5.Laboratorio-Vigas

VIGAS - FLEXIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

Juan Alberto Segura Celis

20112099C Seccción: B

Universidad Nacional de Ingeniería

ÍNDICEENUNCIADO DEL PROBLEMA:...................................................................................2

SOLUCIÓN.......................................................................................................................3

1. Modelado de cada elemento...................................................................................3

2. Tabla de conectividad.............................................................................................3

3. Matriz de rigidez elemental de cada elemento.......................................................4

3.1. Para el elemento 1...............................................................................................4

3.2. Para el elemento 2...............................................................................................4

4. Ensamblado de la matriz de rigidez estructural (K)...............................................5

5. Vector fuerza..........................................................................................................5

6. Vector U.................................................................................................................6

7. Diagrama de flujo del programa:............................................................................7

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES.......................................................................9

BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................9

Caculo por Elementos Finitos 1


VIGAS(SAED MOAVENI, pág. 215 – Ejemplo 4.5)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Los miembros de la armadura tridimensional mostrada en la figura siguiente

están hechas de acero (E=207.35GPa). Determine la deflexión del punto libre,

Considerar: u1=u2=u3=u7=u8=u9=0

GRÁFICO:



SOLUCIÓN

1. Modelado de cada elemento

2. Tabla de conectividad

ElementoNODOS

1ero 2do

GDL1 2 3 4 5

6

Le(m)

11 2

1 2 3 4 5 6

3.0480

22 3

4 5 6 7 8 9

2.7432



3. Matriz de rigidez elemental de cada elemento(k i )

k xye =[

AEL

0 0−AEL

0 0

012EIL3

6 EIL2 0

−12 EIL3

6 EIL2

06 EIL2

4 EIL

0−6 EIL2

2 EIL

−AEL

0 0AEL

0 0

0−12EI

L3

−6 EIL2 0

12 EIL3

−6 EIL2

06 EI

L2

2EIL

0−6 EI

L2

4 EIL

]… (1 )

Ecuación (4.55) - Saed Moaveni, Pág 215

3.1. Para el elemento 1

k 1=105[3357.48 0 0 −3357.48 0 0

0 74.61 113.71 0 −74.61 113.710 113.71 231.05 0 −113.71 231.05

−3357.48 0 0 3357.48 0 00 −74.61 −113.71 0 74.61 −113.710 113.71 231.05 0 −113.71 231.05

]3.2. Para el elemento 2

k xy2 =105[

3730.54 0 0 −3730.54 0 00 102.35 140.38 0 −102.35 140.380 140.38 256.72 0 −140.38 128.36

−3730.54 0 0 3730.54 0 00 −102.35 −140.38 0 102.35 −140.380 140.38 128.36 0 −140.38 256.72

]a) Matriz de transformación (T)


1 2 3 4 5 6123456

4 5 6 7 8 9456789


T=[cos (θ ) sen (θ ) 0 0 0 0

−sen (θ ) cos (θ ) 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos (θ ) sen (θ ) 00 0 0 −sen (θ ) cos (θ ) 00 0 0 0 0 1

]…(2)


T=[cos (270 ) sen (270 ) 0 0 0 0

−sen (270 ) cos (270 ) 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos (270 ) sen (270 ) 00 0 0 −sen (270 ) cos (270 ) 00 0 0 0 0 1

]T=[

0 −1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 −1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1

]b) Cálculo de la matriz de Rigidez para el elemento 2

k 2=TT∗kxy2 ∗T… (3)


k 2=105[102.35 0 140.38 −102.35 0 140.38

0 3730.54 0 0 −3730.54 0140.38 0 256.72 −140.38 0 128.36

−102.35 0 −140.38 102.35 0 −140.380 −3730.54 0 0 3730.54 0

140.38 40 128.36 −140.38 0 256.72]

4. Ensamblado de la matriz de rigidez estructural (K)

La matriz de rigidez estructural K se ensambla a partir de k 1 y k2, sumando las

contribuciones de cada elemento teniendo en cuenta su conectividad.


4 5 6 7 8 9

456789

1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789


k 2=105[3357.48 0 0 −3357.48 0 0 0 0 0

0 74.61 113.71 0 −74.61 113.71 0 0 00 113.71 231.05 0 −113.71 231.05 0 0 0

−3357.48 0 0 3459.83 0 140.38 −102.35 0 140.380 −74.61 −113.71 0 3805.15 −113.71 0 −3730.54 00 113.71 231.05 140.38 −113.71 487.77 −140.38 0 128.360 0 0 −102.35 0 −140.38 102.35 0 −140.380 0 0 0 −3730.54 0 0 3730.54 00 0 0 140.38 40 128.36 −140.38 0 256.72

]5. Vector fuerza

Según la tabla 4.2 de la página 207 del Saed Moaveni, tenemos:

F=[0

−wL2

−w L2

120

−wL2

w L2

12

]=[0

−11703.65068∗3.0482

−11703.65068∗3.0482

120

−11703.65068∗3.0482

11703.65068∗3.0482

12

]=[0

−17836.36−9060.87

0−17836.36

9060.87]

6. Vector U

Teniendo en cuenta las condiciones dadas, u1=0 ,u2=0 ,u3=0 y

u7=0 ,u8=0 , u9=0, entonces para el cálculo de U se tendrá una matriz de 3x3, que

corresponden a los grados de libertad 4, 5 y 6.

K∗U=F…(4)K :Matriz derigidezGlobal F :Vector Fuerza

105[3459.83 0 140.380 3805.15 −113.71

140.38 −113.71 487.77 ][u4

u5

u6]=[ 0

−17836.369060.87 ]

[u4

u5

u6]=10−5[ −0.723(m)

−4.155(m)17.815(rad)]

Luego, el vector desplazamiento nodal de la armadura será:

[Q ]=[ 0 0 0 −0.00000723m −0.00004155m 0.00017815 rad 0 0 0 ]T


123456


7. Cuadro Comparativo

Analítico Matlab Comsolux (10−3m) 0.00723 0.007228 0.007228

uy (10−3m) 0.04155 0.0415507 0.0415507

θ(10−3 rad) 0.17815 0.178153 0.178153

8. Diagrama de flujo del programa:


INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1:4

Calcula la matriz de rigidez de cada elemento y también la

global.

Calcula desplazamientos, reacciones

Imprime esfuerzos y reacciones.

Para i=1:4

Calcula esfuerzos para e=-1,1

Si ES1<=ES2

Emax=ES2 Emax=ES1




OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

Se logra comprobar los resultados obtenidos, analíticamente así como en MATLAB y también mediante la simulación en COMSOL.

BIBLIOGRAFÍA www.people.rit.edu/pnveme Elementos finitos, SAED MOAVENI 2da Edición


http://www.people.rit.edu/pnveme

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