažnosti od vremena :

( ) tL

Dw2

22

48lnln

π−π=θ (7.49)

pa iz nagiba prave u eksperimentalno dobijenom dijagramu θ−v

lnt , možemo da izračunamo efektivni koeficijent difuzije vlage wD .

148

Višedimenziona difuzija vlage

U prethodnom poglavlju smo diskutovali matematički model jednodimenzione izotermske difuzije kroz porozni sloj materijala koji se suši. Jednodimenzioni model daje dobre procene u slučaju da se u fluidizovanom sloju suše komadi materijala u obliku vrlo tankih listića. Ako bi komadići bili u obliku paralelopipeda dimenzija )( cba ×× pri čemu ne važi da je jedna od tri dimenzije mnogo manja od ostale dve (kao kod pravougaonog lista), morao bi se primeniti trodimenzioni model, ili eventualno dvodimenzioni (slučaj pravougaonog dugačkog štapa).

Dvo- i tro- dimenzione profile koncentracije vlage možemo da definišemo kombinovanjem jednodimenzionih profila, pomoću principa superpozicije, koga smo primenili da bi definisali višedimenzione temperaturne profile (vidi jedn. 4.45- 4.47). Tako, trodimenzioni izotermski profil koncentracije vlage u poroznom komadu oblika paralelopipeda, dimenzija )( cba ×× dobijamo, imajući u vidu simetričnost, iz sledećeg

profila za njegovu osminu - paralelopiped dimenzija )2()2()2( cba ×× (Vidi Sl.7.5):

20,20,20),,,(),,(),,(),,,(

slojslojsloj czbyaxctzbtyatxXX

XtzyxX

sp

s ≤≤≤≤≤≤θ⋅θ⋅θ=

−−

(7.50)

pri čemu funkcije na desnoj strani jednačine dobijamo, ako je dominantan otpor unutrašnje difuzije vlage, iz formule (7.40), uvodeći umesto bezdimenzione koordinate z , redom:

2

,2

,2 c

z

b

y

a

xz = (7.50a)

a umesto bezdimenzionog vremena τ , redom:

222 )2(

,)2(

,)2( c

tD

b

tD

a

tD www=τ (7.50b)

Ako bi za sva tri pravca bio zadovoljen uslov 2.0>τ , kao funkcije na desnoj strani jedn. (7.50) bi uzeli aproksimativno jednodimenziono rešenje (7.42), što bi nakon smene i sređivanja dalo:

)51.7(111

expcoscoscos4),,,(

2222

3

++π−

π

π

π

π=−

−t

cbaD

c

z

b

y

a

x

XX

XtzyxXw

sp

s

u oblasti: .20,20,20 czbyax ≤≤≤≤≤≤

U najopštijem slučaju trodimenzionog profila koncentracije vlage u nekom telu, srednji sadržaj vlage, matematički se dobija kao zapreminski integral:

∫∫∫=

V

dxdydztzyxXV

tX ),,,(1

)( (7.52)

i kao što smo već napomenuli, jednak je količniku ukupne mase vlage u telu i mase suve

149

materije. U slučaju da telo ima oblik paralelopipeda, dimenzija )( cba ×× , zahvaljujući simetriji određujemo srednji sadržaj vlage kao srednju vlažnost njegove osmine, dimenzija

)2()2()2( cba ×× (Sl. 7.5), pa imamo:

∫ ∫ ∫=

2

0

2

0

2

0

),,,(8

)(a b c

dxdydztzyxXabc

tX (7.53)

Slika 7.5. Osmina paraleolopipeda, za koju se dobija profil koncentracije vlage primenom

principa superpozicije

Pokazaćemo sada da se formula (7.53), u slučaju jednodimenzionog profila vlage ),( txX svodi na formulu (7.43).:

====

===

∫∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫

2),(

1),(

2),(

22

8

),(8

),(8

)(

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

aLdxtxX

LdxtxX

adxtxX

cb

abc

dzdydxtxXabc

dxdydztxXabc

tX

Laa

cbaa b c

Primenjujući formulu (7.53) na približan bezdimenzioni koncentracijski profil, definisan jednačinom (7.51), nije teško izvesti formulu:

++π−

π=−

−=θ tcba

DXX

XtXt w

sp

s222

23

2

111exp

8)()( (7.54)

koja se direktno može dobiti sa formulom (7.48) za jednodimenzion slučaj, primenjujući princip superpozicije na srednji bezdimenzioni sadržaj vlage :

444 3444 21444 3444 21444 3444 21

pravcu-u

2

2

2

pravcu-u

2

2

2

pravcu -u

2

2

2exp

8exp

8exp

8)(

z

w

y

w

x

w tc

Dtb

Dta

Dt

π−π⋅

π−π⋅

π−π=θ

Ona, kao i jedn. (7.51), važi ako su:

a

z

y

x c

b

150

2.0)2(

,)2(

,)2( 222

>c

tD

b

tD

a

tD www (7.54a)

Za dvodimenzioni koncentracijski profil, formula (7.52) za srednji sadržaj vlage se svodi na površinski integral:

∫∫∫=

S

dxdytyxXS

tX ),,(1

)( (7.55)

po površini poprečnog preseka štapa, S. Primena (7.55) na bezdimenzioni koncentracijski profil, u dugom štapu pravougaonog preseka, dimenzija ba× , ili direktna primena principa superpozicije daje,:

+π−

π=−

−=θ tba

DXX

XtXt w

sp

s22

22

2

11exp

8)()( (7.56)

ako su zadovoljena prva dva uslova u jedn (7.54a). Dakle, sadržaj vlage u materijalu koji se suši, prema (7.56) opada eksponencijalno sa vremenom, pri čemu je to opadanje brže ukoliko je veći koeficijent difuzije vlage kroz materijal.

Polazeći od logaritmovanih jednačina (7.56) ili (7.54) možemo, iz nagiba prave u eksperimentalno dobijenom dijagramu θ−

v

lnt , da izračunamo efektivni koeficijent difuzije vlage, analogno već opisanom postupku u slučaju jednodimenzione difuzije vlage.

PRIMER 7.14. Radi određivanja koeficijenta difuzije vlage pri sušenju, mereni su sadržaji vlage u komadićima nekog voća, oblika dugih pravougaonih štapića, sa dimenzijama poprečnog preseka: cmcm 5.11 × , od momenta kada je sadržaj vlage sveden na 1.8 kg vl./kg s.m. (Tabela). Relativna vlažnost vazduha za sušenje je bila 5%. Desorpciona izoterma voća koje se suši je dobro opisana Hendersenovom jednačinom:

( )bsw aXa −−= exp1

sa parametrima: 7131.0,471.4 == ba . Pretpostavka je da su u toku merenja zadovoljeni uslovi: izotermičnost, dominantan otpor unutrašnjoj difuziji vlage, dovoljno veliki Furijeovi brojevi da bi se primenila aproksimativna formula za srednji sadržaj vlage u funkciji od vremena sušenja. Proceniti koeficijent difuzije vlage tokom sušenja voća.

Tabela uz Primer 7.14

t, min 10 20 30 40 50

sX 0.78 0.47 0.26 0.18 0.10

(Mathcad, P 7.14)

PRIMER 7.15. (Toledo, 2007, E12.4). Komadići jabuke oblika dugih pravougaonih štapića sa dimenzijama poprečnog preseka : cmcm 5.25.1 × sušeni su u vazduhu, relativne vlažnosti 5% )002.0( =sX . Za momenat u kome je izmereni srednji sadržaj vlage

komadića iznosio sm.5.1 kgkg , iz eksperimentalnih merenja je određena i brzina sušenja,

računata po kilogramu suve materije: ( )ssmvl.1033.8 4 ⋅× − kgkg .

151

a) Proceniti iz datih podataka koeficijent difuzije vlage kroz tkivo jabuke

b) Koristeći procenjen koeficijent difuzije, izračunati sadržaj vlage u sušenim štapićima jabuka, ako je sušenje trajalo još 1h posle momenta u kome je izmeren sadržaj vlage kgkg5.1 sm, kao i brzinu sušenja po kg suve materije na kraju sušenja.

a) Da bi smo mogli da rešimo postavljen problem, pretpostavićemo:

1. izotermičnost procesa sušenja,

2. vrlo veliki Biot –ov difuzioni broj (7.36),

3. dvodimenzinu difuziju vlage, s obzirom na dimenzije komadića koji se suše,

4. dovoljno velike Furijeove brojeva za oba koordinatna pravca, da bi mogli da koristimo aproksimativno rešenje.

Poćićemo od jednačine za srednji bezdimenzioni sadržaj vlage (7.56). Ako je logaritmujemo, dobijamo pravolinijsku zavisnost::

tba

Dt w

+π−π−=θ22

2 11ln48ln2)(ln

čije diferenciranje daje:

+π−=θ22

2 11ln

baD

dt

dw (7.57)

Diferenciranjem relacije,

uXX

XX

u

sp

s lnlnln =

−−=θ43421

koristeći pravilo diferenciranja složene funkcije, dobijamo:

dt

Xd

Xd

du

XX

XX

dt

du

XX

XX

dt

du

udt

d

s

sp

s

sp

−−

=−−

==θ 1ln

i pošto je,

sp XXXd

du

−=

1

konačno:

dt

Xd

XXdt

d

s−=θ 1ln

(7.58)

Nakon smene (7.58) u (7.57) i rešavanja po wD , dobijamo:

( ) 222 11)( π+−−=

baXX

dtXdD

sw (7.59)

152

Raspolažemo svim vrednostima, koje figurišu na desnoj strani jedn. (7.59), jer izvod dtXd nije ništa drugo do brzina sušenja računata po kilogramu suve materije, sa

negativnim predznakom,. Tako, imamo:

141033.8,5.1,002.0 −−×−=== sdtXdXX s

(Mathcad, P 7.15)

7.4 Kinetika konvektivnog termi čkog sušenja materijala

Proces konvektivnog termičkog sušenja je veoma složen za matematičko opisivanje jer uključuje:

• istovremeni prenos mase i toplote,

• promenu faze (isparavanje vode),

• površinske pojave u poroznom materijalu (adsorpcija i desorpcija vlage),

• kapilarne pojave (kapilarna kondenzacija, kretanje vode kroz materijal pod dejstvom kapilarnih sila),

• promene strukture poroznog materijala u toku sušenja,

itd. Nešto uprošćen proces sušenja se može dekomponovati (pogl. 2.5) na sledeće elementarne procese:

1. Unutrašnja difuzija kondenzovane vlage,

2. Promena faze (isparavanje) vlage,

3. Unutrašnja difuzija gasovite vlage,

4. Spoljašnja difuzija vlage - prelaz pare sa površine materijala u okolni vazduh,

5. Unutrašnji prenos toplote (provođenje kroz materijal),

6. Prelaz toplote sa vazduha na površinu materijala.

Pri tom su prva četiri elementarna stadijuma konsekutivna, mada se stadijumi 1. i 2. mogu odvijati i paralelno.Stadijumi 5. i 6. su međusobno konsekutivni i paralelni sa prva četiri elementarna procesa. Međutim, opisanim dekomponovanjem ne pojednostavljuje se problem matematičkog modelovanja, jer su toplotni fluksevi (5. i 6. stadijum) u interakciji sa prva četiri stadijuma. Tako, isparavanje vlage sa površine materijala izaziva hlađenje površine, koje uslovljava prenos toplote iz mase vazduha na površinu. Dalje, efektivna provodljivost toplote zavisi od sadržaja vlage, a efektivni koeficijenti difuzije pare i vode zavise od temperature, pa su difuzioni i toplotni fluksevi u međusobnoj interakciji.

Najvažniji praktičan rezultat matematičkog modelovanja procesa sušenja bi bio izraz za brzinu sušenja, u zavisnosti od srednjeg sadržaja vlage u materijalu (matematički definisanog jednačinom 7.52), temperature i vlažnosti agensa za sušenje. Brzina sušenja r se definiše kao promena srednjeg sadržaja vlage X u jedinici vremena i to kao pozitivna veličina:

153

( )1−−= s

dt

Xdr (7.60)

Do izraza za brzinu sušenja se može doći metodom limitiraju ćeg stadijuma (Pogl. 2.5) pod uslovom da neki, izrazito spor elementarni stadijum, kontroliše brzinu sušenja

U eksperimentalnim istraživanjima su uočeni sledeći periodi ili faze u procesu sušenja kapilarno-poroznih materijala (Valent, 2001; Toledo, 2007):

1. Period konstantne brzine sušenja;

2. Prva faza opadajuće brzine sušenja;

3. Druga faza opadajuće brzine sušenja.

U prvoj fazi sušenja, spoljnja površina materijala je prekrivena filmom vode (slobodna vlaga, čija je aktivnost 1=wa , vidi duž CD na Sl.7.1) koja isparava i brzina sušenja je limitirana brzinom prelaza toplote sa vazduha na materijal. Ona traje dok vlažnost materijala ne padne na vrednost koja se naziva kriti čna vlažnost, ispod koje površina materijala nije više potpuno prekrivena filmom vode. U periodu konstantne brzine sušenja, temperatura materijala je jednaka temperaturi adijabatskog zasićenja, odnosno temperaturi vlažne kugle termometra wT vazduha za sušenje, tj. sva dovedena toplota se troši na isparavanje vode.

Ispod kritične vlažnosti počinje druga faza sušenja, u kojoj brzina sušenja opada sa vremenom, tj. sa smanjenjem vlažnosti materijala. I dalje je voda u materijalu slobodna ( 1=wa ), ali njena difuzija ka površini postaje limitiraju ći stadijum u složenom procesu sušenja. Temperatura materijala je nešto viša od temperature vlažne kugle termometra za vazduh. Ova faza traje dok vlažnost materijala ne opadne do maksimalne higroskopne vlažnosti (tačka C na Sl.7.1), koja se naziva i druga kriti čna vlažnost.

Ispod druge kritične vlažnosti, brzinu sušenja ograničava difuzija vlage koja je bila vezana višeslojnom adsorpcijom i kapilarnom kondenzacijom, pri čemu vlaga pretežno difunduje u parnom stanju. Kako je difuzija vezane vlage sporija od difuzije slobodne vlage, u ovoj fazi brzina sušenja brže opada sa opadanjem sadržaja vlage u materijalu, nego u prethodnom periodu. U ovoj trećoj fazi sušenja, temperatura materijala se približava temperaturi vazduha za sušenje.

Konačno, brzina sušenja pada na nultu vrednost kada se uspostavi trermodinamička ravnoteža tj. kada se vlažnost materijala svede na onaj nivo koji je u ravnoteži sa relativnom vlažnošću vazduha za sušenje (tačka na sorpcionoj izotermi).

Radi ispitivanja kinetike sušenja, mere se sadržaji vlage u materijalu u pojedinim momentima tokom sušenja i zamišljena kriva koja prolazi kroz eksperimentalne tačke, odnosno najbliže njima (u skladu sa principom najmanjih kvadrata, dodatak D) naziva se kriva sušenja. U skladu sa definicijom (7.60), brzine sušenja u pojedinim momentima dobijamo diferenciranjem raspoloživih podataka. Na Slici 7.6, dati su eksperimentalni podaci za sušenje kriški jabuka u nezasićenom vazduhu (Toledo, 2007, E12.12). Zapažamo da prvih 5 eksperimentalnih tačaka na slici približno leže na pravoj, tj. da u početnom periodu vlažnost opada linearno sa vremenom. To znači da je, u skladu sa definicijom (1), brzina sušenja u tom periodu konstantna - ne zavisi od sadržaja vlage. Njenu vrednost cr procenjujemo izračunavanjem nagiba prave provučene najbliže tim tačkama, metodom najmanjih kvadrata.

154

Slika 7.6. Sadržaji vlage (kg po kg suve materije)u toku sušenja kriške jabuke

Konstantna brzina sušenja

U periodu konstantne brzine sušenja, crr = , ona je određena brzinom prelaza toplote sa vazduha na površinu materijala i može se izračunati iz toplotnog bilansa: količina toplote utrošena na isparavanje slobodne vode sa površine, tačno je jednaka fluksu prelaza toplote sa vazduha temperature vT na površinu temperature wT :

( ) )(WATThVrhmr wvispwsmc

ispwsmc −α=∆ρ=∆ (7.61)

gde su,

−cr brzina sušenja, )( skgkg smw ⋅

−smm masa suve supstance u materijalu, kg

−V zapremina materijala, 3m

smρ - gustina suve supstance u materijalu, 3mkg

−∆ ispwh latentna toplota isparavanja vode na temperaturi površine,

kgJ

−A spoljnja površina materijala, izložena dejstvu vazduha, 2m

Iz (7.61) dobijamo traženu konstantnu brzinu sušenja:

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

X

t

Vreme t u min

155

( )

ispwsm

wvc h

TTsr ∆ρ

−α= (7.62)

−= VAs specifična površina sušenja, 1−m

Ako se temperatura vazduha Tv menja duž površine od Tv,1 do Tv,2, kao temperaturna razlika u broiocu, koristi se srednja logaritamska razlika temperatura:

wv

wv

wvwvsr

TT

TTTTTT

T

−−

−−−=∆

2,

1,

2,1,

ln

)()( (7.62a)

Izrazi za specifičnu površinu sušenja za tela pravilnog geometrijskog oblika, za slučaj da su sa svih strana izložena dejstvu vazduha za sušenje, dati su u Tabeli 7.1

Tabela 7.1.- Specifične površine

Telo: Specifična površina sušenja:

Kocka, ivice L

Ls

6=

Lopta, prečnika R

Rs

3=

Kratak cilindar, poluprečnika R i visine H

+=

H

R

Rs 1

2

Dugi cilindar, poluprečnika R

Rs

2=

Kvadar, dimenzija cba ××

++=cba

s111

2

Sloj materijala velike površine i debljine L

Ls

2=

U slučaju da materijal nije izložen dejstvu vazduha sa svih strana, potrebno je korigovati date formule, množenjem sa udelom površine izložene sušenju u ukupnoj spoljnjoj površini materijala. Recimo, ako je sloj materijala, debljine L izložen sušenju samo sa jedne strane, specifična površina sušenja će biti,

LL

s12

2

1==

PRIMER 7.16. Kriške jabuka se suše u sloju debljine in5.0 . Izmerena nasipna gustina

vlažnog sloja pri sadržaju vlage od 87% (vlažna osnova) je 35 3ftlb . Sloj se suši sa obe

strane vazduhom temperature FTv0170= , čija je temperatura vlažne kugle termometra,

FTw0100= . Vazduh, normalnog pritiska, struji paralelno sa površinom sloja, brzinom od

156

sm65.3 . Za koeficijent prelaza toplote sa vazduha na površinu sloja, pri njegovom strujanju paralelno sa slojem važi korelacija (Toledo, 1991):

)(,31.14 28.0 KmWG=α

gde je G masena brzina strujanja u )( 2smkg . Latentna toplota isparavanja vode na

F0100 je lbBTU1037 . Proceniti brzinu sušanja. (Mathcad P 7.16)

Opadaju ća brzina sušenja u prvom i drugom periodu

Pogonska sila za proces sušenja je razlika aktuelnog sadržaja (srednjeg) vlage u materijalu i ravnotežnog sadržaja vlage, koji zavisi od temperature i relativne vlažnosti vazduha za sušenje (prema sorpcionoj izotermi). Tako bi se, u skladu sa pravilima kinetike, izraz za brzinu sušenja mogao potražiti u obliku, koji važi za proces n-tog reda:

( )nsXXkr −= (7.63)

i on se pokazao prihvatljivim, tj. u skladu sa rezultatima eksperimenata (Valent, 2001). U jednačini (7.63), X ne predstavlja lokalni sadržaj vlage (u nekoj tački u sloju materijala koji se suši) već 'ukupni', tj. srednji sadržaj vlage u materijalu: XX = . Konstanta brzine k je funkcija temperature sloja (srednje temperatura sloja). Eksperimenti su pokazali da je za tanke i rastresite porozne slojeve, red procesa sušenja približno jednak jedinici,

1≈n (Valent, 2001), tj. da je brzina sušenja linearna funkcija vlažnosti:

( ) mkXkXkXXXkr ss +=−=−= (7.64)

Pošto u ovoj fazi sušenja, brzinu sušenja limitira unutrašnja difuzija vlage , teorijski bi se mogao izvesti izraz za brzinu sušenja diferenciranjem funkcije )(tX , dobijene iz rešenja matematičkog problema nestacionarne difuzije vlage u poroznom sloju materijala koji se suši vazduhom. Radi pojednostavljenja izvođenja, poćićemo od jednodimenzione difuzije vlage u sloju, jedn. (7.40-7.47), tj. od funkcije (7.45):

)()()( 2spws XXLtDXtX −⋅θ+=

τ

321

gde je,

[ ]( )∑∞

= π+τπ+−=τθ

022

22

5.0

)5.0(exp2)(

i i

i

Za veća bezdimenziona vremena τ , funkcija )(τθ se može aproksimirati prvim članom reda:

( )

2.0,4

4exp2)(

2

2

>τπ

τπ−≈τθ

157

što za srednju vlažnost u funkciji od vremena daje:

( )spw

s XXtL

DXtX −

π−π+=

2

2

2 4exp

8)(

Preostaje da poslednji izraz diferenciramo:

( ) ( )84

8

4exp

4

8 2

2

2

22

2

2

2

2

π−−π−π−=

π−

π−−π=

sp

swsp

wwsp XX

XX

L

DXXt

L

D

L

DXX

dt

Xd

( ) ( )ssw XXkXX

L

Dr

dt

Xd−=−

π==−

2

2

4 (7.65)

Dobili smo dakle izraz (7.64) i pokazali da je on konzistentan sa teorijom unutrašnje difuzije vlage. Za konstantu brzine teorijski smo izveli:

2

2

4L

Dk wπ= (7.66)

Nakon što srednji sadržaj vlage u materijalu padne ispod druge kritične vlažnosti (maksimalne higroskopne vlažnosti) mehanizam difuzije vlage u materijalu se menja, što kao rezultat ima nižu vrednost efektivnog koeficijenta difuzije, wD . Znači da se nagib i

odsečak u pravolinijskoj zavisnosti (7.64) menjaju u posmatranoj kriti čnoj tački i to tako što se nagib tj. konstanta brzine sušenja smanjuje a odsečak povećava (smanjuje po apsolutnoj vrednosti). Promena nagiba tj. konstante brzine se može obrazložiti i na osnovu analogije sa hemijskom kinetikom, tj. na bazi Arenijusovog zakona:

)exp(0 gRTEkk −= (7.67)

U drugom periodu opadajuće brzine sušenja, počinje da se uklanja vlaga koja je vezana adsorpcionim silama, što znači povećanje energije aktivacije E za oslobađanje vlage, a to prema (7.67) znači smanjenje konstante brzine k.

Procenjivanje parametara u linearnom izrazu za brzinu sušenja (7.64) u prvom i drugom periodu opadajuće brzine iz eksperimentalnih podataka o krivoj sušenja (vidi Sl. 7.6) zahteva sledeće korake:

1. Diferenciranje eksperimentalnih podataka koji pripadaju periodu opadajuće brzine sušenja (dakle izuzimamo tačke koje pripadaju peridu konstantne brzine sušenja), radi izračunavanja brzina sušenja u pojedinim momentima;

2. Formiranje tabele: vlažnost - brzina sušenja i ucrtavanje tačaka iz tabele u dijagram;

3. Uočavanje 'tačke preloma' linearnog trenda, tj. približno lociranje druge kritične tačke;

4. Izračunavanje traženih parametara: nagiba i odsečaka pravih koje fituju dobijene podatke o brzinama u prvom i drugom periodu opadajuće brzine sušenja

158

'Kriti čan' korak u opisanom postupku je diferenciranje eksperimentalnih podataka, koje je veoma osetljivo na greške merenja i odabrani postupak (vidi Dodatak B). Da bi se u što većoj meri smanjio uticaj grešaka merenja, neophodno je na neki način 'uglačati' (smooth) polazne podatke, tj. eliminisati u izvesnoj meri eksperimentalne greške. Jedan način da se to postigne je:

1. Fitovanje podataka u oblasti opadajuće brzine sušenja, metodom najmanjih kvadrata, polinomom odabranog stepena, odnosno definisanje jednačine krive sušenja u toj oblasti u obliku polinoma )(tPm

2. Izračunavanje traženih brzina diferenciranjem dobijenog polinoma.

Postoji neki optimalan stepen polinoma. Naime, ako je stepen polinoma suviše mali, biće nizak kvalitet fitovanja, što će kao rezultat imati loše vrednosti izvoda. Ako je pak stepen polinoma suviše velik (mala razlika broja tačaka i stepena polinoma), on počinje da se ponaša slično interpolacionom polinomu tj. da 'vijuga' (vidi Dodatak B), što kao rezultat opet ima loše procene izvoda. Kao kriterijum za izbor optimalnog stepena polinoma može se usvojiti grafički kriterijum : u kojoj su meri izračunate tačke u dijagramu vlažnost - brzina sušenja u skladu sa prihvaćenim matematičkim modelom (7.64) za brzinu sušenja. Opisanom obradom podataka datih na slici 7.6 , uz korišćenje polinoma 5. stepena za fitovanje podataka u periodu opadajuće brzine sušenja, dobijene su tačke i odgovarajuće linije brzina sušenja, prikazane na Sl.7.7.

Slika 7.7. Brzine sušenja kriški jabuka dobijene iz eksperimentalnih podataka datih na

Slici 7.6.

159

PRIMER 7.17. Date su izmerene vlažnosti kriški jabuka u toku sušenja vazduhom (Toledo, 2007, E12.12).

a) Proceniti brzinu sušenja u periodu njene konstantne vrednosti.

b) Odabrati opisanim postupkom optimalan stepen polinoma koji fituje eksperimentalne tačke u periodu opadajuće brzine sušenja (Mathcad, P 7.17)

Tabela uz Primer 7.17.

)(mint )( smw kgkgX )(mint )( smw kgkgX )(mint )( smw kgkgX 0 5.78 25 1.90 50 0.63

5 5.08 30 1.51 55 0.50

10 4.25 35 1.15 60 0.41

15 3.40 40 0.99 65 0.34

20 2.55 45 0.79 70 0.28

Na Slici 7.8 , skiciran je dijagram zavisnosti brzine sušenja od sadržaja vlage, prema izloženom matematičkom modelu. Označene su karakteristi čne tačke na pravim linijama. U preseku produžetka prave linije, koja opisuje opadajuću brzinu u prvom periodu 1r , sa apscisnom osom, dobija se prva rezidualna vlažnost 1,rX , u kojoj bi

brzina sušenja postala jednaka nuli. U preseku produžetka prave linije za opadajuću brzinu sušenja 2r u drugom periodu i apscisne ose dobija se druga rezidualna vlažnost

2,rX , koja je teorijski jednaka ravnotežnoj vlažnošti sX .

Slika 7.8. Brzina sušenja u funkciji od sadržaja vlage.

−0X početna vlažnost, −1,cX prva kritična vlažnost, −2,cX druga kritična vlažnost,

−1,rX prva rezidualna vlažnost, −2,rX druga rezidualna vlažnost

222 )( mXkXr +=

111 )( mXkXr +=

2,rX 1,rX 1,cX 0X

cr

X 0

2,cX

r

160

U intervalu [ ]01, , XXc , gde je 0X početni sadržaj vlage, brzina je opisana

horizontalnom pravom: crr = . U intervalu ograničenom prvom i drugom kritičnom

tačkom, [ ]1,2, , cc XX važi opadajuća linearna zavisnost sa nagibom 1k i konačno, u

intervalu [ ]2,2, , cr XX , važi opadajuća linearna zavisnost sa nagibom 12 kk < . Preko

karakterističnih tačaka, izrazi za brzine sušenja se mogu formulisati na sledeći način:

Period konstantne brzine sušenja,

01,., XXXzaconstrr cc ≤<== (7.68a)

Prvi period opadajuće brzine sušenja,

( ) 1,2,1,1,1,

1 ,)( ccrrc

c XXXXXXX

rXrr ≤<−

−== za (7.68b)

Drugi period opadajuće brzine sušenja,

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2,2,

2,2,2,1,1,

1,2,2,

2,2,

2,12

,)()( cr

rrcrc

rccr

rc

c XXXXXXXXX

XXrXX

XX

XrXr ≤<−

−−

−=−

−= za (7.68c)

Na osnovu Slike 7.8, lako je izvesti sledeće formule za izračunavanje karakteristi čnih tačaka iz prethodno, na opisan način izračunatih vrednosti konstantne brzine sušenja cr , nagiba pravolinijskiih zavisnosti brzina sušenja u 1. i 2. periodu, 21 i kk i

njihovih odsečaka 21 i mm . Naime, one pretstavljaju ili međusobne preseke pravih ili preseke pravih sa X - osom. Tako imamo:

1

11, k

mrX c

c

−= (7.69a)

12

212, kk

mmXc

−

−= (7.69b)

1

11, k

mX r −= (7.69c)

2

22, k

mX r −= (7.69d)

Po pravilu, druga rezidualna vlažnost 2,rX , koja je teorijski jednaka ravnotežnoj

vlažnosti, ima vrednost blisku nuli . Zbog grešaka u eksperimentalnim podacima, moguće je kao rezultat fitovanja dobiti malu pozitivnu vrednost za odsečak 2m druge prave, što će

kao rezultat imati negativnu vrednost za 2,rX . Pošto ona nema fizičkog smisla,

predlažemo da se u takvim slučajevima usvoji nulta vrednost odsečka, tj. 02, =rX i da se

potom ponovo izračuna nagib druge prave2k , metodom najmanjih kvadrata, kao nagib prave koja prolazi kroz koordinatni početak (vidi primer D.5) i sa tom vrednošću izračuna

2,cX formulom (7.69b).

161

Treba napomenuti da se pri sušenju nekih materijala ne uočava drugi period opadajuće brzine sušenja, tj. da postoji samo jedna kriti čna vlažnost, kao i jedna rezidualna vlažnost, jednaka ravnotežnoj vlažnosti materijala:

srrcc XXXXX === 1,1, ,

Tada, u oblasti 0XXXc ≤< važi jedn.(7.68a), a u oblasti cr XXX ≤< :

( ) crrrc

c XXXXXXX

rXr ≤<−

−= ,)( (7.70)

Izračunavanje vremena sušenja iz brzine sušenja

Ukupno vreme sušenja τ , potrebno da bi se sadržaj vlage od početnog 0X sveo na

zadati zX , procenjujemo kao zbir tri vremena :

21 τ+τ+τ=τ c (7.71)

−τc trajanje početne faze u kojoj je brzina sušenja konstantna

−τ1 trajanje prve faze opadajuće brzine sušenja

−τ2 vreme potrebno da se, tokom druge faze opadajuće brzine

sušenja, sadržaj vlage svede na zadati nivo zX

Polazeći od definicije brzine (7.60), pojedina vremena dobijamo integracijom, kao,

∫pk

X

X xr

dx

)(

gde je )(xr izraz za brzinu sušenja koji važi u posmatranom periodu (jedan od izraza

7.68a, b ili c) a pk XX i krajnji i početni sadržaj vlage za taj period. Na opisani način

izvodimo sledeće izraze za pojedina vremena u zbiru (7.71):

c

cc r

XX 1,0 −=τ (7.72a)

1,2,

1,1,1,1,1 ln

rc

rc

c

rc

XX

XX

r

XX

−

−−=τ (7.72b)

( )( )

( ) 2,

2,2,

1,2,

2,2,1,1,2 ln

rz

rc

rcc

rcrc

XX

XX

XXr

XXXX

−

−

−

−−=τ (7.72c)

gde su zXX i 0 polazni i krajnji - zadati sadržaj vlage.

162

U slučaju da postoji samo jedan period opadajuće brzine sušenja, vreme sušenja je jednako zbiru,

1τ+τ=τ c (7.73)

gde se cτ računa po formuli (7.72a), a 1τ kao:

rz

rc

c

rc

XX

XX

r

XX

−

−−=τ ln1 (7.74)

PRIMER 7.18. Iz podataka datih u prethodnom primeru, proceniti vreme sušenja da bi se sadržaj vlage sveo od početnog 15.0 do 78.50 == zXX (Mathcad,. P 7.18)

7.5 Primena kineti čkih podataka u prora čunu sušnice

Na Slici 7.9, data je šema tokova materijala koji se suši i vazduha za sušenje u konvektivnoj kontinualnoj suprotno-strujnoj sušnici sa pokretnom trakom (belt dryer). Naznačene su i ulazne i izlazne vlažnosti vazduha i materijala, kao i pozicija na kojoj vlažnost materijala dostiže kritičnu vrednost ispod koje brzina sušenja opada sa vlažnošću i sama kritična vlažnost materijala cX . Na toj poziciji, vlažnost vazduha je cχ . Tako ćemo sušnicu da podelimo na dve zone:

• 1. zona u kojoj brzina sušenja materijala ne zavisi od njegove vlažnosti;

• 2. zona u kojoj brzina sušenja opada sa opadanjem vlažnosti materijala

Radi pojednostavljenja problema, pretpostavićemo da postoji samo jedan period opadajuće brzine sušenja u toku kretanja materijala kroz drugu zonu.

Slika 7.9. Šema konvektivne suprotno-strujne sušnice

Vreme boravka materijala u kontinualnoj konvektivnoj sušnici se uzima jednakim izračunatom vremenu sušenja iz kinetičkih podataka (jedn. 7.71-7.74). Vreme boravka, s druge strane, povezuje kapacitet sušnice (ukupna masa materijala u sušnici) i njenu proizvodnost (maseni protok suve materije):

2. zona

cχ=χ

1. zona

2X 1X

2χ 1χ

cXX =

materijal

vazduh

163

τ

= smsm

Mm ,

odnosno:

sm

sm

m

M=τ (7.75a)

−smM ukupna masa suve materije u sušnici, kg

−smm maseni protok suve materije, skg

Takođe, vreme boravka je jednako odnosu dužine sušnice (komore), i brzine kretanja materijala kroz sušnicu:

w

L=τ (7.75b)

L - dužina sušnice, m

w - brzina kretanja materijala kroz sušnicu, sm

Primena vremena sušenja u proračunu sušnice ilustrovana je sledećim primerom.

PRIMER 7.19. Potrebno je projektovati kontinualnu suprotnostrujnu sušnicu za sušenje hkg500 vlažnog materijala od 60% do 10% vlažnosti (vlažna osnova). Ravnotežna vlaga

materijala za uslove u sušnici je %5 (vlažna osnova) a kritična vlažnost je 30% (vlažna osnova). U prethodnim istraživanjima, pokazalo se da postoji samo jedan period opadajuće brzine sušenja.Za sušenje se koristi vazduh temperature C066 sa temperaturom vlažne kugle termometra CTw

030= , a na izlazu iz sušnice, vazduh treba da ima relativnu

vlažnost 0.4. Pretpostaviti adijabatsko vlaženje vazduha u sušnici. Vlažan materijal ima gustinu 3920 mkg . Materijal prolazi kroz tunel sušnice u kolicima koja sadrže po 14 tacni od kojih je svaka široka 122 cm, dugačka (dimenzija u pravcu ose tunela) 76 cm i duboka 5cm. Rastojanje između tacni je 10 cm. Debljina sloja materijala u tacnama je 0.5in. Razmak između kolica u tunelu je 30cm. Površina poprečnog preseka tunela je 2.93

2m . Izračunati,

a) Konstantnu brzinu sušenja i ukupno vreme sušenja materijala.

b) Dužinu tunela. (Mathcad, fajl P 7.19)

Površina sušenja i vreme boravka materijala u supro tno-strujnim konvektivnim sušnicama

U prvoj zoni sušnice (Sl.7.9), površina materijala je prekrivena filmom vode, pa je količina uklonjene vlage iz elementarne količine materijala, čija je površina sušenja jednaka dA:

( )dAdm ww χ−χβ= 0 (7.76)

164

gde su, −βw koeficijent prelaza pare, ( )smkg 2

−χ0 vlažnost zasićenog vazduha na temperaturi materijala;

−χ vlažnost struje vazduha na posmatranoj poziciji Istu količinu vlage prima vazduh, pa imamo:

( )dAdmdm wsvw χ−χβ=χ= 0

gde je, −svm maseni protok suvog vazduha, skg

Integracijom poslednje jednačine u granicama 2χ do cχ dobijamo ukupnu površinu sušenja u prvoj zoni sušenja:

2

0

0

1 ln χ−χχ−χ

β= c

w

svmA (7.77)

−χ2 vlažnost vazduha na izlazu iz sušnice

−χc vlažnost vazduha na granici između zona (vidi Sl. 7.9)

Da bi smo izračunali površinu sušenja u drugoj zoni sušnice, poćićemo od bilansa vlage: količina vlage koju u jedinici vremena primi vazduh, tačno je jednaka količini vlage uklonjenoj iz materijala u jedinici vremena:

dt

dm

dt

dXm

dt

dmsvsm

w χ=−= (7.78)

gde je, −smm maseni protok suve materije u materijalu, skg

Promena vlažnosti materijala u jedinici vremena jednaka je brzini sušenja sa negativnim predznakom, za koju važi jedn. (7.70):

( )rrc

c XXXX

rXr

dt

dX−

−==− )( (7.79)

Iz poslednje dve jednačine sledi,

dt

dm

XX

XXrm sv

rc

rcsm

χ=−−

(7.80)

Treba imati u vidu da se vrednost konstantne brzine sušenja cr , koja figuriše u poslednjim dvema jednačinama) menja duž zone jer je definisana fluksom vlage u skladu sa jedn.( 7.76):

165

( )dt

dArm

dt

dXm

dt

dmwcsmsm

w χ−χβ==−= 0 (7.81)

Iz poslednje dve jednačine dobijamo:

( )dt

dm

dt

dA

XX

XXsvw

rc

r χ=χ−χβ−− 0

odnosno,

( ) ( )( )χ−χ−χ=−

β0

rsvrc

w

XX

ddA

mXX (7.82)

Da bi smo mogli da izvršimo integraciju, neophodno je eliminisati vlažnost materijala X koja se menja duž zone, tj. izraziti je preko vlažnosti vazduha. Vezu između te dve vlažnosti daje materijalni bilans vlage za posmatranu zonu:

( ) ( )12 χ−χ=− svsm mXXm

iz koga sledi,

( )12 χ−χ+= vmqXX (7.83)

gde je,

smsvvm mmq = (7.83a)

odnos masenih protoka suvog vazduha i suve materije. Smena (8.83) u (7.82) daje:

( ) ( ) ( )[ ]120 χ−χ+−χ−χ

χ=−β

vmrsvrc

w

qXX

ddA

mXX

i ako uvedemo veličinu u, koja predstavlja razliku vlažnosti i rezidualne vlažnosti materijala,

rXXu −= (7.84)

dobijamo,

( ) ( )[ ]120 χ−χ+χ−χ

χ=βvmsvc

w

qu

ddA

mu (7.85)

Rezultat integracije poslednje jednačine u granicama cχ do 1χ , daje ukupnu površinu sušenja u drugoj zoni:

( )[ ] ( )[ ]( )( )c

cvm

vmw

svc

u

qu

qu

muA χ−χ

χ−χχ−χ+χ−χ+β=

02

10

12

10

22 ln (7.86)

gde su,

166

−cu razlika kritične i rezidualne vlažnosti materijala;

−2u razlika izlazne vlažnosti materijala i rezidualne vlažnosti.

Jednačina (7.86) se može nešto uprostiti imajući u vidu vezu između veličina 2u i cu ,

( )12 χ−χ+= cvmc quu (7.87)

koju dobijamo primenivši jedn. (7.82) na kritičnu tačku. Tako je konačan rezultat:

( )[ ] ( )( )c

c

cvmcw

svc

u

u

qu

muA χ−χ

χ−χχ−χ+β=

02

10

02 ln (7.88)

Ukupnu površinu sušenja A dobijamo kao zbir :

21 AAA += (7.89)

Ona definiše vreme boravka materijala u sušnici relacijom:

sm

A

sm

=τ (7.90)

gde je s specifična površina kontakta materijala sa vazduhom u sušnici, ili specifična površina isparavanja, definisana kao površina kontakta po kg suve materije.

PRIMER 7.20 U suprotno-strujnoj konvektivnoj sušnici, suši se materijal od 50% do 3.5% vlage (vlažna osnova). Kapacitet sušnice je 2260 hkg vlažnog materijala.

Specifična površina isparavanja za dati materijal je kgm20615.0 . Kritična vlažnost materijala je 20%, a ravnotežna vlažnost na uslovima sušenja 1.5% (vlažna osnova). Temperatura i relativna vlažnost vazduha na ulazu su: 5.0,20 1

01, =ϕ= CTv , a na izlazu:

2.0,63 10

2, =ϕ= CTv . Vlažnost zasićenog vlažnog vazduha na temperaturi materijala je

0495.00 =χ Koeficijent prelaza vlage sa površine materijala u vazduh ima vrednost

)(129 2hmkgw =β . Izračunati vreme boravka materijala u sušnici . (Mathcad,. P 7.20)

ZADACI

7.1. Pored Haslijeve jednačine (Primer 7.2), može se u literaturi naći još izvestan broj empirijskih izraza za sorpcione izoterme. Navodimo sledeće tri jednačine: Hendersonova: ( ) 0,,exp1 >−−= baaXa b

sw

Osvinova (Oswin) : ba

aaX

w

ws +

−=1

Smitova (Smith) : )1ln( ws abaX −−=

167

a) Odrediti pomoću grafičkog kriterijuma koja od te tri jednačine najbolje fituje date podatke (Toledo, 2007, P 12.10) o sorpcionoj izotermi šargarepe?

b) Izračunati parametre u odabranoj jednačini i uporediti je sa GAB jednačinom u pogledu kvaliteta fitovanja datih podataka..

Tabela uz Zadatak 1.

wa : 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

sX : 0.0045 0.009 0.0125 0.016 0.019 0.0225 0.025 0.028 0.031 0.034

7.2. Formulisati jednačinu koja definiše liniju konstantne relativne vlažnosti ϕ u χ−T dijagramu vlažnog vazduha. Specijalno, kako glasi jednačina ϕ - linije za zasićen vazduh?

7.3. Formulisati jednačinu prave linije .constTw = u χ−T dijagramu vlažnog vazduha.

7.4. Rešiti Primer 7.5 u Mathcad-u.

7.5. Naći temperaturu rose za vazduh temperature C040 i relativne vlažnosti 8.0=ϕ .

7.6. Temperatura suve kugle termometra je C040 , a temperatura vlažne kugle C035 . Odrediti relativnu vlažnost vazduha, normalnog pritiska.

7.7. Izračunati entalpiju i sadržaj vlage vazduha temperature C060 i rel. vlažnosti 3.0=ϕ , na normalnom pritisku.

7.8. Vazduh normalnog pritiska, temperature C024 i relativne vlažnosti 7.0=ϕ se zagreva

u grejaču do C090 . Izračunati entalpiju i vlažnost vazduha koji izlazi iz grejača.

7.9. Vazduh normalnog pritiska, temperature C025 i relativne vlažnosti %50 se zagreva do C0175 . Odrediti relativnu vlažnost i temperaturu vlažne kugle zagrejanog vazduha.

7.10. Na normalnom pritisku, meša se 0.15skg pregrejane pare, temperature 400K sa

5 skg vazduha, temperature 320K i vlažnosti 20%.

a) Izračunati temperaturu, entalpiju i vlažnost rezultujuće struje vlažnog vazduha

b) Koliko bi bilo potrebno pregrejane pare, da bi se postigla temperatura rezultujućeg vazduha od 330K?

7.11. U sušnici kapaciteta hkg1000 vlažnog materijala, suše se šljive od %5.6 do %5.13

vlage (vlažna osnova). U predgrejač ulazi vazduh temperature C025 sa kg01.0 vlage po

kilogramu suvog vazduha. Iz sušnice vazduh izlazi sa temperaturom C051 i relativnom vlažnošću od %50 . Izračunati,

a) Potrebnu količinu vazduha,

b) Potrošnju suvo-zasićene pare, pritiska bar5.2

7.12. U komori za sušenje raspršavanjem, kapaciteta hkg600 uklonjene vlage, dovodi se

već upareno mleko temperature C043 i suši se od %60 vlage do %4 (vlažna osnova). Vazduh ulazi u predgrejač sa temperaturom C020 i relativnom vlažnošću od %70 , a izlazi sa temperaturom C0160 . Vazduh izlazi iz sušnice sa vlažnošću : 041.0 . Odrediti,

168

a) Ulazni protok mleka

b) Potrebnu količinu suvozasićene pare )3( barps = za zagrevanje vazduha

c) Temperaturu vazduha na izlazu iz sušnice.

7.13. U komoru za sušenje raspršavanjem, kapaciteta hlb9.6 vlažnog materijala, uvodi se materijal sa 97.8% vlage (vlažna osnova) i suši do 5.5% vlage (vlažna osnova). Spoljašnji vazduh, temperature 26.1C0 i vlažnosti 20% se pre uvođenja u sušnicu zagreva do 200C0 . Temperatura izlaznog vazduha je 93.3C0 . Izračunati,

a) Količinu vlage koja se ukloni u jedinici vremena i vlažnost izlaznog vazduha

b) Protok suvog vazduha i utrošak toplote za idealnu sušnicu.

c) U istoj sušnici, suši se materijal od 98% do 2% vlage (vlažna osnova). Protok suvog vazduha ostaje isti, a temperatura ulaznog vazduha se podigne na 226.7C0 . Relativna vlažnost izlaznog vazduha ostaje na istom nivou. Izračunati kapacitet sušnice po vlažnom materijalu i utrošak toplote.

Proračun izvršiti na dva načina: 1) koristeći uslov jednakosti temperatura vlažnog termometra, 2) koristeći uslov jednakosti entalpija.

7.14. U sušnici se suši hlb100 voća od 90% do 10% vlage (vlažna osnova) u zimskim

uslovima, kada spoljnji vazduh ima temperaturu F010 i 100% vlažnost, a izlazni vazduh ima temperaturu F0100 . Ulazni vazduh se uvodi u sušnicu sa temperaturom od F0150 .

a) Do koje vlažnosti se osuši u datoj sušnici voće u letnim uslovima, kada spoljašnji vazduh ima temperaturu F090 i vlažnost 80%, a temperatura ulaznog vazduha i vlažnost izlaznog vazduha se održavaju na istom nivou kao u zimskom periodu? Kapacitet sušnice po vlažnom materijalu i utrošak suvog vazduha (skg ) ostaju isti.

b) Uporediti utroške toplote u letnjem i zimskom režimu.

U proračunu koristiti uslov jednakosti temperatura vlažnog termometra.

7.15. Na predgrevanje se dovodi 1800 hm3 vazduha, temperature C018 i relativne

vlažnosti %50 . Nakon predgrevanja do C0140 , on prolazi kroz prvu sekciju sušnice i napušta je sa relativnom vlažnošću od 60%. Nakon toga se zagreva do C0140 i prolazi kroz drugu sekciju i izlazi sa relativnom vlažnošću od 60%. Proceniti,

a) Ukupnu potrebnu energiju za predgrevanje vazduha (W)

b) Uklonjenu vlagu iz materijala koji se suši, po času.

U proračunu koristiti uslov jednakosti temperatura vlažnog termometra.

7.16. U idealnoj sušnici sa recirkulacijom vazduha, spoljnji vazduh )015.0,25( 0 =χ= CT i povratni vazduh se mešaju u odnosu 3:1 (količine suvog vazduha) i u predgrejač uvodi ukupno hkg40000 suvog vazduha. Izlazni vazduh iz sušnice ima relativnu vlažnost

%70 i temperaturu C043 . Materijal se suši od %60 do %25 vlage (vlažna osnova). Za zagrevanje vazduha se koristi suvozasićena para pritiska 2.2 bar. Izračunati,

a) Kapacitet sušnice po osušenom materijalu

b) Potrošnju pare.

169

7.17. U dvostepenu idealnu sušnicu se uvodi hkg2000 vlažnog materijala i suši se od

%55 do %25 vlage (vlažna osnova). Spoljnji vazduh je temperature C018 i relativne vlažnosti %60 . Na ulazu u I stepen, vazduh se zagreva u kaloriferu do C090 , a na ulazu u II stepen, dogreva do C070 . Temperatura vazduha na izlazu iz I i II stepena je C050 . Izračunati potrošnju vazduha i toplote. U proračunu koristiti uslov jednakosti entalpija.

7.18. U četvorostepenoj sušnici, kapaciteta 1000hkg vlažnog materijala, suši se kazein sa 60% vlage do 12% vlage (vlažna osnova). Maksimalna dozvoljena temperatura vazduha za sušenje je C080 . Temperatura spoljašnjeg vazduha je C020 , a relativna vlažnost %70 . Vazduh izlazi iz svakog od stupnjeva sa temperaturom C055 . Izračunati potrebnu količinu vazduha i potrošnju grejne pare )5.2( barps = , ako toplotni gubici iznose 10% .U proračunu koristiti uslov jednakosti entalpija.

7.19. Formulisati matematički model izotermske difuzije vlage u sloju debljine L, ako su otpori unutrašnjoj i spoljašnoj difuziji vlage istog reda veličine i to ako je sloj izložen dejstvu vazduha za sušenje: a) sa obe strane; b) samo sa jedne strane.

7.20. Koristeći analogiju sa nestacionarnom kondukcijom toplote, formulisati diferencijalnu jednačinu u bezdimenzionom obliku za izotermsku difuziju vlage kroz porozno telo oblika sfere i to za slučajeve a) umerenih i b) vrlo velikih Biot-ovih difuzionih brojeva.

7.21. Izvesti izraz za dvodimenzionalni profil sadržaja vlage ),( yxX u komadu materijala oblika dugog štapića preseka dimenzija ba× , pri sušenju vazduhom sa svih strana, uz pretpostavke: (1) izotermičnost procesa, (2) otpor unutrašnjoj difuziji vlage je daleko veći od otpora spoljašnjoj difuziji, ako su Furijeovi brojevi za oba koordinatna pravca x i y ,

a) Manji od 0.2; b) Veći od 0.2

7.22. Izvesti formulu (7.54) i to: a) Polazeći od jedn. (7.53); b) Primenujući princip superpozicije

7.23. Komadići banane, debljine 3mm se suše vazduhom rel. vlažnosti 5% )0017.0( =sX u procesu proizvodnje banana čipsa. Dobijeni su sledeći eksperimentalni

podaci o sadržaju vlage u komadićima banane, u toku sušenja, pri čemu su merenja počela od momenta, kada je sadržaj vlage bio materije suve5.1 kgkg .

Tabela uz Zadatak 7.23

t, min 5 10 15 20 30

sX 0.536 0.252 0.110 0.047 0.015

Proceniti koeficijent difuzije vlage pri sušenju.

7.24. Kockice nekog povrća, veličine 1cm, sušene su vazduhom rel. vlažnosti 4% )0015.0( =sX . Mereni su sadržaji vlage od momenta kada je vlažnost bila

sm8.1 kgkg (Tabela). Proceniti koeficijent difuzije vlage pri sušenju povrća.

170

Tabela uz Zadatak 7.24

t, min 5 10 20 30 40

sX 0.82 0.54 0.29 0.13 0.082

7.25. Komadići nekog povrća, oblika dugih štapića preseka cmcm 5.11 × , suše se u

vazduhu relativne vlažnosti 5% )019.0( =sX . Početni sadržaj vlage je

sm5.1 kgkg .Koeficijent difuzije vlage u toku sušenja je smDw29103.5 −×= .

Pretpostavljajući izotermičnost i vrlo veliki Biot-ov difuzioni broj,

a) Izračunati sadržaj vlage nakon: (1) 15 min sušenja, (2) 45 min sušenja, koristeći pri tom ako je opravdano, aproksimativno rešenje modela;

b) Izračunati potrebno vreme sušenja, da bi se sadržaj vlage sveo na materije suve1.0 kgkg

7.26. Dati su eksperimentalni podaci, dobijeni pri sušenju nekog prehrambenog proizvoda gustine 3947 mkg i vlažnosti 89.7% (vlažna osnova), u sloju debljiine cm5.2 . Sušenje je

izvedeno pri brzini vazduha od 65sm , temperature C082 i normalnog pritiska.

Temperatura vlažne kugle termometra za vazduh bila je C043 .

Tabela uz Zadatak 7.26

t, min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

masa,kg 24.0 17.4 12.9 9.7 7.8 6.2 5.2 4.5 3.9 3.5

a) Formulisati kinetički model sušenja pri čemu diferenciranje podataka treba izvesti diferenciranjem odgovarajućeg: 1) kubnog splajna (pspline), 2) polinoma 5. stepena.

b) Proceniti neophodno vreme sušenja proizvoda od 91% do 12% (vlažna osnova) vlage, u sloju debljine 2.5cm. Uporediti rezultate dobijene iz modela a1) i a2)

c) Proceniti za koliko se vreme sušenja menja, ako se materijal suši u sloju debljine 3.5cm, koristeći model a2).

7.27 200 hlb materijala sa 80% vode se suši do 30% vode u kontinulanoj suprotno-

strujnoj sušnici sa trakom (belt dryer). Gustina suve materije u materijalu je 12 3ftlb .

Ulazni vazduh, dobijen predgrevanjem spoljašnjeg vazduha temperature F080 i vlažnosti 80%, ima temperaturu F0180 . Vazduh izlazi iz sušnice sa vlažnošću od 60%. Kritična vlažnost materijala je 28%(vlažna osnova). Sušnica je široka 4ft, a debljina sloja na traci je 2in. Rastojanje od vrha sloja materijala do plafona sušnice je 10in. Izračunati,

a) Brzinu sušenja materijala u sušnici;

b) Dužinu sušnice;

c) Brzinu kretanja trake.