66331707 Notas de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.

COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 1

Introducción a las ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es una expresión matemática en la que intervienen derivadas de una o más funciones. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, se afirma que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Significa que para toda función continua integrable se verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. La aplicación de este teorema a las Ecuaciones Diferenciales implica que es posible obtener una función a partir de la integración de una ecuación diferencial. A este proceso se le denomina la solución de una ecuación diferencial, existiendo diferentes métodos de solución de acuerdo al tipo de ecuación diferencial a resolver. Las ecuaciones diferenciales y su solución representan una de las herramientas fundamentales en el estudio de diversos campos del conocimiento, y en especial en las diversas ramas de la ingeniería: física, mecánica, economía, química, electricidad, electrónica, metalurgia, etc. En lo referente a Ingeniería Química, su aplicación es imprescindible en la solución de problemas en diversos temas: termodinámica, balance de materia y energía, fenómenos de transporte (transferencia de calor, transferencia de masa, transferencia de cantidad de movimiento), cinética química, ingeniería de reactores, operaciones unitarias, diseño de equipos y procesos, control de procesos, optimización, etc. A continuación se ilustran algunos ejemplos de aplicación de las ecuaciones diferenciales que describen modelos físicos en ingeniería, con el propósito de ilustrar algunas de sus diversas aplicaciones. El desarrollo de modelos de aplicaciones en ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales requiere del estudio de cada disciplina en particular, y solicita del alumno destreza en el manejo del cálculo diferencia e integral. En realidad, el estudio avanzado en ingeniería requiere que el estudiante desarrolle sólidos conceptos en ecuaciones diferenciales. Por ejemplo: a) En física clásica, la distancia vertical s recorrida por un cuerpo que cae por acción de la gravedad terrestre g durante un tiempo t se describe por la ecuación diferencial:

d s

dtg

2

2

b) El desplazamiento vertical x de una masa m sujeta a un resorte con constante de Hook de elasticidad k se escribe:

md x

dtkx

2

2

c) En fenómenos de transporte, la ecuación de continuidad representa un balance de masa en un elemento diferencial de volumen, teniendo el sistema una densidad y movimiento a velocidad v



tv( )

d) La denominada Ecuación de Onda se aplica en la teoría electromagnética en relación al fenómeno de propagación de ondas. El concepto parte del análisis elemental del comportamiento vibratorio u oscilatorio de cuerdas:

2

2

22

2

u

tc

u

x

e) La transferencia de calor por conducción en tres dimensiones, en un sistema con conductividad térmica k y temperatura T se describe por:

FHG

IKJ

T

tk T k

T

x

T

y

T

z

22

2

2

2

2

2

f) En un reactor químico, se plantea un balance de masa en un elemento diferencial del sistema, donde se incluye a los términos de acumulación de materia como la derivada de la concentración C en función del tiempo, el transporte convectivo asociado a la velocidad v del fluido, el transporte difusivo J y velocidad de reacción R para el compuesto j:

C

tC R

j

j j jv Jd i

Se debe observar que en el planteamiento de la solución de problemas en ingeniería donde interviene una ecuación diferencial, ésta representa un modelo que describe el comportamiento de las propiedades del sistema, es decir representa un modelo del sistema a nivel diferencial. Una de las tareas más importantes en ingeniería constituye la elaboración y estudio de los modelos diferenciales que describen a los sistemas, y proceder a su solución (es decir, la integración de la ecuación diferencial) para describir al sistema en su totalidad.

Definiciones básicas, terminología y notación de las ecuaciones diferenciales

Por notación, se escribe „y‟ como la variable dependiente y „x‟ como la variable independiente. A la variable dependiente también se le llama función incógnita. En problemas en función del tiempo „t‟ a este se le considera como variable independiente.

Se utilizan otras letras del alfabeto griego y latino, y se describen propiedades físicas normalmente acuerdo a la primera letra de su denominación, T, temperatura, P, presión, r, radio, etc. En cada caso es importante establecer la notación correspondiente e identificar a las variables dependientes e independientes.



Una ecuación diferencial puede escribirse en diferentes notaciones para las derivadas. Se ejemplifican las notaciones para primera, segunda y tercera derivada:

a) Notación de Liebnitz:

dy

dx

d y

dx

d y

dx, ,

2

2

3

3

b) Notación de Lagrange:

f x f x f x' ( ), ' ' ( ), ' ' ' ( )

c) Nótación de Cauchy ó Jacobi:

D f D f Dx x x, ,2 3

d) Notación de Newton:

y y y

, ,

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en determinar la función que al derivarse cumpla una determinada ecuación diferencial. Existen métodos específicos para la solución de las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su clasificación, por lo que de inicio es importante identificar a las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su clasificación.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se clasifican en:

a) Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Por ejemplo:

dy

dxx y 3 4 1

d y

dx

dy

dxy

2

23 5 0



xy y' 23

5

d

dr

tan

d s

dtg

2

2

y y y ex' ' 'b g b g2 35

b) Ecuaciones en derivadas parciales (EDP): aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. En ellas, aplican la notación de la derivación parcial.

z

xz x

z

dy

2

2

22

2

u

tc

u

x

FHGIKJ

C

t

D

rr

C

r

j j j

2

2

2

2

2

2

2

20

T

x

T

y

T

z

Definición de orden y grado de una ecuación diferencial

Una primera derivada se denomina de primer orden, una segunda derivada se denomina de segundo orden, etc. El orden de una ecuación diferencial corresponde a la derivada de mayor orden presente en la ecuación diferencial:

EDO de primer orden y

x y

x y'

1

1

EDO de segundo orden ( ' ' ) 'y y y e x3 22

EDO de tercer orden y y y sen x' ' ' ( ' ' ) ' ( ) 2 2

EDP de primer orden

FHGIKJ

FHGIKJ

z

x

z

x

z

y

z

y

2 2

0

EDP de segundo orden

2

2

2

20

x y

El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden presente en ella. Se identifica con el exponente que se aplica la derivada de mayor orden:



EDO de primer orden y primer grado y

x y

x y'

1

1

EDO de primer orden y segundo grado ( ' ) 'y y2 2 1 0

EDO de segundo orden y primer grado y y x' ' ' 3 4 2 2

EDO de segundo orden y tercer grado ( ' ' ) 'y y y e x3 22

EDP de primer orden y segundo grado

FHGIKJ

FHGIKJ

z

x

z

x

z

y

z

y

2 2

0

EDP de segundo orden y primer grado

2

2

2

20

x y

El operador derivada dy/dx es posible descomponerlo en los operadores diferenciales dy, dx, por ejemplo la ecuación diferencial:

dy

dx

M x y

N x y

( , )

( , )

Se puede reordenar como:

M x y dx N x y dy( , ) ( , ) 0

Ejercicios Recomendados:

Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales como ordinarias ó parciales, identificando variables dependientes e independientes, indicando orden y grado:

a) x y xy y2 0' ' ' g)

FHGIKJ

1

r rr

r

b) dy

dxx

dy

dxy exF

HGIKJ

3

2 3

h) cot d d 0

c) y sen x' ' ' ( ) i) ( )D D y ex2 3 2



d) yT

xxy x

T

y

0 j)

d

dt

d

dt

k2

2

2 2

3

FHGIKJ

e) d y

dxe xx

2

2 cos k) x

z

xy

z

yt

z

txyt

f) ( ) ( )x y dx x y dy 1 2 3 0 l) ( ) lnx D xD y x x x2 2 23 4

Teorema de Existencia y Unicidad de las Ecuaciones Diferenciales

Solución ó Primitiva

Resolver una ecuación diferencial consiste en determinar la función que sujeta a derivación genere la misma ecuación diferencial. Resolver una ecuación diferencial de orden n significa obtener una función con n constantes arbitrarias independientes que al derivarse satisfaga la ecuación diferencial original. A esta función se le denomina primitiva o solución general. Una solución particular de una ecuación diferencial se obtiene de la primitiva otorgando valores definidos a las constantes arbitrarias

Por ejemplo, sea la ecuación diferencial:

d y

dx

3

30

Se observa que al derivar tres veces la siguiente función:

y C x C x C 1

2

2 3

se satisface la ecuación diferencial, por lo que la función se considera solución o primitiva de la ecuación diferencial, y las constantes C1, C2 y C3 siendo arbitrarias engloban al conjunto de posibles soluciones particulares. Sea por ejemplo, para esta misma ecuación diferencial

y x x 3 5 42

La cual al derivarse tres veces también cumple con la ecuación diferencial. Las constantes para ésta no son valores arbitrarios, están bien definidos, C1= -3, C2= +5, C3= -4, y se dice que esta función es una solución particular de la ecuación diferencial.

Teoremas de Existencia y Unicidad:



Se deben cumplir ciertas condiciones para la solución de una ecuación diferencial, las cuales se enlistan en el Teorema de Existencia y Unicidad:

Sea una ecuación diferencial de la forma y´ = g(x,y) en la que:

a) g(x,y) existe y es continua en la región en la región R de puntos (x,y)

b) g y/ existe y es continua en todos los puntos de R

Entonces la ecuación diferencial admite infinitas soluciones f(x,y,C) = 0, donde C es una constante arbitraria (Existencia), tales que por cada punto de R pasa una y sólo una curva de la familia f(x,y,C) = 0 (Unicidad).

Ejemplo: Sea la ecuación diferencial y´ = y2, determinar la posible existencia de solución. Solución:

Aplicando los teoremas de existencia, tenemos: g(x,y) = y2 ; g/y = 2y

a) g existe y es continua en R,

b) g/y existe y es continua en R, se concluye que para la ecuación diferencial y´ = y2 existe una solución en R tales que por cada par (x,y) en R pasa una y sólo una curva de la familia de la solución.

Ejemplo: Sea la ecuación diferencial y´ = 3y2/3 con valor inicial y(2) = 0, determinar la posible existencia de solución.

Solución:

Aplicando los teoremas de existencia, tenemos: g(x,y) = 3y2/3 ; g/y = 2/y1/3 a) g existe y es continua en R,

b) g/y existe y es continua en R, excepto para y = 0 Se observa que se cumple el inciso (a) del teorema de existencia, pero no con el inciso (b) para y(2) = 0, que es una condición necesaria a cumplir de acuerdo al enunciado del problema. Por lo tanto, no se puede garantizar la existencia y unicidad para una solución de este problema.

Es importante anotar que el no cumplimiento del teorema de existencia y unicidad no impide integrar la ecuación diferencial y obtener una primitiva con constantes arbitrarias:

dy

ydx

y x C

2 3

1 3

3/

/

z z



Y es seguro que esta solución puede satisfacer la condiciones de otro planteamiento distinto a la condición inicial y(2) = 0.

Ejemplo: Sea la ecuación diferencial definida como lineal:

dy

dxyP x Q x ( ) ( )

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en el intervalo x(a,b), determinar la posible existencia de solución. Solución: Reordenando:

dy

dxyP x Q x ( ) ( )

Aplicando los teoremas de existencia, tenemos:

g(x,y) =-yP(x)+Q(x)

g/y = -P(x)

Se concluye que para la ecuación diferencial lineal existe una solución siempre que g(x,y) =-

yP(x)+Q(x) y g/y = -P(x) existan y sean continuas en el región R acotada por x(a,b). Esto se cumple por las propiedades de continuidad de P(x) y Q(x).

Ejercicios recomendados: Aplicar el teorema de existencia y unicidad a las siguientes ecuaciones diferenciales para determinar la posible existencia de una solución única y satisfactoria.

1. ' 2xy y

2. yy x' 0

3. 2 0y y'

4. e y yx y '

5. y e e xy x' 2 3 22

6. y xy' 3

7. xy y' ln 2



Interpretación geométrica de la solución de las ecuaciones diferenciales. La derivada de una función se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente en cada punto de función. La derivada es una función en sí, y su derivada (es decir la segunda derivada de la función original) corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente de la derivada, y así sucesivamente. Esta interpretación geométrica de la derivada es de utilidad en el planteamiento de ecuaciones diferenciales que deben satisfacer determinadas condiciones geométricas. De acuerdo a la geometría analítica, a la función que es solución de una ecuación diferencial le corresponde el trazado de un lugar geométrico o curva; si se habla de la primitiva o solución general, entonces las constantes de integración son arbitrarias y geométricamente corresponde a un conjunto denominado familia de curvas de la solución. Si se habla de una solución particular, geométricamente corresponde a una sola curva, que es a propósito elemento del conjunto de la familia de curvas de la solución primitiva.

Otra aplicación de la interpretación geométrica de la derivada se aplica en la determinación de trayectorias ortogonales en familias de curvas, tema que se trata más adelante. Familia de Curvas Sea una ecuación diferencial y su solución f(x,y,C) que posee y traza un lugar geométrico en el plano; si f(x,y,C) es la primitiva o solución general, entonces existe un conjunto o familia de curvas asociadas a la expresión de f(x,y,C), tal que cada una de ellas satisfacen la ecuación diferencial. Ejemplo: Hallar la ecuación diferencial cuya solución es una función cuya pendiente es igual al doble de la suma de sus coordenadas x, y. Solución: la pendiente de la función que es solución de la ecuación diferencial corresponde al valor de la derivada y´=dy/dx. De acuerdo al enunciado, la pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas, es decir:

dy

dxx y 2( )

La solución primitiva de esta ecuación diferencial es:

y x Ce x 1

2

2

El método de solución se expone en el capítulo correspondiente a EDO reducibles a exactas, por ahora nos interesa observar la familia de curvas trazadas por esta función. La constante C es arbitraria y puede tomar distintos valores. En la figura 1.1 se grafican algunos de los integrantes de la familia de curvas de la solución primitiva:



Figura 1.1 Familia de curvas de la solución primitiva y x Ce x 1

2

2

Ejemplo: Sea una función tal que las rectas tangentes a ella tienen una pendiente igual a y´ y una ordenada al origen igual a 2xy2. Determinar a) la ecuación diferencial, b) la gráfica de la familia de curvas. Solución: La expresión de una recta es y = mx +b, así

ydy

dxx xy 2 2

Que es la ecuación diferencial solicitada. La solución de esta ecuación diferencial es:

yx

x C

2

El método de solución se expone en el capítulo correspondiente a la solución de EDO de variables separables, por ahora nos interesa observar la familia de curvas trazadas por esta función. De nuevo, la constante C es arbitraria y puede tomar distintos valores. En la figura 1.2a se grafican



algunos de los integrantes de la familia de curvas de la solución primitiva para valores de C positivos, en la figura 1.2b se grafican para valores de C negativos:

Figura 1.2a Familia de curvas de la solución primitiva yx

x C

2 para C positiva

Figura 1.2b Familia de curvas de la solución primitiva yx

x C

2 para C negativa



Ejercicios Recomendados Para las siguientes ecuaciones diferenciales, demostrar que la función que le sigue es su solución, y hacer un gráfico de su curva o familia de curvas.

1) xydx x dy

y x C

( )

( )

1 0

1

2

2 2

2) ( ) ( )x y dx x y dy

x xy y C

2 2 3 0

4 32 2

3) xydx x y dy

x y Cx y

( )( )

ln ( )

1 1

1

4) ( )y x dx xydy

x y x C

2 2

2 2 4

0

2

5) cot

cos

dr rd

r C

0

Trayectorias ortogonales

De acuerdo con la geometría analítica, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando los valores

de sus pendientes satisfacen m1m2 = -1. Existe un punto de intersección entre ambas rectas, que es un vértice se forma un ángulo de 90° entre ambas rectas.

Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se intersectan en el punto P, son ortogonales en su punto de intersección cuando las rectas tangentes de ambas funciones en dicho punto son perpendiculares entre sí. Por tanto, en un punto de corte ortogonal entre dos funciones f(x) y g(x) se cumple que las derivadas de ambas funciones satisfacen:

df

dx

dg

dx

FHGIKJ FHGIKJ 1

Ejemplo: Sean dos funciones f(x), g(x), tales que se intersectan en (2,2), como se ilustra en la figura 1.3a. Existe la posibilidad de que el punto de intersección sea un punto de corte ortogonal. Determinar si



las funciones f y g cumplen con la condición de ortogonalidad en le punto P(2,2), y escribir las expresiones de las rectas tangentes para ambas funciones en dicho punto.

Figura 1.3a Curvas de las funciones f(x) y g(x) que se interceptan en el punto P(2,2)

Solución: Las funciones son:

f x e x( ) 2

3

4

3

3 6

g x e x( ) 1

6

11

6

3 6

Sus derivadas:

f x e x' ( ) 2 3 6

g x e x' ( ) 1

2

3 6

Y la condición de ortogonalidad se cumple:



f x g x e ex x' ( ) ' ( ) FHG

IKJ 1

22 13 6 3 6c h

Por lo que se puede afirmar que las curvas de las funciones f(x) y g(x) son ortogonales en el punto de intersección (2,2).

Para las rectas solicitadas, estas son a) tangentes a las funciones f y g, b) perpendiculares entre sí, por lo que m1m2 = -1, c) ambas pasan sobre el punto (2,2)

Para la función f x e x( ) 2

3

4

3

3 6, su derivada es f x e x' ( ) 2 3 6

, y se evalúa en (2,2):

m e1

3 0 62 2

De geometría analítica, la expresión de la línea recta: y y m x x 1 1( )

y x

y x

2 2 2

2 2

( )

Para la función g x e x( ) 1

6

11

6

3 6, su derivada es g x e x' ( ) 1

2

3 6, y se evalúa en (2,2):

m e2

3 2 61

2

1

2

De geometría analítica, la expresión de la línea recta: y y m x x 1 1( )

y x

y x

21

22

1

23

( )

Y se comprueba que ambas rectas tangentes a las curvas son perpendiculares entre sí:

m m1 2 2 1 2 1 b gb g/



Figura 1.3b Curvas de las funciones f(x) y g(x) y de las rectas tangentes y el punto de intersección ortogonal

Trayectorias Ortogonales Para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas se escribe primero la ecuación diferencial que describe a la familia; la ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula a partir de la condición de ortogonalidad.

Sea dy

dxf x y ( , ) la ecuación diferencial que describe una familia de curvas.

La ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula dy

dx f x y

1

( , )

Ejemplo:

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas yC

x 1

Solución: La familia de curvas corresponde a hipérbolas, donde C1 es una constante arbitraria, habrá tantas curvas como valores de C1 se asignen.

La ecuación diferencial de esta familia de curvas se obtiene derivando:



dy

dx

C

x 1

2

Pero C1 = yx Entonces:

dy

dx

y

x

Es decir, de dy

dxf x y ( , ) , se tiene que f x y

y

x( , ) , por lo que la ecuación diferencial de la

familia ortogonal se determina:

dy

dx f x y y x

x

y

1 1

( , ) /

dy

dx

x

y

Esta ecuación diferencial se resuelve por el método de variables separables:

ydy xdx zz

y xC

2 2

22 2

Que también se puede simplificar como y x C2 2

2 donde la constante C2 es arbitraria. En la figura

1.3c se grafican la familia de la función y = C1/x, y la familia de función

y2 - x2 = C2, ortogonales entre sí en sus puntos de intersección.



Figura 1.3c. Familia de curvas ortogonanalesde la función y = C1/x, y de la función y2 - x2 = C2

Ejercicios recomendados Obtenga las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:

1) y C x 1

2

2) y C e x

1

3) y C x2

1

3

4) 3 4 1x y C

5) yC

x

1

21

6) yx C

1

1

7) y C sen x 1 ( )



8) y x C x2 2

1

3

9) y eC x 1

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

0dyyM

yNdx

xN

xM

2

2

1

1

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

(VARIABLE SEPARABLE)

No 1

yxedx

dy 43

Desarrollo

dxdy y4x3

0

0

43

43

dydxee

dydxe

yx

yx

044

1)3(

3

1

0

43

4

3

dyedxe

e

dydxe

yx

y

x

Cee yx 43

4

1

3

1

No 2

0dyx1ydxy1 22

Desarrollo



0dyy1

y

x1

dx

22

2

22

2

22

1

11

x

dxxsenarc

xuxu

aa

a

usenarc

ua

du

0dyy2y12

1xsenarc 2

12

Cy

xsenarc

21

1

2

1 21

2

Cxsenarcy1 2

No 2

xyyx1dx

dy

Desarrollo

Por factorización

)1)(1(

)1(11

yx

xyxxyyx

Separación

dxxy

dy

yxdx

dy

)1()1(

)1)(1(

Integración



Cx

y

dxxy

dy

2

)1(1ln

)1(1

2

Resultado

C2

xxy1ln

2

No 3

0dx)xy4x2(dyyxy6 22

Desarrollo

Factorización, separación e integración

0dx)y42(xdyx6y 22

06ln2

142ln

8

1

0)6()42(

22

22

Cxy

x

xdx

y

ydy

Cxy 22 6ln2

142ln

8

1

Cx6ln4y42ln 22

No 4

2

22

x1

yx

dx

dy

Con condiciones iniciales

2)0( xy

Solución

Por factorización, separación e integración

Tip



a

utanarc

a

1

ua

du22

Solución general y partícular

Cy

1xtanarcx

2

1

y

1xtanarcx

2

1C

C2

10tanarc0

Cy

1xtanarcx

2

1xtanarcx

y

1

No 5

ey

yyxseny

)2

(

ln

Desarrollo Por factorización y separación

senx

dx

yy

dy

ydxyxdysen

yydx

dyxsen

ln

ln

ln

Integración



Cxxy

dxxy

y

dy

xsen

dx

yy

dy

cotcsclnlnln

0cscln

0ln

Dxx

y

ee

Cxx

y

Cxx

y

cotcsc

ln

cotcscln

lnln

cotcsc

lnln

y

2x

11

1

2cot

2csc

ln

D

De

)cot)(csc1(ln xxy

2tan

2tan

ln

x

x

y

ey

ee

No 6

1)0(3 xyeedx

dyye yxyx

Desarrollo

dx

e

edy

e

yx

x

y

31



dxdxeydye

dxe

edx

eydye

xxy

x

x

x

y

4

31

Ce

eyx

xy

4)1(

4

Cálculo de C con condiciones iniciales

4

5

4

110

4)11(

)0(401

C

C

Ce

ee

4

5

4)1(

4

x

xy eeye

No 7

2

yxsen

2

yxseny

Se utiliza una identidad trigonométrica y se simplifica



22cos2

22cos

2cos

222cos

2cos

2

22cos

2cos

222

22cos

2cos

222

22

ysen

x

dx

dy

ysen

xyxsen

ysen

xyxsen

dx

dy

ysen

xyxsen

yxsen

ysen

xyxsen

yxsen

yxsen

yxsen

dx

dy

Se separan los argumentos en torno a las diferenciales e integra

dx2

1

2

xcos2dy

22

ycsc

dx2

xcos

2

ysen2

dy

C2

xsen2

4

ytanln

No 8

yx1yxy 2

Desarrollo

2

2

2

1

)(1

1

xx

dx

y

dy

dx

dyxxy

dx

dyx

dx

dyxy

Integración



)1x(x

dx

1y

dy

)1x(x

dx1yln

La integral se resuelve por fracciones parciales

1

1

1)1(

1

B

A

x

B

x

A

xx

C1xlnxln)1x(x

dx

1x

dx

x

dx

)1x(x

dx

Cx

xy

)1)(1(ln

Aplicando antilogaritmos

Cx

xy

eeC

x

xy

)1)(1(

)1)(1(ln

x1

Cx1y

EJERCICIOS PROPUESTOS No 1

0dx)y21(x2dyx6y 22

Solución



Cx6lny21ln4

1 22

No 2

yxedx

dy 43

Solución por separación y factorización

Cee xy 34

3

1

4

1

No 3

0dx)xy4x2(dyyxy6 22

Solución por factorización y separación

Cxy 22 6ln2

142ln

8

1

No 4

dxxydxxydy x2x

Solución por factorización e integración

0dxxyy

dy x

2

C)1x(y

1yln x

Ecuaciones reducibles a variables separables



Características inmediatas

No son factorizarables

Se aplica un cambio de variable.

No 1

yx3dx

dy

R = 3x + y

dR = 3dx +dy

Re-arreglando

3dx

dR

dx

dy

0)3(

3

dRdxR

Rdx

dR

Integrando

3RlnCx

C3Rlnx

03R

dRdx

3ln)( RCx ee

Simplificando

33 yxeC x

No 2



1yxyx1dx

dy

yxR

yxR

1

1

2

12

12

dx

dRR

dx

dy

dx

dy

dx

RdR

2

2

2

2

2

2

2

2

R2

R2R

dx

dR

R2

1

R

R2R

dx

dR

R

R2R

dx

dRR2

R

R

R

2R

dx

dRR2

1R

2R

dx

RdR2

R

2R1

dx

RdR2

2RR1dx

RdR2



02

212

02

2

02

2

2

2

2

2

2

dRRR

Rdx

RR

dRRdx

RR

dRRdx

02RR

dR)R2(2dR2dx

2

Solución de la tercera integral por fracciones parciales

1R2R

dRR2

1R

dR

3

1

2R

dR

3

4

R2)B2A()BA(R

R2B2BRAAR

R2)2R(B)1R(A

R21R

B

2R

A

3

4A

3

1

3

3A

3

1B

1Rln3

12Rln

3

4

C1Rln3

22Rln

3

8R2x

C1Rln3

12Rln

3

42R2x



32

8

32

8

21

1112

2

12

1ln3

22ln

3

82

yx

yxCyxx

R

RCRx

RRRCx

2

821

1112

yx

yxCyxx

No 3

2

2

)yx(

ay

2

2

)yx(

a

dx

dy

1

1

dx

dR

dx

dy

dx

dy

dx

dR

dx

dydx

dx

dR

yxR



22

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

Ra

dRRdx

Ra

dRRdx

dxR

RadR

R

R

R

a

dx

dR

R

a

dx

dR

R

a

dx

dR

22

2

Ra

adR

a

yxarcaCy

Ca

yxarcayxx

Ca

Rarc

a

aRx

Ra

dRadRdx

tan

tan

tan2

22

2

a

yx

a

Cy

arctan



PROPUESTOS No 1

)cos( yxdx

dy

Tip: yxR

Solución

)yxcsc()yxcot(Cx

No 2

2)yx(dx

dy

Solución

Cx)yx(tanarc

No 3

)2yx(cos

1

dx

dy2

Tip: 2 yxR

Solución

2y)2yxcot(C

No 4

dy)1y2x2(dx)1yx(

Tip: 2 yxR

Solución

yxlny2xC

No 5



3y4x3

2y4x3

dx

dy

Tip: yxR 43

dx

dy43

dx

dR

dx

dR

dx

dy

dx

dR

dx

dy

34

1

34

1

4

1

4

1

3

1

3

)3(

1

)3(

8493

3

84

)3(

)3(3

3

843

3

843

3

23

4

1

R

dRdRdx

R

dRdRdx

R

RdR

R

Rdx

dx

dR

R

R

dx

dR

R

RR

dx

dR

R

R

R

R

dx

dR

R

R

R

R

dx

dR

R

R

dx

dR



4143ln

143ln444

143ln443

143ln443

1)43(ln4)43(

1ln4

CDDyxyx

Cyxyx

Cyxyxx

Cyxyxx

Cyxyxx

CRRx

143

143

143

143ln

1

143ln

yxeC

yxe

yx

yxDyx

yx

Dyx

Dyx

yxDyx

e

e

ee

Solución

1431

yxeCyx

Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas



No 1

2x

yy

2

2

2x

y

dx

dy2

2

0dydx2x

y2

2

Para comprobar que es homogénea debe cumplirse que

),(),(

&

yxfyxf

yyxx

0dydx2x

y

0dydx2)x(

)y(

22

22

2

2

Solución con el cambio:

xddxdy

vxyx

yv

02

0)(2

0)(2)(

2

2

22

2

2

xddx

vdxxdvdxx

xv

vdxxdvdxx

vx

Solución por separación de variables

02vv

dv

x

dx2



0)1v)(2v(

dv

x

dx

........................... ecuación A

)1v(2v(

dv

12

0

12)(

1)2()1(

112

BA

BA

BABAv

vBvA

v

B

v

A

3

1A

3

1B

1v

dv

3

1

2v

dv

3

1

Cv

vx

Cvvx

Cvvx

Cvvx

v

dv

v

dv

x

dx

eeC

v

vx

2

)1(

1ln2lnln

1ln2lnln3

1ln3

12ln

3

1ln

013

1

23

1

3

)2(

)1(ln

3

3

Cambiando v x = y



Cxy

xyx

C

x

xy

x

xyx

C

x

y

x

yx

)2(

)(

2

2

1

3

3

3

)(2 3 xyDxxy

No 2

dx)yx(dy)yx(

yx

yx

dx

dy

0dx)yx(dy)yx(

Para determinar si es homogénea se hace el cambio de variable

0dy)yx(dx)yx(

0dy)yx(dx)yx(

0dy)yx(dx)yx(

0dx)yx(dy)yx(

Homogénea de grado 1

Por lo tanto se hace el siguiente cambio de variable



xddxdy

vxyx

yv

Desarrollo

x

dxd

dvvxdxvx

dvxvxdxxvx

dvvxxdxxvxvvxx

xdvvdxvxxdxvxx

2

22

222

222

1

)1(

0)1()1(

0)()(

0)()(

0))(()(

Cvtanarc1vlnxln

Cvtanarc1vln2

1xln

01v

dv

1v

dv)2(v

2

1

x

dx

0dv1v

)1v(

x

dx

2

2

22

2

x

yarcCxy

x

yarcCxy

Cx

yarc

x

yx

Cvarcvx

tanlnln

tanln

tan1ln

tan1ln

22

22

2

2

2

x

ytanarcxyCln 22



No 3

PROPUESTOS

No 1

x

ylnyyx

Tips

uxyyyxx

x

y

x

y

dx

dy

ln

Solución

Cxxey 1

No 2

dy)xy2x(dx)xxy3y3( 222

Tips

Solución intermedia

xy

x

C

x

xy

x

y

x

C

x

yx

yx

2

1

11lnln

2

2

2



23

22

2

)(1

)2(

yxx

C

C

x

xxy

x

y

x

xy

x

xy

x

Solución definitiva

23 )( yxCx e xy

x

No 3

yxyyxy 22

dxydyxyx

ydx

dyxyx

dx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyxy

22

22

22

22

)(

)(

0

Verificación de homogeneidad

0)(

0)()(

0)()))(()((

222

22222

22

dxydyxyx

dxydyxyx

dxyyxdyx

Homogénea de gado 2

Solución



0)1()(

0)()(

0)())((

0)()))(((

32

3322222

222

22

dvvxdxvx

dvvxxdxxvvxvx

dxvxxdvvdxvxx

dxvxxdvvdxvxxx

xdvvdxdy

0

0)1(

0)1(

3

2

v

dvdv

x

dx

dvv

v

x

dx

dvv

vdx

x

x

eyC

Cey

eey

ey

ee

x

y

x

y

Cx

y

Cx

y

Cx

yy

1

ln

Solución

e xy

Cy

PROPUESTOS

No 1

22 yxyyx

Solución final

222 xyyxC

1



No 2

x

y

ex

yy

x

y

exC

ln

No 4

0xydx2dy)x3y( 22

Determinación de la homogeneidad

0dx)xy2(dy)x3y(

0dx)xy2(dy)x3y(

0dx)y)(x(2dy))x(3)y((

222

22222

22


Reducción a variables separables

xddxdyvxyx

yv

Solución como variables separables

0)(

)3(

0)(

)3(

3

2

3

2

3

2

dvvv

v

x

dx

dxx

x

vv

dvv

)1v)(1v(v

3v

)1v(v

3v 2

2

2

)1v(

CBv

v

A

)1v)(1v(v

3v2

2



0&2&1

)(3

)()1(3

22

22

CBBA

ACvBAvv

vCBvvAv

1v

v2

v

dv3

2

Dxy

y

x

xy

x

y

x

y

x

yx

Dx

ee

Cv

xv

Cvvx

Cdvv

v

v

dv

x

dx

Cv

xv

22

3

2

22

2

3

2

2

3

3

2

3

1ln

2

3

2

2

1

1

1ln

1lnln3ln

)1(

)2(

2

23

2

3

Solución

322 1y

Dxy

No 5

22

22

xxy2y

xxy2y

dx

dy



0dx)xxy2y(dy)xxy2y( 2222


0)2()2(

0))())((2)(())())((2)((

22222

2222

dxxxyydyxxyy

dxxyxydyxyxy


Transformación a una ecuación de variables separables

xdvvdxdy

xy

0)1()12(

0)()2(

0)2())(2(

0)2)(())(2)((

23223

2222233332

22222222

2222

dxvvvxdvvvx

dxxvxvxxvdvxvxxv

dxxvxxvxdvvdxxvxxv

dxxxvxvxxdvvdxxxvxvx

Integración de la ecuación diferencial

Cdxx

xdv

vvv

vv

3

2

23

2

)1(

)12(

0x

dxdv

)1vvv(

)1v2v(23

2

)1v(

C

1v

BAv

)1v)(1v(

1v2v

)1v)(1v(

1v2v

1v)1v(v

1v2v

)1vvv(

)1v2v(

22

2

2

2

2

2

23

2

CBBAvCAvvv

vCvBAvvv

)()(12

)1()1)((12

22

22

2&0&1 ABC



)1v(

1

1v

v2

)1v)(1v(

1v2v22

2

0)1()1(

22

v

dv

v

vdv

x

dx

Cv

vxCvvx

1

)1(ln1ln1lnln

22

C

x

xy

x

xyx

x

x

x

y

x

x

x

yx

x

y

x

yx

2

22

2

2

2

2

2

2

lnln

1

1

ln

DeeC

x

xy

x

xyx

2

22

ln

Solución

Dxy

xy

22

No 6

0dy)xlny(lnxdx)xlnyylnyx(

0dyx

ylnxdx

x

ylnyx


0)ln(ln)lnln(

0)ln(ln)lnln(

&

dyxyxdxxyyyx

dyxyxdxxyyyx

xxxy




Transformación a variables separables

xddxdyvxyx

yv &

0)dvvlnxxdx

0)dvvlnxdx)vlnvvlnv1(x

0)dvvlnxdxvlnxvdx)vlnv1(x

0)xdvvdx(vlnxdxvlnvxx

2

2

2

Cx

y

x

y

x

yx

Cvvvx

Cvvvx

dvvx

dx

lnln

lnln

lnln

0ln

Solución

yxCylnyxln)yx(

Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas

Forma general

0dy)cybxa(dx)cybxa( 222111

Se tienen dos casos posibles, según el valor del determinante de los argumentos

Si 0 entonces la ecuación es reducible a variables separables.

Si 0 entonces la ecuación es reducible a homogénea

No 1

0dy)4yx(dx)2yx(

El sistema de ecuaciones es



4

2

yx

yx

32

6

12

2

62441

21

24214

12

21111

11

0

0

D

Dy

D

Dx

D

D

D

y

x

y

x

El cambio de variable es

dYdyYyYy

dXdxXxXx

3

1

0

0

Substitución en la ecuación diferencial

0)()(

0)431()231(

dYYXdXYX

dYYXdxYX

Ahora es homogénea. Determinación del orden

0)()(

0)()(

dYYXdXYX

dYYXdXYX

Homogénea de grado 1.

Transformación a ecuación de variables separables

XdvvdXdY

vXYX

Yv



2

22

222

21

)1(

0)1()21(

0)()(

0))(()(

d

X

dX

dvvXdXvvX

dvvXXdXXvvXvXX

XdvvdXvXXdXvXX

0)12(

)1(2

2

12

vv

dvv

X

dX

12

22

122

)12(ln

22

2

2

12

)12(

12lnln

212lnln2

12ln2

1ln

22

CX

Y

X

YX

CvvX

DvvX

CDDvvX

CvvX

eeDvvX

Solución

122 2 CXYXY

Se retorna a las variables originales

3

1

yY

xX

DCyxxyxy

Cxxxyxyyy

Cxxxyxyyy

Cxxyy

14842

)12662296

)12()33(296

)1()1)(3(2)3(

22

22

22

22



Solución

Dyxxyxy 84222

No 2

2

2

)1yx(

)2y(2y

dx)2y(2dy)1yx(

)1yx(

)2y(2

dx

dy

22

2

2

0dy)1yx(dx)2y(2 22

21

22

11

20

31

33

11

12

111

10

0

0

D

DyD

D

DxD

D

y

y

xx

dYdyYyYy

dXdxXxXx

2

3

0

0

0)(2

0)123()22(2

22

22

dYYXdXY

dYYXdXY

Comprobación de homogeneidad

0)(2

0)(2

0)()(2

&

2222

2222222

22

dYYXYXdXY

dYYXYXdxY

dYYXdXY

YYXX



Es homogénea de grado 2

Transformación a variables separables

XdvvdXdYvXYX

Yv

0)21()(

0)2()22(

0))(2(2

0)()(2

0)()()(2

2332

32333222222

222222

222

22

dvvvXdXvvX

dvvXvXXdXvXvXvXvX

vdXXdvvXvXXdXvX

vdXXdvXvXdXvX

vdXXdvXvXdXXv

Separación e integración

0)(

)21(

0)(

)21(

3

2

3

2

3

2

dv

vv

vv

X

dX

dvvv

vvdX

X

X

)vv(

)v2v1(2

2

ACvBAvvv

vCBvvAvv

vvv

CBv

v

A

vv

vv

vv

vv

vv

vv

)(12

))(()1(12

)1(1)1(

12

)1(

12

)(

)12(

22

22

2

22

2

2

2

3

2

2&01&1 CBABA



)1v(

dv2

v

dv2

eDvX

ee

varcXvC

varcCvX

varcCvX

CvarcvX

Cv

dv

v

dvX

X

dx

varc

varcXvC

tan2

tan2ln

1

1

1

2

1

tan2ln

tan2lnlnln

tan2lnln

tan2lnln

)1(2

Retornando a las variables originales

DeDY X

Yarc tan2

La solución definitiva es

eyD x

yarc

3

2tan2)2(

No 3

dx)5xy2(dy)4yx2(

4yx2

5xy2

dx

dy

0dy)4yx2(dx)5xy2(

42

5252

yx

yxxy



23

66104

42

51

13

3385

14

25

34112

21

0

0

D

DyD

D

DxD

D

y

y

xx

dYdyYyYy

dXdxXxXx

2

1

0

0

Transformada a homogénea

0)2()2(

0)4222()5142(

0)4)2()1(2()5)1()2(2(

dYYXdXXY

dYYXdXXY

dYYXdXXY

0)2()2(

0)2()2(

0))()(2())()(2(

dYYXdXXY

dYYXdXXY

dYYXdXXY

La ecuación es homogénea de grado uno

Transformar a una ecuación de variables separables

XddXdYvXYX

Yv

0)2()1(

0)2()(

0))(2()2(

22

222

dvvXdXvX

dvvXXdXXvX

vdXXdvXvXdXXXv

Solución de la ecuación diferencial



Cv

vvX

Cv

vvX

v

dv

v

vdvX

dvv

v

X

dX

1

1ln

2

21ln

2

1ln

1

1ln

)1(2

121ln

2

1ln

01

21

2

2

1ln

01

2

2

2

22

2

Dv

vvX

D

v

v

vX

ee

C

v

v

vX

C

v

v

vX

2

222

2

22

1

1

)1(ln

2

22

)1(

)1)(1(

1

1

)1(

1

1

)1(ln

2

22



XYDXY

XYDXYXY

XYDYXYXY

XYDXYY

X

XYD

X

YXY

X

XYD

X

YXY

X

XYD

X

Y

X

XYx

X

YD

X

Y

X

YX

vDvvX

3

23

22

2222

2

2

2

222

2

2

2

222

22

2

222

22

2

22

2222

)(

)()(

1))((

1

1

1

1

111

)1()1)(1(

Retornando a las variables originales

12)12( 3 xyDxy

Solución

3()1( 3 xyDxy

No 4

0dy)4y(dx)2yx(

Criterio para conocer si es reducible a variables separables u homogénea



41

4404

40

21

21

2242

14

12

10110

11

4

2

0

0

D

DyD

D

DxD

D

y

yx

y

y

xx

Es reducible a homogénea

dYdyYyYy

dXdxXxXx

4

2

0

0

0)(

0)44()242(

0)4)4(()2)4()2((

YdYdxYX

dYYdXYX

dYYdXYX

0)(

0)(

YdYdxYX

YdYdXYX


Transformar a ecuación de variables separables

XddXdYvXYX

Yv

0)1(

0)(

0))(()(

22

22

dvvXdXvvX

dvvXdXXvvXX

vdXXdvvXdXvXX



Cv

arcvvX

va

dvdv

vv

vX

dvvv

v

X

dX

dvvv

vdX

X

X

3

12tan

3

2

2

11ln

2

1ln

2

1

1

)12(

2

1ln

0)1(

0)1(

2

222

2

22

Cx

y

arcxyxy

Cx

y

arcx

y

x

yx

Cx

y

arcarcx

y

x

yx

x

y

X

Y

3

1)2

4(2

tan3

22424ln

3

1)2

4(2

tan3

21)

2

4()

2

4(2ln

3

1)2

4(2

tan3

1tan1)

2

4()

2

4(ln

2

12ln

2

4

22

22

2

PROPUESTAS A REDUCIBLES A HOMOGENEAS

Tips: Reducir a homogéneas, determinar el grado de homogeneidad, transformar a variables separables, resolver, volver a las variables originales y presentar el resultado

No 1

dx)1yx2(dy)1y2x(

1y2x

1yx2

dx

dy

Solución



Cyxyxyx 22

No 2

0dy)1yx(dx)2x2(

Solución

1xlnC1x

y2

x

yln

3

12

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS

Tienen el formato

0),(),( dyyxNdxyxM



Condición de exactitud

x

N

y

M

Ejercicios

No 1

02

2

2

dy

y

xdx

y

xex

exactax

N

y

M

y

xx

yx

x

yx

y

x

x

N

y

x

y

yx

y

yx

y

y

x

y

e

y

M x

22

2

2

2

2

2

1

22

11

22

12

0

2

)(

)(2

2

2

2

2

2

yCy

xeu

yfx

yeu

xxy

xeu

xy

xeu

xMu

x

x

x

x



Cfy

f

y

x

dy

df

y

x

y

uN

dy

df

y

yx

y

e

y

u x

0

1

2

2

2

2

2

Solución

Cy

xex

2

Método alternativo propio para ingeniería química

No 2

y

y

x

x

x

x

x

y

y

x

x

x

yyxxxy

xe

Cyy

xx

y

xe

000

00

220

2

20

2

)2

(

0

20

2

0

20

20

20

2

10

120

20

2

0

0

)()(1

y

xeC

y

xe

Cy

x

y

x

y

x

y

xee

Cyyxxxy

ee

xx

xx

xx o

Condiciones iniciales



0

200

y

xeCI

x

Solución

Cy

xex

2

No 3

01221 2223

dy

yx

yxxydx

yx

xyy

Solución

2

322

2

232

)(

1224

)(

)1)(1()23)((

yx

yyxxy

y

M

yx

xyyxyyyx

y

M

2

322

2

222

)(

1224

)(

)1)(122()42)((

yx

yyxxy

x

N

yx

yxxyxyyyx

x

N

exactaesx

N

y

M



yxxyx

xyyxyu

xyxyx

xy

yx

yu

xyx

xyyu

xMu

lnln

1

1

23

23

23

yxxyu

yxyxyxyyxyu

yxyx

xyxyyxyu

yxxyx

yyyxyu

ln

lnlnln

lnln

ln1ln

2

323

323

23

Integrando N con respecto de “y”

yyxyx

yx

yxyx

yxyxyyxv

yyx

yyx

yxy

yx

yxv

yyx

yxxyv

00

30

20

0

30

200

00

20

0

2

0

0

2

002

12

2222

122

122



yxyxv

yxyxyxyxv

yxyxxyxyxxyxyxv

02

0

020

20

20

0030

200

30

20

20

ln

ln22

lnln22ln22

Límites de u entre x y x0

yxyxyxxyu 02

02 lnln

Límites de v entre y y y0

000200

20 lnln yxyxyxyxv

Cyxxy

yxyxCI

yxyxyxxyvu

ln

ln

lnln

2

00200

00200

2

Solución

Cyxxy ln2

No 4

0dyy

x2xtany3dx

y

x3x4xsecy

3

32

2

2323

Método corto

3

222

3

222

y

x6xsecy3

x

N

y

x6xsecy3

y

M

Son exactas

Integración de M

xMu



dy

ydf

y

xxy

y

uN

yfy

xxxyu

xfy

xxxyu

xy

xxxyu

)(2tan3

)(tan

)(3

3

4

4tan

34sec

3

32

2

343

2

343

2

2323

Determinación de f(x)

Cf0dy

df

dy

df

y

x2xtany3

y

x2xtany3

3

32

3

32

Cy

xxxtany

3

343

No 5

0222222

dyy

y

e

yx

ydx

y

e

yx

x xx

Prueba de que es exacta



22

322

223

22

121

22

)(

))(1()2()(2

1

)(

y

e

yx

xy

y

M

yeyyxxy

M

y

ye

y

yxx

y

M

x

x

x

22

322

22

322

2

21

22

)(

01

)2()(2

1

)2(1)(

y

e

yx

xy

x

N

ey

xyxyx

N

x

y

x

e

yx

yxy

x

N

x

x

x

exactaesx

N

y

M

Integración

xMu

y

eyxu

y

eyxu

dxey

dxyxxu

xy

e

yx

xu

x

x

x

x

21

22

21

22

21

22

22

)(

21

)(

2

1

1)(



22

122

02

2

122

0

22

122

0

22

122

0

22

122

00

0

0

2

12

1

222

1

2)(

2)(

yy

eyx

y

eyxv

yyyyeyyxyv

yyy

e

yx

yv

yy

e

yx

yN

xx

x

x

x

Integrar entre límites

yy

xx

0

0

02

0

2

12

0

2

022

122

0

21

22

02

122

00

0

)()(

yy

eyxy

y

eyxv

y

e

y

eyxyxu

xx

xx

2

0

0

2

12

0

2

0

2

0

0

2

12

0

2

022

122

0

0

yy

eyxCI

yy

eyxy

y

eyxvu

x

xx

Solución

Cyy

eyx

x

221

22 )(



Ejercicios propuestos

No 1

0dy)3xy(dx)1yx(

Tip es exacta Solución

Cy32

yxyx

2

x 22

REDUCIBLE A EXACTAS

Ejercicios

No 1

0)1(

11

322

dy

y

xdx

yx

y

Comprobación de exactitud

x

N

y

M

yx

x

yxx

N

yxy

y

y

y

xy

M

22

2

1

)1(

1

)1(

1)1(

)1(

32)1(3

2

Criterios para factor integrante de un sola variable

ey

ex

dyy

M

x

N

M

dxx

N

y

M

N

1

1

)(

)(



x

y

x

y

x

x

x

N

y

M

N

y

x

yx

x

N

y

M

N

yxx

N

y

M

yyxx

N

y

M

2

)1(1

)1(1

2

1

)1(1

)1(

22

1

)1(

22

)1(

1

)1(

32

2

2

2

2

2

22

El factor integrante es función de x

2lnln222 2

xeeeexx

x

dxdx

x

0)1(1

322

32

22

dy

y

xxdx

y

x

x

yx

Criterio de exactitud

2

2

2

2

)1(

32

)1(

32

y

xx

x

N

y

xx

y

M



)1(

)1(3

3

22

1

32

)1(

32

32

22

2

2

y

xyxu

y

xxyu

xxy

xxyu

xy

xxyu

xMu

)1(

)1(

32

2

32

y

xyxv

yy

xxv

)1()1(

)1()1(

0

3

000

23

00

2

0

3

020

32

y

xyx

y

xyxv

y

xyx

y

xyxu

)1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

0

3

000

2

0

3

000

23

03

2

0

3

000

23

00

2

0

3

020

32

y

xyxCI

y

xyx

y

x

y

xyxvu

y

xyx

y

xyx

y

xyx

y

xyxvu

Resultado



C)1y(

xyx

32

Resultado

No 2

0)cos()cos( dyxxysenxdxxsenxxy

Comprobación de exactitud

x

N

y

M

xxsenxxyx

N

xy

M

coscos

cos

No son exactas

Determinación del factor integrante de una variable

1cos

cos1

?cos

cos1

coscoscos

xsenxxy

xsenxxy

y

M

x

N

M

xxysenx

xsenxxy

x

N

y

M

N

xxsenxxyxx

N

y

M

0)cos()cos(

)(

dyxxeysenxedxxsenxexye

eey

yyyy

ydy

Criterio de exactitud

xsenxexyexeexyxxsenxex

N

xsenxexyexexsenxexyeey

M

yyyyy

yyyyyy

coscoscos)cos(

coscoscos)(



senxexxeysenxeu

xxsenxexdxyeu

xxsenxexyeu

xMu

yyy

yy

yy

cos

cos

)cos(

yyy

yy

yy

xexsenxeyev

yexxyyesenxv

yxxeysenxev

cos)(

cos

cos

La integral de cada función tomando límites es

000000000

0000

coscos

coscos

000 xexsenxesenxeyxexsenxesenxyev

senxexxeysenxesenxexxesenxyeu

yyyyyy

yyyyyy

La suma de ambas funciones es

00000

00000

cos

coscos

000

000

xexsenxesenxeyCI

xexsenxesenxeysenxexxesenxye

yyy

yyyyyy

Resultado

Csenxxxysenxey )cos(


No 1

0)2(2

)2(1 2

dyey

y

xdxey xx

Respuesta

Cyey

x x

)2(2



No 2

0ln22

dy

y

xxedxye yy

Respuesta

Cxyxey 22 ln

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

Caso 1:

dxxQCy

xQyxPdx

dy

eeePdxPdxPdx

)(

)()(

Caso 2:

dyyQCx

yQxyPdy

dx

eeePdyPdyPdy

)(

)()(

Ejercicios

No 1

ysenxxcosxcosy 2

Se despeja la derivada:

xyxy

xyx

senxy

x

senxyxy

cos)(tan

coscos

coscos

Desarrollo



xcos)x(Q

xtan)x(P

xdxxxx

Cy

xxeee

xxdxxdx

coscoscos

1

cos

cos

1sec

seclntantan

)xcossenx2(4

1x

2

1x2sen

4

1x

2

1

xdxcos2

xcossenx2

1x

2

1

xcossenx

2

1x

2

1

xcos

1

xcos

Cy

No 2

)1x(22xx

y3y

2

)1(2)(

2

3)(

2

xxQ

xxxP

Desarrollo

𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−

3𝑑𝑥𝑥2−𝑥−2

)1x)(2x(



3)B2A()BA(x

3B2BxAAx

3)2x(B)1x(A

31x

B

2x

A

11

32

0

BA

BA

BA

dx

1x

2x)1x()2(

2x

1x

2x

1xCy

2

)2x(dx)2x(

2

2

)2x()2(

2x

1x

2x

1xCy

2

)2(

])2)[(1( 2

x

Cxxy

No 3

xeyyx x ln2

dxxQCy

xQyxPdx

dy

eeePdxPdxPdx

)(

)()(

Se despeja la derivada

x

x

x

e

x

y

dx

dy x ln2

Desarrollo



x

x

x

xexQ

xxP

ln)(

2)(

2ln222

2ln22

2 1

x

x

eee

eee

xx

dxdx

x

xx

dxdx

x

xx

xxx

x

x

exe

edxexxe

vdxdu

dxdvxu

vduuvudv

1

x

dx

2

x

2

xlnx 22

2

2

ln

2xv

x

dxdu

xdxdvxu

xdx2

1

2

xlnx2

2

dxxxlnxx

1

x

Cy

dxxx

xln

xx

1

x

Cy

21

x

22

2x

22



2

x

2

1

2

xlnx 22

2

22

22 4

1ln

2

11xxxxe

xx

Cy xx

No 4

0senxdydxsenxxcosy5

Se despeja la derivada y se da formato

Desarrollo

1)x(Q

xcot5)x(P

51lnln5cot5

5

senx

senxsenxxdxeee

dxsenxsenx

1

senx

Cy 5

55

senxxxx

senxsenxsenx

4cos2cos212

2cos1

225

5

xcos

3

xcos2xcos

senx

1

senx

Cy

dx)senx(xcos)senx(xcos2senxsenx

1

senx

Cy

53

55

42

55

1cos5

01cos5

senx

xy

dx

dy

dx

dy

senx

xy



xsen

xcos5

1

3

xcos2xcosC

y5

53

No 5

x2xy2dx

dy 2

Desarrollo

x2x)x(Q

2)x(P

2

eee

eeee

xdxPdx

x

xdxPdx

22

2

22 1

21

22222

1

2

1

2

2222

1

2

I

dxxxe

I

xdxxexexe

Cy

dxxexxxexe

Cy

vduuvudv

evdxdu

edvxu

exeI

x

x

xx

2

22

22

1

2

22

1

22

2

2

122

xedvxu

xexxeI

xevdxdu 2



2

1

2

122

1

2

2

2

12222

2

1

2

1

2

xxxexexe

Cy

xexxexexxexexe

Cy

4

1

2

1

2

1

4

1

2

1

2

1

22

222222

xxCey

exexeexCey

x

xxxxx

1224

1 22 xxCey x

No 6

0dyyx2xyydx x Formato utilizado 𝑑𝑥/𝑑𝑦 + 𝑃(𝑦)𝑥 = 𝑄(𝑦) Desarrollo

y

y

y

ey

yx

dy

dx

ey

xxy

dy

dx

y

ye

y

x

y

xy

dy

dx

)2(

2

02

yeyQ

y

yyP

)(

2)(

2

2ln

ln2222

y

e yyy

yyy

dydydy

ydydy

y

y

ee

eeeeee



yyyyy

yyy

yyyy

eyeeyy

e

y

Ceex

dyyey

e

y

Cex

dyeyey

e

y

Cex

2222

22

22

22

2

22

2

122

22

22

yyey

e

y

Cex y

yy

122

2

22

yyy

e

y

Cex

yy

Solución

22 2

111

2 yy

e

y

Cex

yy

No 7

0dy1ycosxysenydxcos 32

Desarrollo

seny

ysecycotx

dy

dx

ysenycos

1

seny

ycosx

dy

dx

ysenycos

1

ysenycos

ycosx

dy

dx

2

2

22

3

seny

ysec)y(Q

ycot)y(P

2



seny

seny

ee

eee

senyydy

senysenyydy

lncot

lnlncot 11

ytanycscycscCx

ydysecycscycscCx

senydyseny

ysecycscycscCx

2

2

ycos

seny

seny

1ycscCx

Solución

ysecycscCx

Ejercicios propuestos No 1

xsecxtanydx

dy

Solución

xcos

xCy

No 2

xeyxdx

dyx 3)13(

Solución

xx

ex

Cey 3

3

No 3

yy

y

ee

ex

dy

dx

21

Utilizar



yy

y

ee

eyQ

yP

21)(

1)(

Solución

yyyy eeCex ln

ECUACIONES TIPO BERNOULLI

Ecuaciones diferenciales reducibles a lineales

Tienen el formato y esquema de solución siguiente

dxxQnCy

n

n

yxQyxPdx

dy

eeePdxnPdxnPdxnn

n

)1()1()1(1 )()1(

0

1

)()(

No 1

)x21(yyx2yx 2232

Desarrollo

22

)221(2

2

)221(22

yx

xxy

dx

dy

x

xyxyy



eeeeex

xxdxdxxPdxn

n

x

xxQ

xxP

2

2

222)2()21()1(

2

2

21)(

2)(

eeeex

xxdxPdxn 2

2

2

22)1(

dxxex

xxexCey

222

2

221)21()21(

dxedx

x

e xx

2

1

2

22

I1 se resuelve por partes

dxex

e

dxxexx

e

x

xv

dxxdv

dxxedvv

xx

xx

xx

2

2

2

2

22

2

)2(1

1

1

2

1

1

1

2

dxeedxex

e xxx

22

2

22

x

eeCey

xxx

2

221

Solución



x

Cey

x 11 2

No 2

)senxxcosx(yxcosysenxy2 3

Desarrollo

dxexQneCey

yxQyxPdx

dy

PdxnPdxnPdxnn

n

)1()1()1(1 )()1(

)()(

senx

senxxxy

senx

xy

dx

dy

2

)cos(3

2

cos

3n

senx2

senxxcosx)x(Q

xcot2

1

senx2

xcos)x(P

senxeeeee

senxsenxxdxxdxxdx 11lnlncotcot

2

12cot

2

1)31(

dx

senx

1

senx

senxxcosx

2

31senxCsexy n1

senx

dxdx

xsen

xcosx

dxxsen

senxdx

xsen

xcosx

1

2

22

senx

1

1

xsenvdxdu

xdxcosxsendvxu

vduuvudv

1

2



dxsenx

1

senx

1x1

senx

x

senx

dx

senx

dx

senx

x

xCsenxy

senx

xsenxCsenxy

2

31

Solución

xCsenxy

12

No 3

dy)x3yxxy(dx)3y(y 222

Tiene el formato y solución siguiente

dyeyQneCex

xyQxyPdy

dx

PdynPdynPdynn

n

)1()1()1(1 )()1(

)()(

)x3yxxy(dy

dx)3y(y 222

Desarrollo

2

)3(

3)(

)3(

3)(

2

)3(

)3(

)3(

3

n

yy

yyyQ

yyyP

xyy

yyx

yydy

dx



eee y

dy

y

dydy

yydy

yy

3)3(

3

)3(

3)21(

Solución de las integrales I:

1B

1A3A3

BA0BA

33A)BA(y

3By3AAy

3By)3y(A

33y

B

y

A

3

13lnln3

yyyy

y

dy

y

dy

eee

y

yy

y

yyy

dy

y

dy

yy

dy

eeee3

)3(13lnln

3)3(

3)21(

dy

y

3y

)3y(y

yy)21(

3y

y

3y

Cyx

321

Solución de las integrales

dyy

yy2

3

yln2

y

y

dydyy

2



yln

2

y

3y

y

3y

Cyx

21

Solución

3y

ylny2

yCy

x

3

1

No 4

2

32

3x

e

x

yyy

x

Desarrollo

223

223

yx

xe

x

yy

yx

xe

x

yy

2

3)(

1)(

2

n

x

exQ

xxP

x

3

lnln3 1))2(1(

3

xeee

xxx

dx

3lnln33

))2(1( xeeexx

x

dx

dxxx

e

xx

Cy

x3

233

)2(.1

3))2(1(

1

1

3

1

3

xdxexdxe x

x



x

x

evdxdu

dxedvxu

vduuvudv

xxxxx

exedxexexdxe

xx exe3

1

3

1

xx

xx

exexx

Cy

exexx

Cy

3

13

3

1

3

13

33

3

33

3

Solución

3

3

x

exeCy

xx

No 5

23

1

233

1323

yy

xy

dx

dy

xydx

dyy

2y3

1

3

x

3

yy

Desarrollo

2

3

1)(

3

1)(

yn

xxQ

xP

ee

eeex

dx

xdxdx

3)21(

3)21(



dxxexxexCey

3

)1()21(21

dxedxxeCey xxx

x

3

33

xx evdxedv

dxduxu

x

x

x

x

x

xx

xxxxx

xxxxx

e

e

e

e

e

xeCey

eeexeeCey

edxexeeCey

3

3

3

Solución

23 xCey x

No 6

33 xx2yxyy

33 xx2yxydx

dy

Donde

3

32)(

)(

n

xxxQ

xxP

eeee

eeeeex

xxPdxn

xx

xPdxPdxn

22

22

222)1(

222)31()1(

dxexdxxeeCey

dxexxeCey

xxxx

xxx

2222

222

32

32

22

2)2(



22

2

2

22

2

xx

x

x

exevduuv

xedvxdxdu

evxu

121

21

2

12

1

2

2

3

2

3

2

2

222222

22222

xCey

eexeeeCey

edxexeeeCey

x

xxxxxx

xxxxx

Solución

11 2

2

2

xCey

x


No 1

0xyyxy2 2

Donde

1

2

1)(

2

1)(

n

xQ

xxP

Tal que

x

xxdxx

dxx

Pdxn

xxdxx

dxx

Pdxn

eeeee

eeee

1lnln2

12

2

1)11()1(

ln2

12

2

1)11()1(

1

Solución

xlnxCxy2



No 2

3y

1yyx

Solución

1Cxy 44

No 3

2

xcosysenxyyy

33

Donde

3

2

cos)(

1)(

n

xsenxxQ

xP

Solución

xeeCey

xxx cos21 222

2

No 4

3

2

x

y4

x

y2y

Solución

2

2

x

1Cx

y

1



PROBLEMAS RESUELTOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: “La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T y la temperatura del aire To”.

)( oTTkdt

dT

TO = temperatura ambiente

Mediante el método de separación de variables

okt

kto

CktTT

o

TCeT

CeTT

dTkTT

dT

ee o

ln

Problema 1 Una taza de café a una T=92°C se introduce a una habitación con una temperatura ambiente de 25°C, transcurridos 10 min, la taza de café tiene una temperatura de 75°C. ¿Calcular la temperatura que se tendrá después de 20 min?. Calcular el tiempo en el cual la taza de café tendrá una temperatura de 30°C

CC

C

Ce

CTt

k

67

2592

2592

920

)0(

2567 kteT

5067

256775

75min10

10

)10(

k

k

e

e

CTt

1min029.010

67

50ln

67

50ln10

67

50ln10ln

k

kke

2567 029.0 teT



2567

?min20

)20(029.0

eT

Tt

Solución

C51.62T

029.0

67

5ln

67

5lnln

567

256730

?30

029.0

029.0

029.0

t

e

e

e

tCT

t

t

t

min49.89t

Problema 2 Un motor se ha sobrecalentado y alcanzado una temperatura de 400°C, para probar si sus partes se deterioran se introduce en ese instante en un frigorífico que se encuentra a 3°C. Transcurridos 15 min se mide su temperatura, y esta es 350°C. Calcule el tiempo en el cual el motor tendrá una temperatura de 220°CSi se necesita que el motor alcance la temperatura de 25°C ¿en que tiempo se realizará esto?

3400

3400

4000

)0(

C

Ce

TCeT

CTt

k

o

kt

C397C

o

kt TCeT



397

347ln)15(

ln397

347ln

397

347

3973350

3397350

350min15

15

)15(

)15(

)15(

k

e

e

e

eC

CTt

k

k

k

k

15

397

347ln

k

31097.8 k

3397220

3397

)1097.8(

)1097.8(

3

3

t

t

e

eT

3

3

1097.8

397

217ln

t

t1097.8397

217ln

min33.67t

3

3

)1097.8(

)1097.8(

)1097.8(

1097.8

397

22ln

)1097.8(397

22ln

ln397

22

339725

3397

3

3

3

t

t

e

e

eT

t

t

t

min50.322t

Problema 3



Una sustancia al colocarse en aire, cuya temperatura es de 20°C, se enfría de 100°C a 60°C en 10 min. Hallar la temperatura después de 40 min.

CkteoTT

CKtoTT

dtkoTT

dT

oTTdt

dT

ln

ktCoTT

aTktCeT

C100T0t

CC

C

C

CkC

80

20100

20100

20)0(100

oTkteT 80

C60Tmin10t

)10(8040

)10(802060

20)10(8060

ke

ke

ke



10

80

40ln

)10(80

40ln

)10(

80

40

k

k

ke

1min69.0 k

20)40(069.080

069.080

eT

oTteT

C25T

Problema 4 Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura del aire es de 10°F. Después de medio minuto el termómetro marca 50°F y al minuto marca 36.6°F. Hallar la temperatura inicial de la habitación.

CkteoTT

ktoTT

dtkoTT

dT

oTTkdt

dT

ln

ktCeoTT

aTktCeT

F50Tmin2

1t



CRECIMIENTO DE POBLACIÓN

“El crecimiento de una población es exponencial”

CktP

tkP

dP

kPdt

dP

Pdt

dP

ln

kt

CKtP

CeP

ee

ln

Problema 1 El crecimiento de las amibas en el organismo del ser humano. A un paciente se le hizo un análisis gastro-intestinal y se determinó una población de 7x106 de amibas. Después de 15 días se repitió el análisis y se determinó que la población de éstas se había triplicado. ¿En que tiempo la población será 5 veces mayor a la inicial?

)0(6

6

107

1070

kCeP

Pt

6107C

15

107

1021ln

)15(107

1021ln

107

1021

1071021

6

6

6

6

)15(

6

6

)15(66

k

k

e

e

k

k

0732.0k

0732.0

6107

61035ln

0732.06107

61035ln

0732.0610761035

tt

t

dias22t



Problema 2 Cierto día y con un fuerte dolor de cabeza el redactor de un reglamento fue a visitar al médico y los estudios practicados determinaron que las neuronas estaba disminuyendo. La primera prueba indicó que el número de neuronas fue de 1x106. Después de 20 días y de haber aprobado el reglamento, se comprobó que había disminuido el 2% de las neuronas. Determinar el tiempo en el cual sólo quedarían vivas el 60% de ellas.

ktCeP

)0(6

6

101

1010

kCe

neuronasPt

6101C

980000P

neuronaslasde%98Pdías20t2

20

101

980000ln

)20(101

980000ln

101

980000

101980000

6

6

)20(

6

)20(6

k

k

e

e

k

k

31001.1 k

teP31001.16101

5100.6)6.0(1000000

te31001.165 101100.6

t3

6

5

1001.1101

100.6ln

3

6

5

1001.1

101

100.6ln

t

diast 76.505

Problema propuesto



Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número de pobladores en dicho instante. Si la población de una ciudad aumenta en 40 años de 40000 a 90000 habitantes. Encontrar la población al cabo de 60 años.

ktCP

PROBLEMAS DE MEZCLADO EN TANQUES

Problema 1 Un tanque contiene inicialmente 50 galones de agua pura, en el tiempo t=0 entra al tanque una salmuera que contiene 2 lbs de sal disuelta por galón con un gasto volumétrico de 3 gal/min. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación. Una vez uniforme, ésta sale simultáneamente del tanque con la misma rapidez (con el mismo gasto). ¿Qué cantidad de sal se encuentra dentro del tanque después de 25 min?

Nota: que la mezcla sea ideal indica que la concentración dentro del tanque es la misma

Cantidad de sal en cada momento = ENTRADA - SALIDA

SS

EE

CGvS

CGvE

SEdt

dx

min

lbs

650

3

50

36

50min3

2

min3

x

dt

dxx

dt

dx

gal

lbsxgal

gal

lbsgal

dt

dx

GvE = 3 gal/min

CE = 2 lbs/gal

GvS = 3 gal/min CS = x lbs/50 gal

50 gal

H2O



dttQCx eee

PdtPdtPdt)(

6)t(Q

50

3)t(P

ee

eet

dt

tdt

50

3

50

3

50

3

50

3

0

50

3

50

3

50

3

50

3

50

3

50

3

100

50

3

3

50)6(

ttt

ttt

eeCex

tdeeCex

10050

3

t

Cex

Solución numérica

saldecantidad0x0t

100

1000 50

)0(3

C

Ce

100100 50

3

t

ex

?xmin25t

100100 50

)25(3

ex

lbs68.77x



Problema 2 Un tanque contiene inicialmente 50 galones de salmuera en donde se han disuelto 10 lbs de sal. Se bombea salmuera dentro del tanque a razón de 5 gal/min, con una concentración de 2 lbs de sal/galón. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y se descarga simultáneamente a razón de 3 gal/min. ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque después de 60 min?

min

gal2

min

gal3

min

gal5

SE

t2gal50V

10t250

x3

dt

dx

t250

x310

dt

dx

galt250(

lbsx

min

gal3

gal

lbs2

min

gal5

dt

dx

10)t(Q

t250

3)t(P

23250ln250ln

2

3

250

2

2

3

23

250ln250ln2

3

250

2

2

3

250

250

1

23

23

t

t

eeee

eee

ttdtt

ttdtt

GvE = 5 gal/min

CE = 2 lbs/gal

CS = x lbs/(50+2t) gal

50 gal

H2O

10lbs

GvS = 3 gal/min



t2502

t250

Cx

25

t250

t250

5

t250

Cx

td2t2502

10

t250

1

t250

Cx

23

25

23

23

23

23

23

t4100

t250

Cx

23

lbs10x0t

)0(4100

)0(250

C10

23

31820C

5090C

50

C10010

23

23

t4100

t250

31820x

23

?xmin60t

240100

170

31820x

)60(4100)60(250

31820x

23

23

lbs64.325x



Problema 3 Un tanque de 100 lts está lleno con salmuera que contiene 60 kg de sal disuelta. Entra agua en el tanque con un gasto de 2 lts/min, y la mezcla que se encuentra uniforme mediante agitación sale a la misma velocidad. ¿Cuanta sal queda en el tanque después de una hora?

0lts100

kgx

min

lts2

dt

dx

0min100

kgx2

dt

dx

min100

kgx2

dt

dx

0)t(Q

100

2)t(P

ee

eetdt

tdt

100

2

100

2

100

2

100

2

tdeeCex

ttt

100

2

100

2

100

2

)0(

100

2t

Cex

kg60x0t

60

60 100

)0(2

C

Ce

H2O

GvE = 2 lts/min

GvS = 2 lts/min CS = x kg/100 lts

100 lts

60 kg



100

2

60

t

ex

)60(100

2

60

ex

kg07.18x

PROBLEMA 4

En el tanque hay 378 lts de salmuera que contiene 23 kg de sal disuelta entra agua en el tanque a razón de 11.5 lts/min y la mezcla sale en igual cantidad. La concentración dentro del tanque se mantiene uniforme mediante agitación. ¿Qué cantidad de sal queda en el tanque al cabo de una hora? Si a la salida del tanque el gasto volumétrico fuera de 9 lts/min ¿Cuál será la cantidad de sal después de 30 min?

SEdt

dx

0min378

5.11

min378

5.110

378min5.11

min

5.110

kgx

dt

dxkgx

dt

dx

lts

kgxltslts

lt

kg

dt

dx

0)t(Q

378

5.11)t(P

H2O

GvE = 11.5 lts/min

GvS = 11.5 lts/min

378 lts

23 kg sal



ee

eetdt

tdt

378

5.11

378

5.11

378

5.11

378

5.11

tdeeCex

ttt

378

5.11

378

5.11

378

5.11

)0(

378

5.11 t

Cex

kg3x0t

23C

min60hr1

)60(378

5.11

23

ex

kg70.3x

Problema 5 Examine el esquema y la solución propuesta y proponga un texto para el problema

min

lts5.2

min

lts9

min

lts5.11Gv

SEdt

dx

H2O

GvE = 11.5 lts/min

GvS = 9 lts/min

378 lts

23 kg sal

378

t5.11

23x



0lt

kg0

min

lts5.11E

0t5.2lt378

kgx

min

lts9S

0t5.2378

x9

dt

dx

0)t(Q

t5.2378

9)t(P

5.29

5.29

5.29

5.29

)5.2378(

)5.2378(

1

5.2378ln5.2378ln5.2

9

5.2378

5.2

5.2

9

5.2378

9

5.2378ln5.2378ln5.2

9

5.2378

5.2

5.2

9

5.2378

9

t

t

eeee

eeee

ttdtt

dtt

ttdtt

dtt

)0(

t5.2378

1

t5.2378

Cx

5.29

5.29

259

)378(2323&0 Ckgxt

101037218284.4 C

5.29

10

)30(5.2378

1037218284.4x

Por lo que

kg98.11x



Problema 6 Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua limpia. En un tiempo t = 0, salmuera que contiene ½ libra de sal por galón, fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 galones por minuto y la mezcla homogenizada abandona el tanque con la misma. ¿Qué cantidad de sal hay en 2 minutos

SEdt

dx

150

x2

dt

dx

50

x21

dt

dx

min50

lbx2

gal50

lbx

min

gal2S

min

lb

min

gal2

gal

lb2

1E

dttQCx eee

PdtPdtPdt)(

eeetdtPdt

50

2

50

2

1)t(Q

50

2)t(P

½ lb/ galón

GvE = 2 gal/min

GvS = 2 gal/min CS = x lb/50 gal

100 gal

H2O



eeetdtPdt

50

2

50

2

ttt

ttt

eeCex

tdeeCex

50

2

50

2

50

2

50

2

50

2

50

2

2

50

2550

2

t

Cex

lb2

1x0t

252

1 )0(50

2

Ce

5.24C

255.24

255.24

)10(50

2

50

2

ex

ext

57.8x

Problema 7 Un gran tanque que está lleno con 100 galones de agua en el cual se disuelven 10 libras de sal, una salmuera que contiene 0.5 libras de sal por galón, se bombea dentro del tanque con una rapidez de 4 galones por minuto. ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque después de 10 min?

t

x

dt

dx

galt

lbxgalgal

gal

lb

dt

dx

2100

43

2100min

4

min

65.0

3t2100

x4

dt

dx



1)t(Q

t2100

4)t(P

42100ln2100ln42100

42100

4

4

42100ln2100ln42100

42100

4

2100

2100

1

2100

4

4

t

t

t

eeee

eeee

ttt

dtdt

t

ttt

dtdt

t

5

t2100

2

3

t2100

1

t2100

Cx

tdt21002

3

t2100

1

t2100

Cx

5

44

4

44

3.0t2100

t2100

Cx

10

3t2100

t2100

1

t2100

Cx

4

5

44

lb10x0t

0.5 lb/ galón

GvE = 6 gal/min

GvS = 4 gal/min

CS = x lb/(100+2t)gal

100 gal

+

10 lb sal



30100

C10

3.0)0(2100)0(2100

C10

4

3010100C

2000C

3.0)10(2100

)10(2100

2000x

3.0t2100t2100

2000x

4

4

999.35x

REACCIONES QUÍMICAS

Se basan en la ley de acción de masas.

En un sistema a volumen constante y temperatura constante, la velocidad de una reacción química es proporcional a las masas activas de las sustancias reactantes.; es decir, la velocidad con la cual una reacción se lleva acabo, depende de la cantidad de los reactivos presentes que aún no han reaccionado. La velocidad de reacción es la cantidad de materia que esta siendo transformada por unidad de tiempo, por unidad de volumen de reacción.

Reacción unimolecular

KtCAKAdt

dA

productosA

CktAdtkA

dAkdt

A

dA

kAdt

dAkA

dt

dA

dt

odA

dt

dP

AoAP

baPproductosbBaA

ln

)(

ktCeADkteAeln



Problema 1 Supóngase que una reacción química se desarrollo de acuerdo a la ley anterior. La mitad de la sustancia A, ha reaccionado al finalizar 10 seg. Encuéntrese ¿En cuanto tiempo se transforman 9/10 de la sustancia?

ktCeA

0AA0t

0

)0(

AC

CeA ko

Kt0AA

0A2

1Aseg10t Condiciones finales

)10(

)10(

0

0

)10(00

2

1

2

1

2

1

k

k

k

e

eA

A

eAA

segk

k

e k

10

2

1ln

102

1ln

ln2

1ln 10

10693.0 segk

teAA 0693.00

teAA 0693.000

10

1

1seg0693.0

10

1ln

t



segt 22.33

Problema 2 La sustancia química A se transforma en otra sustancia B. la velocidad de formación B varia en forma directamente proporcional a la cantidad de A presente en cada instante. Si inicialmente se hallan presentes 10 kg de A y en una hora 3 kg se han formado de B. ¿Qué cantidad de B se ha formado después de 2.5 hrs?

ktCeA

10100 CAt

k

e k

10

7ln

107 )1(

3566.0k

)5.2(3566.0

3566.0

10

10

eB

eB t

9.5B

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66331707 Notas de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas