21. CONCEPTOS DE MATEMTICAS FINANCIERAS Porcentaje Ganancias y prdidas en transacciones comerciales Valor del dinero en el tiempo Inters Tasa de inters Equivalencia Flujo de caja2. INTERS SIMPLE Clculo de inters Inters comercial y real Calculo del nmero de das entre fechas Valor futuro a inters simple Desventajas del inters simple Intereses moratorios Valor presente e inters simple Clculo de la tasa de inters simple Clculo del tiempo de negociacin Operaciones de descuento3. INTERS COMPUESTO Valor futuro e inters compuesto Definicin de inters compuesto Caractersticas del inters compuesto Valor futuro con inters compuesto Valor presente con inters compuesto Tasa de inters compuesta Tiempo de negociacin Valor futuro con tasa variable Valor presente con tasa variable4. TASAS DE INTERS Tasa de inters nominal Tasa efectiva peridica Relacin entre tasas de inters Tasas equivalentes De tasa efectiva a tasa efectiva De tasa nominal a tasa efectiva De tasa efectiva a tasa nominal De tasa nominal a nominal Tasas de inters anticipadas Equivalencias entre tasas anticipadas y vencidas5. ANUALIDADES O SERIES DE TIEMPO Clases de anualidades Valor presente anualidad vencida Valor de la cuota en funcin del valor presente Valor futuro de una anualidad vencida Valor futuro de una anualidad vencida con tasa variable3 Valor de la cuota en funcin del valor futuro Clculo del tiempo de negociacin Anualidad con inters global Clculo del saldo insoluto Anualidades anticipadas6. AMORTIZACIONES Sistemas de amortizacin. Clases de amortizaciones. Sistema de amortizacin con pago nico del capital al final del plazo Sistema de cuota fija Sistema de cuota fija con cuotas extraordinarias Sistema de cuota fija con periodo de gracia. Sistema de abono constante a capital con intereses vencidos Sistema de abono constante a capital con intereses anticipados Sistema de cuota fija con inters global Sistemas de amortizacin de crditos de viviendaBIBLIOGRAFIA 4PORCENTAJELa palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera.Ejemplo: 8%, significa 8 unidades de cada 100 unidades.GANANCIAS Y PRDIDAS EN TRANSACCIONES COMERCIALESLas ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las prdidas suelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias pueden expresarse como porcentaje del precio de costo o de venta.Ejemplo: Un artculo se compra en $100.000 y se vende en $120.000. La ganancia es de $20.000, que expresado en porcentaje ser:Ganancia =% 20000 . 100100 * 000 . 20del precio de costoGanancia =% 67 . 16000 . 120100 * 000 . 20del precio de venta.Este resultado significa que la ganancia sobre la inversin ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de los ingresos ha sido ganancia. As mismo, si el artculo cost $100.000 y por circunstancias del mercado se vendi en $80.000, se obtuvo una prdida de $20.000 sobre el costo, que representa:Prdida =% 20000 . 100100 * 000 . 20sobre el costo Para determinar el precio de venta de un artculo se aade al costo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operacin y obtener una utilidad. Los gastos de operacin son aquellos que la empresa invierte en el proceso de compra y venta del artculo, como por ejemplo: salarios, servicios pblicos, publicidad, etc. La cantidad que se le agrega alcosto delartculo o servicio para cubrir los gastos de operacin y obtener una ganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia, o sea, lo que queda despus de cubrir los gastos de operacin se llama utilidad neta.TALLER 1: PORCENTAJE DE GANANCIAS Y PRDIDAS1. Convierta cada uno de los siguientes porcentajes en nmeros decimales: a) 10%, b) 83.54%, c) 0.56%, d) 850%, e) 250%2. Convierta los siguientes nmeros en porcentajes: a) 0.25, b) 0.032, c) 0.86, EJERCICIOS DE MATEMTICAS ELEMENTALESPrecio de venta = costo del artculo + utilidad brutaUtilidad bruta = gastos de operacin + utilidad netaPrecio de venta = costo del artculo + gastos de operacin + utilidad neta.d) 1.50, e) 0.753. Calcular los siguientes porcentajes: a) 20% de 4.728, b) 0.32% de 3.280, c) 3% de 15.600, d) 5% de 35.000, e) 12% de 234.8904. Qu porcentaje de 120.000 es 86.000?5. El arrendamiento de un edificio aument un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, cul era el valor del arrendamiento?6. En qu porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000?.7. Juan David compr una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, cunto pag?8. Un comerciante compr un artculo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre el costo, para cubrir los gastos de operacin y utilidad neta. A qu precio de bebe vender el artculo?VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOSignifica que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendr valores diferentes, as: $ 1.000.000 a un ao tendr valores diferentes en cada mes del ao, esto debido a los siguientes factores: La inflacin. Este fenmeno econmico hace que el dinero da a da pierda poder adquisitivo, es decir, que el dinero se desvalorice. Dentro de un ao recibir el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder de compra de bienes y servicios. Costo de oportunidad. Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando que no slo se proteja la inflacin sino que tambin produzca una utilidad adicional.Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y se manifiesta a travs del inters. Una cantidad de dinero en el presente vale ms que la misma cantidad en el futuro.INTERSPara compensar elvalor deldinero en eltiempo futuro se utiliza elinters. Entonces elinters es la medida o manifestacin del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) y despus de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variacin del valor del dinero dePa F sellama valor del dineroen eltiempo, yladiferencia entreF y P es elinters (I).La operacin se representa mediante la siguiente expresin. Ejemplo:Si sedepositaenunacuenta deahorros$500.000 ydespusde 6mesessetieneunsaldo de$ 580.000, calcular el valor de los intereses.I = F P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000TASA DE INTERSLa palabra tasa significa medir; la tasa de inters (i) se expresa en forma de porcentaje para un perodo de tiempo determinado; la tasa de inters en forma matemtica se expresa mediante la siguiente relacin:I = F P intersF = P + I valor futuroP = F I valor presente100 *PIi iIP I = P*i 100 *PP Fi6Ejemplo: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira $1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de inters ganada. P = $ 1.000.000F = $ 1.030.000I= F P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000100 *PIi =100 *000 . 000 . 1000 . 30= 0.03*100 = 3%EQUIVALENCIADos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, si producen el mismo resultado econmico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro de un ao si la tasa de inters es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre elvalor presente ms los intereses a la tasa exigida por los inversionistas.TALLER 2: INTERESES Y TASAS DE INTERS1. Expresa como nmero decimal las siguientes tasas de inters: 20% anual, 3% mensual, 18,5% trimestral, 65% semestral, 1% diario, 23.65% anual.2. Una inversin inicial de $235.000 produce despus de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular: Valor de los intereses ganados, tasa de inters de la operacin.3. Cuanto se debe invertir hoy para tener dentro de un ao $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor de $ 250.000?4. Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de inters: 3% mensual, 1.5% quincenal, 18% semestral, 0,25% diario, 25% anual.FLUJO DE CAJATodas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden registrar sobre una recta que mida el tiempo de duracin de la operacin financiera. Al registro grfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operacin financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de lnea de tiempo. Por sentido comn se ha adoptado sealar los ingresos con flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.Para resolver los problemas dematemticas financieras, el primer paso y quiz el ms importantees la construccin correcta del flujo de caja, porque adems de mostrar claramente el problema nos indica las frmulas que se deben aplicar para la solucin.Ejemplo:El seor Castro deposita en una entidad financiera el 1 de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 y despus de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo de caja.Solucin: El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista: Primero el flujo de caja para el prestamista (seor Castro) Segundo para el prestatario (entidad financiera)71. Punto de vista del prestamista (seor Castro) Julio/08 $1.075.0001 Enero/08$1.000.00002. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario)$1.000.0001 Enero/08 1 Julio/08$1.075.000TALLER 3: CONSTRUYA EL FLUJO DE CAJA1. El seor Castro compra una casa por $ 100.000.000 y se compromete a pagarla de la siguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valor de $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el seor Castro.2. El banco Ganadero le concede al seor Castro un crdito por valor de $10.000.000 con plazo de un ao. Tasa deinterstrimestral esde9%. El bancoleexigeal seorCastrolarestitucindel capital al final del ao. Construir el flujo de caja para el seor Castro.3. Considerandoel ejercicioanteriorperosuponiendoqueel bancoleexigeal seorCastrolarestitucindel capital en 4 cuotas trimestrales iguales adems del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el seor Castro.4. Usted compra un electrodomstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguiente forma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puede decir que pag por el electrodomstico realmente $ 1.950.000?8Sellamainterssimpleaquel enel cual losinteresesdevengadosenunperodonogananinteresesenlos perodossiguientes, independientementedequesepaguenono, nicamentesobreel capital seliquidanlos intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidacin de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.CLCULO DE INTERESESEn inters simple, el inters a pagar por una deuda vara en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el clculo de intereses se utiliza la siguiente expresin:Donde: I = valor de los interesesi. = tasa de inters expresada en decimalesn. = tiempoDespejando las diferentes variables de la ecuacin anterior se obtiene las expresiones siguientes:Ejemplo.Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple.El 60% de $ 2.000.000 = 0.60*2.000.000 = $ 1.200.000 o sea: $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.$ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple.Clculo del inters mensual simple de $ 1.200.000I1 = 1.200.000*000 . 36 $ 1 *1236 . 0Clculo del inters mensual simple de $ 800.000I2= 800.000*0.02*1 = $16.000Inters total mensual. I = I1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000INTERS COMERCIAL Y REALCuando se realiza clculos financieros que involucren las variables tiempo y tasa de inters, surge la duda sobre qu nmeros de das se toma para elao, es decir, sise toma 365 o 360 das. Esto da origen a dos tipos de inters: el inters ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el ao de 360 das, y el inters realo exacto que se calcula considerando el ao de 365 das, o 366 si se trata de ao bisiesto.I = P*i*nn iIP.n PIi.p iIn.9Ejemplo: Calcular el inters comercial y el inters real o exacto de $1.500.000 a una tasa de inters del 36% anual simple durante 45 das.1. Inters comercial: ao 360 das.I = P*i*n = 1.500.000* 500 . 67 $ 45 *36036 . 02. Inters real o exacto: ao 365 das.I = P*i*n = 1.500.000* 34 . 575 . 66 $ 45 *36536 . 0TALLER 1. Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos:Valor presenta (P) Tasa de inters (i) Periodos de tiempo (n)$4.500.000 1.5%mensual 2, 3, 4, 5 y 6 meses$14.800.000 1.2%, 1.3%, 1.4%, 1.5% mensual 10 meses$40.500.000 1.4% 1, 1.5, 2, 2.5, 3 anos$15.300.000 1.8% mensual 15, 40, 75, 80 130 das2. Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro cuando un capital (P) de $21.000.000 se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de inters del 18% anual para un tiempo de:a) 15 dasb) 50 dasc) 75 dasd) 450 dase) 720 dasCALCULO DEL NMERO DE DIAS ENTRE FECHASAl realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en nmero de das, meses o aos, sino que aparece la fecha de iniciacin de la operacin y la fecha de vencimiento. Para calcular el nmero de das transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el clculo aproximado que toma en cuenta el ao comercialy el clculo exacto (das calendario) considerando el ao real, que se realiza con apoyo de las tablas para calcular el nmero exacto de das o de una calculadora financiera.Ejemplo. Calcular el nmero de das entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el ao comercial y el ao real.Ao comercial:Ao Mes DaFecha final 2007 10 23(-)Fecha inicial2007 01 12Resultado 0 09 11Son 9 meses y once das: 9*30 +11 = 270 +11 = 281 dasAo real: das calendario. Procedimiento con la tablaHasta el 23 octubre marca 296 das(-) 12 de enero 12 dasResultado 284 dasEjemplo:La guerra de los Mil das, denominada tambin Guerra Magna, se desarroll entre el 18 de octubre de 1899 y el 21 de noviembre de 1902. Cuntos das realmente dur la guerra?. Ao comercial y ao real.10Ao comercialAo Mes DaFecha final 1902 11 21(-)Fecha inicial1899 10 18Resultado 03 01 18Son 3 aos, un mes, 3 das:3*360 + 1*30 + 3 = 1.113 dasTABLA PARA CALCULAR EL NMERO EXACTO DE DASDa mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 34310 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 34916 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 29 60 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 36431 31 90 151 212 243 304 365366Ao real o exacto.18 de octubre a 31 de Diciembre 1899 365 291 = 74 dasDas del ao 1990365 dasDas del ao 1901 365 dasDel 1 de Enero 1902 a 21 de Noviembre 325 das11Resultado 1129 dasTALLER.Siguiendo un proceso ordenado y lgico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechasa) Entre el da de hoy y el da de su cumpleaosb) Entre el da de hoy el 31 de Diciembre de este aoc) Entre el da de hoy y el 7 de Agosto de este aod) Entre el da de hoy y el 11 de Noviembre de este aoe) Entre el da de hoy y el 20 de Julio del prximo aof) Entre el 20 de Julio y el 11 de Noviembre de este aog) Entre el 6 de Enero y 31 de Octubre de este aoh) Entre el 20 de Marzo y el 14 de Julio de este aoi) Entre el 11 de Noviembre de este ao y 7 de Agosto del prximo aoj) Entre el 21 de Mayo de este ao y 17 de Diciembre del prximo aok) Entre el 10 de Noviembre de este ao y 27 de Diciembre del prximo aol) Entre el 15 de Junio de este ao y 15 de Octubre del prximo aom) Entre el 1 de Febrero de este ao y10 de Mayo del prximo aon) Entre el 2 de mayo del presente ao y el 16 de Agosto dentro de tres aoso) Entre el 5 de Abril del presente ao y el 20 de Marzo dentro de 4 aosVALOR FUTURO A INTERS SIMPLEConsiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, despus de n perodos a una tasa de inters simple i. El valor futuro es igual al capital prestado ms los intereses; su expresin es la siguiente:Una condicin importante para utilizar la ecuacin anterior, la tasa de inters y el perodo deben estar expresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para que coincidan las unidades de tiempo. Desventajas del inters simple: Su aplicacin en el mundo financiero es limitado. Desconoce el valor del dinero en el tiempo. No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.Ejemplo. Cul ser el valor a cancelar dentro de 10 meses por un prstamo de $ 5.000.000 recibidos en el da de hoy, si la tasa de inters es del 35% mensual simple.F = P + P*i*nF = 5.000.000 + 5.000.000*0.35*10F = 5.000.000 + 17.500.000 = 22.500.000F = $ 22.500.000INTERESES MORATORIOSCuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses de mora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el pago. Por lo general, la tasa de inters moratorio es 1.50 veces la tasa de inters corriente vigente en el momento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el lmite mximo permitido por la ley.Ejemplo.Unpagarpor valor de$500.000devengainteresesdel 2%mensual simpleytieneunplazode vencimiento de 45 das. Si se cancela 15 das despus de su fecha de vencimiento, calcular el inters moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de inters moratoria es del 3% mensual simple.F = P + P*i*n = P(1+i*n)12Si el pagar se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de:F = P + P*i*n F = 500.000 + 500.000* 02 . 0 *3045500.000 +15.000 = $ 515.000F = $ 515.000Al aplazarse el pago durante 15 das, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual.I = P*i*nIntereses moratoriosI = 500.000* 03 . 0 *3015$ 7.500Cantidad total a pagar = F + intereses moratoriosCantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500TALLER 4: USO DE LA EXPRESIONI = P*i*n1. Hallar el valor de los intereses (I) para un capital de $10.000.000 a una tasa de inters mensual del 10%; para 9 meses de tiempo (n)2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un perodo de tiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de inters (i) es del 2.5%.3. Hallar latasadeinters(i) parauncapital (P)de$15.000.000quehaproducidounosintereses(I)de$ 3.000.000 para un perodo de tiempo de 18 meses.4. Calcular el perododetiempo(n) parauncapital de$12.000.000queproduceunosintereses(I) de$ 4.000.000, cuando la tasa de inters toma el valor del 4.0% mensual.5. Calcular el valor del inters comercial y el inters real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasa de inters del $ 36% anual simple; segn los siguientes datos.a. Se deposit el da de hoy y se retir el 30 agosto dos aos despusb. Se deposit el 9 de abril del 2008 y se retir el 5 de diciembre tres aos despusVALOR PRESENTE A INTERS SIMPLEConsiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n perodos adelante a una tasa de inters simple i.F = P(1 + i*n) entonces el valor presente serEjemplo.Elseor castro tiene que cancelar dentro de un ao y medio un valor de $ 2.500.000: Sila tasa de inters es del 3% mensual simple. Cul es el valor inicial de la obligacin.La tasa de inters est en una unidad de tiempo diferente al nmero de perodos, por lo tanto, al aplicar la frmula se deben convertir los aos a meses.P = ) * 1 ( n iF+= ) 03 . 0 * 18 1 (000 . 500 . 2+ = $ 1.623.376.62 P = $ 1.623.376.62 La respuesta indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de un ao y medio, a una tasa de inters del 3% mensual simple. La diferencia entre estos dos valores pertenece a los intereses.CLCULO DE LA TASA DE INTERS SIMPLEConsiste en calcular la tasa de inters simple (i), que produce una inversin inicial (P) y despus de (n) perodos se recibe una cantidad acumulada (F). Despejando (i) de F = P(1 + i*n), se obtiene la expresin correspondienteP = ) * 1 ( n iF+

,_

11PFni13Ejemplo. Un inversionista en el da de hoy invierte en una corporacin $ 1.000.000 y despus de 6 meses retira $1.250.000. Calcular la tasa de inters simple ganada.

,_

11PFni=,_

1000 . 000 . 1000 . 250 . 161= 0.0417 = 4.17%i. = 4.17%CLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACINConsiste en determinar el nmero de perodos (n), que se requieren para que una inversin inicial (P) a una tasa de inters simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene la expresin correspondiente.Ejemplo. Cunto tiempo se debe esperar para que un capitalde $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, sila operacin se realiza al 4% mensual?.n. =,_

1000 . 000 . 1000 . 500 . 204 . 01=37.5 mesesn. = 37 meses y 15 dasOPERACIONES DE DESCUENTOUn descuento es una operacin financiera que consiste en cobrar el valor de un ttulo o documento el valor de los intereses en forma anticipada. Esta operacin es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienen cuentas por cobrar o ttulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. En nuestro pas esta operacin es usual cuando se acude a crditos bancarios de corto plazo. En este caso, en el mismo momento en que recibe el prstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobrados en forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del ttulo, una vez descontados los intereses, se llama valor efectivo del pagar. El valor nominal es el monto que aparece en el pagar.Al vender un pagar antes de la fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal del ttulo (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuento sobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuento: El descuento comercial El descuento racional o justo.El descuento comercial. En una operacin con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre el valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagar. Para tal caso se utiliza la siguiente expresin:

,_

11PFinVe = Vn(1 n*i) 14Donde:Ve = valor efectivoVn = valor nominaln. = perodo de tiempoi.= tasa de intersEjemplo. Supngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por un valor de $1.000.000, que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en da de hoy. El intermediario financiero cobra una tasa de descuento del 2% mensual. Se desea conocer el valor efectivo (Ve) a recibir.Ve = Vn(1 n*i)= 1.000.000 (1- 12*0.02) = 1.000.000*0.76 = $ 760.000El valor efectivo a recibir es $ 760.000El descuento racional o justo. En una operacin con descuento racional los intereses simples se calculan sobre el valor efectivo. Para tal caso se utiliza la siguiente expresin:Donde:Ve = valor efectivoVn = valor nominal n. = perodo de tiempoi.= tasa de intersEjemplo. Utilizando los datos del ejemplo anterior el valor del descuento racional o justo ser:Ve = ) 1 (*i nVn+= ) 02 . 0 * 12 1 (000 . 000 . 1+= $ 806.451.61El valor efectivo a recibir $ 806.451.61Descuento comercial =$1.000.000 760.000 = $ 240.000Descuento racional=$1.000.000 806.451.61 = $ 193.548.39Se observa que para una misma operacin financiera, es mayor el descuento comercial que el descuento racional.TALLER 5: USO DE LA EXPRESION F=P(1+i*n)1. Hallar elvalor futuro (F) que produce un capital(P) de $15.550.000 sometido a una tasa de inters del 5% mensual; en 16 meses de tiempo (n).2. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de inters mensual es 8%; en 19 meses de tiempo (n)3. Encontrar el valor deuncapital (P)quesometidoaunatasadeinters(i) del 5%mensual produceuna cantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses.4. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un perodo de tiempo (n) de 22 meses; si la tasa de inters (i) asignada es del 2.5% mensual5. Hallar el valor de la tasa de inters mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido un nuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un perodo de tiempo de30 mesesTALLER 6: INTERS SIMPLEVe = ) * 1 ( i nVn+151. Por medio de un pagar nos comprometimos a cancelar despus de un ao y medio un valor de $3.285.000. Sila tasa de inters es del 1.5%mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligacin.Respuesta: $2.586.614.172. Uninversionistaestimaqueunlotedeterrenopuedesernegociadodentrode3.5aospor$85.000.000. Cunto ser lo mximo que elest dispuesto a pagar hoy, sidesea obtener un inters del18% semestral simple?. Respuesta $ 37.610.619.473. Hallar la tasa de inters mensualsimple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y alcabo de 10 meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84%4. Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un ao en $12.00.000. Cul es la tasa de inters mensual simple que rinden los dineros all invertidos?. Respuesta 2.78%5. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. Cunto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000?. Respuesta 6 trimestres6. Se invirtieron $ 2.000.000 y despus de 3 aos se recibieron $ 3.600.000. Qu tasa trimestral simple produjo la operacin financiera?.Respuesta 6.67% trimestral7. hace8mesesdisponade$2.000.000ytenalassiguientesalternativasdeinversin: a) Comprar un inventario de ropa por este valor, que a precios de hoyvalen $ 3.300.000. b) Invertirlos en una entidad que me paga el 2.8% mensual simple. Despus de consultarlo, me decid por la primera alternativa. Fue acertada la decisin?. Respuesta s; explique.16El interscompuesto(llamadotambininterssobreinters), esaquel queal final del perodocapitalizalos intereses causados en el perodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre elcualse calculan los intereses. Capitalizacin es elproceso mediante elcuallos intereses que se van causandoperidicamentesesumanal capital anterior. El perododecapitalizacinesperodopactadopara convenir el inters.CARACTERSTICAS DEL INTERS COMPUESTO. El capital inicial cambia en cada perodo porque los intereses que se causan se capitalizan o sea, se convierten en capital. La tasa de inters siempre se aplica a un capital diferente. Los intereses peridicos siempre sern mayores.VALOR FUTURO E INTERS COMPUESTOConsiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, despus de estar ganando intereses por (n) perodos, a una tasa de inters (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente est dado por la siguiente frmula:Esta frmula es conocida como la frmula bsica de las matemticas financieras debido a que, la mayora de las operaciones financieras se realizan con su aplicacin. Elfactor(1 + i )nse conoce con elnombre de factor de capitalizacin en pago nico.TALLERSe invierten $ 10.000.000 durante 12 meses en una corporacin que reconoce una tasa de inters del 3% mensualcompuesta. Se desea saber, cunto dinero se tendr acumulado al final de cada mes?.Valor presente 10.000.000 F = P(1 + i )nIntereses acumulados al final de cada mesFinal del primer mes F1 =Final del segundo mes F2 =Final del tercer mes F3 =Final del cuarto mes F4 =Final del quinto mes F5 =Final del sexto mes F6 =Final del sptimo mes F7 =Final del octavo mes F8 =Final del noveno mes F9 =Final del dcimo mes F10 =Final del dcimo primero mes F11 =Final del dcimo segundo mes F12 =VALOR PRESENTE CON INTERS COMPUESTOF = P(1 + i )n17Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) perodos adelante, considerando una tasa de inters compuesta i. Esta operacin de calcular el valor actual de un capital equivale a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para descontar una deuda.F = P(1 + i )nEjemplo. Don Pedronecesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrcula de hijo. Si una corporacin le ofrece el 3.5% mensual, cunto deber depositar hoy para lograr su objetivo?.niFP) 1 ( += 6) 035 . 0 1 (000 . 000 . 3+= 6) 035 . 1 (000 . 000 . 3 =502 . 440 . 2229255326 . 1000 . 000 . 3P= $ 2.440.502TASA DE INTERS COMPUESTAEn algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida despus de un nmero de perodos determinado, y se desea conocer la tasa de inters. Cuando slo existe una nica cantidad invertida y una nica recibida, la tasa de inters no se puede calcular por solucin directa aplicando la ecuacin F = P(1 + i )n; para este caso la ecuacin se transforma en:Ejemplo. Si el da de hoy se invierten $ 10.000.000 y despus de ao y medio se tienen acumulados $ 30.500.000. Qu tasa de inters produjo la operacin?.i. =1 nPF=1000 . 000 . 10000 . 500 . 3018 =1 05 . 318 = 1.063911606 1 = 0.063911606 = 6.39%i. = 6.39%TIEMPO DE NEGOCIACINConfrecuenciasehaceunainversininicial aunaconocidatasadeintersconel propsitodeobteneruna cantidad futura determinada, y se desea conocer en cunto tiempo se obtendr esta cantidad futura. Desde el punto de vista matemtico, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), el valor futuro (F) y la tasa de inters (i), se desea calcular el nmero de perodos (n).F = P(1 + i )n Ejemplo. Sise realiza una operacin financiera con una tasa de inters del 4% mensual, cunto tiempo (n) se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560?.) 1 ( i LogLogP LogFn+=+) 04 . 0 1 (000 . 000 . 5 560 . 116 . 7LogLog Log0000 . 901733339 . 0 15330011 . 001733339 . 0698970004 . 6 852270115 . 6 n.= 9 mesesniFP) 1 ( +1 nPFi) 1 ( i LogLogP LogFn+18VALOR FUTURO CON TASA VARIABLEPor lo general la tasa de inters para todos los perodos de clculo no es siempre la misma. Por ejemplo, las tasas de inters que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y losCDTson fluctuantes en perodos cortos de tiempo, por loquelosclculosderentabilidadesrealizadosconlaaplicacindelafrmulabsicaF=P(1+i)n resultan irreales. La frmula para calcular elvalor futuro con inters compuesto, cuando la tasa de inters para cada perodo proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:Donde.F=valor futuro P=valor presente i1=tasa de inters del primer perodo i2=tasa de inters del segundo perodo in=Tasa de inters del perodo nEjemplo. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de inters inicial que le reconocen es del 1%mensual. Si seesperaquecadameslatasadeintersaumente0.20%, cuntorecibiral final del semestre. ?P = $ 2.500.000i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00%Reemplazando estos valores se obtendr:F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLEAl hacer los clculos del valor presente en la vida prctica las tasas de inters varan perodo a perodo lo que nos indica que la frmula bsica F = P(1 + i )n no es aplicable. Para este nuevo caso la frmula matemtica es:Donde.F=valor futuro P=valor presente i1=tasa de inters del primer perodo i2=tasa de inters del segundo perodo i3=tasa de inters del tercer perodo in=Tasa de inters del perodo nEjemplo. Un padre defamilia necesitatenerdisponibles $ 2.000.000 dentrode 6 meses. Calcular el valor deldepsito inicial si se esperan las siguientes tasas de inters para los prximos 6 meses.Mes Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6Tasa 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%F = P(1+i1)(1+i2)(1+i3)(1+in)) 1 )...( 1 )( 1 )( 1 (3 2 1 ni i i iFP+ + + +19) 1 )...( 1 )( 1 )( 1 (3 2 1 ni i i iFP+ + + +=) 01 . 0 1 )( 009 . 0 1 )( 008 . 0 1 )( 007 . 0 1 )( 006 . 0 1 )( 005 . 0 1 (000 . 000 . 2+ + + + + +=P = $ 1.912.332.52TALLER 7: INTERS COMPUESTOF=P(1+i)n1. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si tasa de inters mensual es el 10%; en un tiempo (n) de 8 meses2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor futuro (F) es de $ 30.000.000, en un perodo de tiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de inters (i) toma el valor del 3.0% mensual3. Hallar la tasa de inters compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) es de $ 63.000.000 para el perodo de tiempo de 46 meses4. Calcular el perododetiempo(n) parauncapital de$14.000.000cuandosuvalor equivalente(F) esde $120.000.000, cuando la tasa de inters compuesta toma el valor del 2.5.0% mensual5. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de inters compuesta del 6% mensual en el tiempo (n) 10 aos.6. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de inters mensual es del 9%; en un intervalo de tiempo (n) de 48 meses7. Encontrar el valor del capitalque sometido a una tasa de inters (i) del 36% anual produce una cantidad de dinero (F) de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses.8. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 38.600.000, en un perodo de tiempo (n) de 20 meses; si la tasa de inters (i) es del 2.0% mensual9. Hallar el valor de la tasa de inters mensual (i) para un capital (P) de $17.000.000 que ha producido un nuevo capital equivalente (F) de $ 34.250.000 para un tiempo de 30 meses.10.Calcular elperodo de tiempo (n) para un capital(P) de $ 18.000.000; que despus de un tiempo elcapital equivalente (F) es $ 34.600.000, cuando la tasa de inters compuesta toma el valor del 48% anual20La tasa de inters es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como para el que lo tiene porque cobra un precio por prestrselo al que lo requiere. El dinero es una mercanca que tiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interaccin entre la oferta y la demanda. La tasa de inters est presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crdito, o se hace un prstamo de dinero. Su niveldebe ser la preocupacin diaria de cualquier persona o empresa, porque mide elrendimiento como el costo del dinero. Elniveldelas tasas de intersest afectadopor diversas variables, asaber:la inflacin, la devaluacin, la oferta y la demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado el costo del dinero.TASA DE INTERES NOMINALEs una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de inters que se nos cobra en una operacin financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el nmero de veces o periodos que el inters se convierte en capital se denomina capitalizacin y se simboliza con (m)Ejemplos de tasas de inters nominal.INTERES NOMINAL LECTURA CAPITALIZACIONJ =15% NM se lee 15% nominal mensual donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)J =18% NM se lee 18% nominal mensual donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)J =24% NM se lee 24% nominal mensual donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)J =30% NM se lee 30% nominal mensual donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)J =36% NM se lee 36% nominal mensual donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)J =24% NT se lee 34% nominal trimestral donde el inters se convierte 4 veces en capital (m=4)J =24% NB se lee 24% nominal bimestral donde el inters se convierte 6 veces en capital (m=6)J =30% ND se lee 30% nominal diaria donde el inters se convierte 360 veces en capital (m=360)J =12% NS se lee 12% nominal semestral donde el inters se convierte 2 veces en capital (m=2)TASA EFECTIVA PERIODICAEsaquellatasaqueenrealidadseaplicaauncapital enunperiododetiempoquepuedeser:unda, una semana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un ao.Ejemplos de tasa de inters peridica efectivaTASA NOMINAL MENSUAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL 1 J =15% NM la tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 15%/12 = 1.25%2 J =18% NM la tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 18%/12 = 1.50%3 J =24% NM la tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 24%/12 = 2.00%4 J =30% NM la tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 30%/12 = 2.50%5 J =36% NM la tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 36%/12 = 3.00%TALLER: Hallar la tasa efectiva peridica ( i ) para:TASA NOMINAL MENSUAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL1 J =12% NS2 J =24% NT3 J =24% NB4 J =30% NDRELACION ENTRE TASAS DE INTERES21A diferencia de las tasasnominales, lastasasperidicasno se fraccionan (no se dividen entre elnmero de perodos), ni sepuedenobtener multiplicandolatasaefectivaperidicademenor perodopor el nmerode perodos. La tasa efectiva peridica resulta de hacer capitalizaciones Real o virtual de los intereses peridicos. La forma de calcular una tasa efectiva peridica equivalente a otra efectiva peridica, corresponde a los casos de equivalencia de intereses, o tasas equivalentes. Para estas equivalencias se utilizar los siguientes smbolos:a) TEA = tasa efectiva anualb) TES = tasa efectiva semestralc) TET = tasa efectiva trimestrald) TEB = tasa efectiva bimensuale) TEM = tasa efectiva mensualf) TED = tasa efectiva diariaTASAS EQUIVALENTESDos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia a que ambas capitalizan en perodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en el sistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes:a) De tasa efectiva a tasa efectivab) De tasa nominal a tasa efectivac) De tasa efectiva a tasa nominald) De tasa nominal a tasa nominal1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA Enestecasosepuedenpresentardosalternativas: tasaefectivademenoraunatasaefectivamayorotasa efectiva mayor a tasa efectiva menor.Donden. = nmeros de periodos de la nueva capitalizacinm = nmeros de capitalizaciones dadasi2 =tasa efectiva dadai1. = ? nueva tasa efectivaEjemplo 1. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA)n = 12 nuevas capitalizaciones en un aom = 1 capitalizacin dada en un aoTEA =i2 = 15% = 0.15i1= ? nueva tasa efectiva Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:TEM = ( ) 1 1121 +TEA =( ) 1 15 . 0 1121 + = 1.011714917 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensual( ) 1 12 1 + nmi i22Ejemplo 2. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectiva anual (TEA) n = 1 nuevo nmero de capitalizaciones en un aom = 12 nmero capitalizaciones dadas por aoTEM = i2 = 2,5% = 0.025i1. =? nueva tasa efectivaReemplazando y haciendo operaciones se tiene:( ) 1 12 1 + nmi iTEA = i1. = ( ) 1 1 +nmTEM=( ) 1 025 . 0 112 + =( ) 1 025 . 0 112 + =1.3449 1 = 0.3449 = 34. 49% efectivo anual.TALLER.1. Hallar la tasa efectiva mensual para los siguientes casos: a) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 20% (TEA)b) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 22% (TEA)c) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 24% (TEA)d) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 36% (TEA)2. Se tiene una tasa efectiva anual 42% (TEA) y se desea convertir a las siguientes tasas: (escriba el nombre de cada tasa encontrada)TEA = ( ) 1 1 +nmTEA=TES = ( ) 1 1 +nmTEA=TET = ( ) 1 1 +nmTEA=TEB = ( ) 1 1 +nmTEA=TEM = ( ) 1 1 +nmTEA=TED = ( ) 1 1 +nmTEA=3.Setieneunatasadel2.5%efectivomensual (TEM), convertirentasaefectiva:anual,semestral,trimestral, bimestral y mensual TEA = ( ) 1 1 +nmTEM=TES = ( ) 1 1 +nmTEM=TET = ( ) 1 1 +nmTEM=23TEB = ( ) 1 1 +nmTEM=TEM = ( ) 1 1 +nmTEM=2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA Conocida la tasa nominal del crdito se necesita conocer la tasa efectiva peridica equivalente. Esta situacin se presenta con frecuencia en elsector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, por lo general, las tasas de inters de colocacin en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasa efectiva peridica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del crdito.n. = nmero de periodos de la nueva capitalizacinm = nmero de capitalizaciones dadasi. =nueva tasa efectivaEjemplo 1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual (TEA)n. = 1 nmero de periodos de la nueva capitalizacinm = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un aoj = 36%NM = 0.36Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:TEA = 1 1 ,_

+nmmJ = 11236 . 01112 ,_

+= 0.4258 = 42.58 efectivo anualEjemplo 2. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectiva bimensual (TEB) n. = 6 nmero de periodos de la nueva capitalizacinm = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un aoj = 36%NM = 0.36Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:TEB = 1 1 ,_

+nmmJ = 11236 . 01612 ,_

+= 0.0609 = 6.09% efectivo bimensualEjemplo 3.Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)n. = 12 nmero de periodos de la nueva capitalizacinm = 4 nmero de capitalizaciones dadas en un aoj = 24%NM = 0.241 1 ,_

+ nmmJi24Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:TEM. = 1 1 ,_

+nmmJ = 1424 . 01124 ,_

+ = ( ) 1 06 . 1124 = 0.01961 = 1.96% efectiva trimestralTALLER1.Se tiene una tasa nominal mensual del 36%(NM) yse deseaconvertirenlassiguientestasas:(escriba el nombre de cada tasa encontrada)TEA = 1 1 ,_

+nmmJ =TES = 1 1 ,_

+nmmJ =TET = 1 1 ,_

+nmmJ =TEB = 1 1 ,_

+nmmJ =TEM = 1 1 ,_

+nmmJ =2. Se tiene una tasa nominal semestral del 18% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)TEM = 1 1 ,_

+nmmJ =3. Se tiene una tasa nominal bimestral del 8% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)TEM =1 1 ,_

+nmmJ =4. Se tiene una tasa nominal anual del 30% (NA) y se desea convertir en las siguientes tasas (escriba el nombre de cada tasa encontrada):TEA = 1 1 ,_

+nmmJ =TES = 1 1 ,_

+nmmJ =TET = 1 1 ,_

+nmmJ =TEB = 1 1 ,_

+nmmJ =25TEM = 1 1 ,_

+nmmJ =3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINAL Conocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza la siguiente expresin.n. = nmero de capitalizaciones dadasm = nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj = tasa nominal a buscari = tasa efectiva peridicaEjemplo 1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral (NT)n. = 12 nmeros de capitalizaciones dadas en un aom = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un aoj = ? tasa nominali = 2.5% tasa efectiva peridica = 0.025Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:TNT. =( )1]1

+ 1 1 mni m =( )1]1

+ 1 025 . 0 1 4 412= ( ) [ ] 1 025 . 1 43 =4(0.07689)=0.3076=30.76%nominal trimestral.TALLER.1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1.8% y se desea convertir a las siguientes tasas: nominal semestral (NS), nominal trimestral (NT), nominal bimestral (NB) y nominal anual (NA)TNS. =( )1]1

+ 1 1 mni m=TNT. =( )1]1

+ 1 1 mni m=TNB. =( )1]1

+ 1 1 mni m=TNA. =( )1]1

+ 1 1 mni m=2. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir a las siguientes tasas: nominal semestral (NS), nominal trimestral (NT), nominal bimestral (NB) y nominal anual (NA).( )1]1

+ 1 1 mni m j26TNS =( )1]1

+ 1 1 mni m=TNT =( )1]1

+ 1 1 mni m=TNB =( )1]1

+ 1 1 mni m=TNA =( )1]1

+ 1 1 mni m=3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de inters del 22% capitalizable mensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qu opcin se debe elegir?4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la tasa efectiva: a) Mensualb) Bimestralc) Trimestrald) Semestrale) Anual del3. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crdito bancario: 30%MVo 30% TV; realizar su proceso correspondiente.4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINALMuchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el perodo de capitalizacin de la tasa de inters nominal con que se pact una operacin financiera. Este caso conduce a calcular una tasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresin:Dnde:J1 = tasa nominal a buscarm1. = nuevos periodos de capitalizacinJ2 = tasa nominal dadam2. = periodos de capitalizacin dadosEjemplo. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crdito a una tasa del 36% con capitalizacin mensual(36%NM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal pero capitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente.J1 = ? tasa nominal a buscarm1. = 4 nuevos periodos de capitalizacin en el aoJ2 = 36% tasa nominal dada = 0.36m2. = 12 periodos de capitalizacin dadosReemplazando en la expresin correspondiente se tiene:111]1

,_

+ 1 112221 1mmmJm J2711]1

,_

+ 11236 . 01 44121j=4( ) [ ] 1 03 . 0 13 + =4[ ] 1 092727 . 1 =4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable trimestralmente J1 = 37.09%NTTALLER. 1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV2 Se tiene una tasa del 30% con capitalizacin mensual (36%NM), se quiere convertir en una nueva tasa nominal capitalizable:a) Bimestralb) Trimestralmentec) Semestrald) AnualEQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS Cuando se cobra la tasa de inters en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite utilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayor costo del crdito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o peridicas efectivas. Las tasas nominales son las que se capitalizan ms de una vez en el ao.1. CONVERSIN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDA. Consiste en disear una expresin que permita calcular la tasa peridica vencida equivalente a una tasa peridica anticipada. La ecuacin que permite realizar esta operacin es la siguiente:Donde:iv = tasa efectiva peridica vencidaia = tasa efectiva peridica anticipadaEjemplo. Le ofrecen un prstamo de $ 100.000 que debe pagar despus de un mes pero le cobran intereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000, le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados slo recibir $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensual anticipado.ia. = 0.05iv = ) 1 (aaii= ) 05 . 0 1 (05 . 0= 5.26%iv =5.26% mensualAl hacer la operacin con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibir los $ 100.000 y al finalizar el mes entregara $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital ms $ 5.260 de inters (100.000*0.0526)2. CONVERSIN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADA. ) 1 (aaviii28Ahora estamos ante una situacin contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa peridica vencida se necesita calcular la tasa peridica anticipada equivalente.Dondeiv = tasa efectiva peridica vencidaia = tasa efectiva peridica anticipadaAlgunos autores simbolizan la tasa peridica vencida como: iv = iEjemplo. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exige el pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de inters.iv = 0.02ia = ) 1 (vvii+= ) 02 . 0 1 (02 . 0+= 0.019607843 = 1.96%ia = 1.96% anticipados3. CONVERSIN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA. Dondem. = nmero de capitalizaciones dadas en un aon. = nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj = tasa nominal dadaiv = ? tasa efectiva vencidaEjemplo 1. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV).m. = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un aon = 1 nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj = 30% TNMA = 0.30TEAV = ?Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:111]1

,_

1nmj mmTEAV =11]1

,_

130 . 0 12 12112 =11]1

,_

170 . 111212 =( ) [ ] 1 025641020 . 112=0.3550=35.50%,TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencidaEjemplo 2. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).) 1 (vvaiii+111]1

,_

1nmvj mmi29m. = 4 nmero de capitalizaciones dadas en un aon = 12 nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj = 32% TNTA = 0.32Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:111]1

,_

1nmj mmTEMV =11]1

,_

132 . 0 44124=11]1

,_

168 . 34124=( )1]1

1 086956522 . 1 124=0.02818=2.82%,TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencidaTALLER.1. Se tiene una tasa del 36% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva semestral vencida (TESV).2. Se tiene una tasa del 48% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral vencida (TETV).3. Se tiene una tasa del 18% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral vencida (TEBV).4. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).5. Se tiene una tasa del 15% TNBA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).6. Se tiene una tasa del 12% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).4. CONVERSIN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA. Dondem1. = nmero de capitalizaciones dadas en un aom2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj1 = tasa nominal dadaj2. = ? tasa nominal a buscarEjemplo. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).m1. = 6 nmeros de capitalizaciones dadas en un aom2 = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un aoj1 = 24% TNTA = 0.24j2. = ?Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:111]1

,_

1121 212 2mmj mmm J =411]1

,_

124 . 0 6646=11]1

,_

176 . 56446=4( )1]1

1 041666667 . 1 46=0.2525 J2=25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencida111]1

,_

1121 212 2mmj mmm J30TALLER.1. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).5. CONVERSIN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA. Donden1. = nmero de capitalizaciones dadas en un aon2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un aoiv= tasa efectiva vencida dadaia. = ? tasa anticipada a buscarEjemplo. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA).n1. = 1 nmero de capitalizaciones dadas en un aon2 = 4 nmero de capitalizaciones nuevas en un aoTEAV = iv = 35% = 0.35ia. = ?Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:111]1

+ 21) 1 (11nnTEAVTETA = 111]1

+41) 35 . 0 1 (11 = 111]1

41) 35 . 1 (11 = 0.07228 = 7.23%TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipadaTALLER.1. Se tiene una tasa del 20% TETV y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral anticipada (TEBA).2. Se tiene una tasa del 12% TESV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA).3. Se tiene una tasa del 18% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva semestral anticipada (TESA).6. CONVERSIN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA. Donde111]1

+ 21) 1 (11nnvaii111]1

,_

2111 12 21mmm j mm J31m1. = nmero de capitalizaciones dadas en un aom2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao)j1 = tasa nominal mes anticipadaj2= ? tasa nominal anticipada a buscarEjemplo. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA).m1. = 12 nmeros de capitalizaciones dadas en un aom2 = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un aoTNMA =j1 = 24% = 0.24TNTA = j2= ?Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:111]1

,_

2111 12 1mmm j mm TNTA=11]1

,_

41212 24 . 0 121 4=11]1

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4121276 . 111 4= ( ) [ ] 941192 . 0 1 4 = [ ] 058808 . 0 4 =02352=23.52%TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipadaTALLER.1. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA).2. Se tiene una tasa del 18% TNTA y se desea pasar a una tasa nominal bimestre anticipada (TNBA).3. Se tiene una tasa del 28% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal mensual anticipada (TNMA).TALLER FINAL1. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:a) Al 26% efectiva vencida anualb) Al 35% efectiva anticipada aoc) Al 34% nominal trimestre vencidad) Al 4% anticipada de bimestree) Al 31% efectivo vencido anual2. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:a) Al 15% efectiva semestralb) Al 20% nominal bimestralc) Al 24% nominal trimestral anticipadad) Al 25% anticipada aoDESCUENTO POR PRONTO PAGOLos proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquier empresa. Evidentemente, el crdito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para las empresas comerciales y manufactureras sera vender los productos al contado, ya se ha constituido en una prctica comercial no exigirle a los compradores que paguen por las mercancas al momento de su entrega, sino que se les conceden un corto perodo de aplazamiento para hacerlo.Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador seala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempo dentro del cual el comprador tiene la opcin de pagar, para tener derecho al descuento sealado en el numerador. 32Ejemplo.Un proveedor factura una mercanca por valor de $ 500.000con elsiguienteplan de descuento por pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por pronto pago.La expresin 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercanca dentro de los primeros 10 das tendr derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagar a los 30 das el valor neto de la factura.Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000Costo a pagar dentro de los 10 primeros das = 500.000 20.000 = $ 480.000Si no se acoge al descuento pagar a los 30 das el valor neto de la factura $ 500.00033Una anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El trmino anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresin, esto no necesariamenteesas. Enmatemticasfinancieras, anualidadsignificapagoshechosaintervalosigualesde tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortizacin ms comn en los crditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.CLASES DE ANUALIDADESLas clases de anualidades ms comunes son las siguientes: Anualidad vencida Anualidad con inters global Anualidad anticipadaANUALIDAD VENCIDA.Es aquella en que los pagos se hacen al final del perodo: as, por ejemplo, el salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehculos y electrodomsticos, son casos de anualidades vencidas. Para hallar el valor de una anualidad (A) se utiliza la siguiente frmula:Ejemplo.Unlotede terreno que cuesta$20.000.000seproponecomprarconunacuota inicial del10%y12 cuotas mensuales con una tasa de inters del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado.Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000A = P1]1

++1 ) 1 () 1 (nni i i= 18.000.0001]1

++1 ) 02 . 0 1 () 02 . 0 . 1 ( 02 . 01212= $ 1.702.072.74A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual.Total a pagar = A*12+2.000.000=1.702.072.74*12+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000= $22.424.872.88Total a pagar = $ 22.424.872.88VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDAEl valor presente de una anualidad vencida es equivalente a una serie de pagos iguales y peridicos. Desde el punto de vista matemtico, es la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para hallar el valor presente de una anualidad vencida se utiliza la siguiente expresin:Ejemplo. Se compr un vehculo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales$500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehculo.A = P1]1

++1 ) 1 () 1 (nni i iP = ( )1]1

+ +nni i iA) 1 (1 ) 134P=( )1]1

+ +nni i iA) 1 (1 ) 1=( )1]1

+ +6060) 025 . 0 1 ( 025 . 01 ) 025 . 0 1000 . 500=( )1]1

) 399789748 . 4 ( 025 . 0399789748 . 3000 . 500= P = $ 15.454.328.24Valor del vehculo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDAEs valor ubicado en la fecha del ltimo pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y peridicos. En forma matemtica, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. Su frmula para este caso es:Ejemplo. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 aos, en una entidad financiera que paga una tasa de inters del 4% mensual. Cunto dinero tendr acumulado al final de este tiempo?.F = A1]1

+iin1 ) 1 (= 400.0001]1

+04 . 01 ) 04 . 0 1 (24= 400.0001]1

04 . 0) 563304165 . 1 (= $ 15.633041.65F = $ 15.633041.65VALOR DE LA CUOTA EN FUNCIN DEL VALOR FUTUROConocidos el valor futuro equivalente de una serie de pagos iguales (F), la tasa de inters efectiva peridica (i) y el nmero de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota igual y peridica. Su frmula es la siguiente:Ejemplo.Dayana desea saber, cunto debe depositar alfinalde cada mes, durante dos aos, en una entidad financiera que reconoce una tasa de inters del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000?A = 1]1

+ 1 ) 1 (niiF= 1]1

+ 1 ) 1 . 0 1 (1 . 0000 . 000 . 1724=1]1

) 849732676 . 8 (1 . 0000 . 000 . 17=$192.096.20A= $192.096.20CLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACINEs el nmero de cuotas necesarias para amortizar una obligacin. Para las anualidades vencidas, el tiempo de la operacin, medido en nmero de perodos, algunas veces coincide con el nmero de pagos, lo cual no siempre se cumple. El nmero de cuotas o tiempo de negociacin la podemos calcular a partir de la frmula de valor presente o de la frmula del valor futuro, dependiendo de qu valor de ellos se conocen en la operacin. La frmula es la siguiente:F = A1]1

+iin1 ) 1 (A = 1]1

+ 1 ) 1 (niiFn.= ) 1 ( ) (*i LogLogA A i F Log+ +35Ejemplo.Cuntos depsitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institucin financiera que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000n.=) 1 ( ) (*i LogLogA A i F Log+ +=) 12 . 0 1 (000 . 560 ) 000 . 560 12 . 0 000 . 000 . 15 (*+ +LogLog Log= n.=) 12 . 1 (000 . 560 ) 000 . 360 . 2 (LogLog Log = 049218022 . 0748188027 . 5 372912003 . 6 =049218022 . 0 624723975 . 0=12.69299216n. = 12.69299216= 13 pagos mensuales.ANUALIDAD CON INTERS GLOBALLas personas que prestan dinero al inters y las casas comerciales que financian electrodomsticos disean, en forma permanente sistemas de amortizacin de crditos que en ltimas persiguen crear sobre costos invisibles en las negociaciones que realizan con sus clientes, al plantearles una tasa de inters y cobrarlesen realidad una tasa mayor. Esel casodel sistemadeamortizacindecrditosconintersglobal, quesuponeel pagodecuotas peridicas iguales, pero en el que los intereses se calculan sobre el capital prestado inicialmente, desconociendo el abono que se le hace a la deuda cada perodo. La frmula para encontrar esta anualidad es la siguiente:Ejemplo. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a una tasa de inters del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con inters global.A =i PnP*+=04 . 0 000 . 000 . 54 000 . 000 . 5*+ = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000A= $ 1.450.000 cada cuotaValor total a pagar = 4*1.1450.000= $ 5.800.000CLCULO DEL SALDO INSOLUTOEl saldo que se debe de una obligacin en cualquier momento de su plazo. Conocer su monto, es importante para efectos de control financiero y para el prepago de una deuda. Para estos casos se utiliza la siguiente frmula:Donde: n. = nmero de pagos que o nmero de cuotas que faltan por pagar.Ejemplo. Un electrodomstico que tiene un valor de contado de $ 4.500.000, se financia con 24 pagos mensuales de $ 265.713.37, cobrando una tasa de inters de financiacin del3% mensual. Calcular elsaldo de la deuda despus de cancelada la cuota 17. Procedimiento: El saldo de la deuda es igual al valor presente de una anualidad vencida conformada por 7 pagos mensuales iguales de $ 265.713.37, a una tasa del 3% mensual. Los 7 pagos corresponden al nmero de cuotas que faltan por pagar.Saldo a cuota 17 =P = ( )1]1

+ +nni i iA) 1 (1 ) 1= ( )1]1

+ +77) 03 . 0 1 ( 03 . 01 ) 03 . 0 137 . 713 . 265= 265.713.37036896215 . 0 229873865 . 0Saldo a cuota 17 = $ 1.655.469.48A =i PnP*+P = ( )1]1

+ +nni i iA) 1 (1 ) 1 36TALLER 9: ANUALIDADES VENCIDAS1. Una casa cuesta $80.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 15% de la cuota inicial y 180 cuotas mensuales con una tasa de inters del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado.2. Se compr un vehculo con una cuota inicial de $500.000 y 72 cuotas mensuales iguales $600.000. La agencia cobra el 3.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehculo.3. Rosa Mara deposita $ 500.000 cada fin de mes, durante 2.5 aos, en una entidad financiera que paga una tasa de inters del 10% mensual. Cunto dinero tendr acumulado al final de este tiempo?.4. David desea saber, cunto debe depositar al final de cada mes, durante tres aos, en una entidad financiera que reconoce una tasa de inters del 11% mensual para reunir la suma de $38.000.000?5. Cuntos depsitos mensuales vencidos de $380.000 se deben hacer en una institucin financiera que paga el 60% mensual, para tener un valor acumulado de $ 150.000.0006. Al comprar un carro sin cuota inicial queda debiendo $ 35.000.000 que se los financian a una tasa de inters del 3.5% mensual por medio de 60 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con inters global.7. Unnegocioquetieneunvalor decontadode$45.000.000, sefinanciacon48pagosmensualesde$ 1.000.000, cobrando una tasa de inters de financiacin del 2% mensual. Calcular el saldo de la deuda despus de cancelada la cuota:a) 12 b) 24 c) 36 d) 40 e) 45ANUALIDADES ANTICIPADAS. Es aquella en cual los pagos se hacen al principio de cada perodo. Son ejemplos de anualidades anticipadas pos pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas por elfinanciamiento de electrodomsticos. Un ejemplo realdeestaclasedeanualidades sepresenta enalgunos crditoscomerciales enlosqueselemanifiestaal cliente que no le cobrarn cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace la negociacin se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar.VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADAElvalor presentede una serie de pagos iguales anticipados ser elvalor,queen elmomento derealizadala operacin financiera, sea equivalente a toda la serie, sus frmulas para encontrar estos valores son:Ejemplo. Se tiene una obligacin que en un momento se haba pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a ltima hora, cancelar de contado. Si la tasa de inters acordado es del 3% mensual, hallar este valor.

,_

+ ++ nni iii A P) 1 (1 ) 1 () 1 ( =

,_

+ ++1818) 03 . 0 1 ( 03 . 01 ) 03 . 0 1 () 03 . 0 1 ( 000 . 15 = 212.449.78P = $ 212.449.78Comprobar con la segunda frmula, si el resultado es igual o no.VALOR DE LA CUOTA EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADACorresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al principio del perodo. La expresin que nos permite calcular su valor es la siguiente:

,_

+ ++ nni iii A P) 1 (1 ) 1 () 1 (

,_

+ ++nni iiiPA) 1 (1 ) 1 () 1 (

,_

+ ++11) 1 (1 ) 1 (1nni iiPA

,_

+ ++ 11) 1 (1 ) 1 (nni iiA A P37Ejemplo.Se recibe un prstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de inters mensual, calcular el valor de las cuotas.

,_

+ ++nni iiiPA) 1 (1 ) 1 () 1 ( =

,_

+ ++1212) 04 . 0 1 ( 04 . 01 ) 04 . 0 1 () 04 . 0 1 (000 . 000 . 10 = 1.024.540.12A= $ 1.024.540.12Comprobar el valor de la cuota para la segunda frmula.CLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIONEs el nmero de pagos, pagaderos al principio de perodo, necesarios para amortizar una obligacin. Se puede calcular en funcin del valor presente o del valor futuro. Sus frmulas son las siguientes:Ejemplo. Una obligacin de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441.75. Si se cobran una tasa de inters del 3% mensual, calcular el nmero de pagos necesarios para cancelarla.[ ]1) 1 () (++ i LogA P i A Log LogAn= n= [ ]1) 03 . 0 1 () 75 . 441 . 358 000 . 000 . 2 ( 03 . 0 75 . 441 . 358 75 . 441 . 358++ LogLog Logn = 01284 . 049023 . 5 55442 . 5 = 6n = 6 nmero de cuotas.Realizar el mismo ejercicio utilizando la segunda frmula.VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADAPara encontrar este valor se utiliza la siguiente expresin:Ejemplo. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 100.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de inters del 3% mensual. Ella desea saber cunto tendr disponible en la cuenta final del ao.1]1

+ ++ii iA Fn) 1 ( ) 1 (1= 03 . 0) 03 . 0 1 ( ) 03 . 0 1 (000 . 501 12+ ++= 730.889.52F = $ 730.889.52[ ]1) 1 () (++ i LogA P i A Log LogAn[ ] [ ]) 1 () 1 ( ) 1 (i LogPi i A Log i A Logn+ + +ii iA Fn) 1 ( ) 1 (1+ ++38TALLER 10: ANUALIDAD ANTICIPADA1. Don Pedro tiene una obligacin que haba pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $90.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a ltima hora consigue unos dineros y decide cancelar de contado. Si la tasa de inters acordado es del 2.5% mensual, hallar este valor.2. Don Jos se recibe un prstamo para compra de casa por valor de $ 90.000.000 para pagarlo en 180 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 2% de inters mensual, calcular el valor de las cuotas el valor futuro.3. Segn el caso anterior otras personas desean saber cul ser el valor de las cuotas y el valor futuro a pagar en: a) 10 aos, b) 12 aos, c) 20 aos4. Carlos adquiere una obligacin de $ 18.000.000 y se compromete a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $ 1.433.767. Calcular el nmero de pagos necesarios para cancelar. Si se cobran una tasa de inters del: a) 3.5% mensual,b) 3.0% mensual5. DoaMararecibeal principiodecadameslasumade$2.200.000porconceptodel arriendodevarios inmuebles. Ella deposita la mitad de sus ingresos en una cuenta de ahorros en donde le reconocen a una tasa de inters del 3% mensual. Ella desea saber cunto tendr disponible en su cuenta final de: a) 1 ao, b) 2 aos,c) 3 aos,d) 4 aos,e) 5 aosFORMULAS ANUALIDADES O SERIES DE TIEMPOANUALIDAD VENCIDA ANUALIDAD ANTICIPADA1. VALOR DE LA CUOTAA = P1]1

++1 ) 1 () 1 (nni i iA = 1]1

+ 1 ) 1 (niiF1. VALOR DE LA CUOTA

,_

+ ++nni iiiPA) 1 (1 ) 1 () 1 (2. VALOR PRESENTEP = ( )1]1

+ +nni iiA) 1 (1 ) 1 (2. VALOR PRESENTE

,_

+ ++ nni iii A P) 1 (1 ) 1 () 1 (3. VALOR FUTUROF = A1]1

+iin1 ) 1 (3. VALOR FUTUROii iA Fn) 1 ( ) 1 (1+ ++4. CLCULO DEL TIEMPOn.= ) 1 ( ) (*i LogLogA A i F Log+ +4. CLCULO DEL TIEMPO[ ]1) 1 () (++ i LogA P i A Log LogAn5. ANUALIDAD CON INTERS GLOBALA =i PnP*+6. CLCULO DEL SALDO INSOLUTO O SALDO DE LA DEUDAP = ( )1]1

+ +nni iiA) 1 (1 ) 1 (TALLER 11: COMPLEMENTARIOPara los siguientes casos hacer uso de las formulas pertenecientes a las anualidades o series de tiempo 1. En un Municipio Z se propone comprar un terreno para realizar un polideportivo que cuesta $820.000.000 la propuesta de compra consiste de la siguiente manera; cuota inicialdel 20% y 40 cuotas mensuales con una 39tasa de inters del1.5% mensual. Calcular elvalor de lascuotas(A)y elvalor totalpagado; para:a)Una anualidad vencida, b) Una anualidad anticipada2. UnMunicipioXnegociomaquinariadetrabajopesado; ysecomprometicancelar unacuotainicial de $35.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $1.750.000. La casa distribuidora cobra el1.8% mensualsobre saldos. La administracin desea saber el valor presente (P) de la maquinaria al pago de la ltima cuota para: a) Una anualidad vencida., b) Una anualidad anticipada,3. Juanito realiza un depsito de $1 400.000 al final de cada mes, durante 6 aos, en una entidad financiera que reconoce una tasa de inters del 1.2% mensual. Juanito desea saber cunto dinero tendr acumulado (F)al final de este tiempo?, para: a) Una anualidad vencida. b) Una anualidad anticipada4. Cuntos depsitos mensuales (n)vencidosde $5.600.000 se deben hacer en una institucin financiera que paga el 1.8% mensual, para tener un valor acumulado de $ 1.500.000.000.5. DonJosadquiereunaobligacin(P)de$220.000.000ysecomprometicancelarencuotasmensuales iguales de manera anticipada por un valor de $3.580.000. Se cobra a una tasa de inters del 1.5% mensual. Don Jos desea calcular el nmero (n) de pagos que debe hacer para cancelar la obligacin.6. La Administracin de un Municipio compra maquinaria sin cuota inicial y queda debiendo $ 2000.000.000 que sonfinanciadosaunatasadeintersdel 1.2%mensual por mediode40cuotasmensualesiguales. La administracin desea saber el valor de cada cuota con inters global.7. Una entidad estatal compro material para construccin de contado por un valor de $ 450.000.000, se financia a 36pagosmensualesde$2.650.000, cobrandounatasadeintersdefinanciacindel 1.25%mensual. Calcular el saldo de la deuda despus de cancelada la cuota nmero 28.8. En los problemas siguientes hallar el valor presente de la anualidad vencida dada:a. $ 5.000.000 por ao durante 5 aos a la tasa del 8% compuesto.b. $ 1.000.000 cada 6 meses durante 4 aos a la tasa del 10% compuesto semestralmente.c. $ 2.000.000 por trimestre durante 4.5 aos a la tasa del 8% compuesto trimestralmente.d. $ 1.500.000 mensual durante 15 meses a la tasa del 9% compuesto.9. En los problemas siguientes encuentre el valor presente de la anualidad anticipada dada.a. $ 8.000.000 pagaderos al inicio de cada 6 meses durante 6 aos a la tasa del7% compuesto semestral.b. $ 10.000.000 pagadero al inicio de cada trimestre durante 5 aos a la tasa del 6%compuesto trimestralmente.10. En los problemas siguientes encuentre el valor futuro de la anualidad vencida dada.a. $ 2.000.000 mensual durante 3 aos a la tasa de inters del 15% compuesto mensual.b. $ 6.000.000 por trimestre durante 4 aos a la tasa del 8% compuesto trimestral.c. $ 5.000.000 por ao durante 20 aos a la tasa del 7% compuesto anual.d. $ 2.000.000 cada 6 meses durante 10 aos a la tasa del 6% compuesto semestralmente.11. En los siguientes problemas encuentre el valor futuro de la anualidad anticipada dada.a. $ 1.200.000 cada ao durante 12 aos a la tasa del 8% compuesto anual.b. $ 5.000.000 cada trimestre durante 5.5 aos a la tasa del 9% compuesto trimestralmente.40Una amortizacin financiera se define como el proceso por medio del cual se cancela una deuda, junto con sus respectivosintereses, mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En trminos concretos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tienedoscomponentes: interesesyabonoacapital. Al disear unplandeamortizacindeunadeudase acostumbra construir la tabla de amortizacin, que registra perodo a perodo la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortizacin debe contener como mnimo 5 columnas: la primera muestra los perodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota peridica, la tercera el valor los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada perodo.No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO012456789101112TOTALESSISTEMAS DE AMORTIZACINCuando se adquiere una obligacin, su pago se pacta con una serie de condiciones mnimas que determina elcomportamientoquedebeasumir el deudor. Paraquesepuedahablar delaexistenciadeunsistemade amortizacin, es necesario conocer cuatro datos bsicos: Valor de la deuda. P Plazo durante el cual estar vigente la obligacin n Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelacin de la deuda. Este costo financiero es la tasa de inters cobrada en la operacin financiera i. El patrn de pago del crdito. Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A.CLASES DE AMORTIZACIONES.1. SISTEMA DE AMORTIZACIN CON PAGO UNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZOEnestesistema, sepaganperidicamentelosinteresesyal final del plazodel crditosedevuelveel capital prestado.Ejemplo. Una deuda de $20.000.000 se va a financiar a 6 meses a una tasa de inters del 2.5% mensual. Los pagos mensuales sern nicamente intereses y el capital se pagar al final del plazo del crdito. Construir la tabla de amortizacin. Calcular el valor de los intereses mensuales.I = P*iI = 20.000.000*0.025 = 500.000I = $ 500.00041Abono capital = cuota inters; Cuota = abono a capital + intersAmortizacin con pago nico del capital al final del plazo20.000.000,00 2,50%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO01 500.000,00 500.000,00 20.000.000,002 500.000,00 500.000,00 20.000.000,003 500.000,00 500.000,00 20.000.000,004 500.000,00 500.000,00 20.000.000,005 500.000,00 500.000,00 20.000.000,006 $ 20.500.000,00 $ 500.000,00 $ 20.000.000,00 02. SISTEMA DE CUOTA FIJAEste sistema, llamado tambin sistema de amortizacin simple o crdito plano, tiene la caracterstica que los pagos son iguales y peridicos, o sea, que hace referencia a la anualidad o serie uniforme. En la vida prctica es el sistema ms utilizado por los Bancos y casas comerciales para financiamiento de artculos de consumo, crditos bancariosydevivienda. Tienelaparticularidadquedesdeel pagodelaprimeracuota, el saldodeladeuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el valor de la cuota sobre pasa el costo financiero.Ejemplo. Un electrodomstico que vale de contado $ 5.000.000 se financia de la siguiente forma: una cuota inicial (Ci) de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de inters de financiacin que se cobra es del 30% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortizacin.P = 5.000.000Ci = 500.000i. = 0.30/12 = 0.025 = 2.5%A = (P-Ci)1]1

++1 ) 1 () 1 (nni i iA = (5.000.000-500.000)1]1

++1 ) 025 . 0 1 () 025 . 0 1 ( 025 . 066= 4.500.0001]1

1 ) 025 . 1 () 025 . 1 ( 025 . 066= 1]1

159693418 . 055095 . 130465= $ 816.974,87A = Abono a capital + Intereses = $ 816.974,87Tabla: sistema de cuota fija 5.000.000,02,50%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 500.000,00 4.500.000,001 816.974,87 112.500,00 704.474,87 3.795.525,132 816.974,87 94.888,13 722.086,74 3.073.438,393 816.974,87 76.835,96 740.138,91 2.333.299,484 816.974,87 58.332,49 758.642,38 1.574.657,095 816.974,87 39.366,43 777.608,44 797.048,656 816.974,87 19.926,22 797.048,65 0,00$ 5.401.849,22 $ 401.849,22 $ 4.500.000,003. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS42Bsicamente casi es el mismo sistema de amortizacin con cuota fija, pero con la diferencia de que en el plazo del crdito se hacen abonos adicionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas peridicas.Ejemplo. Un vehculo que tiene un valor de contado $ 20.000.000 se piensa financiar de la siguiente forma: cuota inicial de $ 2.000.000 y elsaldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1.500.000y 2 cuotasextraordinarias de 1.994.324.21 en los meses 6 y 12; construir la tabla de amortizacin. Cuota fija con cuotas extraordinarias20.000.000,03,00% 1.994.324No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 2.000.000,00 18.000.000,001 1.500.000 540.000 960.000 17.040.0002 1.500.000 511.200 988.800 16.051.2003 1.500.000 481.536 1.018.464 15.032.7364 1.500.000 450.982 1.049.018 13.983.7185 1.500.000 419.512 1.080.488 12.903.2306 3.494.324 387.097 3.107.227 9.796.0027 1.500.000 293.880 1.206.120 8.589.8828 1.500.000 257.696 1.242.304 7.347.5799 1.500.000 220.427 1.279.573 6.068.00610 1.500.000 182.040 1.317.960 4.750.04611 1.500.000 142.501 1.357.499 3.392.54812 3.494.324 101.776 3.392.548 023.988.648 3.988.648 18.000.000,04. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIAEl perododegraciaotiempomuertoesunperodoenel cual nohayamortizacindecapital, perosi hay causacin de intereses. Si los intereses se pagan peridicamente, el capital inicial permanece constante y sobre ste mismo se calculan las cuotas. Si los interesescausados no se pagan, estos se capitalizan y la deuda habr aumentado al final del perodo de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortizacin.Ejemplo.Unadeudade$20.000.000sevaacancelarcon4pagostrimestralesiguales, aunatasadel 9% trimestral, con un perodo de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tabla de amortizacin, suponiendo:4.1Duranteel perododegracialosinteresescausadossepaganperidicamente.Enestecaso, cada trimestre se debe pagar los intereses causados por la obligacin iniciala la tasa de inters pactada. Como los intereses se pagan, el capital inicial no cambia.I = P*iI = 20.000.000*0.09 = 1.800.000I = $ 1.800.000 trimestralesA = P1]1

++1 ) 1 () 1 (nni i iA = 20.000.0001]1

++1 ) 09 . 0 1 () 09 . 0 1 ( 09 . 044= 20.000.0001]1

1 ) 09 . 1 () 09 . 1 ( 09 . 044= 1]1

411581609 . 090 . 846 . 540 . 2= 6.173.373.24A = $ 6.173.373.24Sistema de cuota fija con periodo de gracia43 20.000.000,09,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 20.000.000,001 1.800.000,00 1.800.000,00 - 20.000.000,002 1.800.000,00 1.800.000,00 - 20.000.000,003 6.173.373,24 1.800.000,00 4.373.373,24 15.626.626,764 6.173.373,24 1.406.396,41 4.766.976,83 10.859.649,935 6.173.373,24 977.368,49 5.196.004,75 5.663.645,186 6.173.373,24 509.728,07 5.663.645,17 0,01$ 28.293.492,96 $ 8.293.492,97 $19.999.999,994.2 Los intereses causados durante el perodo de gracia se capitalizan.Este caso despierta confusin entre los usuarios de un prstamo, porque al no hacer el pago peridico de cuotas durante el perodo de gracia creen que siempre estn debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante el perodo de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del prstamo sobre el cual se har el clculo de las cuotas peridicas.En este caso los intereses causados durante el perodo de gracia se capitalizan de tal forma que, al final del mes 6 el capital inicial se ha transformado en: Construimos la tabla de amortizacin. 20.000.000,09,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 20.000.000,001 1.800.000,00 1.800.000,00 21.800.000,002 - 1.962.000,00 1.962.000,00 23.762.000,003 7.334.584,75 2.138.580,00 5.196.004,75 18.565.995,254 7.334.584,75 1.670.939,57 5.663.645,18 12.902.350,075 7.334.584,75 1.161.211,51 6.173.373,24 6.728.976,836 7.334.584,75 605.607,91 6.728.976,84 -0,01$ 29.338.339,00 $ 9.338.338,99 $ 20.000.000,01F = P(1 + i)n F = 20.000.000 *(1 + 0.09)2F = $ 23.762.000Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales.A = P1]1

++1 ) 1 () 1 (nni i i= 23.762.0001]1

++1 ) 09 . 0 1 () 09 . 0 . 1 ( 09 . 044= $ 7.334.584.75A = $ 7.334.584.755. SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITALEste es uno de los sistemas de amortizacin utilizados por los bancos para sus crditos ordinarios y de consumo, como tambin para laamortizacinde los crditosde vivienda.Aunque losintereses pueden ser cobrados en forma vencida o anticipada, la amortizacin al capital es constante, es decir, cada perodo se abona al capital una cantidad constante igual al monto del prstamodividido entre elnmero de perodos de pago.En elsiguiente ejemplo se analizar los intereses en forma vencida y en forma anticipada.5.1 Con intereses vencidos44Ejemplo.El BancoGanaderoconcedeuncrditoporvalor de$100.000.000aunatasadeintersdel 36% trimestrevencido, conunplazode1ao. Larestitucindel capital seharen4cuotastrimestralesiguales. Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortizacin.Calculamos las 4 cuotas, mediante la siguiente ecuacin con intereses vencidos:Ck =i PnP*+1]1

nK 11 , donde: Ck = valor de cada una de las cuotas para: k = 1,2,3,4,La primera cuota:C1 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

41 11,C1 = 25.000.000 + 9.000.000 = 34.000.000La segunda cuota:C2 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

41 21,C2 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000Con intereses vencidos100.000.000,0 9,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 100.000.000,001 34.000.000,00 9.000.000,00 25.000.000,00 75.000.000,002 31.750.000,00 6.750.000,00 25.000.000,00 50.000.000,003 29.500.000,00 4.500.000,00 25.000.000,00 25.000.000,004 27.250.000,00 2.250.000,00 25.000.000,00 -$ 122.500.000,00 $ 22.500.000,00 $ 100.000.000,00La tercera cuota:C3 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

41 31,C3 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000La cuarta cuota:C4 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

41 41,C4 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.0005.2 Con intereses anticipadosEsteesel casoutilizadoconmayor frecuenciapor losbancosparaamortizar loscrditosacortoplazo. La amortizacindel capital sehaceconcuotasconstantespagaderasal final del perodo, perolosinteresesson cobrados en forma anticipada.Ejemplo. Con los datos del ejemplo anterior, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construir la tabla de amortizacin, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado.Dividimos la tasa nominal: i. = j/m = 0.36/4 = 0.09 = 9%En el momento de hacer el desembolso del prstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es:45I = p*i = 100.000.000*0.09 = $ 9.000.000Luego calculamos las 4 cuotas mediante la siguiente ecuacin:Ck =i PnP*+1]1

nK1 , Donde: Ck = valor de cada una de las cuotas para cada valor de k = 1,2,3,4,La primera cuota:C1 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

411,C1 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000La segunda cuota:C2 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

421,C2 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000La tercera cuota:C3 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

431,C3 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000La cuarta cuota:C4 =09 . 0 000 . 000 . 1004 000 . 000 . 100*+1]1

441,C4 = 25.000.000 + 0 = 25.000.000La tabla de amortizacin ser:Con intereses anticipados100.000.000,0 9,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 9.000.000,00 100.000.000,001 31.750.000,00 6.750.000,00 25.000.000,00 75.000.000,002 29.500.000,00 4.500.000,00 25.000.000,00 50.000.000,003 27.250.000,00 2.250.000,00 25.000.000,00 25.000.000,004 25.000.000,00 - 25.000.000,00 -$ 113.500.000,00 $ 13.500.000,00 $ 100.000.000,00Cuotas fija mes anticipadoEjemplo. Se obtiene una obligacin de $ 212.491.72 y pacta cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000 cada una por mes anticipado, construir la tabla de amortizacin correspondiente.Sistema de cuota fija mes anticipado212.491,783,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO460 15.000,00 197.491,781 15.000,00 5.924,75 9.075,25 188.416,532 15.000,00 5.652,50 9.347,50 179.069,033 15.000,00 5.372,07 9.627,93 169.441,104 15.000,00 5.083,23 9.916,77 159.524,335 15.000,00 4.785,73 10.214,27 149.310,066 15.000,00 4.479,30 10.520,70 138.789,377 15.000,00 4.163,68 10.836,32 127.953,058 15.000,00 3.838,59 11.161,41 116.791,649 15.000,00 3.503,75 11.496,25 105.295,3910 15.000,00 3.158,86 11.841,14 93.454,2511 15.000,00 2.803,63 12.196,37 81.257,8812 15.000,00 2.437,74 12.562,26 68.695,6113 15.000,00 2.060,87 12.939,13 55.756,4814 15.000,00 1.672,69 13.327,31 42.429,1715 15.000,00 1.272,88 13.727,12 28.702,0516 15.000,00 861,06 14.138,94 14.563,1117 15.000,00 436,89 14.563,11 0,00$ 270.000,00 $ 57.508,22 $ 197.491,786. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON INTERS GLOBALEste sistema de pagos consiste en abonar una porcin al capital, los intereses se siguen cobrando sobre el capital prestadoinicialmente. Loimportanteesdisearlatabladeamortizacinparaobservar el comportamientodel crdito.Ejemplo.Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelar por medio de 4 cuotas trimestrales iguales con inters global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y disear la tabla de amortizacin.A =i PnP*+=06 . 0 000 . 000 . 104 000 . 000 . 10*+= $ 3.100.000Sistema de cuota fija (con inters global) 10.000.000,06,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 10.000.000,001 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 7.500.000,002 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 5.000.000,003 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 2.500.000,004 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 -$ 12.400.000,00 $ 2.400.000,00 $ 10.000.000,0047Ejercicio. Se compr un vehculo con una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 200.000. Laagencia cobra el 2.5%mensual sobresaldos. Calcular el valor devehculoy la tabladeamortizacin correspondiente.(PAGINA 210 E5.2)

,_

+ ++ nni iiA Ci P) 1 (1 ) 1 (

,_

+ ++ 1212) 025 . 0 1 ( 025 . 01 ) 025 . 0 1 (000 . 200 000 . 000 . 1 P= 3.051.552.92TABLA DE AMORTIZACION3.051.552,92 2,50%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 1.000.000,00 2.051.552,92 1 200.000,00 51.288,82 148.711,18 1.902.841,742 200.000,00 47.571,04 152.428,96 1.750.412,793 200.000,00 43.760,32 156.239,68 1.594.173,114 200.000,00 39.854,33 160.145,67 1.434.027,435 200.000,00 35.850,69 164.149,31 1.269.878,126 200.000,00 31.746,95 168.253,05 1.101.625,077 200.000,00 27.540,63 172.459,37 929.165,708 200.000,00 23.229,14 176.770,86 752.394,849 200.000,00 18.809,87 181.190,13 571.204,7110 200.000,00 14.280,12 185.719,88 385.484,8311 200.000,00 9.637,12 190.362,88 195.121,9512 200.000,00 4.878,05 195.121,95 0,00$3.400.000,00$ 348.447,08 $ 2.051.552,92 Ejercicio. Se compra un artculo con una cuota inicial de$ 3.387.108,42y 24 cuotas mensuales de $ 800.000. La tasadeintersdefinanciacinesdel 3%mensual. Calcular el valor del artculoylatabladeamortizacin correspondiente (PAGINA 214 E5.3)

,_

+ ++ nni iiA Ci P) 1 (1 ) 1 (

,_

+ ++ 2424) 03 . 0 1 ( 03 . 01 ) 03 . 0 1 (000 . 800 42 . 108 . 387 . 3 P= 16.935.542,12TABLA DE AMORTIZACION16.935.542,12 3,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO03.387.108,4213.548.433,701 800.000,00406.453,01393.546,9913.154.886,712 800.000,00394.646,60405.353,4012.749.533,313 800.000,00382.486,00417.514,0012.332.019,314 800.000,00369.960,58430.039,4211.901.979,895 800.000,00357.059,40442.940,6011.459.039,296 800.000,00343.771,18456.228,8211.002.810,467 800.000,00330.084,31469.915,6910.532.894,788 800.000,00315.986,84484.013,1610.048.881,629 800.000,00301.466,45498.533,559.550.348,0710 800.000,00286.510,44513.489,569.036.858,5111 800.000,00271.105,76528.894,248.507.964,274812 800.000,00255.238,93544.761,077.963.203,1913 800.000,00238.896,10561.103,907.402.099,2914 800.000,00222.062,98577.937,026.824.162,2715 800.000,00204.724,87595.275,136.228.887,1416 800.000,00186.866,61613.133,395.615.753,7517 800.000,00168.472,61631.527,394.984.226,3618 800.000,00149.526,79650.473,214.333.753,1619 800.000,00130.012,59669.987,413.663.765,7520 800.000,00109.912,97690.087,032.973.678,7221 800.000,0089.210,36710.789,642.262.889,0822 800.000,0067.886,67732.113,331.530.775,7623 800.000,0045.923,27754.076,73776.699,0324 800.000,0023.300,97776.699,03- 0,00 $ 22.587.108,42 $ 5.651.566,30 $13.548.433,70 Ejercicio. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicialdel10% y 12 cuotasmensualesconunatasadeintersdel 2%mensual. Calcular el valor delascuotasylatablade amortizacin. (PAGINA 217 E5.5)

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++1 ) 1 () 1 (nni i iP A

,_

++1 ) 02 . 0 1 () 02 . 0 1 ( 02 . 0000 . 000 . 181212A= 1.702.072,74 TABLA DE AMORTIZACION20.000.000,02,00%No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO0 2.000.000,00 18.000.000,001 1.702.072,74 360.000,00 1.342.072,74 16.657.927,262 1.702.072,74 333.158,55 1.368.914,19 15.289.013,073 1.702.072,74 305.780,26 1.396.292,48 13.892.720,594 1.702.072,74 277.854,41 1.424.218,33 12.468.502,265 1.702.072,74 249.370,05 1.452.702,69 11.015.799,576 1.702.072,74 220.315,99 1.481.756,75 9.534.042,827 1.702.072,74 190.680,86 1.511.391,88 8.022.650,948 1.702.072,74 160.453,02 1.541.619,72 6.481.031,229 1.702.072,74 129.620,62 1.572.452,11 4.908.579,1010 1.702.072,74 98.171,58 1.603.901,16 3.304.677,9411 1.702.072,74 66.093,56 1.635.979,18 1.668.698,7612 1.702.072,74 33.373,98 1.668.698,76 - 0,0013 22.424.872,87 2.424.872,87 18.000.000,00Ejercicio.Se tiene un crdito de $5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $ 50.000 ms dos cuotas extras de $ 2.802.277,50 pagaderos en los meses 6 y 12. Si la operacin financiera se realiza con un inters del 3% mensual, construir la tabla de amortizacin. (PAGINA 219 E5.6)TABLA DE AMORTIZACION5.000.000,03,00%2.802.277,50 No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A I) SALDO490 5.000.000,001 5