6.2 你能证明它们吗

定理 : 等腰三角形的两个底角相等

简称 : 等边对等角推论 : 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边

上的高线互相重合 ( 三线合一 )结论 1: 等边三角形的三个角都相等 , 并且每个角都等于 60°

结论 2: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半 .

知识要点 :

结论 4: 等腰三角形两底角的平分线相等 .结论 5: 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等 .

等腰三角形的性质 :

结论 3: 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

等腰三角形判定定理 :有两个角相等的三角形是等腰三角形 .

简称 : 等角对等边 .等边三角形的判定定理：

有一个角是 60 。的等腰三角形是等边三角形 .

有三条边相等的三角形是等边三角形 .三个角都相等的三角形是等边三角形 .

特殊的直角三角形的性质 :在直角三角形中 , 如果有一个锐角等于 3

0 。 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半。

A

C

B

300300

A

B C300

ABACBC ::

重要思想：如何证明“线段的倍、分”问题转 化

“ 线段相等”问题

231 :: ABBC 3

习题 1.3 独立作业11

1. 已知 :如图 ,△ABC 是等边三角形 ,DE∥BC, 分别交 AB,AC于点 D,E. 求证 : △ADE 是等边三角形 . 证明 1: ∵△ABC 等边三角形∴ ∠A＝∠ B=∠A＝ 60 。 ( ) 又∵ DE∥BC( 已知 ), ∴∠1=∠B=60 。 ,∠2=∠C=60 。 ( 两直线平行 ,同位角相等 ). ∴ ∠A =∠1=∠2( 等量代换 ). ∴ △ADE 是等边三角形 (三个角相等的三角形是等边三角形 ).

B

E

C

D

A

1 2

2. 已知 :如图 ,△ABC 是等边三角形 ,过它的三个顶点分别作对边的平行线 ,得到一个新的△ DEF,△DEF 是等边三角形吗 ?你还能找到其它的等边三角形吗 ?请证明你的结论 .

答 :(1)△DEF 是等边三角形 ; (2)△ABE,△ACF,△BCD B

E

C

D

A F4

2

1

3

3. 房梁的一部分如图所示其中 BC⊥AC,∠A=30 。 ,AB=7.4m 点 D是 AB 的中点 ,DE⊥AC, 垂足为 E.求 :BC,DE 的长 .

解 :∵BC⊥AC,∠A=30 。 ( 已知 )∴ BC=AB/2=3.7( 在直角三角形中 , 如果有一个锐

角等于 30 。 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半 ) 又∵ AD=AB/2=3.7( 中点意义 ) ∴ DE=AD/2=1.85( 在直角三角形中 , 如果有一个锐角等于 30 。 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半 ) 答 :BC=3.7m,DE=1.85m.

B

E C

D

A 300

等边三角形 ,认识我吗 隋堂练习

44

4. 已知 : 如图 , 点 P,Q 在 BC 上 , 且 BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=60 。 ,AH⊥BC 于 H.(1) 求证 :AB=AC;(2) 试在图中标出各个角的度数 ;(3) 求出图中各线段的长度 , 并说明理由 .

′

胜利属于敢想敢干的人！你能与同学们交流探索证题的全过程吗 ?

A

B CP QH

含 300 角的直角三角形 隋堂练

习

已知 : 如图 ,在△ ABC 中 ,∠ACB ＝ 900,∠A=300,CD⊥AB于 D.

探索： BD 与 AB 的关系？你能规范地写出证明过程吗？

你的证题能力有所提高吗 ?

A

C

BD

300

1. 已知：如图，在△ ABC 中 , 高线 BD 和 CE 相交于 H ，∠ BHC=120°,HD=1,HE=3, 求 BD 和 CE 的长。

A

C

D

E

B

H13

?

120°

CH=2CE=5BH=6BD=7

2. 已知：如图，△ ABC 是等边三角形 ,D.E 分别是 BC,AC 上的点 , 且 AE=CD,BE 和 AD 相交于 P,BQ⊥AD, 垂足是 Q, (1) 求∠ BPD 的度数

(2) 求证 :BP=2PQA

CD

B

PE

Q

60°

1. 如图 ,△ABC 中 ,D.E 分别是 AC.AB 上的点 ,BD 与 CE 交于点 O, 给出下列四个条件 :①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO

③BE=CD ④OB=OC(1) 上述四个条件中 , 哪两个条件可判定△ ABC 是等腰三

角形 ( 用序号写出所有情形 )

(2) 选择的 1 小题的一种情形 , 证明△ ABC 是等腰三角形 .

B

A

E D

C

O

①③; ①④;②③; ②④

等腰三角形 ,我认识吗

2. 现有等腰三角形纸片 , 如果能从一个角的顶点出发 , 将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片 , 问此时的等腰三角形的顶角的度数 ?

36°90°108°

3. 将不全等的两个等边三角形△ ABC 和等边三角形△ DEF 任意摆放 , 请你画出不少于 5 种的摆放示意图 , 使得 AE=CF, 同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点 ( 重合的顶点算一个 ), 并说明理由 .

A B

C

E

F A B

E

C

F

反过来怎么样——逆向思维

命题 : 在直角三角形中 , 如果一条直角边等于斜边的一半 , 那么它所对的锐角等于 300.是真命题吗 ?如果是 , 请你证明它 .

心动 不如行动

300

A

B C

已知 : 如图 , 在△ ABC,∠ACB=900,BC=AB/2.求证 :∠A=300.

∵∠ACB=900( 已知 ), ∴AB=AD( 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ).又∵ BC=AB/2( 已知 ), BC=BD/2( 作图 ), ∴AB=BD( 等量代换 ). ∴AB=BD=AD( 等式性质） . ∴△ABD 是等边三角形 ( 等边三角形意义 ) ∴∠B=600( 等边三角形意义 ). ∴∠A=300( 直角三角形两锐角互余 ).

300

A

B C D

证明 : 延长 BC 至 D, 使 CD=BC, 连接 AD.

几何的三种语言 回顾反思

′

这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数 (30 。 ) 的根据之一 .

定理 : 在直角三角形中 , 如果一条直角边等于斜边的一半 , 那么它所对的锐角等于 30 。 .

在△ ABC 中∵∠ACB=90 。 ,BC=AB/2( 已知),∴∠A=30 。 ( 在直角三角形中 ,如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于 30 。 ).

A

B

C300

成功者的摇篮 试一试 11

1. 如图 (1): 四边形 ABCD 是一张正方形纸片 ,E,F分别是 AB,CD 的中点 , 沿着过点 D 的折痕将 A 角翻折 , 使得 A 落在 EF 上 ( 如图 (2)), 折痕交 AE 于点 G, 那么∠ ADG 等于多少度 ? 你能证明你的结论吗 ?

DA

CB

E F

DA

CB

E F

(1) (2)

G

A

成功者的摇篮 试一试 11

DA

CB

E F

(2)

G

A1

答 :∠ADG 等于 15。 . 证明 :∵DF=DC/2( 中点意义 ),

A1D=AD=CD( 正方形各边都相等 )∴DF=A1D/2( 等量代换 ).

∴∠DA1F=30 。 ( 在直角三角形中 , 如果一条直

角边等于斜边的一半 , 那么它所对的锐角等于 30 。 ).又∵ AD∥EF∴∠A1DA=∠DA1F=30 。 ( 两直线平行 , 内错角相等 ).∴∠ADG=∠A1DA/2=15 。 ( 角平分线意义).

●●

300

矩形 ABCD 中 ,AB=6,BC=8, 先把它对折 , 折痕为 EF 展开后再折成如图所示 , 使点 A 落在 EF 上的点 A' 处 , 求第二次折痕 BG 的长 .

A

BC

E

DG

A'F

34BG

36

已知正方形 ABCD 中 ,M 是 AB 的中点 ,E 是 AB 延长线上的一点 ,MN⊥DM, 且交∠ CBE 的平分线于 N, (1) 求证 :MD=MN(2) 若将上述条件中的“ M 是 AB 的中点”改为“ M 是AB 上的任意一点”，其它条件不变，则结论“ MD=MN” 还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由

A

D C

N

EBM

A

D C

N

EBM

.H H.

回味无穷

老师提醒 :• 反证法还认识你吗 ?

小结 拓展

A

C

BD 30 。

特殊的直角三角形的性质 :定理:在直角三角形中 , 如果有一个锐角等于

30 。 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半 .

定理:在直角三角形中 , 如果一条直角边等于

斜边的一半 , 那么它所对的锐角等于 30 。 .