6 Nedelja Instrumenti Za Merenje Protoka

8/17/2019 6 Nedelja Instrumenti Za Merenje Protoka

1/19

UPRAVLJANJE

8.1. UVOD

Treba najpre da se objasni pojam automatski . On potiče od gr čke reči (koja jeovde napisana sa gr čkim matematičkim simbolima koje čitaoci dobro znaju izmatematike i mehanike), “αυτωµατωξ ” koja se čita automatos i znači onaj koji samsebe pokreće.

Ovde treba da se definiše pojam sistema. Postoji veliki broj definicija i od tog broja ovde se daje samo jedna definicija:

Definicija: Fizi č ki sistem je skup elemenata (delova, uredjaja, podsistema)

funkcionalino povezanih u jednu celinu radi ostvarenja odredjenog cilja koriš ć enjem,

razmenom i pretvaranjem materije, energije ili informacija.

Treba razlikovati fizički sistem od matematičkog modela sistema. Matematičkisistem je na primer skup jednačina.

Definicija: Matemati č ki model sistema je formalni opis fizi č kog sistema pomoć umatemati č kih simbola i relacija koje opisuju dinami č ko ponašanje sistema.

Podela sistema automatskog upravljanja prema vrsti matematičkog modela prikazana je na slici 8.1. Kako se vidi automatsko upravljanje pokriva veoma široke irazličite oblasti.

Deterministi~ki Stohasti~kiOdredjeni Slu~ajni

Sistemi AU

Bez ka{njenjaSa ka{njenjem

Kontinualni Diskretni

Nestacionarni

Nelinearni Linearni

Stacionarni

Sa koncentrisanim parametrima Sa raspodeljenim parametrima

Slika 8.1 Podela sistema upravljanja.

Inženjersko upravljanje je zasnovano na osnovama teorije povratne sprege ilinearne analize sistema i uključuje koncepte teorije mreža i teorije signala ikomunikacija. Prema tome upravljanje nije ograničeno na jednu naučnu disciplinu, već se jednako primenjuje u aeronautičkom, hemijskom, mašinskom, tehnološkom,

1


2/19

ekološkom, gradjevinskom i elektro inženjerstvu. Na primer, veoma često sistem upravljanja se sastoji od mehaničkih, električnih, elektronskih i hemijskih komponenata.

Kako je već rečeno sistem upravljanja je skup funkcionalno povezanihkomponenata tako da daju željeni izlaz (odziv) sistema. Osnove za analizu sistema

zasnovane su na teoriji linearnih sistema, koja podrazumeva uzročno-posledičnu vezuizmedju komponenata sistema. Prema tome objekt upravljanja (postrojenje) ili proceskojim se upravlja moče da se prikaže blokom prikazanim na slici 8.2.a. Relacija izmedjuulaza i izlaza predstavlja uzročno-posledičnu povezanost procesa što je predstavljeno

blokom koji pretvara ulazni u izlazni signal često sa povećavanjem njegove snage. Saslike se vidi da ovde ne postoji nikakva povratna veza izmedju ulaza i izlaza pa se ovajsistem naziva otvoreni (direktni) sistem upravljanja. Otvoreni sistem upravljanjanajčešće koristi upravljački aktuator (izvršni organ) da se dobije željeni izlaz kao što je

prikazano na slici 8.2.b.

x(t)Sistem

y(t)Ulaz Izlaz

Izvr{ni organ

@eljena vrednost izlaza

IzlazObjekatupravljanja

Slika 8.2. Otvoreni sistem upravljanja (bez povratne sprege)

( ) x x t =Definicija: Ulazna veli č ina sistema (ulaz) je ona spoljašnja veli č ina koja

bitno uti č e na njegov rad (ponašanje).

Njeno dejstvo je simbolički prikazano sa strelicom usmerenom ka sistemu.

Definicija: Veli č ina koja predstavlja rezultat dinami ć kog ponašanja (rada) sistema ič ije su promene bitne naziva se izlaz sistema y = y(t).

Njeno proisticanje iz rada sistema simboli ki se prikazuje strelicom

usmerenom od njega ka okolini.

Definicija: Promena izlazne veli č ine y nastala usled dejstva ulazne veli č ine x nazivase odziv sistema na ulaznu veli č inu.

Nasuprot otvorenom sistemu upravljanja zatvoreni sistem upravljanja koristiizmerenu trenutnu vrednost izlaza i uporedjuje je sa trenutnom vrednošću ulaza da bi se

ostvario željeni izlaz sistema. Primer takvog sistema je prikazan na slici 8.3.

@eljena vrednost izlaza

Uredjaj za poredjenje

Kontroler Objekat

upravljanja

Merenje

Izlaz

Povratna sprega

Slika 8.3. Zatvoreni sistem upravljanja (sa povratnom spregom)

Primer otvorenog sistema upravljanja je električni toster u kuhinji a primer

zatvorenog sistema upravljanja je sistem vozač-motorno vozilo na putu, gde vozač

2


3/19

vidom održava zadati pravac kretanja vozila. Na slici 8.4 dati su primeri nekih sistemaupravljanja. Na slici 8.4.a. je prikazan sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom. Brzinastrujanja vazduha xn bitno utiče na brzinu kretanja letilice v. Jasno je da je ulaz x = xn aizlaz y =v. Za nivo vode y u dobošu parnog kotla (slika 8.4.b.) bitno je koliki je

zapreminski dotok vode u jedinici vremena Qu i zapreminski protok pare u jedinicivremena Qi. Prema tome i su ulazne veličine u ovaj sistem upravljanja

iako vodena para u fizičkom smislu izlazi iz njega. Izlaz iz sistema je nivo vode. Primer pokazuje da ulazna veličina nije nužno veličina koja fizički ulazi u njega već veličinakoja ima bitan uticaj na njegov rad. U slučaju kontejnera-kioska (slika 8.4.c.) intenzitettoplotnog zračenja je ulaz

u Q x 1=

n

i Q x 2=

x x = i bitno utiče na temperaturu i pritisak vazduha y 1 y 2 unutar kontejnera koji predstavljaju izlaze iz sistema. Primer pokazuje da izlaznaveličina ne mora da u fizičkom smislu izlazi iz sistema.

v

Letilica

Zapreminski protok pare

Dobo{ parnog kotla

Zapreminski dotok vode

x n

y1

Qi=x 2

y y y1

y 2 x

x1 x 2

x

x n

S S S

Q n=x1

Toplotno zra~enje

y1 y 2

Slika 8.4 Primeri sistema upravljanja

Korišćenje sistema upravljanja sa povratnom spregom ima dugu i zanimljivuistoriju. Prva primena upravljanja sa povratnom spregom se vezuje za razvojmehanizma regulatora sa plovkom u staroj Gr čkoj u periodu oko 300 godina PNE.Ktesibos je napravio vodeni časovnik sa regulatorom sa plovkom. Sličan regulator sa

plovkom je primenio Filon u uljnoj lampi za održavanje nivoa ulja približno 250 godinaPNE. Heron iz Aleksandrije koji je živeo u prvom veku nove ere objavio je knjigu podnazivom Pneumatika gde je pobrojano nekoliko regulatora nivoa tečnosti sa plovkom.

On je konstruisao i prvi automat za prodaju vode.Prvi automatski kontroler sa povratnom spregom u modernoj Evropi je bioregulator temperature koji je izumeo Cornelius Drebbel ( 1572-1633) u Holandiji. D.Papin (1647-1712) je izumeo prvi regulator pritiska za sudove pod vodenom parom,(Papin-ovi lonci), 1681. godine.

Prvi automatski kontroler sa povratnom spregom korišćen u industrijskoj proizvodnji je Watt-ov centrifugalni regulator za upravljanje brzinom parnemašine,(slika 8.5), 1679 godine. Otkriće ovog regulatora omogućilo je masovnu

primenu parnih mašina u industriji i tzv. prvu industrijsku revoluciju.Prvi sistem sa povratnom spregom publikovan u Rusiji je regulator sa plovkom

nivoa tečnosti koji je izumeo I. Polzunov 1765. godine, i prikazan je na slici 8.6.

3


4/19

Dovod pare

Parna ma{ina

Centrifugalni mehanizam

Reduktor

Slika 8.5. Watt-ov centrifugalni regulator

Odvod pare

Plovak

Dovod vode

Parni kotao

ivote~nosti

Lo`i{te

h

Slika 8.6. Polzunov-ljev regulator

Veliki broj modernih uredjaja i mašina koristi obrtni sto za rotaciju diskovakonstantnom brzinom kao na primer CD plejeri, hard diskovi računara, itd. Primer

jednog takvog otvorenog sistema je prikazan na slici 8.7.a. Blok dijagram ovog sistemagde su prikazani pojačavač motor jednosmerne struje i objekt upravljanja ja dat na slici8.7.b.

4


5/19

@eljena brzina(napon)

Upravlja~ki

uredjaj Poja~ava~

Aktuator

Motor jednosmerne struje


Objekat

upravljanjaObrtni sto

Stvarna brzina

Poja~ava~ jednosmerne

struje

Zadavanje @eljene brzine

a)

b)

Obrtni sto

Baterije Brzina obrtanja

Slika 8.7 a) Otvoreni sistem upravljanja brzinom obrtnog stola b) blok dijagram

Upravlja~ki

uredjaj Poja~ava~

Aktuator


b)


Poja~ava~ jednosmerne

struje

a)

Obrtni sto

Baterije

+

Tahometar

_

Brzina obrtanja

Stvarna brzina @eljena brzina(napon)

Senzor Tahometar

Objekat

upravljanjaObrtni sto

+ _

Slika 8.8 a) Zatvoreni sistem upravljanja brzinom obrtnog stola b) Blok dijagram.

5


6/19

Da bi se formirao sistem upravljanja sa povratnom spregom potrebno je da se usistem doda senzor koji će da meri ugaonu brzinu i da daje napon proporcionalanugaonoj brzini obrtnog stola. U tom cilju je uveden tahomatar. Zatvoreni sistem je

prikazan na slici 8.8.a dok je njegov blok dijagram prikazan na slici 8.8.b.

Osnovne sprege

Na slici 8.9. je prikazan sistem koji se sastoji od dve komore S1 i S2 i pneumatskog sabirača S3. Ulazni pritisak x je isti za obe komore a njihovi izlazni pritisci i y 1 y 2 deluju u istom smeru na elastične bakarne membrane 1 i 2. Namembranu 1 sa druge strane deluje atmosferski pritisak a p , a na membranu 2 izlazni

prtisak y.

Pneumatski sabira~

y1 y1

x y 2

yi

1

y 2

2

S1

S 2

S 3

y p n

p a

xS1

S 2

Y i

x1

x 2

S 3+

+

Slika 8.9 Paralelna veza (sprega) elemenata

Na osnovu jednačine ravnoteže sila koje deluju na membrane i pošto su površinemembrana jednake, dobija se:

y y y 1 2= +

Na slici 8.10 komore i su tako povezane da je pritisakS 1 S 2 y 1 u prvoj komoriistovremeno ulazni pritisak x 2 u drugu komoru. Ulaz u sistem je ulazni pritisak u prvukomoru a izlaz je pritisak u drugoj komori.

6


7/19

y1S1

y 2S 2

x

x1 y1

x 2

y 2

y

y1=x 2 x=x1 S1 S 2 y 2=y

Slika 8.10 Redna veza elemenata

Ovo je primer redne veze izmedju podsistema i . Konačno, ako se sabirač nalazina ulazu u pneumatski sistem koji sačinjavaju komore i u odvojenim granamakao što je prikazano na slici 8.11 onda je to sistem sa povratnom spregom. Na ulaz Asabirača se dovodi vazduh pritiska

S 1 S 2S 1 S 2

a na ulaz B pritisak x y 2 koji vlada u komori .

Pritisak vazduha koji ulazi u komoru je

S 2

a izlazni prtisak iz komoreS 1 x 1 y 1 jeistovremeno izlaz iz sistema Taj pritisak se dovodi u komoru . y . S 2

x

S1

S 2

y1 x1

x 2

++_ y 2

y

y1

x

y =y 2 y 2

S1

S 2 x 2 =y

x

y1 y

x1

x N

A

x1

y 2

p a

Slika 8.11 Pneumatski sistem sa povratnom spregom

Na taj način ulazna veličina sistema je jednaka algebarskom zbiru ulaznog pritiska x 1 iizlaznog pritiska : y 2

x x y 1 2= ±

7


8/19

8.2. POVRATNA SPREGA

Osobina koja se sreće u mnogim statičkim i gotovo svim dinamičkim sistemima

je jedna ili više povratnih sprega kao što je prikazano na prethodnim dijagramima.Povratna sprega je proses u kome je ulaz u neki element promenjen njegovim izlazom.On se često javlja u fiziološkim i ekološkim sistemima i namerno se koristi uinženjerskim sistemima iz nekoliko razloga kao što će se videti. Ljudsko telo koristimnoge povratne sprege kao što je kontrola telesne temperature, kontrola krvnog

pritiska, koordinacija sistema ruka-oko, itd. U prirodi se jedno izolovano stanište ukome se nalaze grabljivice i njihove žrtve može opisati kao sistem sa povratnomspregom jer povećanje ili smanjenje jedne vrste direktno utiče na broj pripadnika drugevrste.

Merenje sobne temperature termostatom predstavlja proces sa povratnom

spregom pošto se izmerena vrednost koristi da se utič

e na temperaturu sobe, (Slika8.12). Slično, opruga na slici 8.13 deluje kao element povratne sprege. Što je veće pomeranje mase to je veća sila u opruzi koja nastoji da vrati masu u početni položaj.Dejstvo dijafragme u regulatoru pritiska kombinuje dejstva komparatora i senzora. Ako

pritisak p raste, kretanje dijafragme pomera ventil da smanji pritisak. Prema tome izlaz(pritisak) je napravljen tako da ima uticaja sam na sebe.

t0 tslogi~ki element

greja~

uticaj okoline

soba

Slika 8.12. Blok dijagram termostatskog sistema za regulaciju temperature

( ) C

t t

C C F x k dt v x dt a v F F m

a F F a m =⋅⋅=⋅=−⋅=−=⋅ ∫∫ 00

1

1/m F F-F c a=x v=x x

F C-

F F C

m k

Slika 8.13. Sistem masa - opruga i njen kauzalni (uzroč ni )blok dijagram

8


9/19

Sistemi upravljanja mnogo zavise od osobina povratne sprege koje će se detaljnorazmotriti.

8.2.1. Povratna sprega poboljšava linearnost.

Kao što je već pomenuto linearni modeli sistema predstavljaju glavni oblikmodela korišćen u ovom kursu. Jedan od razloga je da korišćenje povratne sprege često

poboljšava linearnost sistema. Sistem se može sastaviti od elemenata čije jeindividualno ponašanje nelinearno, ali pravilnim korišćenjem povratne sprege,rezultujuće ponašanje sitema biće približno linearno.

Da se ilustruje ovaj efekat, posmatra se nelinearni element prikazan na slici8.14.a. Relacija izme|u izlaza i ulaza je

2 x y = (8.1)

Ako se uvede povratna sprega kao što je prikazano na slici 8.14.b., mogu da senapišu sledeće relacije:

2e y =

y xe −= (8.2)

2)( y x y −=

a) b)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5 6

X

Y

c)

Slika 8.14. Poboljšanje linearnosti uvodjenjem povratne sprege

y=x2

(.)2 x y

x + e y

(.)

2

-

9


10/19

Rešavanjem kvadratne jednačine (8.2) po y se dobija:

( )1,2

1 2 1 4

2

x x y

+ ± += (8.3)

Dijagram funkcije y u zavisnosti od x za originalni element i sistem sa povratnom spregom je pokazan na slici 8.3.c. Kriva koja odgovara sistemy sa povratnom spregom je približno linearna u širem opsegu vrednosti x nego kodoriginalnog nelinearnog elementa. Ovaj široki opseg je ono što se podrazumeva

poboljšanom linearnošću.

2.2. Povratna sprega poboljšava robustnost

Vrednosti koeficijenata i oblik modela su uglavnom aproksimacija realnosti pa

prema tome su u izvesnoj meri približni odnosno neodređeni. Sa druge strane faktorikao što su habanje, toplota i povišeni pritisak mogu da uzrokuju da se ove vrednosti patime i originalni sistem menjaju u toku vremena. Prema tome, vrednosti projektovanih

parametara koje su bile optimalne u početku ne moraju da budu takve u toku rada pastoga neće dati željene performanse. Pojačavač sa vakuumskom cevi je primer ovogefekta. Razvijena toplota prouzrokuje promenu faktora pojačanja u toku vremena. Usvetlu ovoga treba da se ispita mogući dizajn koji će biti manje osetljiv na promene ineodre|enost parametara sistema. Povratna sprega može da se iskoristi za poboljšanje

ponašanja sistema sa ovog aspekta.

Videli smo da je jedna od namena termostata da kompenzuje promenespoljašnjeg okruženja-poremećaj koji deluje na sistem. Ovo je drugo korišćenje

povratne sprege, da sistem i pri dejstvu poremećaja zadrži izlaz blizu svoje željnevrednosti odnosno da ima "dobro odbacivanje poremećaja".

Sistem koji ima i dobru redukciju poremećaja i malu osetljivost na promene parametara naziva se robusnim.

2.3. Osetljivost na promene parametara

Najpre će se razmotriti smanjenje osetljivosti na promene parametara. Elemenat prikazan na Slici 8.15.a ima konstantu (pojačanje) G. Želi se da je G=10 i da izabrani

element ima ovu nominalnu vrednost. Meutim predpostavlja se da usled habanja,zagrevanja i loše konstrukcije stvarna vrednost pojačanja G može da varira 10%. Utom slučaju odnos izme|u izlaza i ulaza biće negde između y=9x i y= 11x što se smatraneprihvatljivim.

±

Da se ovo prevazi|e postavlja se povretna sprega sa pojačanjem K. Predpostavljase da je fizički element koji proizvodi pojačanje K je relativno neosetljiv, tako da jevrednost K konstantna i predvidljiva. Ovo izvođenje je prikazano na slici 8.15.b.Odgovarajuće jednačine su:

Ky xeGe y −== , (8.4)

ili

10


11/19

1

G y

GK =

+ x (8.5)

x + e yG

K

G

a) b)

Slika 8.15 . Redukcija osetljivosti na promene parametara povratnom spregom

Uočimo da ako izaberemo G dovoljno veliko tako da je GK >>1 onda jednačina(8.5) postaje približno:

1G y x

GK K ≈ = x (8.6)

Odnos izme|u izlaza i ulaza sistema postaje nezavistan od G za dovoljno velikoGK! Sada se bira K da se dobije željeni odnos između izlaza i ulaza, ovde je y=10x.

Neka je K=0.1 i sada se bira G tako da je 0.1G>>1 ili G>>10. Neka je G=1000 pa se iz(8.5) dobija

1000 9 9011 100

y x .= =+

x

što je vrlo blizu željene vrednosti. Sada ako se G menja u opsegu 10% tako da je G = 900 i G = 1100 dobija se:

±

9009 8901

1 90 y x .= =

+ x

11009 91

1 110 y x .= =

+ x i

Prema tome, osetljivost sistema sa povratnom spregom je znatno niža. Ovaj postupak redukcije osetljivosti na promene parametara naziva se kompenzacija povratnom spregom.

2.4. Redukcija poremećaja

Posmatra se otvoreni sistem upravljanja na koji deluje poremećaj u prikazan naslici 8.16.a. Kao i u prethodnom razmatranju vrednost izlaza je y = 10x. Medjutim,ukoliko je 0≠u ova relacija više ne važi, odnosno

( )5 2 10 5 x u x u= − = −

Ovo može da se poboljša uvo|enjem povratne sprege i dva elementa sa pojačanjima B i K kako je prikazano na slici 8.16.b.

11


12/19

2 5 x + - y

u

a)

x + + - y

u

B 2 5

K

b)

Slika 8.16. Koriš ćenje povratne sprege za smanjenje dejstva poremećajaa) Otvoreno kolo b) Kolo sa povratnom spregom

Princip superpozicije može da se iskoristi za nalaženje izlaza y u funkciji od x iu. Prvo se pretpostavlja da je u=0 i rešava se y kao funkcija od x.

0

10

1 10u B

y x BK =

=+

Sada se zamenjuje u i stavlja . Rešavajući po y u zavisnosti od u dobija se:0 x =

0

5

1 10 xu

BK =−

=+

Na osnovu principa superpozicije, dobija se

10 5

1 10 1 10

B y x u

BK B= −

+ + K

Želi se da poremećaj u nema uticaja na y ali ovo ne može da se ostvari zakonačne vrednosti B i K . Prema tome može da se zahteva npr. da uticaj poremećaja ne

bude veći od 10% izlaza y, odnosno

50.1

1 10 BK =

+

10 x=Sa druge strane na osnovu relacije dobija se uslov

12


13/19

1010

1 10

B

BK =

+

Iz ovih uslova se dobija sistem od dve jednačine:

BK B

BK

100101010150

+=

+=

čijim rešavanjem se dobija B=50 i K =49/500. Na ovaj način se uticaj poremećaja svodina 0.1 vrednosti izlaza y.

8.3. ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Vrste modela

Kao što je već rečeno, model sistema je predstavljanje njegovog osnovnog ponašanja. Da bi bio koristan, on mora da sadrži samo minimalnu količinu neophodnihinformacija za funkcionisanje sistema. Ovaj zahtev se neposredno odražava na izborstatičkih umesto dinamičkih modela elemenata. Oni elementi čije je de jstvo znatno bržeu poredjenju sa drugim elementima sistema se modeliraju kao statički1 elementi u ciljuuprošćavanja složenosti modela. Na primer, vreme uključivanja termostata jezanemarljivo malo u poredjenju sa vremenom potrebnim za promenu temperature u

prostoriji. Znači temperatura prostorijr može da se modelira kao dinamički a termostatkao statički element.

Modeli sa raspodeljenim i koncentrisanim parametrima

U prethodnom primeru grejanja je implicitno predpostavljeno da temperatura u prostoriji može da se opiše jednom brojnom vrednošću. U stvarnosti temperatura zavisiod lokacije u kojoj se meri u prostoriji ali takav model bi bio suviše složen za rešavanje.

Veliki broj fizičkih veličina (promenljivih) u prirodi su istovremeno funkcije položaja i vremena. Postupak zanemarivanja prostorne zavisnosti izborom samo jednereprezentativne vrednosti je tzv. postupak koncentrisanih parametara. (Temperatura u

prostoriji je data “koncentrisanom” promenljivom sa jednom brojnom vrednosti.Model sa ovakvim vrednostima se zove model sa koncentrisanim parametrima.

On može da se zamisli kao prostorni ekvivalent podeli elemenata sistema na statičke i

dinamičke elemente. Ako je element dinamički jedina nezavisna promenljiva je vremeodnosno model će da bude obična diferencijalna jednačina gde se javljaju samovremenski izvodi bez izvoda po prostornim koordinatama.

Kada je prostorna zavisnost uključena u model, nezavisne promenljive su i prostorne koordinate zajedno sa vremenom. To je tzv. model sa raspodeljenim parametrima. Obično se satoji od jedne ili više parcijalnih diferencijalnih jednačina kojesadrže parcijalne izvode nezavisno promenljivih. Ovo je prikazano na slici 8.17.a. koja

prikazuje temperaturu u ploči. Ako se ploča greje sa jedne strane, temperatura jefunkcija položaja i vremena: i model ima oblik:( , , ,T T t x y z = )

1

Statički element - podrazumeva se da element “nema“ dinamiku odnosno njegovo ponašanje se ne opisuje diferencijalnom jednačinom već deluje trenutno.

13


14/19

2 2 2

2 2 2, , , ,

T T T T f T

t x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂=⎜

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠0⎟ (8.7)

Ako se pak, temperatura ploče predstavlja koncentrisanom vrednošću, modelima oblik:

,T

f T t

∂⎛ ⎞=⎜ ⎟

∂⎝ ⎠0 (8.8)

što je znatno lakše za matematičko rešavanje.

Plamen Plamen

x

y z

T(t, x, y, z)

T 3(t)

T 1(t)

T 2(t)

Slika 8.17. Raspored temperature u ploč i. a) Predstavljanje postupkom raspodeljenih

parametara. b) Predstavljanje postupkom koncentrisanih parametara.

Postupak izbora koncentrisanih parametara može da se vrši na više nivoa. Na primer, moguće je da se izabere jedna temperatura u celoj zgradi. U tom slučaju postoji

jedna diferencijalna jednačina. Sa druge strane može da se odabere po jednatemperatura za svaku prostoriju u zgradi. Onda se ukupni model sastoji od višediferencijanih jednačina koje opisuju promenu temperature u svakoj prostoriji.

Postoje inženjerske primene gde je detaljan model oblika (8.7) neophodan, pamodeli raspodeljenih parametara ne mogu da se smatraju manje korisnim. U ovomkursu cilj je da se razume globalno ponašanje sistema upravljanja pa će pažnja da sefokusira na modele sa koncentrisanim parametrima.

Linearni i nelinearni modeli

Iz prethodnog izlaganja se vidi da je za inženjere pogodnije da se koriste statički

umesto dinamičkih modela i koncentrisani umesto raspodeljenih parametara. Razlog jeda se teži da rezultujući model bude dovoljno lak za rešavanje. Iz istog razloga semodeli baziraju na linearnim relacijama. Neka je y izlaz x ulaz u element koji može da

bude bilo statički bilo dinamički. model onda u opštem obliku glasi:

( ) y f x=

( ) f xgde funkcija može da sadrži operacije diferenciranja i integracije. Za model

odnosno element se kaže daje linearan ako za ulaz oblika 1 2ax bx= + izlaz glasi:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 y f ax bx af x bf x ay by= + = + = + 2 (8.9)

( )1 1 ; f x=gde su a i b proizvoljne konstante, i proizvoljni ulazi i izlazi1 x 2

14


15/19

( )2 2 . y f x=

Drugim rečima: linearan element (ili model) zadovoljava princip linearnesuperpozicije. Svojstvo linearnosti (8.9) se naziva princip superpozicije (slaganja), zatošto tvrdi da linearna kombinacija ulaza daje izlaz koji je linearna kombinacija signalakoji nastaju usled nezavisnog (odvojenog) delovanja svakog ulaza ponaosob. Odatlemože da se zaključi da je nelinearna svaka relacija koja ne zadovoljava jednačinu (8.9).Operacije množenja, diferenciranja i integracije su linearne. Na primer za množenje

, sledi: y mx=

( )1 2 1 2 1 , y m ax bx amx bmx ay by= + = + = + 2

2 .

gde je Za operaciju diferenciranja , lako se vidi da je: y dx dt =1 1 2; y mx y mx= =

( ) 1 21 2 1 .dx dxd

y ax bx a b ay bdt dt dt

= + = + = + 2 y

t

, y xd = ∫ Na sličan način može da se vidi da je integracija linearan operator:( )1 2 1 2 y ax bx dt a x dt b x= + = +∫ ∫ dt ∫ .

Svaka eksponencijalna i transcendentna relacija je nelinearna. Na primer, ako je2 , y x= biće:

( )2 2 2

1 2 1 1 2 2 12 y ax bx ax abx x bx ax bx= + = + + ≠ +2 2

2

x

2

)

.

Takodje, ako je , imamo:sin y =

( )1 2 1 2 1 2 1sin sin cos cos sin sin sin y ax bx ax bx ax bx a x b x= + = + ≠ + .

Definicija linearnosti može da se proširi na funkcije više promenljivih kao što je

( , f x z . Ova funkcija je linearna ako i samo ako je:

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ( ), f ax bx az bz af x z bf x z + + = + . Na primer, sledeća jednačina je nelinearna:

dya b y

dt + = c

Modeli sa vremenski promenljivim koeficijentima – nestacionarni modeli

Ponekad nije moguće da se smatra da su koeficijenti modela (diferencijalne jednačine koja opisuje ponašanje sistema), konstantni, već da se u toku rada menjaju.Prisustvo vremenski promenljivih koeficijenata ne čini model nelinearnim. Na primer

model opisan diferencijalnom jednačinom:( ) ( )

dyc t y f t

dt = +

( ) f t je linearan ukoliko su linearne funkcije i( )c t . Modeli sa konstantnim

koeficijentima se zovu vremenski invarijantni ili stacionarni. Modeli sa vremenski promenljivim koeficijentima se zovu nestacionarni.

Diskretni i kontinualni vremenski modeli

Ponekad nije pogodno da se dinamika sistema posmatra sa vremenom u obliku

kontinualne promenljive. Onda se koriste diskretne promenljive za merenje vremena.

15


16/19

Uobičajena praksa je da se godine starosti osoba izražavaju kao celobrojne promenljive.Isto je i sa proračunom interesa (kamate) bankovnih računa koji se vrši ili kvartalno iligodišnje. Pošto većina savremenih sistema upravljanja sadrži kontrolere sa digitalnim

procesorom to nužno iziskuje predstavljanje sistema u diskretnom obliku. Digitalni

procesor je inherentno diskretni uredjaj jer sadrži unutrašnji časovnik tako da računanjemože da se obavi samo u odredjenim intervalima vremena. Prema tome digitalni procesor ne može da meri vreme i promenljive sistema kontinualno već se u odredjenimtrenucima vremena “odabiraju” njihove vrednosti.

Ako se koristi diskretni umesto kontiunalnog modela sistema javlja sediferencna umesto diferencijalne jednačine. Na primer neka je na štednji u banci iznos xnovca sa godišnjom kamatom 5%. Rast ove sume je opisan relacijom:

( ) ( )1 1.05 ; 1, 2,3, x k x k k + = = L (8.10)

Primer Napisati matematički model za RL kolo na slici 8.18 i predstaviti ga udiskretnoj formi.

i

L

Ru(t) y(t)

Slika 8.18 RL kolo

Rešenje: Pad napona u kolu je dat jednačinom:

( ) ( ) ( )di t L Ri t udt

+ = t

Znači, model ponašanja kola je dat diferencijalnom jednačinom prvog reda:( )

( ) ( )dy t

ay t bx t dt

+ =

gde je a R L= i 1b = L . Diskretna jednačina glasi:

( )( ) ( )

dy kT ay kT bx kT

dt + =

( ) ( ) ( )1 y k T y kT dy kT

dt T

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= , odnosno:Pošto izvod može da se napiše u obliku:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 1,2 y k T aT y kT bTx kT k ⎡ ⎤+ + − = =⎣ ⎦ K,3,

,

Izostavljanjem konstantnog perioda odabiranja T iz zagrada koje označavaju vremedobija se:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ; 1, 2,3 y k aT y k bTx k k + + − = = K

4. LINEARIZACIJA NELINEARNIH MATEMATIČKIH

MODELA

U najvećem broju slučajeva matematički modeli koji opisuju ponašanje i procese

realnih sistema su nelinearni. Postupak linearizacije je značajan, jer linearizovanjem

16


17/19

nelinearnih sistema mogu da se primene brojni metodi linearne analize kojima će da seopiše ponašanje nelinearnih sistema. Postupak linearizacije se uglavnom zasniva narazvijanju nelinearne funkcije ponašanja sistema u Taylor-ov red. Pošto se zanemarujučlanovi višeg reda u Taylor-ovom redu, oni moraju da budu dovoljno mali, odnosno

promenljive mogu da variraju samo u malom opsegu oko radnog položaja.

Linearna aproksimacija nelinearnih matematičkih modela

Da bi se dobio linearizovan model nelinearnog sistema predpostavlja se da promenljive imaju samo mala odstupanja od nominalnih (radnih) vrednosti. Posmatra sesistem sa jednim ulazom x(t ) i jednim izlazom y(t ). Relacija izmedju izlaza i ulaza jedata funkcijom oblika:

( ) x f y = (8.11)

Neka su nominalne vrednosti ulaza i izlaza i x 0 y 0. Taylor-ov red oko ovihtačaka je:

( ) ( )

( ) ( )

( )2

20 00 0 2

1

2!

f x f x y f x x x x x0

x

∂ ∂

∂ ∂ = + − + ⋅ − +L (8.12)

gde su izvodi sračunati za x = x0 . Ako je odstupanje x - x0 malo mogu da se zanemarečlanovi višeg reda koji sadrže x - x0 . Onda jednačina (8.12) može da se napiše u obliku:

(0 y y K x x= + − )0 (8.13)

gde je i( )0 0 y f x= ( )0 f x K

∂

= ∂ , odnosno može da se napiše:

(0 y y K x x− = − )0 (8.14)

što znači da je proporcionalno0 y y− 0 x− . Jednačina (4.4) daje linearni matematički

model nelinearnog sistema (8.11) u okolini radne tačke 0 x x= i .0 y y=

Treba da se naglasi da ovakva linearizacija važi samo u okolini radnog položaja.

Primer

Iz rezervoara na slici 8.19 površine poprečnog preseka A slobodno ističe tečnost

(zapreminski protok q2 ), dok se količina tečnosti koja dotiče u rezervoar q1 možeslobodno podešavati. U ustaljenom stanju ulazni i izlazni zapreminski protoci su jednakiq01=q02=q0 a visina tečnosti u rezervoaru je h0. Promene protoka od ustaljenog stanjasu ∆q1 i ∆q2 a promena nivoa tečnosti u rezervoaru je ∆h. Potrebno je da se dobijelinearizovani matematički model proticanja tečnosti kroz rezervoar.

Rešenje: Promena zapremine u rezervoaru jednaka je razlici protoka:

( )( ) ( )21

dh t dV A q t q t

dt dt = = −

17


18/19

q

1

q

2

R

2

S

1

h

1

R

1

Slika 8.19. Hidraulič ki rezervoar

Protoci i iznose:( )1q t ( )2q t

( ) ( )0 , 1,2i iq t q q t i∆= + =

gde su i male promene protoka u odnosu na nominalni protok q0.

Brzina isticanja je posledica gravitacije i prema Bernoulli-jevoj jednačini

( )1q t ∆ ( )2q t ∆

2

2av

p gh const =

ρ

ρ + + , za preseke 1 i 2 biće:

( )2

22a av

p gh p v gh t ρ

ρ + = + ⇒ =

( ) ( )2 2q t C gh t =Zapreminski protok , biće:( )2q t , (C je konstanta koja zavisi

od tečnosti i oblika otvora), odnosno:

( )( ) ( )1

dh t A k h t q t

dt + =

gde je 2k C g = . Znači jednačina proticanja tečnosti kroz rezervoar jenelinearna diferencijalna jednačina zbog člana ( )k h t . Treba da se uoči da je u

stacionarnom stanju 0 0q k h= .

Pošto je visina tečnosti u rezervoaru može da se napiše:( ) ( )0h t h h t ∆= +

( ) ( ) ( )

1

2

2 00

1h t

q t k h t k hh

∆⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

18


19/19

Korišćenjem relacije: ( )1

212

α α + ≈ , ako je , dobija se:1α

Documents

6 Nedelja Instrumenti Za Merenje Protoka