STATIKA Statika je dio mehanike koji proučava zakone slaganja sila što djeluju na tijela i ravnotežu tijela. Tijelo je u ravnoteži kada se ne ubrzava. Pri tom tijelo može mirovati, gibati se jednoliko po pravcu ili se jednoliko vrtjeti oko osi koja prolazi kroz centar mase. Često se pogrešno smatra da biti u ravnoteži znači mirovati. Mirovanje je uistinu vrsta ravnoteže ali nije jedina. Gibanje krutog tijela može se rastaviti na translaciju tog tijela brzinom kojom se giba neka njegova točka (npr. centar mase) i rotaciju oko osi koja prolazi kroz tu točku. Ako tijelo pod utjecajem sile ne mijenja oblik kažemo da je kruto. Možemo zamisliti da je kruto tijelo sistem od mnogo materijalnih točaka čiji meñusobni razmaci uvijek ostaju isti. Naravno kruto tijelo je idealizirani model – u prirodi postoje čvrsta tijela koja se više ili manje približavaju modelu krutog tijela. Pri razmatranju krutog tijela spominje se nova fizikalna veličina - moment sile. Ravnoteža materijalne točke Sile koje djeluju u istoj točki zovu se konkurentne sile. Njihova rezultanta je njihov vektorski zbroj:

∑=++=i

iFFFRrrrr

...21 ...(5.1)

Kada dvije ili više sila djeluju na zajedničkom pravcu, a istog su smjera, tada se te sile mogu nadomjestiti rezultantom silom koja djeluje u istom pravcu i smjeru i po iznosu je jednaka zbroju iznosa svih sila. Čestica je u ravnoteži kada joj je akceleracija nula (a = 0), odnosno kako slijedi iz drugog Newtonova zakona, kada iščezava rezultanta svih sila koje djeluju na nju. Uvjet ravnoteže čestice glasi:

∑ ==i

iFR 0rr

što je ekvivalentno ∑ ∑ ∑ ===i i i

iziyix FFF 000 ...(5.2)

Najjednostavnija vrsta ravnoteže jest kada na česticu djeluju koherentne sile jednakog iznosa, a suprotnog smjera (slika 5.1a). Kada na česticu djeluju tri sile, koje su u ravnoteži, tada je rezultanta dviju sila po iznosu jednaka trećoj sili, ali je suprotnog smjera (slika 5.1b). Možemo općenito zaključiti da je čestica u ravnoteži kad je zatvoren vektorski poligon sila koje djeluju na nju (slika 5.1c).

Slika 5.1 Ravnoteža čestice Djelovanje konkurentnih sila na kruto tijelo

Najjednostavnije je kada sve sile djeluju u istoj točki krutog tijela ( tj. imaju zajedničko hvatište), a svodi se na djelovanje sile na materijalnu točku. Rezultanta takvih sila jednaka je njihovu vektorskom zbroju i ima hvatište u toj točki. Da bi kruto tijelo u tom slučaju bilo u ravnoteži, nužno je i dovoljno da bude zatvoren poligon konstruiran od sila tih tijela. Kada na kruto tijelo djeluju dvije sile s različitim hvatištem, koje leže na istom pravcu djelovanja, kruto tijelo je u ravnoteži ako su te sile jednake po iznosu, a suprotnog smjera (slika 5.2)

Slika 5.2 Djelovanje dviju sila na kruto tijelo To je jedan od osnovnih aksioma statike koji proističe iz niza eksperimenata i opažanja. Iz njega proističe da se hvatište sile koja djeluje na kruto tijelo može pomicati duž pravca nosioca a da se pri tom njezino djelovanje na gibanje krutog tijela ne promijeni. (Zbog toga kažemo da je sila koja djeluje ne kruto tijelo klizni vektor).

Sistem sila koje djeluju u različitim točkama krutog tijela, ali kojima se pravci djelovanja sijeku u jednoj točki možemo svesti na sistem sila što djeluju u jednoj točki i zamijeniti njihovim vektorskim zbrojem koji djeluje u točki gdje se sijeku pravci djelovanja tih sila. Budući da se hvatište sila smije pomicati po pravcu nosiocu, sve se te sile mogu pomaknuti tako da djeluju u jednoj točki, sjecištu pravca djelovanja i tako se i taj primjer svodi na prethodni. Moment sile Kruto tijelo pod utjecajem sila može, uz translacijsko gibanje i rotirati oko neke osi ili neke točke. Utjecaj sile na rotaciju opisuje se njezinim momentom. Promatrajmo tijelo koje može rotirati oko točke O (slika 5.3).

a) b) Slika 5.3 Definiranje momenta sile Neka na tijelo djeluje vanjska sila F

r. Djelovanje sile na kruto tijelo ne ovisi samo o

njezinu iznosu i smjeru već i o njezinu hvatištu tj. o točki u kojoj ona djeluje na tijelo, ili točnije o položaju pravca nosioca te sile s obzirom na kruto tijelo. Iznos i smjer sile u oba su primjera na slici 5.3 jednaki , samo je pravac nosilac različit. Sila će utjecati na rotaciju tijela oko točke O samo ako pravac sile ne prolazi kroz tu točku (slika 5.3 b). Iz iskustva znamo da je efikasnost djelovanja na rotaciju to veća što je veća okomita udaljenost pravca djelovanja sile od točke O, tzv. krak sile k = OA. Zato se za opisivanje utjecaja sile na rotaciju uvodi moment sile M

rčiji je iznos jednak

umnošku sile i kraka sile:

kFM = ...(5.3)

Jedinica momenta sile je njutn-metar (znak: N m). Ako sa OHr =

roznačimo vektor položaja hvatišta sile s obzirom na točku O, jednadžbu

(5.3) možemo pisati:

ϕsinrFM = ...(5.4) Gdje je: ϕ - kut izmeñu vektora Fir

rr(slika 5.3 b). Moment sile je vektor čiji je iznos dan sa

jednadžbom (5.4) ili (5.3), dok mu je smjer okomit na ravninu u kojoj leže sila i točka O. Moment sile se može prikazati i kao vektorski produkt radijus vektora hvatišta sile i sile:

FxrMrrr

= ...(5.5) Smjer M

rodreñujemo pravilom desne ruke. Ovakve vektore koji nisu vezani za odreñeni

pravac djelovanja već se smiju paralelno translatirati , nazivamo aksijalnim vektorima.

Slika 5.4 Djelovanje više konkurentnih sila na kruto tijelo Ako u točki H (slika 5.4) ne djeluje jedna već više konkurentnih sila ,...,, 21 FF

rrmoment

svake od njih s obzirom na O jest ii FxrMrrr

= , dok je moment rezultante

...21 ++= FFRrrr

jednak momentu sila komponenata:

( ) ......... 212121 ++=++=++== MMFxrFxrFFxrRxrMrrrrrrrrrrrr

...(5.6) Pri proučavanju gibanja krutog tijela sistem konkurentnih sila se može zamijeniti jednom silom – njihovom rezultantom.

Djelovanje nekonkurentnih sila na kruto tijelo Kada na tijelo djeluje više nekonkurentnih sila (tj. sila čiji se pravci djelovanja ne sijeku u istoj točki tijela), tada se one općenito ne mogu zamijeniti jednom silom, njihovim vektorskim zbrojem. Gibanje tijela u tom slučaju bit će superpozicija translacije i rotacije, s tim što je translacija odreñena rezultantom (vektorskim zbrojem) svih sila, a rotacija rezultantom momenta sila s obzirom na točku oko koje tijelo rotira. Slaganje paralelnih sila. Predpostavimo da na tijelo djeluju dvije ili više sila kojima su pravci djelovanja paralelni (slika 5.5).

Slika 5.5 Paralelne sile Odaberemo li pozitivan smjer jediničnom vektoru u

r, tada te sile možemo prikazati

izrazom uFi

rr, gdje će Fi biti pozitivno ili negativno, ovisno o tome da li je smjer sile

iFr

jednak ili suprotan smjeru vektora ur

. Vektorski zbroj tih sila jest:

( )...... 2121 ++=++= FFuFFRrrrr

...(5.7) Iznos rezultante dobiva se zbrajanjem iznosa komponenata, uzimajući u obzir pri tom komponente u jednom smjeru pozitivnima, a u drugom negativnima. Pravac djelovanja rezultante paralelan je pravcima djelovanja komponenata. Potrebno je još samo odrediti hvatište (položaj djelovanja) rezultante. Izračunamo li moment svake od sila iF

r, iii FxrM

rrr= i dobivene momente vektorski

zbrojimo, dobivamo: ( ) uxFrFrFxrFxrM

rrrrrrrr...... 22112211 ++=++= ...(5.8)

Rezultantni moment okomit je na jedinični vektor ur

te i na rezultantu Rr

. Da bi taj moment bio po iznosu jednak momentu rezultante, potrebno je da rezultanta djeluje u točki C odreñenoj vektorom položaja cr

r, odabranoj tako da je:

( ) ( ) ( ) uxFFruFFxrRxruxFrFr ccc

rrrrrrrrr......... 21212211 ++=++==++ ...(5.9)

Odatle se dobije položaj pravca djelovanja rezultante sile R

r:

∑∑

=++

++=

i

ii

cF

Fr

FF

FrFrr

rrrr

......

21

2211 ...(5.10)

Možemo zaključiti da se sistem paralelnih sila, čija je rezultanta po iznosu različita od nule, može zamijeniti jednom silom – vektorskim zbrojem pojedinih komponentnih sila – čiji je pravac djelovanja odreñen relacijom (5.10). Težište. Kao primjer djelovanja paralelnih sila na kruto tijelo promatrajmo djelovanje sile teže na neko tijelo. Zemlja privlači svaku česticu tijela odreñenom silom, koju nazivamo silom težom i koja je uzrok težine tog tijela. Ako su dimenzije tijela malene u usporedbi s dimenzijama zemlje (ako je u svakoj točci tijela .konstg =

r, možemo smatrati da je ukupna sila teža na tijelo rezultanta paralelnih

sila – sila teža na svaku od pojedinih čestica tijela. Kada tijelo miruje ili se giba jednoliko ukupna težina tijela je ∑∆=

i

i gmGrr

s hvatištem u

točki:

CM

ii

i

ii

T rm

mr

gm

gmrr

rrr

r=

∆=

∆=

∑∑∑ ...(5.11)

Tako odreñeno hvatište težine zove se težište. Da bi se odredio položaj težišta krutog tijela, tijelo treba podijeliti na veliki broj malih volumena ∆V i na te dijelove primijeniti jednadžbu 5.10., te u graničnom slučaju kad svi ∆V teže nuli, umjesto zbrajanja u tim izrazima preći na integriranje. Tako se dobiju izrazi za koordinate težišta krutih tijela:

V

zdVz

V

ydVy

V

xdV

dV

xdVx TTT

∫∫∫∫∫

====ρ

ρ ...(5.12)

Gdje je: V – volumen tijela

ρ - gustoća tijela, za koju smo predpostavili da je konstantna. Eksperimentalno možemo odrediti težište tijela tako da ga objesimo u nekoj točki i pustimo da se uravnoteži. Težište će ležati na vertikali kroz objesište. Zatim ponovimo pokus objesivši tijelo u nekoj drugoj točci. Sjecište tih dviju vertikala odredit će težište. Par sila Kada na kruto tijelo djeluje više paralelnih sila nFFF

rrr,..., 21 čiji je vektorski zbroj jednak nuli

(∑ = 0iFr

), one se mogu zamijeniti dvjema paralelnim silama istog iznosa a suprotnog

smjera. Zbrojimo li prvih n -1 sila, dobit ćemo ∑−

=

=1

1

n

i

iFFrr

.

Budući da je ∑=

=n

iiF

1

0r

to je sila ∑−

=

=1

1

n

iiFFrr

jednaka po iznosu, a suprotnog smjera

posljednjoj sili, koju možemo nazvati nFFrr

=′ . Time smo sistem od n paralelnih sila čiji je

vektorski zbroj nula sveli na dvije antiparalelne sile istog iznosa FiF ′rr

, tzv. par sila.

Promatrajmo kako par sila dviju paralelnih sila 21 FiFrr

, istog iznosa, a suprotnog smjera, djeluje na gibanje krutog tijela (slika 5.6).

Slika 5.6 Par sila Vektorski zbroj tih dviju sila očito je nula, dok je rezultantni moment:

( ) 11211211221121 FxdFxrrFxrFxrFxrFxrMMMrrrrrrrrrrrrrrrr

=−=−=+=+= ...(5.13)

Gdje je:

21 rrdrrr

−= - vektor od hvatišta sile 2Fr

do hvatišta sile 1Fr

. Moment para sila okomit je na ravninu u kojoj leže sile, po iznosu jednak umnošku jedne od sila i udaljenosti pravca djelovanja sila (tj. kraka k = d sinϕ), i ne ovisi o izboru točke s obzirom na koju smo računali momente sile. Budući da je rezultanta sila nula, a rezultantni moment različit od nule, par sila ne uzrokuje translaciju, već samo rotaciju. Kada naime, na nepomično kruto tijelo počne djelovati samo par sila ( 1F

ri 2Fr

), tada je

vektorski zbroj vanjskih sila jednak nuli ( 1Fr

+ 2Fr

=0), te centar mase tijela ostaje i dalje na miru, a tijelo se počne vrtjeti oko osi koja prolazi kroz centar mase i odreñena je smjerom momenta para. Par sila se često susreće u praksi, a nastaje npr. pri okretanju volana, odvijanju vijka itd. Par sila ne možemo zamijeniti jednom silom. Ravnoteža krutog tijela Djelovanje sila na kruto tijelo može proizvesti translacijsko i rotacijsko gibanje. Kruto tijelo je u ravnoteži ako je promatrano u nekom inercijalnom sustavu, linearna akceleracija njegova centra mase jednaka nuli i ako je njegova kutna akceleracija oko bilo koje nepomične osi u tom sustavu jednaka nuli. Moraju dakle, biti ispunjena dva uvjeta da bi se osigurala translacijska i rotacijska ravnoteža. Translacijsko gibanje krutog tijela može se opisati jednadžbom:

Fam CM

rr= ...(5.14)

gdje je: Fr

- vektorski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo. Budući da u ravnoteži

CMar

mora iščezavati, prvi je uvjet ravnoteže krutog tijela:

∑ =i

iF 0r

...(5.15)

Vektorski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na kruto tijelo u ravnoteži jednak je nuli. Što se tiče rotacijskog gibanja, uravnoteženo kruto tijelo vrti se stalnom kutnom brzinom ili miruje, tj. njegova kutna akceleracija oko bilo koje nepomične osi mora biti jednaka nuli. Kutna akceleracija je proporcionalna ukupnom momentu vanjskih sila koje djeluju na tijelo, te drugi uvjet ravnoteže glasi:

∑ =i

iM 0r

...(5.16)

Vektorski zbroj svih vanjskih momenata (s obzirom na bilo koju točku) što djeluju na uravnoteženo kruto tijelo mora biti jednak nuli. Kruto tijelo je u ravnoteži samo ako su istovremeno ispunjena oba uvjeta (5.15) i (5.16). U tom slučaju kruto tijelo miruje, odnosno giba se jednoliko po pravcu ili jednoliko rotira, ili i jedno i drugo. Kada sile koje djeluju na tijelo leže u jednoj ravnini, navedeni uvjeti prelaze u tri skalarne jednadžbe:

∑∑∑ === 0,0,0 iziyix MFF ...(5.17)

Tada su naime svi momenti okomiti na ravninu u kojoj djeluju sile tj. imaju isti pravac nosilac, samo im se predznak može razlikovati. Vektorski zbroj momenata pretvara se zato u algebarski, s tim da se oni momenti koji uzrokuju rotaciju u smjeru suprotnom hodu kazaljke na satu smatraju pozitivnim, a kada uzrokuju vrtnju u istom smjeru kazaljke na satu negativnim. Treba uočiti da par sila ne može biti uravnotežen jednom silom već samo drugim parom, čiji je moment jednak po iznosu, a suprotnog smjera. Razlikujemo tri vrste ravnoteže tijela:

- stabilnu - labilnu i - indiferentnu

Za sve tri su ispunjeni uvjeti ravnoteže, ali je stabilnost tijela različita. Kada kratkotrajna sila djeluje na tijelo u stabilnoj ravnoteži, ona se malo pomakne iz ravnotežnog položaja, ali se nakon prestanka djelovanja sile vraća u taj položaj. Naprotiv tijelo pomaknuto iz položaja labilne ravnoteže više se u taj položaj ne vraća, već teži da se od njega udalji. Ako tijelo pomaknuto iz ravnotežnog položaja ostane i u novom položaju uravnoteženo , kažemo da se tijelo nalazi u indiferentnoj ravnoteži. Na slici 5.7 pokazana je kuglica u sve tri vrste ravnoteže.

a) b) c) Slika 5.8 Stabilna a), labilna b) i indiferentna c) ravnoteža Može se pokazati da je u stabilnoj ravnoteži potencijalna energija tijela minimalna a u labilnoj maksimalna. Primjer: Ljestve mase 10 kg prislonjene su uz vertikalni zid pod kutom 45°, kao što je prikazano na slici. Odrediti sile koje djeluju na ljestve u točkama A i B. Predpostavlja se da je trenje u točki B zanemarivo.

Na gornjoj slici prikazane su sile koje djeluju na ljestve:

- sila teže mg u težištu ljestvi T - normalna reakcija zida FB - normalna reakcija poda FAy - sila koja onemogućuje ljestvama da klize FAx (koja je uzrokovana trenjem)

Prvi uvjet ravnoteže kaže da vektorski zbroj svih sila mora biti jednak nuli. Napišemo li taj uvjet za x i y komponente sila, vrijedi:

∑

∑

=+−=

=+−=

i

ayiy

i

AxBix

FGF

FFF

0

0

...(1)

Drugi uvjet ravnoteže kaže da je algebarski zbroj momenata svih sila jednak nuli. Odredimo li npr. sve momente sila s obzirom na točku A, dobivamo:

0sincos2

0 =−=− ϕϕ dFd

GdFGd BBBT ili

022

22

2=− dF

dG B odatle je ...(2)

NG

FB 492

==

Iz (1) dobijemo ostale dvije sile: FAx = FB = 49 N FAy = G = 98 N Izbor točke A za računanje momenta sila osobito je pogodan zato što se takvim izborom momenti sila FAx i FAy jednaki nuli. računanjem momenta s obzirom na neku drugu točku dobili bi smo isti rezultat, samo bi jednadžbe (2) bile malo složenije. Treba uočiti da sile GiFAy

rr čine jedan par sila, a sile BAx FiF

rr drugi par.

Momenti sila tih dvaju parova po veličini su jednaki i iznose 2

2

22

dF

GdB= , ali su

suprotnih smjerova, te se meñusobno uravnotežuju. Uvijek kada na tijelo djeluje jedan par sila, za postizanje ravnoteže potreban je još jedan par jednakog momenta po veličini, ali suprotnog smjera.