7-pertidaksamaan-kuadrat

PERTIDAKSAMAANKUADRAT

Standar Kompetensi 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

Kompetensi Dasar

2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan /atau fungsi kuadrat.

2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya

1 Modul Matematika 1/Pertidaksamaan

Kegiatan Belajar

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini , diharapkan Anda dapat:

Memahami pengertian pertidaksamaan kuadrat. Mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

A. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat (dalam x ) adalah pertidaksamaan dimana pangkat dari x adalah bilangan asli dan pangkat tertingginya adalah 2.

Contoh 1. 2 x2−3 x+6>0, adalah pertidaksamaan kuadrat dalam x karena pangkat dari x adalah bilangan asli

dan pangkat tertinggi dari x adalah 2.

2. 3 m2+7 m−6>−2adalah persamaan kuadrat dalam m karena pangkat dari m adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari m adalah 2.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:Nyatakan pertidaksamaan kuadrat ke bentuk salah satu ruas sama dengan nol dan ruas yang lain adalah bentuk kuadrat.Tentukan pembuat nol dari bentuk kuadrat itu. Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan. Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan.

Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (2 x−1)2≥ (5 x−3 ) (x−1 )+1

Penyelesaian:

(2 x−1)2≥ (5 x−3 ) (x−1 )+1

⇔ 4 x2−4 x+1 ≥5 x2−5 x−3 x−3 x+3+1

⇔ 4 x2−4 x+1 ≥5 x2−8 x+4

⇔ 4 x2−5 x2−4 x+8 x+1−4 ≥0⇔ −x2+4 x−3 ≥ 0 ( Kedua ruas dikali dengan – 1 ) ⇔ x2−4 x+3 ≤ 0 ( Dikali dengan bilangan negative tanda pertidaksamaan berbalik arah)⇔ ( x−3 )( x−1)≤ 0 ( Difaktorkan)

Mencari batas nilai x dengan menggunakan garis bilangan

x – 3 = 0x = 3 atau x – 1 = 0x = 1 + + + + + - - - - - - + + + +

1 3 Jadi nilai x yang memenuhi adalah { x / 1 ≤ x ≤3 , x ∈ R }


Latihan

1. Penyelesaian (2x – 5)2 < 16 adalah …2. Penyelesaian dari (x+1)2 ≥ ( x−3 ) ( x+2 ) adalah…

3. Penyelesaian dari x2≥ ( x−7 )+1adalah…

4. Penyelesaian dari (2 x)2 ≥ ( 4 x−1 ) ( x+5 )adalah…

B. Pertidaksamaan Rasional / Pecahan

Bentuk baku pertidaksamaan pecahan :

1.

f ( x )g ( x ) < 0 2.

f ( x )g ( x ) < 0 3.

f ( x )g ( x ) < 0 4.

f ( x )g ( x ) < 0 , g(x) 0

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan dapat dilakukan langkah-langkah sbb :

1. Ubah pertidaksamaan ke bentuk baku.2. Tentukan penyebab nol dari pembilang dan penyebab nol dari penyebut (jika ada).3. Buat garis bilangan dan tentukan nilai ruas kiri untuk tiap interval yang terjadi.4. Berdasarkan nilai atau anda dari ruas kiri , dapat kita pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh pembahasan di bawah ini .

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

x+12 x−3 < 2

Jawab :

x+12 x−3 < 2

i. Ubah ke bentuk baku

x+12 x−3 - 2 < 0

x+12 x−3 -

2(2 x−3 )2 x−3

< 0

x+1−4 x+62 x−3 < 0

−3 x+72 x−3 < 0

ii. Tentukan penyebab nol pembilang dan penyebut .

-3x+7 = 0 2x-3 = 0 -3x = -7 2x = 3

x = 7/3 x = 3/2 iii. Buat garis bilangan dan tentukan nilai

ruas kiri .

Nilai ruas kiri - + - 0 0

Nilai x 3/2 7/3 iv. Himpunan penyelesaiannya adalah :


.{ x | x < 3/2 atau x > 7/3 , x R }

Latihan Tentukan himpunan penyelelesaian pertidaksamaan berikut ini :

1.

3x−5 < 4

2.

xx+2 > 3

3.

1x−2 3

4.

2x+3 4

5.

2 x+9x−1 < 5

6.

2x−2 >

4x

7.

xx−1

x+1x+2

8.

3x+1

2x−2

9.

x2−94−x2

≤0

10.

x2+2 x+3x−x−6

≥0

D. Pertidaksamaan Bentuk Akar *)

Bentuk baku pertidaksamaan bentuk akar :

1. √ f (x ) < √ g( x ) 2. √ f (x ) < √ g( x ) dengan f(x) 0

3. √ f (x ) < √ g( x ) 4. √ f (x ) < √ g( x ) dan g(x) 0

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar dapat dilakukan langkah –langkah sbb :1. Ubah ke bentuk baku.2. Kuadratkan masing-masing ruas dan selesaikan pertidaksamaan yang terjadi.3. Tambahkan syarat f(x) 0 dan g(x) 0 serta selesaikan .4. Penyelesaian akhir merupakan irisan antara penyelesaian pada langkah (2) dan (3).

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh sebagai berikut .Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :

√2x−1 < 3


Jawab :

√2x−1 < 3 i. Ubah ke bentuk baku

√2x−1 <√9 ii. Kuadratkan mesing-masing ruas dan selesaikan.

2x – 1 < 9 2x < 10 x < 5

iii. Tambahkan syarat f(x) 0 dan g(x) 0 serta selesaikan .2x – 1 0 dan 9 0 2x 1 x 1/2

iv. Irisan antara (ii) dan (iii). 0 5 0 ½ 0 0 ½ 5Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ x | ½ x < 5 , x R }

Latihan Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

1. √2x−5 < 3 2.√7−2x > 2

3.√3 x−2 √ x−3 4. √2x−1 √4 x+8

5. √3 x+1 x – 3 6. √2x+1 > x – 1

7. (x2 – x) < (4X-6) 8. (x2- 3x) < 32

9. √ x+32 x−1 > 1 10. √ 2 x+3

x−1 < 2

F. Pertidaksamaan Nilai Mutlak *)

Sebelum membahas pertidaksamaan nilai mutlak , maka kita pelajari terlebihdahulu pengertian nilai mutlak dan sifat-sifatnya.

Pengertian nilai mutlak.

Nilai mutlak dari x ditulis |x| adalah nilai tak negatif dari x .Definisi :

Untuk setiap bilangan real x , maka nilai mutlak dari x dituliskan sbb: x untuk x 0

| x | = -x untuk x < 0Contoh :

| 9 | = 9 |5| = 5 |17|= 17 |0| = 0|-4| = 4 |-7| = 7 |-25| = 25

Contoh persamaan nilai mutlak :


Tentukan himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut : 1. | 2x – 1 | = 3 2. |8 –2x| = 4

Jawab :1. | 2x – 1 | = 3 2. |8 –2x| = 4 2x-1=3 atau 2x-1=-3 8-2x = 4 atau 8-2x = -4 2x = 4 2x = -2 -2x = -4 -2x = -12 x = 2 x = -1 x = 2 x = 6Himpunan penyelesaiannya Himpunan penyelesaiannyaadalah : -1,2 adalah : 2 , 6

Latihan

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut :

1. | 2x – 3 | = 52. | 2x + 1| = 7

3. | 6 –3x | = 5

4. | 9 – 2x | = 11

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak :1. Untuk a R dan a 0 , berlaku : 2. |x| = x2

i. |x| < a -a < x < a iii. |x| > a x < -a atau x > a ii. |x| a -a x a iv. | x | a x -a atau x a

Pemakaian sifat-sifat di atas pada peyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak. Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak berikut :1. | 2x – 3 | < 5 2. | 6 – 2x | > 43. |2x + 1| |x-2|Jawab :1. | 2x – 3 | < 5 2. | 6 – 2x | > 4 -5 < 2x – 3 < 5 6-2x < -4 atau 6-2x > 4 -2 < 2x < 8 -2x < -10 -2x > -2 -1 < x < 4 x > 5 atau x < 1Himpunan penyelesaiannya Himpunan penyelesaiannya { x | -1 < x < 4 , x R } { x | x < 1 atau x > 5, x R }

3. |2x + 1| |x-2|Jawab : |2x + 1| |x-2|V(2x+1)2 V(x-2)2 + - +Kedua ruas dikuadratkan : ____ _____0________0__________(2x+1)2 (x-2)2 -3 1/34x2 + 4x + 1 x2 – 4x + 4 3x2 + 8x –3 0 Himpunan penyelesaiannya :(3x-1)(x+3) 0 {x| x -3 atau x 1/3 , x R }

Latihan

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak berikut :1. |x – 2 | < 42. | x –5 | > 33. | 2x – 5 | 44. | 3x + 2 | 55. | x + 5 | < | x – 3 |6. |3 – 2x | > |x + 4 |


7. | 5x – 3 | | 1 – 3x | 8. | 3x – 2 | | x + 2 |9. | x + 2 | < 2|x-1|10. |x + 2 | 2|x+1|11. | x2 + 2x – 4| 4 12. | x2 – x –7 | 5

Evaluasi

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dan berikan alasannya !

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

5 x−72 x+8

<2 adalah …

a. x < 23 b. x < 9 c. –4 < x < 23 d. –4 < x < 9 e. –23 < x < -4


3 x−22 x+5

<2 adalah …

a. x < -12 b. x > -12 c. –12 < x < -2 ½ d. –2 ½ < x < 12 e. x < -12 atau x > -2 ½


2 x−8

2+ x−x2≤0

adalah … a. –1 < x < 2 atau x > 4 b. –1 < x < 2 atau x 4 c. x < -1 atau 2 < x < 4 d. x < -1 atau 2 < x 4 e. –2 < x < 1 atau x > 4

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :

x2+3 x−10x2−x−2

<0 adalah … .

a. –5 < x < -1 b. –1 < x < 5 c. 1 < x < 5 d. –5 < x < 1 e. –5 < x < -1 atau x > 2


3x+7

> 1x+1 adalah …

a. x < 2 b. x < -5 c. –7 < x < -1 atau x > 2 d. x < -7 atau -1 < x < 2 e. –7 < x < 1 atau x > 2

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √2x−6<4 adalah … a. x < 11 b. x < 5 c. 3 x < 5 d. 3 x < 11 e. 3 x 11

7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √8−4 x<6 adalah … a. x < -7 b. x 2 c. -7 < x 2 d. –11 < x < -2 e. –11 < x 2

8. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √ x2−x−2<2 adalah … . a. –2 < x < 3 b. –3 < x < 2 c. –1 x 2 d. –2 < x < -1 atau 2 x < 3 e. –3 < x -2 atau 1 x < 2

9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √2x−6<√ x+5 adalah … a. –5 x 11 b. –5 x 3 c. –5 x -1 d. 3 x -1 e. 3 x 11

10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √3 x+12>√4− x adalah … a. x -4 b. x 4 c. x > 2 d. -4 x < -2 e. –2 < x 4


11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan | 2x – 5 | < 7 adalah … a. x < 6 b. –6 < x < 6 c. –1 < x < 6 d. 1 < x < 6 e. –6 < x < 1

12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan | 2x – 5 | > 3 adalah … a. x > 4 b. x < -4 atau x > 4 c. x < 1 atau x > 4 d. x < -1 atau x > 4 e. x < -4 atau x > 1

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |2x−7

x+5|<1

adalah … a. –2/3 < x < 12 b. 2/3 < x < 12 c. 2/3 < x < 2 d. –12 < x < 2/3 e. –12 < x < -2/3

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |2x-5|2 – 4|2x-5| < 21 adalah … a. –3 < x < 7 b. 1 < x < 6 c. -1 < x < 4 d. 1 < x < 4 e. –1 < x < 6

15. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan | 2x – 7 | > | 4x + 5 | adalah … a. x < -6 b. x > -6 c. –6 < x < 1/3

d. –1/3 < x < 6 e. x < -6 atau x > 1/3

II. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut:

16.

x−6x−3 >

x−2x+1

17.

( x−2 )(x−3)x−1 x+2

18. √3 x−6 < 3

19. √ x2−25 2x-1

20. | x+1 | | 3x – 5 |



Documents

7-pertidaksamaan-kuadrat