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UAEM Facultad de Ingeniería Formulario: Geometría Analítica
David Isaías Jaimes Reyes
Universidad Autónoma del Estado de México
UAEM
“Facultad de Ingeniería”
Formulario:
“Geometría Analítica”
Elaborado por:
David Isaías Jaimes Reyes
Estudiante en Ingeniería en Electrónica
UAEM Facultad de Ingeniería Formulario: Geometría Analítica
David Isaías Jaimes Reyes
Formulario “Geometría Analítica”
1. VECTORES EN EL PLANO
Coordenadas del punto
medio de un segmento
(
)
Vector Posición
Magnitud de un segmento
√
Magnitud de un vector
|| || √
Ángulo (Dirección del Vector)
(
)
Dirección Opuesta de un Vector
Si
Si
Vector Unitario
|| ||
Producto Escalar de dos Vectores Sean y , entonces
Vectores Paralelos
o
Vectores Perpendiculares
Ángulo entre dos Vectores
(
|| |||| ||)
Proyección Ortogonal de dos Vectores
(
|| ||)
Componente (Magnitud del Vector )
|| ||
Vector Ortogonal
Sean
2. VECTORES EN EL ESPACIO
Coordenadas del punto
medio de un segmento
(
)
Vector Posición
Magnitud de un segmento
√
Magnitud de un vector
|| || √
Ángulos o cosenos directores
Vector Unitario
|| ||
o también
Producto Escalar de dos Vectores
Sean y , entonces
Producto Vectorial
Sean y entonces
[
]
Producto Triple Mixto
Sean , y
entonces
[
]
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David Isaías Jaimes Reyes
Ángulo entre dos Vectores (Espacio)
(
|| |||| ||)
Proyección Ortogonal de dos Vectores (Espacio)
(
|| ||)
Componente (Magnitud del Vector ) (Espacio)
|| ||
3. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
La recta en el plano
Ecuación General o Forma Cartesiana
Ecuación Vectorial
Ecuaciones Paramétricas
Pendiente “ ”
Forma punto- pendiente
Forma pendiente- intersección
Forma Intersección de una Recta
Rectas Paralelas
Rectas Perpendiculares
Forma Normal de la Ecuación de una Recta
Distancia de una Recta a un Punto dado
| |
√
Distancia dirigida de una Recta a un Punto dado
√
Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas que se cortan
√
√
Y
√
√
Si es de signo contrario a
Si y B tienen en mismo signo
Si tienen el mismo signo
√
Vector Paralelo a una Recta
( )
Vector Normal a una Recta
Ángulo entre dos Rectas
√
√
Distancia entre Rectas Paralelas
| |
|| ||
, 𝑡
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David Isaías Jaimes Reyes
4. SECCIONES CÓNICAS
*En la parábola y la hipérbola y en la circunferencia y la elipse [ ]
CÓNICA CARACTERÍSTICAS
Circunferencia
Constantes radio
Primera ecuación ordinaria Centro en el origen
Segunda ecuación ordinaria
Centro en el punto
Longitud del lado recto -------
Excentricidad
Ecuación Vectorial Con centro en el origen
Centro en
Algunas
ecuaciones paramétricas
Con centro en el
origen
Centro en
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Parábola
Constantes distancia del vértice al foco
distancia del vértice a la
directriz
Foco sobre el eje
Primera ecuación
ordinaria Vértice en el origen
Eje focal
coincide con
el eje
Directriz: foco
Eje focal
coincide con
el eje
Directriz: foco
Segunda ecuación ordinaria
Vértice en el punto
Eje focal coincide con
el eje
Eje focal
coincide con
el eje
Longitud del lado recto
Excentricidad
Ecuación generan de la cónica careciendo
del termino
Ya sea ó
Casos excepcionales Dos rectas coincidentes; dos rectas paralelas
(Ningún lugar geométrico)
Ecuación Vectorial Con centro en el
origen
Rotada y con
centro en el
origen
Centro en
Rotada y con
centro en
Algunas ecuaciones paramétricas
Con centro en el origen
Rotada y con
centro en el
origen
Centro en
Rotada y con
centro en
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Elipse
Constantes longitud del eje mayor
longitud del eje menor
distancia entre los focos
Focos sobre el eje mayor
Primera ecuación
ordinaria Centro en el origen
Eje focal
coincide con el
eje
Focos ,
Eje focal coincide con el
eje
Focos ,
Segunda ecuación
ordinaria
Vértice en el punto
Eje focal
coincide con el
eje
Eje focal coincide con el
eje
Longitud del lado recto
Excentricidad
(Para la circunferencia, )
Ecuación generan de la cónica careciendo
del termino
y del mismo signo
Para la circunferencia,
Casos excepcionales Punto
(Ningún lugar geométrico)
Ecuación Vectorial Con centro en el
origen
Rotada y con
centro en el origen
Centro en
Rotada y con
centro en
Algunas ecuaciones
paramétricas
Con centro en el
origen
Rotada y con centro en el
origen
Centro en
Rotada y con
centro en
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Hipérbola
Constantes longitud del eje transverso
longitud del eje conjugado
distancia entre los focos
Focos sobre el eje transverso
Primera ecuación
ordinaria Centro en el origen
Eje focal
coincide con el
eje
Focos ,
Eje focal coincide con el
eje
Focos ,
Segunda ecuación
ordinaria
Centro en el punto
Eje focal
coincide con el
eje
Eje focal
coincide con el
eje
Longitud del lado recto
Excentricidad
Ecuación generan de la cónica careciendo
del termino
y de signo distinto
Casos excepcionales Dos rectas que se cortan
Ecuación Vectorial Con centro en el
origen
Rotada y con
centro en el
origen
Centro en
Rotada y con
centro en
Algunas ecuaciones
paramétricas
Con centro en el
origen
Rotada y con centro en el
origen
Centro en
Rotada y con
centro en
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Opcional
ROTACIÓN DE EJES ( )
ECUACIONES DE ROTACIÓN
- En términos de
- En términos de
TEOREMA:
Si la ecuación
es tal que , y si se obtiene de un sistema de coordenadas al tomar los ejes un ángulo que satisface
entonces, en coordenadas , la ecuación tendrá la forma
EL DISCRIMINANTE
Considérese una ecuación de segundo grado
a) Si la ecuación representa una elipse, una circunferencia, un punto o bien no tiene gráfica.
b) Si la ecuación representa una hipérbola o una pareja de rectas que se intersectan.
c) Si la ecuación representa una parábola, una recta, una pareja de rectas paralelas o bien no tiene
gráfica.
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5. COORDENADAS POLARES
CRITERIOS DE SIMETRÍA
a) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su ecuación
se produce una ecuación equivalente.
b) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su
ecuación se produce una ecuación equivalente.
c) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al origen si al sustituirse por en su ecuación
se produce una ecuación equivalente.
GRÁFICAS COMÚNES
Cardiodes y Limacos
Limaco Cardiode Limaco
Lemniscatas
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Espirales
Rosas
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6. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
La recta en el espacio
Ecuación Vectorial
Sean y , entonces:
Ecuaciones Paramétricas
Ecuación Simétrica o Forma Cartesiana
El plano
Ecuación Vectorial Sean , y , entonces:
Ecuaciones Paramétricas
Forma Punto – Normal Sean y , entonces:
Distancia entre un Punto y el Plano
| |
√
, 𝑡
, 𝑠 𝑡
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7. SUPERFICIES CUADRICAS
Superficie Ecuación Ecuaciones
Paramétricas
Esfera
Traza Plano e
Circunferencia Paralelo al plano
Circunferencia Paralelo al plano
Circunferencia Paralelo al plano
[ ] [ ]
Elipsoide
Traza Plano e
Elipse Paralelo al plano
Elipse Paralelo al plano
Elipse Paralelo al plano
La superficie es una esfera si
[ ] [ ]
Hiperboloide de un hoja
Traza Plano e
Elipse Paralelo al plano
Hipérbola Paralelo al plano
Hipérbola Paralelo al plano
El eje del hiperboloide corresponde a
la variable cuyo coeficiente es
negativo.
⟨ ⟩, [ ]
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Superficie Ecuación Ecuaciones
Paramétricas
Hiperboloide de dos hojas
Traza Plano e
Elipse Paralelo al plano
Hipérbola Paralelo al plano
Hipérbola Paralelo al plano
El eje del hiperboloide corresponde a
la variable cuyo coeficiente es
positivo. No hay traza en el plano
coordenado perpendicular a este eje
⟨ ⟩ [ ]
Cono elíptico
Traza Plano e
Elipse Paralelo al plano
Hipérbola Paralelo al plano
Hipérbola Paralelo al plano
El eje del cono corresponde a la
variable cuyo coeficiente es negativo.
Las trazas en los planos coordenados
paralelos a este eje son rectas que se
cortan.
⟨ ⟩ [ ]
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Superficie Ecuación Ecuaciones
Paramétricas
Paraboloide Elíptico
Traza Plano e
Elipse Paralelo al plano
Parábola Paralelo al plano
Parábola Paralelo al plano
El eje del paraboloide corresponde a
la variable elevada a la primera
potencia.
√
√
[
[ ]
Paraboloide hiperbólica
Traza Plano e
Hipérbola Paralelo al plano
Parábola Paralelo al plano
Parábola Paralelo al plano
El eje del paraboloide corresponde a
la variable elevada a la primera
potencia.
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
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ANEXO 1
“TRIGONOMETRÍA”
Resolución de un Triángulo - Rectángulo
- Razones Trigonométricas
Resolución de un Triángulo – Oblicuángulo
- Ley de Senos
- Ley de Cosenos
Identidades fundamentales
Fórmulas de Adición
Fórmulas de Resta
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Fórmulas para Ángulos Negativos
Fórmulas de Doble Ángulo
Identidades de Semiángulos
Fórmulas de Semiángulos
√
√
Fórmulas de Confusión
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Fórmulas de Producto a Suma
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Fórmulas de Suma a Producto
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
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ANEXO 2
“PLANO POLAR”