7 tRIGoNometRI Trigonometri handlar om sidor och vinklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans”trigonon”(trevinklar)och”métron”(mått).Trigonometrihar använts under de senaste 2000 åren inom astronomi, lantmäteri och navigation. Används numera också inom t ex ellära och optik.

SäkertminnsdufrånM1aattdenrätvinkligatriangelnhartvåkateter.Eftersom det är viktigt att man vet vilken som är vilken av dessa kateter, kallas de närliggande respektive motstående katet, och då utgår man från en av de spetsiga vinklarna.

Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet. Den katet som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet.

motstående katet

närliggande katet

hypotenusa

v

E X E M P E L 1

Bestäm den sida som är markerad med x.

Definitionen av cosinus gerx

cos347,1

° =

x = 7,1 · cos 34°

x ≈ 5,9

svar:Sidanär5,9cm.

= =v

a

csin

motstående katethypotenusa

= =vb

ccos

närliggande katethypotenusa

= =va

btan

motstående katetnärliggande katet

!

7,1

x34°

(cm)

vb

ac

FÖRDJUPNING

2137 trigonometri

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

E X E M P E L 2

Bestäm vinkeln v.Svaraihelagrader.

Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v.

vtan3115

=

v ≈ 64° (64, 17…)

svar: 64°

E X E M P E L 3

I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren.

Beräkna triangelns omkrets och area.

Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur.

asin38

10,8° =

a10,8

sin38=

°

a ≈ 17,54...

Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas. Omkretsen = (2 · 17,54… + 21,6) cm ≈ 56,7 cm.

Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd.

btan38

10,8° =

b10,8

tan38=

°

b ≈ 13,82

Triangelnsareaär13,82 21,6

2149

⋅≈

svar: Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2.

v15

31

(cm)

38°

10,8 cm

b a

76°

21,6 cm

FÖRDJUPNING

214 7 trigonometri

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

152 Beräkna de markerade vinklarna. Svaraihelagrader.

a)5

11

v

b)

v

5

3

c) d)

9

v

5

2

7

v

153 Beräkna den sida som är markerad med x. Avrunda till två värdesiffror.a) b)

15 cmx

27°

31 dm

x35°

c)

d)17 cm

x

42° 23 m

x19°

154 I en rätvinklig triangel är kateterna 36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta vinkel.

155 Tittapårektangeln.a) Beräkna vinkeln v i hela grader.

b) Beräkna rektangelns area i hela m2. v

23,515,1

(m)

156 TriangelnABC är likbent. Beräkna medtvåvärdesiffrortriangelnsa) omkrets b) area.

157 Utgå från en vinkel x. Förklara varför sin x och cos x inte kan bli större än 1, medan däremot tan x kan bli hur stort som helst.

B

A C10,2

37° 37°

(cm)

FÖRDJUPNING

2157 trigonometri

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

158 Beräknatriangelnsareamedtvåvärdesiffror.

11,4

41°

8,2

(cm)

159 Rita, utan att använda gradskiva, en rätvinklig triangel som har en vinkel 58°. Förklara hur du tänker.

160 Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan?Svaramedendecimal.

y

x

P

4 le

37°

y

x

Q

5 le

80°

161 Beräkna husgavelns area.

9,2

31°

4,5

(m)

162 En båt seglar rakt mot en fyr enligt skissen nedan. Vid två punkter A och B mäter man vinkeln till fyrens topp. Avståndet mellan A och B är 530 m.a) Beräkna avståndet från B till fyren, dvs BC.

b) Beräkna hur högt över vattenytan som fyrens top ligger, dvs CT.

3,5°

530 m5,6°C B A

T

FÖRDJUPNING

216 7 trigonometri

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

8 vektoReR Man brukar skilja på skalärer och vektorer.

En vektor är en storhet som har både storlek och riktning. Exempel på vektorer är kraft, hastighet och acceleration.

En skalär en storhet som har en storlek, men saknar riktning. Exempel på skalärer är temperatur, area och energi.

En vektor markeras med ett streck ovanför beteckningen, t ex kraften F .

Vektorer visas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning.

Är några av dessa vektorer lika?

Ja u v= eftersom de är lika till både storlek och riktning.

u

w

v

A

B

AB

Här ska vi utgå från två parallella vektorer, nämligen de två krafterna F 1 = 3 N och F 2 = 2 N.

Hur blir det då dessa krafter adderas?

F1 = 3 N

F2 = 2 N

F1 = 3 N F2 = 2 N

R = F1 + F2 = 5 N

Bilden ovan visar att vi adderar vektorerna genom att låta dessa ”bita varandra i svansen” ! Resultatet av additionen kallas resultant och betecknas ofta R .

Låt oss nu addera en positiv och en negativ vektor, nämligen F 1 = 3 N och F 2 = –2 N.

De här vektorerna har motsatt riktning och olika storlek. När vi adderar vektorerna placerar vi den andra vektorn där den första vektorn slutar.

F1 = 3 N

–F2

R = F1 + (–F2) = 1 N

R

Summanavvektorerna,dvsresultanten R = 1 N.

FÖRDJUPNING

2178 vektorer

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

FÖRDJUPNING

218 8 vektorer

Tillsistskaviadderatvåvektorersominteärparallella.

Vi konstruerar resultanten genom att rita en parallellogram och dess diagonal, enligt bilden.

Nu gäller att diagonalen = resultanten.

E X E M P E L 1

Bilden visar vektorn F .

a) Rita vektorn 3 F .

b) Rita vektorn –2 F .

E X E M P E L 2

a) Bilden visar två vektorer u1 och u2.

Konstruera grafiskt u1 + u2.

Vi ser att summan (resultanten) blir diagonalen i en rektangel.

b) Beräkna summan algebraiskt.

SummanberäknasmedPythagorassats.

u2 = 32 + 42 ⇒ u = 5

svar: u = 5 m/s

F

3F

–2F

u1 = 3 m/s

u2 = 4 m/s

3 m/s

4 m/s

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

FÖRDJUPNING

2198 vektorer

163 Utgå från krafterna F1 = 24 N och F2 = 10 N. Hur stor blir krafternas summa om krafterna a) har samma riktning b) har motsatt riktning

c) är vinkelräta?

164 Här gäller att F = 6 N. Ange följande vektorers storlek.

a) 3 F b) F23

c) 4 F + F

165 Nedan ser du två vektorer u1 och u2. Bestäm genom att rita på rutat papper.a) u1 + u2. b) 2 u1 + u2.

u1

u2

166 Addera de tre vektorerna grafiskt och rita den resulterande vektorn.

u2

u1

u3

167 Utgå från två krafter som är 3 N och 5 N. Vilken blir det största respektive den minsta möjliga resultanten? Motivera!

168 Beräkna x då summan av de vinkelräta vektorerna F 1 = x och F 2 = 50 blir 130.

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

FÖRDJUPNING

220 9 vektorer och trigonometri

9 vektoReR och tRIGoNometRI När man använder vektorer i t ex fysiken, är vektorns riktning ofta angiven med en vinkel.

E X E M P E L 1

En basebollspelare skjuter med en vinkel på 42º med utgångshastigheten 25 m/s.

Bestäm hastighetens komposanter i x-led och y-led.

vy

v = 25 m/s

utslagsvinkel

höjd

vx

x

y

längd

v = 25 m/s

40°

Vi placerar vektorn i ett koordinatsystem och beräknar komposanterna.

cos4225

° = vx

ger vx = 25 · cos 42° ≈ 19

sin4225

° =vy

ger vy = 25 · sin 42° ≈ 17

vy

v = 25 m/s

utslagsvinkel

höjd

vx

x

y

längd

v = 25 m/s

40°

svar: vx ≈ 19 m/s vy ≈ 17 m/s

E X E M P E L 2

Bestäm vinkeln a mellan resultanten R och komposanten Fx.Svaraihelagrader.

cos a = 58

⇒ a ≈ 51,3

svar: a ≈ 51°

Iföljandeuppgifterärdetlämpligtattavrundatill2värdesiffror.

169 Beräkna komposanterna i x-led och y-led.

41°

v = 30 m/s

x

y

5 N

8 N

a

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

FÖRDJUPNING

2219 vektorer och trigonometri

170 Bestäm vinkeln a mellan en kraft F = 50 N och komposanten Fy = 30 N, när du vet att Fx = 40 N.

171 En kraft F kan delas upp i två komposanter, Fx och Fy enligt figuren. Hur stora blir Fx och Fy om F = 14 kN?

32°

FFy

Fx

172 Bestäm den resulterande kraften till storlek och riktning.

F1 = 25 N

F2 = 45 N

173 En bil åker nerför en brant backe med 15 graders lutning. Hastighetsmätaren visar 90 km/h. Dela upp hastigheten i en horisontell och en vertikal komposant.

174 En kraft med storleken 640 N delas upp i två mot varandra vinkelräta komposanter. Vinkeln mellan kraften och den ena komposanten är 29º. Beräkna komposanterna.

175 En kraft är uppdelad i två mot varandra vinkelräta komposanter. Den ena komposanten är 85 N och bildar vinkeln 63º med kraften. Beräkna resultantens storlek och den andra komposantens storlek.

176 Bestäm resultanten till storlek och riktning.

55°

35°

13 N

28 N

x

y

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber

FACIT

248 FACIT

7 TrIgonomETrI152 a) 27° b) 53°

a) 34° b) 16°

153 a) 6,8 cm b) 25 dmc) 25 cm d) 7,9 m

154 23°

155 a) 40° b) 272 m2

156 a) 23 cm b) 20 cm2

157 Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en triangel. Både i sinx och cosx dividerar vi med

hypotenusans längd. Här är alltså nämnaren större än täljaren, och svaret blir alltid mindre än 1. Vad gäller tanx, kan kvoten bli t ex 3/1 eller 7/2 osv.

158 31 cm2

159 Utgå från tan 58° ≈ 1,6 ⇒ motstående katet ska vara 1,6 gånger större än närliggande katet. Rita en triangel där t ex närliggande katet = 2 cm och motstående katet = 1,6 · 2 cm = 3,2 cm.

160 P ≈ (3,2; 2,4)

Q ≈ (0,9; 4,9)

161 54 m2

162 a) 880 m b) 86 m

8 vEKTorEr163 a) 34 N b) 14 N

c) 26 N

164 a) 18 N b) 4 N c) 30 N

165 a)

u1 u2

u1 + u2

b)

2u1 u2

2u1 + u2

166

u1

u3

u1 + u2 + u3

u2

167 Största resultanten = 3 N + 5 N = 8 N då krafterna har samma riktning. Minsta resultanten = 5 N – 3 N = 2 N då krafterna har motsatt riktning.

168 x = 120

9 vEKTorEr oCh TrIgonomETrI

169 vx ≈ 23 m/s vy ≈ 20 m/s

170 53°

171 Fx ≈ 12 kN Fy ≈ 7,4 kN

171 51 N riktad 29° snett uppåt

173 vx ≈ 87 m/s vy ≈ 23 m/s

174 560 N och 310 N

175 190 N och 170 N

176 31 N riktad 10° nedåt

M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber