-
FungsiFungsiFungsiFungsi
TrigonometriTrigonometriTrigonometriTrigonometri, , , ,
LogaritmikLogaritmikLogaritmikLogaritmik, , , ,
ddddanananan
EksponensialEksponensialEksponensialEksponensialddddanananan
EksponensialEksponensialEksponensialEksponensial
-
Turunan Fungsi Trigonometri
-
xxxxxx
x
xxx
dxxd
dxdy
+
=
+
==
sinsincoscossin
sin)sin(sin
xy sin= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, x menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x.
Oleh karena itu
xdx
xdcos
sin=
-
xxxxxx
x
xxx
dxxd
dxdy
=
+
==
cossinsincoscos
cos)cos(cos
xy cos= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, x menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x.
Oleh karena itu
xdx
xdsincos =
-
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk
dicari.
xxx
xxx
x
x
dxd
dxxd 2
22
2sec
cos
1cos
)sin(sincoscos
sintan==
=
=
xxx
xxx
x
x
dxd
dxxd 2
22
2csc
sin1
sin)(coscossin
sincoscot
=
=
=
=
xxx
x
x
x
xdxd
dxxd
tanseccos
sincos
)sin(0cos
1sec22 ==
=
=
xxx
x
x
x
xdxd
dxxd
cotcscsin
cos
sin)(cos0
sin1csc
22 =
=
=
=
-
Contoh:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad
merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir
pada kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC
adalah
dtdvCi CC =
( )6 ddvC === ( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdtd
dtdvCi CC ===
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
vC iCvCiC
t [detik]
-
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL
= 0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL
adalah
dtdiLv LL =
( ) tttdtd
dtdiLv LL 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 ====
vLiL
vL iL
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
-
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
-
xy 1sin = yx sin= ydydx cos=
ydxdy
cos
1=
21
1
xdxdy
=x1
21 x
y
ydxdy
sin1
= 21
1
xdxdy
=
x
1 21 xy
xy 1cos= yx cos= ydydx sin=
-
xy 1tan= yx tan= dyy
dx 2cos1
=
ydxdy 2cos= 21
1xdx
dy+
=x
1
21 x+y
xy 1cot= yx cot= dyy
dx 2sin1
=
ydxdy 2sin= 21
1xdx
dy+
=
x
121 x+y
-
xy 1sec=y
yxcos
1sec == dy
yxdx 2cos)sin(0
=
1
1
1
1sin
cos
2
22
2
=
==
xx
x
x
xyy
dxdy
1
x 12 xy
xy 1csc=y
yxsin
1csc == dy
yxdx 2sin)(cos0
=
1
1
1
1cos
sin
2
22
2
=
=
=
xx
x
x
xyy
dxdy
1x
12 x
y
-
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
-
dxdv
vdxdv
dvvd
dxvd
cos)(sin)(sin
==
dxdv
vdxdv
dvvd
dxvd
sin)(cos)(cos ==
Jika v = f(x), maka
dxdv
vdxdv
x
xx
v
v
dxd
dxvd 2
2
22sec
cos
sincoscos
sin)(tan=
+=
=
dxdxxvdxdx 2coscos
dxdv
vv
v
dxd
dxvd 2csc
sincos)(cot
=
=
dxdv
vvdxdv
v
v
vdxd
dxvd
tanseccos
sin0cos
1)(sec2 =
+=
=
dxdv
vvvdx
ddx
vdcotcsc
sin1)(csc
=
=
-
dxdw
wdxwd
2
1
1
1)(sin
=
dxdw
wdxwd
2
1
1
1)(cos
=
dxdw
wdxwd
2
1
11)(tan
+=
Jika w = f(x), maka
dxdw
wdxwd
2
1
11)(cot
+=
dxdw
wwdxwd
1
1)(sec2
1
=
dxdw
wwdxwd
1
1)(csc2
1
=
-
Fungsi Logaritmikdan
Fungsi EksponensialFungsi Eksponensial
-
Turunan Fungsi Logaritmik
)0( 1ln)(1
>== xdttxxfx
xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi
logaritmik
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x
1/t
1
234
56
y
=x
dtt
x1
1ln
Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut
antara t = 1 dan t = xx t
1/x x +x 1/(x+x)
01
0 1 2 3 4
=
+
= + xx
xdt
txx
xxx
dxxd 11)ln()ln(ln
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (x 1/x).
Namun jika x
makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (x 1/x);
dan jika x
mendekati nol luas tersebut sama dengan (x 1/x).
xdxxd 1ln
=
ln(x+x)lnx
-
Turunan Fungsi Eksponensial
xey = xexy == lnln
penurunan secara implisit di kedua sisi
11ln ==dxdy
ydxyd
xeydxdy
==atau . dx
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendirixey = xey = xey =
dst.
dxdv
edxdv
dvde
dxde vvv
==)(xvv =Jika
xey1tan
=
2
tan1tan
1tan
11
x
e
dxxd
edxdy xx
+==
