59745925 Aplicaciones Basicas de Los Circuitos RLC

CONTENIDOTEMA............................................................................................................................................1

OBJETIVO GENERAL......................................................................................................................1

OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................................................1

MARCO TEÓRICO..........................................................................................................................2

Conceptos básicos....................................................................................................................2

Funciones singulares................................................................................................................3

Función paso, escalón o Función de Heaviside.....................................................................3

Función impulso...................................................................................................................4

Función rampa.....................................................................................................................4

Circuitos de primer orden........................................................................................................4

Circuito RC sin fuente...........................................................................................................5

Circuito RL sin fuente...........................................................................................................5

Respuesta del circuito RC a una función paso (de voltaje)...................................................5

Respuesta del circuito RL a una función paso (de corriente)................................................6

Circuitos de segundo orden......................................................................................................7

Valores iniciales....................................................................................................................8

Circuito RLC en serie sin fuente............................................................................................8

Circuito RLC en paralelo sin fuente.......................................................................................9

Respuesta completa del circuito RLC en serie a la función paso........................................11

Respuesta completa del circuito RLC en paralelo a la función paso...................................11

¿Cuál es la importancia de conocer la respuesta transitoria y completa de los circuitos de primer y segundo orden?...................................................................................................12

APLICACIONES DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN......................................................................13

Unidad de flash fotográfico....................................................................................................13

Circuitos relevadores..............................................................................................................16

Circuito de encendido de un automóvil.................................................................................20

Comparador...........................................................................................................................21

Diferenciador.........................................................................................................................24

APLICACIONES DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN..................................................................26

Circuito de encendido de un automóvil.................................................................................26

Disparador de bolsa de aire....................................................................................................30

Celdas fotovoltaicas...............................................................................................................33

Circuitos suavizadores............................................................................................................36

Detector de humo..................................................................................................................40

CONCLUSIONES..........................................................................................................................43

RECOMENDACIONES..................................................................................................................44

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................45

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITODEBER CONJUNTO DEL PRIMER PARCIAL

Nombre: David EspinosaParalelo: 4º “A”. Electrónica, Automatización y ControlFecha: 2009-11-05

TEMAAPLICACIONES DE LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN (RL Y RC), Y DE SEGUNDO ORDEN, AL USAR FUENTES DC.

OBJETIVO GENERAL

Conocer la respuesta completa de circuitos de primer y segundo orden cuando son excitados por funciones paso. Utilizar dichos conocimientos en el diseño y simulación de aplicaciones sencillas que usan todos los estamentos mencionados.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Conocer la respuesta de un circuito RL cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples.

Conocer la respuesta de un circuito RC cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples.

Conocer la respuesta de un circuito RLC en serie cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples.

Conocer la respuesta de un circuito RLC en paralelo cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples.

David Espinosa Página 1

Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II

MARCO TEÓRICO

Conceptos básicosEl análisis de circuitos hasta este punto, se ha reducido únicamente al tratamiento de elementos puramente resistivos. Si bien es cierto el lector también habrá tenido oportunidad de trabajar con fasores y obviamente, con elementos almacenadores de energía, dichos fasores no hacen sino expresar a un elemento como una impedancia más, que a grosso modo podríamos decir “se trata del valor de una resistencia en el plano complejo”. Y si bien es cierto que esta herramienta matemática facilita sobremanera los cálculos, no permite un análisis concienzudo desde el punto de vista de la realidad del circuito en cuestión.

Los circuitos que a continuación se analizan tienen prácticamente todos los elementos (activos y pasivos) que se ha venido tratando desde el curso de Circuitos Eléctricos I, pero sin embargo, se los analizará en el dominio del tiempo, y usando fuentes DC. Y el lector podrá preguntarse con justicia: ¿Qué sentido tiene usar elementos almacenadores de energía con fuentes DC, si sé que dichos elementos se reducen simplemente a cortocircuitos y circuitos abiertos? Como veremos a continuación, durante un corto período de tiempo, dichos circuitos no presentan el comportamiento que deberían tener idealmente. Y es precisamente aquí donde radica la ventaja del análisis en el dominio del tiempo: nos permite obtener respuestas de estos circuitos más acercadas a la realidad, y prevenir fallas en diseños más elaborados, que damos por sentado que ya están terminados pero que a la hora de la verdad, fallan de manera “incomprensible”.

Es necesario mencionar que el análisis de circuitos en el dominio del tiempo requiere cierto conocimiento de la resolución de ecuaciones diferenciales, pues la respuesta de dichos circuitos se reduce simplemente a ecuaciones de este tipo. Partamos entonces del hecho de que todos los circuitos se pueden representar de la siguiente forma:

El anterior esquema puede ser representado mediante la siguiente ecuación diferencial:

andn y (t)dtn

+an−1dn−1 y (t)dt n−1

+…+a1d y (t)dt 1

+a0 y ( t )=¿

bmdm x (t)dtm

+bm−1dm−1 x (t)dtm−1 +…+b1

d x (t)dt 1

+b0 x ( t )

4º “A”. Electrónica, Automatización y Control Página 2

El orden ‘n’ de la ecuación diferencial dependerá del número de elementos pasivos no reducibles del circuito eléctrico, y el grado ‘m’ de la función de excitación depende del número de fuentes presentes en el mismo.

Como es sabido, la respuesta de una ecuación diferencial siempre posee dos componentes: la respuesta libre o natural y la componente particular o forzada. Dichas componentes son mucho más fáciles de encontrar al usar el operador ‘s’, si tomamos en cuenta que:

sn= dn

dt n

La componente natural se obtendrá de resolver la ecuación diferencia homogénea. Esta componente identifica el tipo de elementos presentes en el circuito y además representa el comportamiento del circuito en ausencia de excitaciones (fuentes de voltaje o corriente). Esta componente resulta importante al existir transiciones de estado en el circuito, generalmente producidos por elementos mecánicos (interruptores). Es por esta razón que la componente natural define el análisis del régimen transitorio de la red. El régimen transitorio es el período de tiempo en el que se hace pasar un circuito de un estado a otro, sea por modificación de algunos elementos de la red, o energización, lo cual produce una variación del las magnitudes de los voltajes o corrientes de los elementos de un valor inicial a un valor final.

La componente particular se obtiene de resolver la ecuación diferencial no homogénea; en este caso se debe hallar una respuesta que satisfaga la ecuación diferencial no homogénea, tomándose en cuenta como variables de entrada las fuentes de excitación en la red.

El presente trabajo centrará su estudio únicamente en circuitos de primer orden (RL y RC), y de segundo orden (RLC en serie y paralelo) para fuentes de DC.

Funciones singularesComo hemos dicho para el análisis de este tipo de circuitos, usaremos como fuentes de excitación a fuentes DC de corriente o de voltaje. La transición de estados se realizará usando interruptores. En consecuencia, habrá una variación abrupta de los valores de corriente o voltaje para los elementos del circuito. Esta variación abrupta se puede representar fácilmente al utilizar la función paso, escalón o de Heaviside. De esta función se verán derivadas otras dos funciones adicionales que ayudarán también en la resolución (o planteamiento) de ciertos problemas. Dichas funciones se detallan brevemente a continuación.

Función paso, escalón o Función de HeavisideEs una función que será 0 hasta un tiempo t0, y luego se hará 1. Entonces, cualquier valor que esté multiplicado por esta función será 0 hasta el tiempo t0 y luego tomará su valor original.



Está definida por:

U (t−t 0 )=0 sit<t 01 si t> t0

Función impulso

Está definida por:

δ ( t−t0 )= 0 si t<t 0Indefinido sit=t 0

0 si t>t 0 En consecuencia:

δ ( t−t0 )=d [U (t−t 0)]

dx

Función rampa

Está definida por:

r (t−t 0 )=0 si t<t 0t si t> t0 En consecuencia:

U (t−t 0 )=d [r (t−t 0)]

dx

Circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden está caracterizado por una ecuación diferencial de primer orden. Este circuito por lo general estará formado por elementos pasivos (resistencias, capacitores e inductores) y también por elementos activos (amplificador operacional, o AO). Una combinación de estos resulta en un circuito de primer orden, sea circuito RL o RC. Para deducir su funcionamiento, usaremos las Leyes de Kirchhoff. Se debe notar


también que el valor de voltaje o corriente sobre un elemento almacenador de energía no puede variar abruptamente. Esto se considerará como un hecho para todos los análisis subsiguientes.

Circuito RC sin fuente

Si Vc(0-)=V(0-)=VoLCK nodo A: Ir=-Ic

VR

=−C dVdt

dVdt

+ VRC

=0

V=Vo∗e−tτ

τ=RC

Circuito RL sin fuente

Si i(0-)=IoLVK en la malla: VL=VR

Ldidt

=−Ri

Ldidt

+ RLi=0

i=Io∗e−tτ

τ= LR

Respuesta del circuito RC a una función paso (de voltaje)

Para t<0:

Vc ¿

Para t>0 el circuito se verá así:



Debemos hallar el valor del V(t) sobre el capacitor, para nuestros propósitos afirmaremos que Vc(t)=V(t). Aplicando LVK tenemos:

Vs-Vr-Vc=0Vr+Vc=VsRi+Vc=Vs

R(C dVcdt

)+Vc=Vs

R(C dVcdt

)+Vc=Vs

dVcdt

+ VcRC

= VsRC

−∫Vo

V (t)dVc

Vc−Vs=∫

0

tdtRC

ln (Vc−Vs)|V 0V (t )

= −tRC

ln (V ( t )−Vs )−ln (Vo−Vs)= −tRC

V (t )−VsVo−Vs

=e−tRC

V ( t )=Vs+(Vo−Vs)e−tRC

Como V (∞ )=Vs en el capacitor, y τ=RC, podemos generalizar la ecuación:

V (t )=V (∞)+(V (0)−V (∞))e−tτ

Respuesta del circuito RL a una función paso (de corriente)


Para t<0:

I L¿

Para t>0 el circuito se verá así:

Debemos hallar el valor del i(t) sobre el inductor, para nuestros propósitos afirmaremos que iL(t)=i(t). Aplicando LCK tenemos:

Is=Ir+IL

VR

+ I L=Is

1R

(Ld iLdt

)+iL=Is

d iLdt

+ RLiL=

RLIs

−∫Io

i (t )dVciL−Is

=∫0

tRLdt

ln (iL−Is)|V 0i (t )

=−RLt

ln (i ( t )−Is )−ln ( Io−Is)=−RLt

i ( t )−IsIo−Is

=e−RLt

I ( t )=Is+(Io−Vs)e−RL

t

Como i (∞ )=Is en el inductor, y τ=RL

, podemos generalizar la ecuación:

i (t )=i(∞)+( i(0)−i(∞))e−tτ



Como conclusión, para hallar la respuesta completa de circuitos RL y RC es necesario hallar las condiciones iniciales (t<0), condiciones finales y constante de tiempo τ (t>0) del circuito.

Circuitos de segundo orden

Un circuito de segundo orden está caracterizado por una ecuación diferencial de 2º orden, y el equivalente de por lo menos 2 elementos almacenadores de energía. El análisis de circuitos de segundo orden es similar a los de primer orden. Consideraremos que los circuitos están excitados inicialmente, y que los elementos almacenadores adquirirán condiciones iniciales.

Primero analizaremos circuitos sin fuente lo que nos dará la respuesta natural de los elementos. Aquí tenemos también respuestas naturales y forzadas. Vamos a considerar solo fuentes independientes en este trabajo.

Valores inicialesPosteriormente, veremos que el análisis de circuitos de segundo orden se reduce únicamente a la búsqueda de las condiciones iniciales del circuito. Dichas condiciones iniciales son:

Para el capacitor: V (0 ) ; ddtV (0 );V (∞)

Para el inductor: I (0 ); ddtI (0 ); I (∞)

Circuito RLC en serie sin fuente

Aplicando LVK en la malla, tenemos:

Vc+Vr+VL=01C∫ idt+ Io+Ri+L di

dt=0

Derivando una vez más, con respecto a t:

Ld2 idt 2

+R didt

+ iC

=0


d2idt2

+ RLdidt

+ iLC

=0

Usando el operador ‘s’, tenemos:

(s2+ RL s+ 1LC )i=0

Las soluciones son:

s1=−R2L

+√( R2L )2

− 1LC

y s2=−R2L

−√( R2 L )2

− 1LC

Donde s1 y s2 se miden en Nepers [Np]. Más generalmente podemos afirmar lo siguiente:

α= R2L

.- Frecuencia de Neper o factor de amortiguamiento [ Nps ] ω0=

1

√LC.- Frecuencia de resonancia o frecuencia natural no amortiguada [ rads ]

ωd2=ω0

2−α2.- Frecuencia de amortiguamiento

En consecuencia, las soluciones se simplifican a lo siguiente:

s1=−α+√α 2−ω02 y s2=−α−√α2−ω0

2

Dependiendo de α y ω0, se tendrán los distintos tipos de respuestas:

1) CASO AMORTIGUADO (α > ω0).- s1, s2 son reales y diferentes. La solución de la ecuación diferencial es:

V ( t )=A1 es1t+A2 e

s2 t

2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO (α = ω0).- s1, s2 son reales e iguales. La solución de la ecuación diferencial es:

V ( t )=A1 es1t+A2 t e

s2 t

3) CASO SUBAMORTIGUADO (α < ω0).- s1, s2 son imaginarias y diferentes, de la forma -α±jωd. La solución de la ecuación diferencial es:

V ( t )=e−αt (B1∗cos (ωd )+B2∗sin (ωd ))

Para todos los casos, las constantes A1, A2 (y B1, B2) se hallan mediante las condiciones iniciales del circuito. (He aquí el interés de hallar dichas condiciones). Para ello, se iguala x(0) con la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una primera ecuación lineal. Luego se iguala d[x(0)]/dt con la primera derivada de la solución de la



ecuación diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una segunda ecuación lineal. Ya solo queda resolver este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, A1 y A2 (B1 y B2).

Circuito RLC en paralelo sin fuente

Aplicando LCK en el nodo A, tenemos:

Ic+Ir+IL=0

CdVdt

+Vr

+ 1L∫Vdt+Vo=0

Derivando una vez más con respecto a t:

Cd2Vdt2

+ 1RdVdt

+VL

=0

d2Vdt 2

+ 1RC

dVdt

+ VLC

=0

Usando el operador ‘s’, tenemos:

(s2+ 1RC

s+ 1LC )V=0

Las soluciones son:

s1=−12RC

+√( 12 RC )

2

− 1LC

y s2=−12RC

−√( 12RC )

2

− 1LC

Donde s1 y s2 se miden en Nepers [Np]. Más generalmente podemos afirmar lo siguiente:

α= 12RC

.- Frecuencia de Neper o factor de amortiguamiento [ Nps ]

4º “A”. Electrónica, Automatización y ControlPágina 10

ω0=1

√LC.- Frecuencia de resonancia o frecuencia natural no amortiguada [ rads ]

ωd2=ω0

2−α2.- Frecuencia de amortiguamiento

En consecuencia, las soluciones se simplifican a lo siguiente:

s1=−α+√α 2−ω02 y s2=−α−√α2−ω0

2

Dependiendo de α y ω0, se tendrán los distintos tipos de respuestas:

1) CASO AMORTIGUADO (α > ω0).- s1, s2 son reales y diferentes. La solución de la ecuación diferencial es:


s2 t

2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO (α = ω0).- s1, s2 son reales e iguales. La solución de la ecuación diferencial es:

V ( t )=A1 es1t+A2 t e

s2 t

3) CASO SUBAMORTIGUADO (α < ω0).- s1, s2 son imaginarias y diferentes, de la forma -α±jωd. La solución de la ecuación diferencial es:

V ( t )=e−αt (B1∗cos (ωd )+B2∗sin (ωd ) )

Para todos los casos, las constantes A1, A2 (y B1, B2) se hallan mediante las condiciones iniciales del circuito. (He aquí el interés de hallar dichas condiciones). Para ello, se iguala x(0) con la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una primera ecuación lineal. Luego se iguala d[x(0)]/dt con la primera derivada de la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una segunda ecuación lineal. Ya solo queda resolver este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, A1 y A2 (B1 y B2).

Respuesta completa del circuito RLC en serie a la función paso

Es necesario recordar en este punto, que el análisis de circuitos de segundo orden es análogo a los de primer grado. Y también es sabido que la respuesta completa de un circuito con elementos almacenadores de energía es igual a la suma de su respuesta natural y forzada. Bien, el análisis se facilita muchísimo al aplicar este concepto. Para estado estable, el circuito sobre estas líneas se verá como el que se muestra a continuación:



La bobina se comportará como un cortocircuito, mientras que el capacitor se comportará como un circuito abierto. Como el parámetro que aquí nos interesa es el voltaje del capacitor, podemos ver fácilmente que para el estado estable, el voltaje sobre el capacitor será el mismo que el de la fuente, Vs. Es pues, fácil, deducir las respuestas completas:

1) CASO AMORTIGUADO: V ( t )=Vs+A1 es1 t+A2 e

s2 t

2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: V ( t )=Vs+A1 es1 t+A2 t e

s2 t

3) CASO SUBAMORTIGUADO: V ( t )=Vs+e−αt (B1∗cos (ωd )+B2∗sin (ωd ))

Respuesta completa del circuito RLC en paralelo a la función paso

Es necesario recordar en este punto, que el análisis de circuitos de segundo orden es análogo a los de primer grado. Y también es sabido que la respuesta completa de un circuito con elementos almacenadores de energía es igual a la suma de su respuesta natural y forzada. Bien, el análisis se facilita muchísimo al aplicar este concepto. Para estado estable, el circuito sobre estas líneas se verá como el que se muestra a continuación:

La bobina se comportará como un cortocircuito, mientras que el capacitor se comportará como un circuito abierto. Como el parámetro que aquí nos interesa es la corriente sobre el inductor, podemos ver fácilmente que para el estado estable, la corriente sobre el inductor será el mismo que el de la fuente, Is. Es pues, fácil, deducir las respuestas completas:

1) CASO AMORTIGUADO: i (t )=Is+A1 es1 t+A2e

s2 t

2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: i( t )=Is+A1 es1t+A2 t e

s2 t


3) CASO SUBAMORTIGUADO: i (t )=Is+e−αt (B1∗cos (ωd )+B2∗sin (ωd ))

¿Cuál es la importancia de conocer la respuesta transitoria y completa de los circuitos de primer y segundo orden?Como veremos en posteriores páginas, los circuitos de primer y segundo orden tienen una considerable cantidad de aplicaciones en la vida práctica, incluso asociados con elementos activos como amplificadores operacionales. Sin embargo, dicho número de aplicaciones se ve reducido al usar únicamente respuestas paso de voltaje o corriente. No obstante, existen varias aplicaciones que son bastante comunes en la vida cotidiana, y que usan dichos circuitos, y sus respectivas respuestas completas a las funciones paso.

Las aplicaciones que a continuación se detallan, y que son el tópico fundamental en el desarrollo de este trabajo, se dividen en dos partes: aplicaciones de circuitos de primer grado y aplicaciones de circuitos de segundo grado. Existen 5 aplicaciones de cada caso, y se ha considerado importante incluir también aplicaciones que involucran AOPs, para darle mayor gama e interés. Para todos los casos, se deduce la fórmula que defina la respuesta completa de cada circuito, y un ejemplo con valores reales.

APLICACIONES DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN

Unidad de flash fotográfico Una unidad de flash fotográfico constituye un ejemplo típico de aplicación de circuito RC. Esta aplicación aprovecha la propiedad del capacitor para oponerse a cambios abruptos de tensión. En la Figura 1 se tiene un circuito simplificado. Éste consta en esencia de una fuente de alta tensión de corriente continua Vs, un resistor limitador de corriente grande R1, y un capacitor C en paralelo con la lámpara del flash de baja resistencia R2.



Figura 1. Circuito básico de un flash fotográfico

Cuando el interruptor está en la posición 1, el capacitor se carga lentamente, debido a la elevada constante de tiempo (τ1=R1*C). Como se muestra en la Gráfica 1, la tensión del capacitor aumenta de forma gradual de cero a Vs, mientras que su corriente decrece en forma gradual de I1=Vs/R1 a cero. El tiempo de carga es aproximadamente 5 veces la constante de tiempo:

t carga=5 R1C

t carga=5∗1000∗2000∗10−6

t carga=10 [s]

Para tener una ecuación que coincida con el accionar del interruptor en t=0 en su caso más crítico, la ecuación que define el voltaje del capacitor en el período de carga es:

V c ( t+10 )=Vs+(0−Vs ) e−t+10R1C

V c ( t+10 )=240+(0−240 ) e−t

1000∗2000∗10−6

V c (t+10 )=240(1−e−t+102 )

Gráfica 1. Respuesta completa del voltaje del capacitor para la unidad de flash fotográfico

Sin embargo, y para centrarnos en nuestro circuito, asumiremos el interruptor ha permanecido en su posición original por un largo período de tiempo.


Cuando el interruptor se acciona a t=0, la tensión del capacitor se descarga. La baja resistencia R2 de la lámpara permite una alta corriente de descarga con I2=Vs/R2 en un lapso breve. La descarga tiene lugar en aproximadamente cinco veces la constante de tiempo:

t descarga=5 R2C

t descarga=5∗12∗2000∗10−6

t descarga=0.12[ s]

En esta instancia, la respuesta de este circuito es más fácil de obtener, pues conocemos sus condiciones iniciales y finales:

V ¿

V c ( t )=V (∞)+ (V (0)−V (∞))e−tR2C

V c (t )=0+(240−0 ) e−t

12∗2000∗10−6

V c (t )=240e−125 t3

La descarga, como es de esperarse, tendrá una forma exponencial, como se observa en la Gráfica 2. La respuesta completa de este circuito será:

V c ( t )[V ]= 240 si t<0

240e−125 t3 si t>0

Gráfica 2. Respuesta completa de la unidad de flash fotográfico



Al ubicar un osciloscopio virtual entre los terminales del capacitor, se obtuvieron resultados similares a los obtenidos mediante los cálculos:

Simulación 1. Unidad de flash fotográfico

Así, el circuito RC simple de la Figura 1 proporciona un pulso de corta duración y alta corriente. Tal circuito también es aplicado en la electrosoldadura de punto y el tubo transmisor de radar.

Circuitos relevadoresUn interruptor controlado magnéticamente se denomina relevador (o popularmente conocido como relé). Es esencialmente un dispositivo electromagnético que sirve para abrir o cerrar un interruptor que controla a otro circuito. En la Figura 2 se muestra un circuito relevador usual. El circuito de la bobina es un circuito RL como el de la Figura 3, donde R y L son la resistencia y la inductancia de la bobina. Cuando el interruptor S1 de la Figura 2 se cierra, el circuito de la bobina se activa. La corriente de la bobina aumenta en forma gradual y produce un campo magnético. A la larga el campo magnético es suficientemente fuerte para atraer al contacto móvil del otro circuito y cerrar el interruptor S2. En ese momento, se dice que el relevador está activado. El tiempo td entre el cierre de los interruptores S1 y S2 se llama tiempo de retraso del relevador. Los relevadores se emplearon en los primeros circuitos digitales y aún se usan en circuitos de conmutación de alta potencia.


Figura 2. Circuito relevador

Figura 3. Circuito relevador para el análisis

Analicemos entonces, la respuesta completa del circuito mostrado en la Figura 3. Para antes de t=0, tenemos que la corriente que fluye por el circuito es I(0)=0A.

Para t>0, tenemos entre manos un circuito RL en serie. La corriente que atravesará la bobina cuando haya transcurrido un largo período de tiempo será Vs/R, pues la bobina se comportará como un cortocircuito.

En consecuencia:

I (∞ )=VsR

= 12200

= 350

[A ]

La constante de tiempo estará determinada por:

τ= LR

= 0.5200

=2.5 [ms]

La corriente en el circuito estará determinada por:

i (t )=I (∞)+( I (0)−I (∞ ))e−t

2.5∗10−3



i (t )= 350

+(0− 350 )e

−t2.5∗10−3

i (t )= 350

(1−e−400 t ) [A]

Así, obtenemos la respuesta del circuito, misma que se puede visualizar en la Gráfica 3.

Gráfica 3. Respuesta completa de la corriente en el inductor del circuito relevador

Como hemos mencionado, estos circuitos relevadores poseen un tiempo de retraso del relevador. Determinar este tiempo de retraso no es muy difícil. Partimos de:

i (t )=I (∞)+( I (0)−I (∞ ))e−t

2.5∗10−3

Sabemos que la corriente que fluirá al final en el circuito es VsR

. También sabemos que

inicialmente la corriente en la bobina es I(0)=0A, aunque este puede no ser el caso, así que de manera general asumiremos I(0)=Io. Si la corriente a la que se activa el relevador es Imin, el tiempo de retardo será:

Imin=VsR

+( Io−VsR )e

−RtL

Imin∗R=Vs+ (Io∗R−Vs )e−RtL


Imin∗R−VsIo∗R−Vs

=e−RtL

ln ( Vs−Io∗RVs−Imin∗R )= Rt

L

t r=LRln( Vs−Io∗R

Vs−Imin∗R )Siendo este tiempo calculado en segundos [s].

Para la simulación del circuito, usaremos el voltaje que cae sobre la bobina. Si sabemos que:

V L(t )=Ldi ( t )dt

=0.5∗ddt ( 350 (1−e−400t ) [ A ])

V L(t )=12e−400t [V ]

La Gráfica 4 permite visualizar la curva de voltaje sobre el inductor:

Gráfica 4. Respuesta completa del voltaje sobre el inductor

Si el voltaje que obtengamos en la simulación es similar al voltaje que acabamos de obtener, entonces el cálculo de la corriente sobre el inductor habrá sido el correcto. Luego:



Simulación 2. Circuito relevador

Obtenemos un pulso de 11.9[V], bastante aproximado a los 12[V] que se obtienen en los cálculos, con lo que confirmamos que los cálculos fueron correctos.

Circuito de encendido de un automóvilLa capacidad de los inductores para oponerse a rápidos cambios de corriente los vuelve útiles para la generación de arcos o chispas. Un sistema de encendido de coche aprovecha esa característica.


El motor a gasolina de un automóvil requiere que la mezcla de combustible – aire en cada cilindro se encienda en los momentos adecuados. Esto se logra por medio de una bujía, que consta en esencia de un par de electrodos separados por un entrehierro.

Figura 4. Circuito de primer orden para el encendido de un automóvil

Mediante la creación de una gran tensión (miles de voltios) entre los electrodos, se forma una chispa en ese espacio, lo que enciende el combustible. Pero, como puede obtenerse una tensión tan grande de la batería del auto, que solo suministra 12V? Esto se logra por medio de un inductor (la bobina de chispa). Puesto que la tensión en el inductor V=L*di/dt, se puede aumentar di/dt generando un cambio de corriente alto en un tiempo muy reducido. Cuando el interruptor de encendido de la Figura 4 se cierra, la corriente a través del inductor aumenta de forma gradual hasta alcanzar un valor final de i=Vs/R donde Vs=12V. También esta vez el tiempo que tarda en cargarse el inductor es cinco veces la constante de tiempo del circuito:

t carga=5LR

Dado que en estado estable i es constante, di/dt=0 y la tensión del inductor v=0. Cuando el interruptor se abre de repente, se crea gran tensión en el inductor (debido al campo que rápidamente se colapsa), lo que provoca una chispa o arco en el entrehierro. La chispa continúa hasta que la energía almacenada en el interruptor se disipa en la descarga.

En los laboratorios, cuando uno está trabajando con circuitos inductivos, este mismo efecto causa un choque muy peligroso y uno debe tener cuidado. Lo verificaremos para los valores del circuito de la Figura 4. Supongamos que el interruptor tarde 1μs en abrirse, y que antes de hacerlo, haya estado conectado un largo tiempo. La corriente que deberá disiparse en el entre

hierro es I=VsR

=125A . El voltaje en el entrehierro VE será igual al existente entre los

terminales de la bobina. Así entonces afirmamos:

V E=Ldi(t)dt

=L∇ I∇ t

=20∗10−3125

2∗10−6→V E=24 KV∴Locual yaes unalto voltaje

ComparadorMuchas veces los circuitos contienen diversos interruptores cuyo estado no cambia al mismo tiempo. Por ejemplo, puede haber dos interruptores en un circuito en el que el primero cambia de estado en el tiempo t=0 y el segundo se cierra en t=1ms. Se dice que estos circuitos poseen conmutación secuencial.



La conmutación secuencial ocurre cuando un circuito contiene dos o más interruptores que cambian de estado en instantes diferentes.

Sin embargo, en algunas aplicaciones la conmutación ocurre en valores predeterminados del voltaje en lugar de hacerlo en tiempos predeterminados. En la Figura 5 se muestra un dispositivo llamado comparador, que puede usarse para llevar a cabo esta conmutación.

Figura 5. Un comparador

Las corrientes de entrada del comparador son cero. El voltaje de salida del comparador será uno de dos valores, dependiendo de los voltajes de entrada. La relación es:

V sal (t )=¿

Donde VA y VB son voltajes de polarización del comparador (Que al igual que en el caso de los Amplificadores Operacionales, se omiten para el análisis).

Ahora, obsérvese la Figura 6. Aquí la comparación se realiza entre la fuente V2 y el voltaje que posee el capacitor en un determinado tiempo que puede ser determinado.

Figura 6. Comparador que usa un elemento de almacenamiento par su conmutación

Se sabe que el voltaje del capacitor de este circuito de primer orden será

V c (t )=V (∞ )+(V (0 )−V (∞))e−tRC

Sea t1 el tiempo en el que deseamos que las salida cambie de VB a VA. Entonces VC(t1)=VB, donde:


V B=V (∞ )+(V (0 )−V (∞))e−t 1RC

Finalmente obtenemos la relación entre los elementos integrantes de este circuito:

t 1=RC∗ln(V (0 )−V (∞)V B−V (∞ ) )

Para demostrar la validez de esta fórmula, lo probaremos con un ejemplo: Se pide determinar el valor de la resistencia R necesaria para que la salida del comparador de la Figura 6, con todos sus datos mostrados, cambie de estado en el tiempo t1=0.1s. Suponer que VA=5V y VB=0V.

Como t1=0.1s, V(0)=[V] y V (∞)=5[V], reemplazamos en la fórmula anterior:

0.1=R∗1∗10−6∗ln( 0−5103

−5 )R=91023.9Ω

Verificamos este dato en la simulación. Efectivamente, el resultado es el esperado: la señal en naranja, que es la salida del comparador tiene un voltaje ligeramente mayor al de V2. La curva en verde es la curva del voltaje de carga en el capacitor. Se la ha incluido para justificar la sincronía y exactitud con la que el comparador trabaja.

Simulación 3. Respuesta completa del capacitor(verde),

y salida del comparador (naranja)

Como un mero dato adicional, confirmaremos la curva V(t) en el capacitor.

V c (t )=V (∞ )+(V (0 )−V (∞))e−tRC



V c ( t )=5+(0−5 ) e−t

91023.9∗1∗10−6

V c (t )=5 (1−e−10.98 t )[V ]

La Gráfica 5 describe el comportamiento del capacitor en el comparador.

Gráfica 5. Respuesta completa del voltaje en el capacitor del comparador

Y una vez más, la simulación ha confirmado los cálculos.

DiferenciadorEsta aplicación fue una de las más populares de los amplificadores operacionales en las primeras generaciones de computadores. El principio de funcionamiento es sencillo: una señal


ingresa a través del capacitor C, y se obtiene a la salida la derivada de la señal de entrada, como se muestra en la Figura 7. Esto se puede demostrar fácilmente si tenemos en cuenta los preceptos del AO ideal, y aplicamos adecuadamente los conceptos de condiciones iniciales y finales del elemento de almacenamiento.

Figura 7. Esquema básico de un diferenciador

Suponiendo que el capacitor se halla cargado con un voltaje inicial Vo, aplicaremos LCK en el nodo B:

I 3+ I 4=0

Cd V C(t)dt

+Vo (t )−V B

Rf=0

Vo ( t )=−Rf∗C∗d V C(t)

dt

Por otro lado, sabemos que el voltaje en el capacitor VC(t) es

V c ( t )=V (∞ )+(V (0 )−Vs )e−tRC

Tendremos por tanto:

Vo ( t )=−Rf∗C∗ddt

(Vs+(V (0 )−Vs )e−tRC )

Vo ( t )=−Rf∗C∗ddt

(Vs+(V (0 )−Vs )e−tRC )

Vo ( t )=Rf∗C∗1RC

((V (0 )−Vs )e−tRC )

Vo (t )=RfR

( (V (0 )−Vs )e−tRC )

Como una demostración, con el generador de señales introducimos a la entrada una onda triangular (rojo); a la salida deberíamos tener un tren de pulsos (azul). En efecto, éste es el resultado que se obtiene:



Simulación 4. Diferenciador

Los diferenciadores son muy versátiles en cuanto a las señales que pueden diferenciar. Así, si tenemos a la entrada una señal sinusoidal, obtendremos a la salida una señal sinusoidal; si a la entrada tenemos un diente de sierra de pendiente ‘m’, a la salida tendremos pulsos de un valor ‘m’; y finalmente si a la entrada tenemos una onda cuadrada, a la salida tendremos una salida de cero.


APLICACIONES DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

Circuito de encendido de un automóvilDespués de haber considerado el circuito de encendido de un automóvil como un circuito de primer orden, es necesario advertir que dicho circuito sirvió únicamente como una aproximación para el circuito que se usa en la realidad. Dicho circuito “real” lo analizamos a continuación.

El sistema estudiado en anteriores páginas correspondía solamente al sistema de carga. Aquí consideraremos otra parte: el sistema de generación de tensión. Este sistema se modela en el circuito que aparece en la Figura 8. La fuente se debe a la batería y el alternador. El resistor de 4Ω representa la resistencia del alambrado. La bobina de encendido se modela como el inductor de 8mH. El capacitor de 1μF está en paralelo con el interruptor. A continuación se determina el funcionamiento del circuito.

Figura 8. Circuito de segundo orden para el encendido de un coche

Lo que nos interesa como en el caso anterior es el voltaje en los entrehierros de la bobina. Si el interruptor está cerrado y el circuito está en estado estable, entonces:

I ¿

Para t=0+, el interruptor está abierto. Las condiciones de continuidad requieren que

I ¿

Aplicando LVK en la malla resultante tenemos:

12-Vr-Vc-VL=0

12−R∗I ¿

12−4∗3−0−Ld ¿¿

Analizamos ahora el circuito cuando haya llegado al estado estable:



I (∞ )=0 [A ]

Una vez que tenemos las condiciones iniciales y finales, analizaremos el amortiguamiento del circuito, y por tanto, la respuesta:

α= R2L

= 4

2∗8∗10−3=250

ω0=1

√LC= 1

√1∗10−6∗8∗10−3≈11180.3

ωd=√ω02−α2=11177.5

Como α<ω0, entonces el circuito es subamortiguado. La respuesta tendrá por tanto la siguiente forma:

i (t )=e−αt (B1 cos (ωd t )+B2 sin (ωd t))

i (t )=e−250t (B1 cos (11177.5 t )+B2 sin (11177.5 t))

Reemplazamos I(0), para hallar una primera ecuación que nos permita hallar B1 y B2

I (0 )=3=B1

Derivamos i(t) para poder usar el dato d[I(0)]/dt

d ¿¿

e−250 t (−11177.5B1 cos (11177.5 t )+11177.5 B2sin (11177.5 t))

Al resolver la anterior ecuación, y reemplazar t=0 y B1=3, tenemos que B2=0.067099. La ecuación que define la corriente en el circuito, y la es:

i (t )=e−250t (3cos (11177.5 t )+0.067099sin (11177.5 t))

La tensión a través del inductor, y que nos permite obtener la Gráfica 7 es:

V L (t )=Ld [ i (t ) ]dt

=8∗10−3 ddt

(e−250t (3cos (11177.5 t )+0.067099sin (11177.5 t)))

V L ( t )≈−253e−250t sin (11177.5 t ) [V ]

Esto tiene un máximo cuando el seno es unitario, es decir 11177.6*t=π/2 o t=140.53μs. En dicho tiempo, la tensión del inductor llega a su máximo, el cual es:

V L ( t )≈−253e−250∗140.53∗10−6

sin (11177.5∗140.53∗10−6 ) [V ]

V L ( t )≈−259.13 [V ]


Gráfica 6. Respuesta completa del circuito de ignición



Gráfica 7. Voltaje en los terminales de la bobina (entrehierros)

Sin embargo, este voltaje es muy bajo con respecto a los varios KV requeridos para encender el combustible en el motor. Sin embargo, este problema se arregla muy fácilmente: Generalmente se usa un transformador 1:100, donde el devanado primario corresponde a la bobina L que hemos utilizado para este análisis, y el secundario de dicho transformador está en paralelo con los entrehierros de la bujía. Así, suponiendo una relación primario – secundario

n= 1100

El voltaje inducido en el secundario será:

V 1V 2

= 1100

→−259.13V 2

= 1100

→V 2=−25913[V ]

Y con este voltaje, ya se crear un arco lo suficientemente intenso para encender la mezcla combustible – aire.

Al simular el circuito, el voltaje sobre la bobina siguió el comportamiento esperado. El interruptor se mantuvo cerrado por aproximadamente 41.6 ms.

Simulación 5. Voltaje de entrehierros en el circuito de segundo orden de encendido de coche


Disparador de bolsa de aireDesde hace buen tiempo en el negocio de la venta de vehículos, el cliente es la persona más importante, tanto antes como después de la transacción. Y con el ritmo de vida frenético de hoy, los accidentes de tránsito están a la orden del día. La mayoría de personas morían como consecuencia del impacto de su cráneo con el parabrisas y el volante. Pues diseñadores crearon una solución ingeniosa: una bolsa de aire que evite dichos impactos. Sin embargo, el problema radicaba en la creación de algún sistema que pueda inflar la bolsa en muy poco tiempo, y sin embargo, la desinfle lentamente. La solución vino de la mano de los circuitos de segundo orden.

Un capacitor cargado se conecta, mediante un péndulo, con el dispositivo de ignición como se indica en la Figura 9. La bolsa se infla por la acción de un dispositivo de explosión que se dispara con la energía absorbida por el elemento resistivo R. Para que se produzca este disparo, también es necesario que la energía disipada en R sea 1J al menos. También se necesita que el dispositivo de ignición funcione en menos de 0.1s.

Figura 9. .Esquema del disparador de airbag

Se supone que el voltaje inicial del capacitor es V(0)=12V, y que i L=0A, porque el interruptor está en la posición 1 durante un largo tiempo, antes de t=0. Escogeremos una respuesta sobreamortiguada, señalando que también el caso de una respuesta críticamente amortiguada o una respuesta subamortiguada cumplirían también con el objetivo del diseño. El tipo de respuesta que deseamos se obtiene cuando α>ω0, o sea cuando L>4R2C.

En vista de que se desea una respuesta cualquiera, escogeremos α=16 (la constante de tiempo). En consecuencia:

C= 12αR

= 12∗16∗4

= 1128

F

Recordemos que se necesita que ω02= 1

LC y que α>ω0. Como la respuesta debe ser rápida, se

selecciona la frecuencia natural ω0, tal que (tener en mente que T=0.4s)

ω0=2πT

=2 π0.4

=5 π rads



En consecuencia

L= 1

ω02C

= 1

25 π2( 132 )=0.129H

Con lo cual tenemos los valores de L y C. Calculamos los valores de s1 y s2:

s1=−16+√256−25 π2≈−12.95

s2=−16−√256−25π 2≈−19.05

Con lo cual tenemos la solución V(t):

V (t )=A1 e−12.95t+A2 e

−19.05 t [V ]

Como V(0)=12, afirmamos:

12=A1+A2[Ec .1]

Para hallar otra ecuación decimos:

IL+IC+IR=0

0+0+CdV (0)dt

=0→dV (0)dt

=0

0=−12.95 A1−19.05 A2[Ec .2]

Resolviendo el sistema entre [Ec. 1] y [Ec. 2], tenemos que A1=37.47 y A2=-25.47. Consecuentemente:

V (t )=37.47e−12.95t−25.47 e−19.05 t [V ]

Este V(t) permite obtener la Gráfica 8.

La potencia en la resistencia es:

p=V 2

R=

(37.47e−12.95t−25.47e−19.05 t )2

4[W ]

Para t=0, la potencia será de 36[W], y a 95ms, por ejemplo, la potencia es 11.49 [W]. El trabajo realizado será entonces:

w=12

(36−11.49) (0.1 )=1.22 [J ]

En vista de lo anterior, la bolsa de aire se disparará en menos de 0.1s, y se alcanza el objetivo.


La Simulación 6 confirma el comportamiento del voltaje sobre R en el circuito disparador de airbag.

Gráfica 8. Respuesta completa del voltaje sobre R, en el circuito disparador de Airbag



Simulación 6. Circuito disparador de airbag

Celdas fotovoltaicasLas células solares son hechas con obleas finas de silicio, arseniuro de galio u otro material semiconductor en estado cristalino, convierten la radiación en electricidad de forma directa. Ahora se dispone de células con eficiencias de conversión superiores al 30%. El uso actual de las células solares se limita a dispositivos de baja potencia, remotos y sin mantenimiento, como boyas y equipamiento de satélites y estaciones espaciales.

La mayor parte de la interacción que tienen los astronautas en las estaciones espaciales con el espacio exterior se realiza a través de brazos robóticos, mismos que basan su funcionamiento en breves impulsos eléctricos que controlan servomecanismos y motores, que para el análisis podría simplemente decirse son equivalentes a resistencias y bobinas. Las celdas fotovoltaicas poseen un comportamiento similar al de los capacitores, pues almacenan energía en forma de voltaje y sin embargo, también poseen un límite máximo de energía, después del cual dejan de almacenar. Así pues, el funcionamiento de dichos motores podría representarse con el siguiente circuito:


Figura 10. Circuito equivalente de una celda fotovoltaica

Sin embargo, el tiempo que las celdas pueden almacenar voltaje es reducido. Analizaremos por ejemplo el circuito mostrado en la Figura 10. Digamos que la celda fotovoltaica ha estado conecta largo tiempo. Podemos decir por tanto que V(0-)=10[V] y I(0-)=0[A]. En t=0, la nave entra a la sombra proyectad por la tierra, así que el interruptor pasa a la posición 2. Para t>0, tenemos un circuito RLC en paralelo. Las condiciones de continuidad requieren que:

I ¿

Aplicando LCK tenemos:

Ir+IL+Ic=0

V ¿¿

105

+0+d ¿¿

d ¿¿

Ahora determinaremos el tipo de respuesta que tendrá el circuito:

α= 12RC

= 12∗5∗1

= 110

ω0=1

√LC= 1

√2

ωd=√ω02−α2=√ω0

2−α 2= 710

Como α<ω0, entonces el circuito es subamortiguado. La respuesta tendrá la siguiente forma:

V ( t )=e−αt (B1 cos (ωd t )+B2sin (ωd t))

V ( t )=e−110

t(B1 cos( 710 t )+B2sin ( 710 t))David Espinosa Página 35


Para hallar B1 y B2, usaremos las condiciones iniciales:

V (0 )=10=B1

Luego, usando la primera derivada de la expresión V(t) obtenida es:

d [V (t ) ]dt

=−2= ddt [e−1

10t(B1 cos ( 710 t)+B2sin ( 710 t))]

Resolviendo la anterior ecuación, y reemplazando t=0 y B1=10, que son datos que ya conocemos, obtenemos que

B2=−107

Entonces, el voltaje que cae sobre los terminales del motor es

V (t )=e−110

t(10cos ( 710 t)−107 s∈( 710 t))[V ]

La Gráfica 9 ilustra el voltaje calculado.

Gráfica 9. Respuesta completa del voltaje en el capacitor. Circuito de celda fotovoltaica

La simulación confirma los cálculos. El voltaje en efecto es el esperado.


Como se ve, la transición de estado se produjo aproximadamente a t=1s. No obstante, el comportamiento era el esperado para este circuito.



Circuitos suavizadoresEn un sistema de comunicación digital común, la señal por transmitir primero se muestrea. El muestreo es el procedimiento de selección de muestras de una señal para su procesamiento, en oposición al procesamiento de la señal entera. Cada muestra se convierte a un número binario representado por una serie de pulsos. Éstos se transmiten por medio de una línea de transmisión como un cable coaxial, par trenzado o fibra óptica. En el extremo receptor, la señal se aplica a un convertidor D/A cuya salida es una función “en escalera”, es decir, una función constante en cada intervalo de tiempo. Para recuperar la señal analógica transmitida, la salida se suaviza haciéndola pasar por un circuito “suavizador”, como se ilustra en la Figura 11.

Figura 11. Una serie de impulsos se aplica al convertidor D/A, cuya salida se aplica a su vez al circuito suavizador

Un circuito RLC como el de la Figura 12 puede emplearse como alisador.

Figura 12. A la izquierda, señal que se desea suavizar. A la derecha, circuito suavizador

Como podemos ver, este circuito tiene una entrada de 0[V] hasta t=0, luego este valor cambia abruptamente a 1[V], y en t=1+ cambia nuevamente su valor -1[V]. El análisis es el mismo que hemos venido realizando hasta ahora.

Para t<0, I(0)=0[A] y V(0)=0[V]. Luego, para 0<t<1, V tiene un valor de 1V. Realizamos el análisis para este intervalo de tiempo:

1-Vr-VL-Vc=0

1−I (0 )∗R−Ld¿¿

Analizamos ahora el tipo de respuesta que obtendremos a la salida, analizando el amortiguamiento del circuito:

∝= R2L

=12;ω0=

1√LC

= 1√1∗1

=1; ωd=√ω02−α2=√22


El circuito es subamortiguado. La respuesta por tanto tendrá la forma:

i0−1 ( t )=e−αt (B1cos (ωd t )+B2 sin (ωd t))

i0−1 (t )=e−12t(B1cos (√22 t)+B2sin (√22 t))

Usamos las condiciones iniciales para hallar las constantes B1 y B2. Así, al usar I(0)=0, obtenemos la primera constante, B1=0. Usando la primera derivada, tenemos:

d [i (t ) ]dt

= ddt [e−1

2t(B1 cos (√22 t)+B2sin (√22 t))]

Al reemplazar t=0 y d ¿¿ en el resultado de la anterior operación, obtenemos que B2=√2. Reconstruyendo la ecuación de la corriente(al reemplazar B1 y B2 en la ecuación literal de i(t)), tenemos:

i0−1 ( t )=√2∗e−12t

sin (√22 t) [A ] para0<t<1

Como lo que nos interesa es el voltaje sobre el capacitor, lo hallamos haciendo:

V 0−1 ( t )=√2∫0

t

e−12usin (√22 u)du+V (0 )[V ]

Como V(0)=0, el resultado de esta integral es:

V 0−1 ( t )=43−43e

−t2 cos (√22 t)−2√23 e

−t2 sin(√22 t)[V ] para0<t<1

Ahora, analizaremos el circuito para 1<t<2:

La condiciones iniciales las obtenemos de las expresiones i(t) y V(t) obtenidas anteriormente, al reemplazar t=1:

I ¿

Las condiciones de continuidad establecen que:

I ¿

La forma de la ecuación de la corriente para este intervalo no ha cambiado; sigue siendo de la forma:

i1−2 ( t )=e−α (t−1)(B3cos (ωd(t−1))+B4 sin (ωd (t−1)))

i1−2 ( t )=e−12

(t−1)(B3cos (√22 (t−1))+B4 sin (√22 (t−1)))David Espinosa Página 39


Usamos las condiciones iniciales para t=1+ para hallar las constantes B2 y B3. Así, al usar I(1+)=0.5572, obtenemos la primera constante, B3=0.5572. Tratamos de encontrar la otra constante B4:

-1-Vr-VL-Vc=0

−1−I ¿

Usando la primera derivada, tenemos:

d [i (t ) ]dt

= ddt [e−1

2(t−1)(B3 cos(√22 ( t−1))+B4 sin (√22 ( t−1)))]

Al reemplazar t=1 y d ¿¿ en el resultado de la anterior operación, obtenemos que B4=-2.299. Reconstruyendo la ecuación de la corriente(al reemplazar B3 y B4 en la ecuación literal de i(t)), tenemos:

i1−2 ( t )=e−12

(t−1)(0.5572cos(√22 (t−1))−2.299sin (√22 (t−1))) para1<t<2Como lo que nos interesa es el voltaje sobre el capacitor, lo hallamos haciendo:

V 1−2 (t )=∫0

t−1 [e−12

(u−1)(0.5572cos (√22 (u−1))−0.2582sin (√22 (u−1)))]du+V (1 )[V ]

V 1−2 (t )=0.226209e t2 (cos (√22 (t−1 ))+0.5744 [e t2 s∈(√22 t−√2)−1.111])+0.347

para1<t<2

Los voltajes V 0−1(t) y V 1−2(t), permiten obtener la gráfica suavizada. Obsérvese que el análisis de apenas dos períodos de tiempo fue muy extenso. Si hubieran sido más períodos, todo el proceso se hubiera repetido de nuevo: se hallaba condiciones iniciales con las ecuaciones i(t) y V(t) actuales, se obtenían las constantes Bm y Bm+1, y se hallaban las nuevas ecuaciones V(t) e i(t) del siguiente período.

Sin embargo, la ayuda va de la mano de la tecnología. Los programas que usan auxiliarmente el lenguaje SPICE (PSpice y Multisim) para la simulación de sus circuitos, permiten obtener la gráfica suavizada para su estudio en pocos segundos. Dependiendo del software, se definen los voltajes de entrada para cada período de tiempo, se escoge en vez del osciloscopio al “Análisis Transitorio” (“Transient Analysis”), y se obtiene como resultado la gráfica. De hecho, éste va a ser el método de visualización de resultados para este circuito.


Simulación 7. Análisis transitorio en Multisim© V.10 del voltaje en el capacitor del circuito suavizador



Detector de humo

Los detectores de humo detectan el humo, y a veces el calor, de diversos modos; en este caso emplean una cámara de detección llena de aire ionizado, como se indica en la Figura 13. Los rayos procedentes de una fuente radiactiva ionizan los átomos del aire de la cámara. Las partículas cargadas transportan la corriente entre las placas de la parte superior y del fondo de la cámara de detección, que actúan como electrodos. El humo que penetra en la cámara atrae las partículas cargadas, reduciéndose la cantidad de corriente que pasa entre los electrodos Cuando se detecta una caída de corriente, se envía un mensaje a la unidad de control que activa la alarma.

Figura 13. Corte seccional de un sensor detector de humo

El circuito que aparece en la Figura 14 , es en esencia la unidad de control de la alarma.

Figura 14. Circuito eléctrico para el análisis del detector de humo

Como se mencionó, la corriente tiende a disminuir cuando existen partículas de humo dentro del detector. Esto puede simbolizarse mediante una fuente de corriente, que se desactiva a t=0, suponiendo que éste sea el instante en el cual la alarma se activa. Antes de esto ha llevado mucho tiempo en estado estable. Tenemos por tanto una función paso de corriente.

Para antes de t=0, IL(0-)=I(0-)=1[A] y V(0-)=0[V], El interruptor se activa, pasando de la posición 1 a la posición 2, y tenemos como resultado un circuito RLC en paralelo.


Partiendo de que la condición de continuidad establece que:

I(0-)= I(0+)=1[A] y V(0-)= V(0+)=0[V]

Aplicando LCK en el nodo superior, tenemos:

Ir+Ic+IL=0

V ¿¿

0+1+ 140

d ¿¿

Ahora analizamos los parámetros α y ω0, para conocer qué tipo de respuesta obtendremos.

∝= 12RC

= 12∗1∗140

=20 ; ω0=1

√LC= 1

√ 0.4∗140

=10

Como α > ω0, entonces la respuesta es sobreamortiguada, y del tipo:


s2 t[V ]

Donde

s1=−∝+√∝2−ω02=10√3−20 y s2=−∝−√∝2−ω0

2=−10√3−20

Por lo tanto, V(t) tendrá la forma:

V (t )=A1 e(10√3−20) t+A2 e

(−10√3−20 )t [V ]

Debemos ahora hallar A1 y A2. La primera ecuación la obtenemos de reemplazar V(0+)=0 [V]:

A1+A2=0 [Ec. 1]

La segunda ecuación la hallamos al derivar V(t) con respecto a t, y reemplazar d[V(0+)]/dt=-40 [V/s]

(10√3−20 ) A1+(−10√3−20 ) A2=−40 [Ec. 2]

Al resolver el sistema entre [Ec. 1] y [Ec. 2], hallamos los parámetros A1 y A2 buscados:

A1=−2√33

y A2=2√33

Con lo cual, la respuesta V(t) buscada es:

V ( t )=−2√33

e(10√3−20) t+ 2√33

e (−10√3−20) t[V ]



La gráfica que representa dicho voltaje es el de la Gráfica 10.

Gráfica 10. Respuesta completa del capacitor en el circuito detector de humo

Y la corresponde con los cálculos; el interruptor para ello se ha activado a aproximadamente 100ms de haber iniciado la simulación:

Simulación 8. Circuito detector de humo


CONCLUSIONES Los circuitos que contienen elementos que almacenan energía, capacitores e

inductores, se representan con ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones algebraicas. El análisis de estos circuitos requiere la solución de ecuaciones diferenciales.

La respuesta completa de un circuito es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada. La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito cuando la entrada (fuentes independientes) se hace cero. La respuesta forzada es la solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito.

La respuesta completa puede separarse en la respuesta transitoria y la respuesta de estado estable. La respuesta transitoria desaparece con el tiempo quedando tan solo la respuesta de estado estable. La respuesta transitoria se refiere al comportamiento del circuito durante el período que le toma alcanzar el estado estable.

Los circuitos de primer orden contienen un elemento almacenador de energía y se representan con ecuaciones diferenciales de primer orden, cuya respuesta es relativamente sencilla. Basta con hallar las condiciones iniciales y finales del circuito, y relacionarlas con la siguiente fórmula:

x (t )=x (∞ )+(x (0 )+x (∞) )e−tτ

Donde x(t) puede ser una función que exprese voltaje o corriente, y τ=LR

para

circuitos RL, o τ=RC para circuito RC. Se puede usar circuitos equivalentes de Thévenin y Norton para reducir el problema de

analizar un circuito de primer orden al problema de analizar uno de dos circuitos sencillos de primer orden. Uno de los circuitos simples de primer orden es un circuito en serie que consta de una fuente de voltaje, un resistor y un capacitor. El otro es un circuito en paralelo que consta de una fuente de corriente, un resistor y un inductor.

Los circuitos de segundo orden son aquellos que se representan mediante una ecuación diferencial de segundo orden, por ejemplo:

d2

dt 2x (t )+2α d

dtx ( t )+ω0

2 x ( t )=f (t)

Donde x(t) es la corriente o voltaje de salida del circuito y f(t) es la entrada del circuito. Dicha ecuación resulta del análisis, y esencialmente de la presencia de dos elementos almacenadores de energía no reducibles en el circuito. La salida del circuito, también llamada la respuesta del circuito, puede ser la corriente o el voltaje de cualquiera de las componentes del circuito. La salida que usualmente se escoge para el cálculo es el voltaje sobre el capacitor o la corriente sobre el inductor. La entrada al circuito es provista por los voltajes y/o las corrientes de las fuentes independientes. Los coeficientes de esta ecuación tienen nombres: α se denomina el coeficiente de amortiguamiento y ω0 se denomina la frecuencia de resonancia.

Para cada uno de los casos, dichos valores (α yω0), son:



RLC serie :α= L2 R

yω0=1

√LC; RLC paralelo :α= 1

2RCyω0=

1

√LC

Si usamos el operador s, tal que

sn= dn

dt n

La ecuación diferencial anterior se puede expresar como: s2+2αs+ω02=0. La ecuación

de segundo grado resultante tiene dos soluciones, s1 y s2. Estas soluciones se denominan frecuencias naturales del circuito de segundo orden.

Los circuitos de segundo orden se caracterizan en tres diferentes casos: sobreamortiguado, críticamente amortiguado o subamortiguado. Un circuito de segundo orden está sobreamortiguado cuando s1 y s2 son reales y distintas, o de manera equivalente, α>ω0. Un circuito de segundo orden está críticamente

amortiguado cuando s1 y s2 son reales e iguales, o de manera equivalente, α=ω0 . Un circuito de segundo orden está subamortiguado cuando s1 y s2 son complejas conjugadas, o de manera equivalente, α<ω0.

Las respuestas transitoria para cada uno de los casos de amortiguación del circuito, son:

CASO AMORTIGUADO: V ( t )=Vs+A1 es1 t+A2 e

s2 t

CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: V (t )=Vs+A1 es1 t+A2 t e

s2 t

CASO SUBAMORTIGUADO: V ( t )=Vs+e−αt (B1∗cos (ωd )+B2∗sin (ωd )) La respuesta completa del circuito de segundo orden es la suma de la respuesta

natural y la respuesta forzada:x=xn+x fo

RECOMENDACIONES El análisis de la respuesta completa de un circuito permite optimizar el diseño de un

sistema más complejo. Así, siempre se deberá prestar atención a dicha respuesta, para evitar sobrevoltajes o emisiones muy elevadas de potencia en elementos que en su estado estable jamás tolerarían esos valores, pero que sí están sometidos a ellos en su estado transitorio.

Al momento de diseñar circuitos que usan elementos almacenadores de energía, se debe procurar utilizar capacitores, pues estos son más fáciles de conseguir en valores elevados, son menos costosos y voluminosos, pero sobre todo, porque su contraparte, las bobinas, pueden generar arcos voltaicos que pueden ser altamente peligrosos para el usuario.

No obstante, el uso de transformadores (caso del encendido de coche), y relevadores, pueden ser parte de interesantes y seguras aplicaciones en circuitos o sistemas eléctricos.

Los relevadores son útiles al momento de realizar el control de circuitos de potencias elevadas, usando potencias bajas para ello. No obstante, es necesario recodar que


entre la energización de la bobina del relevador, y la activación del interruptor interno del relevador existe un corto período de tiempo, que se deberá tener en mente al realizar el diseño de circuitos.

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