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Función característica de un vector gaussiano, y función densidad de probabilidad de un vector gaussiano
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Francisco A. Sandoval
Análisis Estadístico y
Probabilístico
2013 fralbe
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AGENDA
CAP. 6: Vectores Gaussianos
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Agenda
CAP. 6: Vectores Gaussianos
• Función Característica de un Vector Aleatorio
• Función Densidad de Probabilidad de un
Vector Gaussiano.
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Objetivos
• Extender la noción de variable aleatoria
gaussiana al caso multivariable.
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Vector Gaussiano
Definición 1: Vector Gaussiano Se dice que un vector aleatorio 𝒙 es gaussiano o, en otras palabras, que sus componentes son variables aleatorias conjuntamente gaussianas, cuando la variable aleatoria real
𝑧 = 𝒂𝑇𝒙 es gaussiana para cualquier vector 𝑛-dimensional 𝒂 ∈ ℝ𝑛
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FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE UN VECTOR GAUSSIANO
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Función característica de un vector gaussiano
La v.a. 𝑧 es gaussiana con media
𝑚𝑧 = 𝒂𝑇𝒎𝒙
y varianza
𝜎𝑧2 = 𝐸 𝑧 − 𝑚𝑧
2 = 𝐸 𝒂𝑇 𝒙 − 𝒎𝒙 𝒙 − 𝒎𝒙𝑇𝒂
= 𝒂𝑇𝑲𝒙𝒂
donde 𝒎𝒙 y 𝑲𝒙 representan, respectivamente, el vector media y la matriz covariancia del vector 𝒙. fra
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Función característica de un vector gaussiano
Entonces a partir de la definición de función característica
𝑀𝑧 𝑣 = 𝑒𝑗𝑣𝑚𝑧𝑒−𝑣2𝜎𝑧
2
2 = 𝑒𝑗𝑣𝒂𝑇𝒎𝒙𝑒−12𝑣𝒂𝑇𝑲𝒙𝒂𝑣
por otro lado
𝑀𝑧 𝑣 = 𝑀𝑥(𝒂𝑣)
comparando las ecuaciones anteriores, considerando 𝒗 = 𝒂𝑣 se llega finalmente a
𝑀𝑥 𝒗 = 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒎𝒙𝑒−12𝒗𝑇𝑲𝒙𝒗
que corresponde a la expresión de la función característica de un vector gaussiano de media 𝒎𝒙 y matriz covariancia 𝑲𝒙. fra
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Vectores Gaussianos
Propiedad 1: Si 𝒙 es un vector gaussiano, entonces el vector 𝒚 definido por
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃 es también gaussiano.
Propiedad 2: Si las componentes de un vector gaussiano 𝒙 son descorrelacionadas dos a dos, entonces ellas son también estadísticamente independientes.
Propiedad 3: Dado un vector aleatorio gaussiano, es posible hacer que sus componentes sean estadísticamente independientes a través de una transformación lineal. fra
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FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UN VECTOR GAUSSIANO
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fdp de un vector gaussiano
• Considere un vector aleatorio 𝒙, gaussiano, con
media 𝒎𝒙 y matriz covarianza 𝑲𝒌.
• Se desea determinar la expresión de la función
densidad de probabilidad 𝑝𝒙(𝑿) del vector 𝒙.
𝒚 = 𝑷𝒙
donde la matriz 𝑷, corresponde a la transformación
lineal (definida en el cap. anterior). Este vector es
también gaussiano, y posee componentes
estadísticamente independientes. fralbe
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fdp de un vector gaussiano
𝑚𝑦 = 𝑃𝑚𝑥 =
𝒆1𝑇𝒎𝒙
𝒆2𝑇𝒎𝒙
⋮𝒆𝑛
𝑇𝒎𝒙
donde 𝒆𝑖 ; (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) son autovectores ortogonales de 𝑲𝒙.
La matriz covariancia de 𝒚 es dada por
𝑲𝒚 =
𝜆1 0 ⋯ 00 𝜆2 ⋯ 0⋮0
⋱0
⋮⋯
⋮𝜆𝑛
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fdp de un vector gaussiano
donde 𝜆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 son autovalores de 𝑲𝒙 asociados a los autovectores 𝒆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
De este modo, las componentes 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 del vector 𝒚 son todas gaussianas, estadísticamente independientes, con función densidad de probabilidad dada por
𝑝𝑦𝑖𝑌𝑖 =
1
2𝜋 𝜆𝑖
𝑒−
12𝜆𝑖
𝒀𝑖−𝒆𝑖𝑇𝒎𝒙
2
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fdp de un vector gaussiano
En este caso, la función densidad de probabilidad
del vector 𝒚 es por tanto
𝑝𝒚 𝒀 = 𝑝𝑦𝑖(𝑌𝑖)
𝑛
𝑖=1
=1
2𝜋𝑛2 𝜆𝑖
𝑛𝑖=1
𝑒−
12
1𝜆𝑖
𝒀𝑖−𝒆𝑖𝑇𝒎𝑥
2𝑛𝑖=1
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fdp de un vector gaussiano
Observe que
𝜆𝑖 = det 𝑲𝒚
𝑖=1𝑛
y
1
𝜆𝑖𝑌𝑖 − 𝑒𝑖
𝑇𝑚𝑥2
= 𝒀 − 𝑷𝒎𝒙𝑇𝑲𝒚
−1(𝒀 − 𝑷𝒎𝒙)
𝑛
𝑖=1
Es posible escribir la fdp del vector 𝒚 en notación matricial
𝑝𝒚 𝒀 =1
2𝜋𝑛2 det 𝑲𝒚
𝑒−12 𝒀−𝑷𝒎𝒙
𝑇𝐾𝑦−1 𝒀−𝑷𝒎𝒙 fra
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fdp de un vector gaussiano
Algunas observaciones
• a partir de la definición de la matriz 𝑷
𝑷𝑇𝑷 = 𝑰
• y por tanto
det 𝑷 det 𝑷𝑇 = 1
• como det 𝑷 = det 𝑷𝑇, se tiene aún
det 𝑷 = ±1
• observe que, en el caso de la transformación lineal
𝒙 = 𝒈 𝒚 = 𝑷−1𝒚 fralbe
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fdp de un vector gaussiano
el jacobiano de la transformación es igual a
𝐽𝒈 𝒀 = det
𝛿𝑔1
𝛿𝑌1
𝛿𝑔1
𝛿𝑌2…
𝛿𝑔1
𝛿𝑌𝑛
𝛿𝑔2
𝛿𝑌1
𝛿𝑔2
𝛿𝑌2…
𝛿𝑔2
𝛿𝑌𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝛿𝑔𝑛
𝛿𝑌1
𝛿𝑔𝑛
𝛿𝑌2…
𝛿𝑔𝑛
𝛿𝑌𝑛
= det 𝑷
por tanto
𝐽𝑔 𝒀 = 1 fralbe
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fdp de un vector gaussiano
La fdp del vector 𝒙 es dada por
𝑝𝒙 𝑿 = 𝑝𝒚 𝒀 𝒀=𝑷𝑇𝑿
= 𝑝𝒚(𝑷𝑇𝑿)
o sea
𝑝𝒙 𝑿 =1
2𝜋𝑛2 det 𝑲𝒚
𝑒−12 𝑿−𝒎𝒙
𝑇𝑷𝑇𝑲𝒚−1𝑷(𝑿−𝒎𝒙)
si se observa que
𝐾𝑦 = 𝑷𝑲𝒚𝑷𝑇
se tiene que
det 𝑲𝒚 = det 𝑷 det 𝑲𝒙 det 𝑷𝑻 = det 𝑲𝒙 fralbe
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fdp de un vector gaussiano
por otro lado, permite escribir
𝑲𝒚−1 = 𝑷𝑇−1
𝑲𝒙−1𝑷−1
en esta ecuación. pre-multiplicando por 𝑷𝑇 y pós-multiplicada por 𝑷, se escribe
𝑷𝑇𝑲𝒚−1𝑷 = 𝑷𝑇𝑷𝑇−1
𝑲𝒙−1𝑷−1𝑷 = 𝑲𝒙
−1
finalmente, substituyendo se obtiene
𝑝𝒙 𝑿 =1
2𝜋𝑛2 det 𝑲𝒙
𝑒−12
𝑿−𝒎𝒙𝑇𝑲𝒙
−1(𝑿−𝒎𝒙) fra
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fdp de un vector gaussiano
• Observe que la fdp depende apenas de la
media 𝒎𝒙 y de la matriz covariancia 𝑲𝒙 del
vector aleatorio 𝒙.
• Este aspecto característico de los vectores
gaussianos, introduce simplificaciones
significativas en las aplicaciones que utilizan
modelos gaussianos.
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Ejemplo 1
Sea 𝒙 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑇 un vector gaussiano de media nula y matriz covarianza
𝑲𝒙 =5 2 12 4 21 2 3
Se desea comparar la fdp de la v.a. 𝑧 con una fdp condicional de 𝑧 dado por 𝑥 = 𝑋 y 𝑦 = 𝑌.
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Ejemplo 2
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. conjuntamente gaussianas, estadísticamente independientes, con media 𝑚𝑥 = 100 y 𝑚𝑦 = 50 y variancia 𝜎𝑥
2 = 48 y 𝜎𝑦2 = 27. Se desea determinar la
probabilidad de la suma 𝑥 + 𝑦 excede el valor 160.
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REFERENCIAS
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Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
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