7 Kolmogorov

Mayo 2004 2004ko Maiatza 99

Los alumnos de A. N. Kolmogrov recuerdan a su maestro

LOS ALUMNOS DE A. N. KOLMOGROVRECUERDAN A SU MAESTRO

A. B. Sosinski (*)

EN CONMEMORACIN DEL 101 NACIMIENTO DEANDREY NIKOLYEVICH KOLMOGROV

Hace 101 aos naci A. N. Kolmogrov , uno de los mejores matemticos de todos lostiempos. Aqu recordamos su vida y algunas opiniones de personas que le conocieron.

Retazos de una vida dedicada a la ciencia

Nace en Tambov el 25 de abril de 1903. Su madre muere en el parto. Su ta Vera se hace cargo de su educacin. El mtico ao 1917 termina sus estudios primarios (hasta octavo grado) en la escuela pri-

vada Repman(Mosc). Los dos aos siguientes trabaja en la construccin de una va frrea entre Kazn y

Yekaterinburg, a la vez que prepara los exmenes de la escuela secundaria para poder obte-ner el titulo de grado secundario.

El ao 1920 obtiene el grado en la escuela de secundaria y se matricula en la Facultad deFsica y Matemtica de la UEM. Adems participa en el Seminario de historia del ilustre pro-fesor Bajruchin.

A los 19 aos obtiene el ejemplo de serie tipo Fourier- Lebesgue, divergente casi en todaspartes, que le dio fama y reconocimiento internacional. Tres aos ms tarde obtiene unejemplo de la divergencia de una serie "en todas partes".

A los 22 aos publica su primer trabajo sobre operaciones con conjuntos y dos aos mstarde ( 1924) comienza a interesarse seriamente por la teora de la probabilidad.

El ao 1925, publica sus primeros artculos sobre la teora de la probabilidad y lgica intui-cionista.

Entre 1925 y 1929 realiza sus estudios de postgrado en la Universidad Estatal de MoscLomonosov(UEM).

El ao 1929 es nombrado colaborador del Instituto de Investigaciones en Mecnica yMatemticas de la UEM. Ese mismo ao entabla una gran amistad, que durar ms de cin-cuenta aos, con el matemtico P.S. Aleksandrov.

El ao 1930 publica Mtodos analticos de la teora de las probabilidades. Un ao ms tardees nombrado profesor de la UEM.

El ao 1933 publica su famoso tratado Fundamentos de la teora de probabilidades. Entre 1933 y 1939 desempea el puesto de Director del Instituto de Investigaciones en

Mecnica y Matemticas de la UEM. El ao 1935 es nombrado Doctor en Ciencias Fsico- Matemticas.

(*) Este artculo fue publicado en la revista sovitica Kvant (1) en el ao 1988. El responsable de la publicacin es A.B. Sosinski.Traducido del ruso por Antonio Aparicio Corts, Profesor de Matemticas del Instituto de Enseaza Secundaria deCruces - Barakaldo (Vizcaya).

Tres aos ms tarde es nombrado Jefe de la Ctedra de teora de Probabilidades, desempe-ando este puesto hasta el ao 1966.

El ao 1939 es nombrado Acadmico y miembro del Presidium de la Academia de lasCiencias. Comienza a escribir algunos textos para la enseanza secundaria, en particular elpopular texto de lgebra escrito con su amigo Aleksandrov.

El ao 1942 se casa con Anna Dimitrieva, con ella pasara el resto de su vida. Con motivo de la II Guerra Mundial desarrolla una serie de teoras sobre la balstica. Entre 1946 y 1958 es nombrado Redactor Jefe de la principal revista matemtica de la

URSS, adems dirige la seccin de matemticas de la Gran Enciclopedia Sovitica, escri-biendo en ella 88 artculos.

El ao 1951 recibe el premio Chbyshev de la Academia de las Ciencias. El ao 1957 , junto a su alumno V. I. Arnold, resuelve el 13 problema de Hilbert. El ao 1964 es nombrado presidente de la Sociedad Matemtico de Mosc , los siguientes

aos le son concedidas diversas condecoraciones y reconocimientos: PremioLenin(1965).Recibi siete medallas ``Lenin", adems del ttulo de ``Hroe del TrabajoSocialista". Fue nombrado miembro de varias Academias de Ciencias: la Neerlandesa(1963), la London Royal Society (1964); la National Academy of Sciences de USA (1967);l'Acadmie des Sciences de Paris (1968); la Academia de Ciencias de Rumania (1956); laAcademia Alemana de Naturalistas Leiopoldina (1959); la American Academy of Sciencesand Arts in Boston (1959). Miembro fundador de la Academia de Ciencias Pedaggicas dela URSS(1966), miembro honorario de la International Academy of The History of Sciencie,Premio Wolf(1980), Premio Lobachevski (1987).

El ao 1970 funda la revista Cientfica Kvant. Entre 1980 y 1983 es nombrado Jefe de la Ctedra de Lgica Matemtica. El ao 1983 es nombrado Jefe del Departamento de Estadstica Matemtica y teora de la

informacin del instituto Stteklov. Interesado por la lengua rusa, saca a la luz sus investigaciones sobre la estructura mtrica

de la poesa rusa. Tres aos antes de su muerte se hace una recopilacin de sus mejores trabajos cientficos. El 20 de octubre de 1987 fallece Kolmogorov.

(Resumen elaborado por Santiago Fernndez)

Para saber ms sobre su vida y obra se puede consultar.1) Snchez Fernndez, C. y Valds Castro, C. (2003): Kolmogorov, el zar del azar.

Edit. Nivola, Madrid2) http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/40-1-b-Kolmogorov.html

El da veinticinco de abril de 1988, se cumpli el 85 aniversario del nacimiento de AndreyNikolyevich Kolmogrov. En su casa de las afueras de Mosc, en Komarovka, aquel da sereuni un pequeo grupo de sus alumnos y colaboradores, principalmente aquellos a los quehaca exactamente un ao Andrey Nikolyevich (2) haba invitado a su cumpleaos que fue elltimo que pudo celebrar. A.N. Kolmogrov falleci el 21de noviembre de 1987. Los reuni-dos no eran los alumnos de ms edad y los ms titulados de A.N. Kolmogrov (entre sus alum-nos hay siete acadmicos!), sino matemticos ms jvenes, aquellos que en los ltimos aoscolaboraron ms estrechamente con l. Publicamos los recuerdos de los alumnos ms prxi-mos de Andrey Nikolyevich sobre cmo se conocieron con l, cmo trabajaban conjunta-

SIGMA N 22 SIGMA 22 zk. 100

A. B. Sosinski

mente o simplemente cmo trataban con l. En estos recuerdosse dibuja no solo la imagen brillante de un gran cientfico, sinotambin la imagen de una personalidad nica.

Vladmir Igorievich ARNOLD, miembro correspondiente de laAcademia de Ciencias de la URSS (3), Catedrtico de laUniversidad Estatal Lomonsov de Mosc, recuerda:

Andrey Nikolyevich ha vivido una vida larga y feliz.Kolmogrov, Poincar, Gauss, Euler, Newton: solo cinco detales vidas nos separan de los orgenes de nuestra ciencia.

En una ocasin el poeta Pushkin (4) coment que l habainfluido ms en la juventud y en la lengua rusa que todo elMinisterio de la Enseanza Estatal, a pesar de la diferecia en lacantidad de medios. La influencia de Kolmogrov en la mate-mtica fue de la misma magnitud.

Conoc a Andrey Nikolyevich en mis aos de estudiante en la Universidad. Entonces l era eldecano de la facultad Mecnico-Matemtica. Aquellos fueron los aos de la prosperidad de lafacultad, de la prosperidad de la matemtica. El nivel que alcanz la Facultad en los aos 50-60, gracias ante todo a Andrey Nikolyevich Kolmogrov y a Ivn Guerguiyevich Petrovski (5),nunca ms lleg a alcanzarse y es poco probable que lo alcance alguna vez. AndreyNikolyevich era un decano excelente. l deca que haba que perdonar a las personas detalento su talento y salv de la expulsin de la Universidad a ms de uno entre los matemti-cos actualmente muy conocidos. El propio Decano quitaba la beca a los estudiantes ms albo-rotadores, aunque posteriormente l mismo les ayudaba a pasar los momentos difciles...

De otros catedrticos que yo conoca, Andrey Nikolyevich se distingua por su total respetoa la personalidad del estudiante. Siempre esperaba or del alumno algo nuevo, inesperado yposea una extraordinaria y contagiosa atraccin por la ciencia que ante todo es necesaria enlos estudiantes. "Ensear la matemtica realmente bien deca Andrey Nikolyevich puede

hacerlo solamente una persona que est entusiasmada con ella yla siente como una ciencia viva que est desarrollndose."

Poco preocupado por la perfeccin formal de sus clases, sinembargo Andrey Nikolyevich era un profesor admirable. Meparece que en su labor pedaggica se guiaba por los principiosque haba formulado Einstein:

"Me parece casi un milagro que los mtodos actuales de ense-anza todava no han estrangulado del todo la santa curiosidad,puesto que esta tierna planta exige junto con la libertad ante todoestmulo. Es un gran error pensar que el sentido del deber y lacoaccin favorece a encontrar la felicidad en buscar y en cono-

cer. Un animal carnvoro sano se negara a la comida, si le obligasen a tomar constantementela carne a golpe de ltigo, especialmente si la comida ofrecida de forma coaccionada no estelegida por l..."

En nuestro siglo de grandes colectivos cientficos parece que la poca de los grandes logrosindividuales en la ciencia haba cado en el pasado. Sin embargo para Andrey Nikolyevichson caractersticos precisamente los grandes logros propios.

En el desarrollo de cada rama de la ciencia, se pueden distinguir tres etapas. La primeraetapa es la pionera: la penetracin en una regin nueva, un descubrimiento brillante yhabitualmente inesperado, frecuentemente negando las nociones anteriormente formadas. A



A. N. Kolmogrov enuna de sus clases

A. N. Kolmogrov

continuacin viene la fase tcnica que es larga y muy laboriosa: la teora en la cual aparecenmuchos detalles se hace dificilmente accesible y voluminosa, sin embargo, abarca cada vezun nmero mayor de aplicaciones. Por fin en la tercera fase aparece un nuevo, pero ms gene-ral punto de vista sobre el problema y sobre sus relaciones con otras cuestiones que por lovisto son lejanas al problema en cuestin; se hace posible la penetracin en una nueva ramade investigacin.

Una de las caractersticas de los trabajos matemticos de Andrey Nikolyevich Kolmogrov esque l fue pionero y descubridor en muchas ramas de las matemticas. Le pertenecen logrosbrillantes en la teora de probabilidades, teora de funciones, anlisis funcional, topologa, teo-ra de ecuaciones diferenciales, teora de sistemas dinmicos, teora del movimiento turbu-lento del fluido etc. Es difcil sealar una rama del anlisis matemtico en la que A.N.Kolmogrov no hiciera aportacin sustancial y donde no resolviera problemas antiguos ( aveces de dos siglos).

Su primer trabajo famoso el ejemplo de la serie de Fourier divergente casi en todo AndreyNikolyevich lo realiz a los 19 aos. (Como cosa curiosa mencionar que Frchet (6) me decaen el ao 1965: "Oh, Kolmogrov! Es aquel joven admirable que construy la serie de Fourierdivergente casi para todo!" Para Frchet todos los trabajos de Kolmogrov en la teora de lasprobabilidades, sistemas dinmicos, turbulencia tenan menos valor que ese trabajo estudian-til). El propio Andrey Nikolyevich siempre ha valorado mucho los logros "deportivo-mate-mticos" y estaba orgulloso de este primer trabajo, pero consideraba el ms difcil de suslogros deportivos el trabajo sobre el 13 problema de Hilbert.

Normalmente Andrey Nikolyevich trataba evitar el perfeccionamiento tcnico y la generali-zacin de la teora construida. Sin embargo, en la tercera etapa del trabajo, cuando hay quereinterpretar los resultados obtenidos y ver los nuevos caminos en la fase de creacin de lasteoras fundamentales generalizadas a Andrey Nikolyevich, le pertenecen logros admirables.

Entre los ms de trescientos artculos publicados por l, hay investigaciones de Mecnica,Geologa, Biologa, cristalizacin de los metales, teora del tiro, teora de versificacin, teorade la transmisin de la informacin, teora de las mquinas automticas etc. En la propia mate-mtica Andrey Nikolyevich siempre trataba de elegir aquellos problemas cuya resolucin nosaproxima al conocimiento de la naturaleza y al dominio de sus fuerzas. l mismo se expresas sobre su labor de aplicacin:

"Trabajando con cierto xito y a veces con provecho sobre un crculo bastante amplio de lasaplicaciones prcticas de las matemticas sigo siendo en lo fundamental matemtico puro.Admirando a los matemticos que se han convertido en grandes representantes de nuestra tec-nologa, y valorando por completo el significado para el futuro de la humanidad de las mqui-nas de clculo y de la ciberntica, pienso sin embargo que la matemtica pura en su aspectotradicional todava no ha perdido su valor justo y honorfico entre las otras ciencias. Sera mor-tal para ella solamente la estratificacin excesivamente brusca de los matemticos en doscorrientes: unos cultivan los apartados de las matemticas ms nuevos y abstractos, no orien-tndose claramente en sus relaciones con el mudo real que les haba creado, y otros estnocupados con las "aplicaciones", no ascendiendo al anlisis exaustivo de sus bases tericas...Me gustara subrayar la legalidad y la dignidad de la posicin del matemtico que entiende ellugar y el papel de su ciencia en el desarrollo de las ciencias naturales, de la tecnologa eincluso de toda la cultura de la humanidad y que es capaz de desarrollar su ciencia naturalde acuerdo con estas necesidades generales".


A. B. Sosinski

Estas palabras de Andrey Nikolyevich sobre la legalidad y la dig-nidad del matemtico, llevadas a la portada de la revista Ogoniok,en el nmero dedicado a l en el ao 1963, son su credo y el tes-tamento cientfico. La actualidad de sus pensamientos y de susadvertencias se hace cada vez ms evidente a medida que se hacenrealidad las predicciones de Lagrange: "Las plazas de Matemticasen la Academia se van a convertir en lo mismo en lo que ya han lle-gado a ser las ctedras de la lengua rabe en las Universidades...".

Vladmir Andryevich USPENSKI, Doctor en Ciencias Fsico-Matemticas, Catedrtico de la Universidad Estatal Lomonsov deMosc, recuerda:

Siendo nio, llegu a saber que haba un matemtico: Kolmogrov,y no habindole visto nunca y no conociendo ninguno de sus tra-bajos, yo ya saba que el principal matemtico, el ms grande, era Kolmogrov. Despus tomparte en la Olimpiada Matemtica de Mosc (lo ms probable es que fuera en la primaveradel ao 1946 cuando estudiaba el 8 grado) y entre los que haban dirigido unas palabras debienvenida a los participantes de la Olimpiada, estaba Kolmogrov. A la tribuna sali un hom-bre joven. Me impresion mucho su discurso: tanto la manera de hablar con gangosidad, incli-nando la cabeza hacia el hombro, como el texto del discurso que empezaba con la frase: " ElPresidente de la Sociedad Matemtica de Mosc Pvel Serguievich Alexndrov me enco-mend la tarea de saludar a los participantes de la Olimpiada Matemtica". Si Kolmogrov esel matemtico ms grande, entonces qu importancia tena que tener aquel que haba enco-mendado algo al mismo Kolmogrov?!

Cuando estaba en el tercer curso de la Universidad, conoc a Andrey Nikolyevich. l impar-ta un curso especial: "La teora de la medida", en la facultad Mecnico-Matemtica. A estecurso se asista principalmente por placer, puesto que al finalizarlo, no haba que examinarse.Una vez en el recreo, me acerqu a l. Me es incmodo recordarlo: Andrey Nikolyevich hizouna afirmacin, que yo refut. Esto le impresion y me invit a su casita de campo, pregun-tando si solo estaba dispuesto hablar de matemticas o si tambin poda esquiar. As nosconocimos.

Los paseos en esqu no los quiero ni recordar, puesto que las botas no se sujetaban en losesques. Hasta entonces solo haba esquiado con polainas, pasando la punta de la polaina porel nudo corredizo. Otro tipo de fijaciones ni conoca ni haba visto jams. Tampoco saba queexistan tales cosas. Andrey Nikolyevich me dio las botas y los esques con las fijaciones. Losesques se soltaban constantemente y, cada vez que me pasaba esto, el acadmicoKolmogrov se pona de rodillas en la nieve para apretar las fijaciones de mis esques. Los pri-meros esques se me haban escapado cuesta abajo. Volvimos y cogimos otro par de esques.Lo ms probable es que yo no tuviera la culpa de nada, puesto que cuando las fijaciones estnbien, los esques no tienen por qu escapar. Todo esto sucedi el 22 de enero de 1950. Desdeentonces me hice alumno de Andrey Nikolyevich.

No era muy sencillo trabajar con Andrey Nikolyevich. Constantemente se perciba que eraun genio. En mi vida hubo tres personas geniales con las que tuve ocasin de relacionarme.Estos fueron B.L. Pasternak (7), A.A. Zaliznak y A.N. Kolmogrov. Andrey Nikolyevich tena suestilo peculiar. En invierno de 1950, invitndome a su casita de campo, l no sin cierta solem-nidad me convirti en su alumno. Entonces asign tambin el tema de mis estudios. Dijo quehaba unas funciones especiales que se llaman recursivas y que en nuestro pas casi nadiesaba nada sobre ellas. Me dio unas cuantas separatas de los artculos de las revistas extranje-ras y me mand estudiar el tema. Tambin aadi: "En ltimo caso, si a Ud. no le sale nada,nos har buenos resmenes". Junto con esto me regal algunas separatas de sus artculos, uno



A. N. Kolmogrov en

de los cuales con dedicatoria. Estas separatas de sus pri-meros artculos de los aos 20 son nicas y las conservoen casa.

Es difcil decir en qu se manifestaba la genialidad deAndrey Nikolyevich, pero puedo decir dos rasgos que ledistinguan: el primero, siendo yo profesor ayudante, meencontraba con Andrey Nikolyevich semanalmente. Encada encuentro siempre recordaba en qu punto haba-mos quedado en el encuentro anterior y en general cono-ca mejor todo mi trabajo (todo lo que haba hecho hastaentonces) y con mayor precisin que yo, aunque yo mededicaba solo a esto y l, como es sabido, a muchas mscosas. El segundo rasgo: frecuentemente junto conmigoiba a Komarovka G.I. Barenblatt con el que AndreyNikolyevich se dedicaba a la hidrodinmica (conmigo sededicaba a la lgica matemtica). A Barenblatt y a m nosproduca una impresin imborrable la facilidad con queAndrey Nikolyevich pasaba de la hidrodinmica a la

lgica matemtica y viceversa. Para l era una cosa perfectamente natural. A nosotros nospareca un milagro.

Cmo iba nuestro trabajo? A veces los dos razonbamos en voz alta. Otras veces yo le escri-ba textos que despus le entregaba (los que yo espero que los quemara). Admitindome en eldoctorado Kolmogrov me puso dos exmenes de lgebra y de ecuaciones la fsica matem-tica difciles y anunci que el tercer examen tendra que ser ms prximo a la lgica. Tambinme orden examinarme de la teora de los esquemas de los rels de contacto. Por aquel enton-ces casi no haba literatura matemtica de los esquemas de los reles de contacto, pero habaliteratura tcnica. Por esa razn la preparacin para este examen me resultaba de lo ms dif-cil. Recuerdo que durante dos meses no poda entender como funciona un triodo. Solo des-pus de haber estudiado todo, comprend que esto no era necesario entender. Adems deestos tres exmenes, haba que hacer trabajos de doctorado. En calidad de uno de ellos,Andrey Nikolyevich me dio para traducir el libro de Funciones recursivas de la matemticahngara Rosa Peter que acababa de salir en lengua alemana. Yo no dominaba el alemn, perono me atreva a decrselo a Kolmogrov. Empec el trabajo y ... consegu traducirlo. El libroresult ser mediocre, pero el prlogo escrito por Andrey Nikolyevich era genial.

Tengo dos trabajos conjuntos con Andrey Nikolyevich y otro en el que figura solo mi ape-llido, pero est inspirado por Andrey Nikolyevich. Es un artculo de la revista Informes de laAcademia de Ciencias sobre la demostracin del teorema de Goedel. Cuando AndreyNikolyevich haca que su alumno llegara a obtener un resultado (que en realidad era suge-rido por l), creaba tal ambiente como si el alumno hubiese llegado al resultado por sus pro-pias fuerzas y propona escribir un artculo a la revista sobre dicho resultado. Un apoyo psi-colgico para su compaero menor es un momento sustancial en su actividad. Pasaba estode una forma instintiva o lo premeditaba? No lo s.

Por desgracia, seguramente no puedo considerarme alumno de Andrey Nikolyevich contodos los derechos, puesto que no posea ninguna de las cualidades necesarias para esto: noentenda nada de msica y no haca deporte. Sin embargo no me echaba. A veces reflexio-naba conmigo sobre el arte, impresionndome por sus conocimientos en todo. Por ejemplo,quin conoce actualmente el manual de ajedrez de Dufregne? Nadie. Es un manual cono-cido de finales del siglo XIX. Este manual lo tena en casa (lo hered de mi padre) y por eso


A. B. Sosinski

A. N. Kolmogrov con su amigoAleksandrov, el ao 1931

lo haba ledo. Cuando empezamos a hablar con Andrey Nikolyevich sobre ajedrez, la pri-mera palabra que l pronunci fue Dufregne y me cont el contenido del manual.

Otro caso. Para m fue una sorpresa que en un escudo la parte derecha e izquierda se consi-dera no lo que vemos a la derecha y a la izquierda, sino justo lo contrario. (Esto es debido aque el escudo se dibujaba en una lmina y se consideraba desde el punto de vista del que loportaba.) Apenas conoc este hecho cuando Andrey Nikolyevich lo mencion por algnmotivo.

Albert Nikolievich SHIRIAEV (8), Doctor en Ciencias Fsico-Matemticas, ColaboradorCientfico de Instituto Matemtico de la Academia de Ciencias, recuerda:

Sobre Andrey Nikolyevich o hablar por primera vez cuando estaba en la escuela. La maes-tra de Matemticas nos hablaba mucho de l. Entonces yo estudiaba en la escuela internadoN 538 de Mosc y nuestra maestra nos estimulaba para que participsemos en todo tipo deactividades culturales, crculos y en las Olimpiadas. En la entrega de los premios en una delas Olimpiadas vi por primera vez a Andrey Nikolyevich. Despus ingres en la Universidad.Aunque habamos odo hablar de Andrey Nikolyevich anteriormente, el trato con l nos pare-ca algo inalcanzable, irreal. Al pincipio pas por distintos departamentos y pas muchotiempo antes de que me quedara en el Departamento de la Teora de las Probabilidades. Laprimera relacin con Andrey Nikolyevich ocurri cuando escuchaba su curso "Anlisis-3". Miprimera conversacin con Andrey Nikolyevich sucedi en la defensa de mi tesina. La hiceentre el 4 y 5 curso, porque saba que al comienzo del 5 curso no tendra tiempo para latesina, puesto que formaba parte de la seleccin estudiantil del pas de esqu alpino, y alcomienzo de febrero de 1957 tom parte en los II Juegos Estudiantiles de Invierno enGrenoble. La defensa de la tesina se hizo a finales de febrero. Despus de la defensa, AndreyNikolyevich sali conmigo al pasillo, habl conmigo sobre la tesina y dijo muchas cosas queyo no entend. O alguien le habl de mi participacin en los Juegos de Grenoble o mi aspectomoreno hablaba por s mismo, pero Andrey Nikolyevich me invit a su casa de campo deKomarovka a esquiar.

Andrey Nikolyevich me preguntaba sobre mis intereses matemticos, pero no hubo entoncesninguna otra conversacin posterior. Desde el 4 curso yo estaba en un grupo especial; porconsiguiente no podamos contar de ninguna manera con el trabajo en el Insituto Matemtico.Pero despus de 5, mi compaero de curso Victor Leonov (por desgracia prematuramentefallecido) y yo nos enteramos de que Andrey Nikolyevich nos iba a coger en el InstitutoMatemtico de la Academia de Ciencias por va de la distribucin (9). Al principio inluso novaloramos esta suerte. Enseguida empezamos a trabajar: Andrey Nikolyevich nos incluy enla investigacin del anlisis espectral no lineal y de la teora no lineal de los procesos aleato-rios. Estos aos fueron tan felices y fructferos que dej el esqu alpino. Refirndose a uno denuestros trabajos, de investigacin actualmente ampliamente conocido y sobre el cual tena-mos que informar a Kolmogrov, ste dijo con una sonrisa: "Los autores estn llenos de laimportancia del problema que estn investigando".

Cuando V. Leonov y yo fuimos admitidos en el Instituto Matemtico, Andrey Nikolyevichenseguida defini con precisin nuestras obligaciones. En 1956 fue creada la revista Teora deprobabilidades y nos fue encomendado un trabajo concreto en la revista: la recensin y la mar-cacin de los artculos recibidos. Esta actividad aunque era poco grata nos sirvi de buenaexperiencia. Adems de esto tenamos que asistir con Lenov a las clases de procesos aleato-rios de Andrey Nikolyevich y tomar apuntes. Dicho sea de paso, estos apuntes los utilizo



hasta ahora; estos apuntesse han quedado sin editar.A V. Leonov le costmucho esfuerzo ponerlosen orden, pero cuandoAndrey Nikolyevich vioel texto que haba salido,su comentario fue muybreve: "Dios mo, quemonstruo ha salido".

En lo referente a las inves-tigaciones de los proce-sos aleatorios no linealesAndrey Nikolyevich ob-serv en un trabajo deCherenkov (hijo de unAcadmico famoso) cier-tas reglas de clculo delos llamados semi-invariantes de rdenes pequeos. l decidi que posiblemente tendra lugarcierta regla general (para todos los rdenes), de alguna forma la explic y nos encomenddemostrarla. La situacin era muy difcil. Andrey Nikolyevich empezaba cada jueves intere-sndose por lo que habamos hecho en este aspecto. Nosotros escribamos una cantidadenorme de hojas. Solamente al cabo de un ao demostramos por vas combinatorias compli-cadsimas qu haca falta. Ms tarde hallamos una demostracin que nos ocup dos pginas.Andrey Nikolyevich escribi la introduccin para este trabajo.

Ahora voy a contar cmo trabajbamos. Andrey Nikolyevich saba tanto que pronto haba-mos aprendido la regla: no marcharse despus de estar con l sin el papel en el que hacanotaciones durante la conversacin. Despus, mirando estos papeles, adivinbamos lo queestaba escrito como si fueran jeroglficos. A menudo me daba la sensacin de que l decaalgo genial y con conocimiento de causa y de que t no entendas nada. Entonces no habamagnetfonos, sin embargo anotar todo era prcticamente imposible. Y cada jueves a la pre-gunta de Andrey Nikolyevich "qu es lo que est hecho?" era vergonzoso contestar que naday estbamos obligados a no dormir y a no saciar nuestra hambre. Aunque ya empezbamos atener familia, lo ocultbamos obstinadamente a Andrey Nikolyevich.

Incluso dos aos ms tarde Andrey Nikolyevich creaba situaciones que estaban relacionadascon trastornos. Por ejemplo( y lo recuerdo muy bien) cmo me llamaron a las 9 de la nochey me dijeron que Andrey Nikolyevich peda que fuese a su casa de Komarovka. Hacia las 11de la noche llegu a Komarovka. Andrey Nikolyevich estaba enfermo. l dijo que al dasigiente tena una clase en la que tena que exponer el teorema de Blackwol sobre los suce-sos recurrentes. Andrey Nikolyevich deseaba que no se perdiese esa clase y me peda que ladiese. Me ofreci dos posibilidades: o bien me contaba inmediatamente algo del tema de laclase o bien me daba las separatas del trabajo de Blackwol que yo tena que estudiar solo. Laclase tena que impartirse a primera hora de la maana y por lo tanto tena una noche paraprepararla. Blackwol escriba concisamente. Me fui a casa, pas toda la noche estudiando, dila clase y despus volv a casa a dormir.

Pronto Andrey Nikolyevich me pas a un tema nuevo. Tuve que estudiar libros de radiotc-nica que trataban de la estructura de los receptores y de las vlvulas de radio, y estudiar tam-


A. B. Sosinski

A. N. Kolmogrov con alumnos de una escuela secundaria

bien los principios de radiolocalizacin. Vinieron los clientes yexplicaron el quid de la cuestin. El planteamiento matemticode la misma, propuesta por Andrey Nikolyevich, result serasombrosamente acertado (Andrey Nikolyevich saba plantearlos problemas con tanto acierto que despus de los mismossalan ramas de investigacin completamente nuevas).Estudiando este problema, esrib mi tesis de Doctor de Estado yun libro sobre anlisis consecutivo estadstico.

Andrey Nikolyevich nunca explicaba nada detalladamente. Tumismo tenas que llegar hasta el final. Nos propuso el plantea-miento del problema como si fuese un problema de ingeniera:minimizar el tiempo medio de retraso con la probabilidad dadade las alarmas falsas. La repuesta, claro est, la acert. AndreyNikolyevich dijo solamente que en una situacin muy fcil larespuesta tena que ser tal, adems no se poda obtenerla deninguna teora existente en aquellos tiempos: tuvmos que sim-plemente inventarla.

Ahora sobre la cultura general. Puesto que hacamos las labores de secretara e impartamosclase de teora, tenamos que ir con frecuencia a Komarovka. All hacamos excursiones a pie,escuchbamos msica. Con Andrey Nikolyevich no se poda hablar de la msica en tonofamilar.

Un ejemplo tpico. Despus de una tarde donde hubo muchsima msica AndreyNikolyevich pregunt: "Qu ms le pongo ahora: Charpentier o Couperin?" Le dije: "AndreyNikolyevich, puede ser que me ponga algo ms fcil?" Andrey Nikolyevich me contestinmediatamente: "Ahora le busco El acorden solitario. No poda suponer que AndreyNikolyevich pudiera saber algo sobre ese Acorden solitario. En una ocasin, escuchando lamsica, estaba sentado y golpeaba con los dedos sobre la mesa. Andrey Nikolyevich me ofre-ci rpidamente una servilleta. Lo entend todo.

Mi actividad (primero transformaciones no lineales, despus el anlisis consecutivo) es unejemplo de cmo Andrey Nikolyevich mediante unas formulaciones muy sencillas colocabaa la gente en una rbita independiente. Despus de hacerlo, l consideraba que tena cola-boradores que se dedicaban a tal tema y lo conocan mejor que l (aunque solo se poda cono-cer mejor que Andrey Nikolyevich algunos detalles y no las ideas generales).

Sobre el trato con Andrey Nikolyevich no a nivel matemtico puedo contar solamente algu-nos episodios. Recuerdo el siguiente episodio caracterstico. Estbamos juntos en Hungra enel congreso de la teora de informacin. Recibimos cada uno 1.300 florines. Puesto que ten-amos pensin completa, cada uno tena una cantidad de dinero bastante grande. Surgi la pre-gunta: qu comprar? Andrey Nikolyevich enseguida pregunto por una librera. Fuimos all.Al instante vi un libro de dibujos de Miguel Angel que vala 1.200 florines, lo compr, gas-tando todo lo que tena y me dijo: "Y el billete para el tranva ya me lo comprar Ud."

Conoc por primera vez las ciudades rusas antiguas de la mano de Andrey Nikolyevich. Aveces bamos a las ciudades rusas provinciales, a las profundidades de Rusia. AndreyNikolyevich saba mucho sobre cada ciudad y siempre tena un fin determinado: l recor-daba que aqu haba que ver tal muralla o tal torre. Por lo visto, en recuerdo de estos viajes,Andrey Nikolyevich me regal para mi cuarenta aniversario un libro gordo: Antiguas cuida-des rusas.



Una composicin sobreA. N. Kolmogrov

Nunca haba visto quejarse a Andrey Nikolyevich. l nunca y en ninguna forma buscabacompasin hacia s. l gozaba de la estima y del respeto de los dems y a la pregunta:"Cmo lo lleva?" - Andrey Nikolyevich contestaba de una manera sencilla: "Lo llevo contranquilidad."

De las aficiones deportivas de Andrey Nikolyevich hay que destacar el remo y las excursio-nes en los esques de fondo. En estas excursiones los movimientos de Andrey Nikolyevicheran muy rtmicos. Excursiones de 30-40 km eran para nosotros una cosa inalcanzable, unsufrimiento, sin embargo l recorra estas distancias con facilidad, incluso a los 60 aos.

Vladmir Mijilovich Tijomrov, Doctor en Ciencias Fsico-Matemticas, Catedrtico de laUniversidad Estatal Lomonsov de Mosc, recuerda:

Conoc a Andrey Nikolyevich cuando estaba en el tercer curso en1955. Andrey Nikolyevich era entonces Decano de la FacultadMecnico-Matemtica y yo era secretario de las Juventudes Comunistasde mi curso. Una vez surgi un incidente: uno de mis compaeros, unapersona fogosa y orgullosa, no aguant los insultos de una personamayor y le contest de una forma muy grosera. Se plante la cuestinsobre la presencia de mi compaero en la Universidad. Entonces fui ahablar con Andrey Nikolyevich y le expuse la esencia del problema.Andrey Nikolyevich dijo en un tono bastante brusco que era un actoescandaloso que necesitaba la ms severa reprobacin. Yo intentabadefender a mi compaero y deca que sin duda l tena la culpa, perotodos sus compaeros lo conocan como una persona buena y capaz ypor lo tanto no se deba expulsarlo de la Universidad. AndreyNikolyevich repeta sus palabras de reprobacin, pero cuando me pareca que el caso estabatotalmente perdido, de repente dijo: "Bueno, claro est que no vamos a expulsarlo". AndreyNikolyevich siempre crea en la bondad natural de la persona. l apoyaba a muchos y casitodos a los que les dio su apoyo ocuparon un lugar digno en la ciencia.

Andrey Nikolyevich nunca planteaba problemas para una persona determinada. Yo tomabaparte en el seminario de Andrey Nikolyevich. En ste Andrey Nikolyevich propona pro-blemas a todos (sin personalizar). Uno de ellos me pareci muy interesante. Despus de quelo resolv Andrey Nikolyevich empez a comentar conmigo las perspectivas del trabajo pos-terior. Una parte de los problemas los propona yo y Andrey Nikolyevich me daba su apro-bacin. Respecto a otra parte de los problemas expresaba sus dudas, propona muchsimosproblemas propios para el desarrollo de todo el tema. Pareca que levantaba la cortina y ense-aba la perspectiva lejana, donde se vean los objetivos concretos y se abra el camino queno tena fin.

Una vez me dijo: "Ud. no tiene que tener concepto de m como de una persona que soloentiende de matemticas; pertenezco a aquellas personas que tienen opinin propia sobrems o menos cualquier cuestin". Siempre saba que Andrey Nikolyevich era un matemticode una amplidud extraordinaria, pero no poda sospechar en que medida estaba ilimitado suhorizonte intelectual en filosofa, economa, poltica, geografa, en cuestiones relacionadascon el arte y la literatura. Adems era muy original, casi siempre impredecible; en particularen sus pasiones. En cierta ocasin se entabl una conversacin sobre los grandes escritoresdel siglo XX. Me qued pensativo y empec a recordar los nombres de los ms prestigiososescritores de aquellos tiempos (a mediados de los aos cincuenta) - Gorki, Shlojov,Faulkner, Rolland, Hemingway, Remark... Andrey Nikolyevich nombr sis titubeos las obrasde A. France y de T. Mann como cimas de la literatura mundial. Cuando se entabl una con-


A. B. Sosinski

A. N. Kolmogrov

versacin sobre la poesa, Andrey Nikolyevich, as mismo impredeci-blemente para m, destac a Evtushenko (10) que por aquel entoncestena 24 aos.

Andrey Nikolyevich era un esquiador apasionado e infatigable, le gus-taban mucho las excursiones largas en esques. En una ocasin nospidi que invitramos a algn estudiante de nuestro curso que se dedi-cara a esqu de competicin para hacer una excursin muy larga. Ennuestro curso haba un estudiante que tomaba parte en las competicio-nes. Le comentamos la peticin de Andrey Nikolyevich y la aceptcon mucho gusto. Al principio nuestro compaero haca travesuras, seescapaba, aguardaba a Andrey Nikolyevich, despus ya iba a su ladoy al final de la excursin, Andrey Nikolyevich simplemente llavaba susesques. En las excursiones de esques largas (especialmente sin muchoentrenamiento) a veces llega un momento en el que la persona todava

puede andar a pie, sin embargo ya no es capaz de esquiar.

Alexadr Mijilovich ABRMOV, Doctor en Ciencias Pedaggicas (11), Director del sector delInstituto de Investigacion Cientfica de los Contenidos y de los Mtodos de Enseanza,recuerda:

Supe de Andrey Nikolyevich cuando yo tena 14 aos y estudiaba el sptimo grado de laescuela. Le su folleto Sobre la profesin del matemtico. Est escrito de una forma accesibley brillante, por eso recuerdo muy bien mis impresiones e incluso algunos problemas. Mi pri-mer encuentro con Andrey Nikolyevich sucedi en el ao 1963, cuando Kolmogrov entre-gaba los diplomas a los ganadores de la Olimpiada Matemtica de Rusia.

El mismo ao fueron organizadas en primer lugar la primera Escuela Matemtica de Verano enKrasnovdovo (en las afueras de Mosc) y despus la EFM (Escuela Fsico-Matemtica) adscritaa la Universidad Estatal Lomonsov de Mosc. Nosotros, los alumnos de la primera promo-cin, considerbamos que habamos tenido una gran suerte: tanto en la Escuela de Verano,como en la Escuela Fsico-Matemtica, Andrey Nikolyevich haba sido nuestro profesor. Porlo visto l mismo tena sentimientos especiales hacia los primeros 19 graduados de la EscuelaFsico-Matemtica (muchos aos ms tarde an l nos recordaba a todos).

Estando estudiando en la Facultad Mecnico-Matemtica de la Universidad Estatal Lomonsovde Mosc, estuve trabajando de Profesor de Matemticas en la Escuela Fsico-Matemtica yme encontraba con bastante frecuencia con Andrey Nikolyevich. Sin embargo para m fueuna total sorpresa cuando un poco antes de terminar la carrera me propuso dedicarme profe-sionalmente a las tareas de Matemticas de la Enseanza Media y ser su alumno de docto-rado. Naturalmente enseguida acept su ofrecimiento. Tambin fue un suceso para m la pri-mera visita a Komarovka.

Mi primer trabajo cientfico lo hice en la Universidad bajo la direccin del Catedrtico V. M.Tijomirov, alumno de Kolmogrov. As que en cierta medida conoca la naturaleza de laescuela de Andrey Nikolyevich y esto me result de gran ayuda.

Aunque me esperaba el trabajo sobre la tesis, el tema de la misma exiga principalmente refle-xiones en la esfera de las Matemticas. Andrey Nikolyevich plante sucintamente el pro-blema: me dio la lista de los axiomas de la planimetra de Euclides, que puso como base delcurso de geometra del bachillerato, y me dijo que basndose en los mismos, haba que daruna exposicin exacta de la Geometra y estudiar la axiomtica. No hubo ningn tipo de indi-caciones (por ejemplo, en qu orden enunciar los teoremas) ni sugerencias. Andrey



A. N. Kolmogrovpaseando por el

campo

Nikolyevich solo destac el resultado que ms leinteresaba, el teorema sobre la medicin de los ngu-los, y seal algunos trabajos que podran ser tiles.

De esta forma me dio libertad total. El asunto selimit a unas disquisiones muy breves. Sin embargoAndrey Nikolyevich controlaba los resultados fina-les y lea atentamente el texto final.

Ms tarde trabajamos mucho en la elaboracin de loslibros de textos escolares. Andrey Nikolyevich leaminuciosamente el texto. Cuando algo no le gustaba(esto ocurra constantemente, inluso cuando estba-mos corrigiendo las pruebas) se estudiaban numero-sas redacciones del texto. A consecuencia de esto,surgan montaas de borradores.

Segn mi parecer, lo principal que inspiraba AndreyNikolyevich como maestro, como director cientficoera el entusiasmo por el trabajo y la creencia en tuspropias fuerzas. Consegua que el alumno superara lameta que el propio alumno se haba marcado.Sentas en cierto modo vergenza de no cumplir la tarea que te daba Andrey Nikolyevich.Puede ser que por eso se consiguiera hacer mucho de lo que antes pareca imposible. Es muyimportante tener un ejemplo de ese tipo ante los ojos: para Andrey Nikolyevich parece queno haba problemas que no se pudieran resolver. l lo saba todo.

Me parece que en algn momento de su vida (por lo visto en la temprana juventud) decidique una persona est simplemente obligada a ser feliz y para esto le hacen falta determinadascosas. Adems es necesario que todas las actividades que elige la persona, le tienen que entu-siasmar de verdad. Andrey Nikolyevich consigui hacer su vida de esta forma: los logros desu trabajo creador son extraordinarios, l saba apreciar muchas cosas (le gustaba el trato conla gente, la naturaleza, la msica, la literatura...).

Su vida externamente racional y mesurada, interiormente era dinmica, llena tanto por el inte-rs por todo lo existente como por las emociones profundas. En una ocasin AndreyNikolyevich observ que en su opinin cualquier persona, empezando desde un momentodeterminado, sigue permaneciendo en aquella edad para la cual, lo ms caraterstico, es lapercepcin del mundo que es propia a esta persona. A la pregunta directa: "Cuntos aostiene, Andrey Nikolyevich?", l contest: "Catorce".


A. B. Sosinski

Algunos de los libros escritos porA. N. Kolmogrov

Autor: Vicente Mea

villa

Revista SIGMA 24

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7 Kolmogorov