考点冲刺五 解答题——三角形与四边形

三角形的性质与判定

图 K5 － 1

1．(2012 年云南)如图 K5－1，在△ ABC中，∠C＝90°，点

D是 AB边上的一点，DM⊥AB，且 DM＝AC，过点 M作 ME∥

BC交 AB于点 E.

求证：△ ABC≌△ MED.

证明：∵ MD⊥AB ，

∴∠MDE ＝∠ C ＝ 90°.

∵ME∥BC ，

∴∠B ＝∠ MED.

∴△ABC≌△MED(AAS) ．

在△ ABC与△ MED中， ∠B＝∠MED，∠C＝∠EDM，DM＝AC，

2 ． (2010 年江苏南京 ) 如图 K5 － 2 ，四边形 ABCD 的对角线

AC ， BD 相交于点 ， OABC≌△BAD.

求证： (1)OA ＝ OB ； (2)AB∥CD.

图 K5 － 2

证明： (1)∵△ABC≌△BAD ，

∴∠CAB ＝∠ DBA.

∴OA ＝ OB.

(2)∵△ABC≌△BAD ，

∴AC ＝ BD.

又∵ OA ＝ OB ，

∴AC － OA ＝ BD － OB ，

即 OC ＝ OD.

∴∠OCD ＝∠ ODC.

∴∠CAB ＝∠ ACD.

∴AB∥CD.

∵ ∠ AOB＝∠ COD，∠ CAB＝180°－∠AOB

2 ，∠ ACD＝

180°－∠COD2 ，

图 K5 － 3

3．(2012 年广东珠海)如图 K5－3，把正方形 ABCD绕点 C

按顺时针方向旋转 45°得到正方形 A′ B′ CD′ (此时，点 B′ 落

在对角线 AC 上，点 A′ 落在 CD 的延长线上)，A′ B′ 交 AD

于点 E，连接 AA′ ，CE.

求证：(1)△ ADA′ ≌△ CDE；

(2)直线 CE是线段 AA′ 的垂直平分线．

证明：(1)∵ 四边形 ABCD是正方形，

∴ AD＝CD，∠ADC＝90°.

∴ ∠A′ DE＝90°.

根据旋转的方法，得∠EA′ D＝45°，

∴ ∠A′ ED＝45°.

∴ A′ D＝DE.

在△ AA′ D和△ CED中， AD＝CD，∠ADA′ ＝∠EDC，A′ D＝ED，

∴ △ ADA′ ≌△ CDE.

(2)∵ 根据旋转，得 AC＝A′ C，

∴ 点 C在 AA′ 的垂直平分线上．

∵ AC是正方形 ABCD的对角线，

∴ ∠CAE＝45°.

∵ AC＝A′ C，CD＝CB′ ，

∴ AB′ ＝A′ D，

在△ AEB′ 和△ A′ ED中， ∠EAB′ ＝∠EA′ D，∠AEB′ ＝∠A′ ED

AB′ ＝A′ D，，

∴△AEB′ A′≌ ED.

∴AE ＝ A′E.

∴ 点 E 也在 AA′ 的垂直平分线上．

∴ 直线 CE 是线段 AA′ 的垂直平分线．

4. 画图、证明：如图 K5 － 4 ，∠ AOB ＝ 90° ，点 C ， D 分别在 OA ， OB 上．

(1) 尺规作图 ( 不写作法，保留作图痕迹 ) ：作∠ AOB 的平分线 OP ；作线段 CD 的垂直平分线 EF ，分别与 CD ， OP 相交于点 E ， F ；连接 OE ， CF ， DF ；

(2) 在所画图中，① 线段 OE 与 CD 之间有怎样的数量关系： _______ ；② 求证：△ CDF 为等腰直角三角形．

图 K5 － 4

解：(1)根据题意：画∠AOB的平分线 OP，作线段 CD的垂

直平分线 EF.

(2)①OE＝12CD.

②方法一：∵ EF是线段 CD的垂直平分线，

∴ FC＝FD.

∵ △ COD为直角三角形，E为 CD的中点，

∴ OE＝CE＝12CD，

∴ ∠COE＝∠ECO.

设 CD 与 OP 相交于点 G ，

∵∠EOF ＝ 45° －∠ COE ，

∠EFO ＝ 90° －∠ EGF ＝ 90° － (45° ＋∠ ECO)

＝ 45° －∠ ECO ，

∴∠EOF ＝∠ EFO ， EF ＝ OE.

又 CE ＝ OE ＝ EF ，∠ CEF ＝ 90° ，

∴∠CFE ＝ 45° ，同理∠ DFE ＝ 45°.

∴∠CFD ＝ 90° ，△ CDF 为等腰直角三角形．

方法二：过点 F 作 FM⊥OA ， FN⊥OB ，垂足分别为 M ， N.

∵ OP是∠AOB的平分线，

∴ FM＝FN.

又 EF是 CD的垂直平分线，

∴ FC＝FD.

∴ Rt△ CFM≌Rt△ DFN(HL)，∠CFM＝∠DFN.

在四边形 MFNO中，由∠AOB＝∠FMO＝∠FNO＝90°，得

∠MFN＝90°，

∴ ∠CFD＝∠CFM＋∠MFD＝∠DFN＋∠MFD＝∠MFN

＝90°.

∴ △ CDF为等腰直角三角形．

四边形的性质与判定

5 ． (2012 年江苏徐州 ) 如图 K5 － 5 ， C 为 AB 的中点．四边

形 ACDE 为平行四边形， BE 与 CD 相交于点 F.

求证： EF ＝ BF.

图 K5 － 5

证明：∵四边形 ACDE 为平行四边形，∴ED ＝ AC ， ED∥AC.

∴∠D ＝∠ FCB ，∠ DEF ＝∠ B.

又∵ C 为 AB 的中点，∴AC ＝ BC.

∴ED ＝ BC.

∴△DEF≌△CBF.

∴EF ＝ BF.

在△ DEF和△ CBF中， ∠D＝∠FCB，ED＝BC，∠DEF＝∠B，

6 ．已知：如图 K5 － 6 ，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E ， F

分别是 AB ， BC ， AC 边上的中点．

(1) 求证：四边形 ADEF 是菱形；

(2) 若 AB ＝ 24 ，求菱形 ADEF 的周长．

图 K5 － 6

(1)证明：∵ D，E分别是 AB，BC边上的中点，

∴ DE∥ AC且 DE＝12AC.

同理 EF∥ AB，EF＝12AB.

∴ 四边形 ADEF是平行四边形．

又∵ AB＝AC，

∴ EF＝DE.

∴ 四边形 ADEF是菱形．

(2)解：AB＝24，则 AD＝12，

∴ 菱形 ADEF的周长 12× 4＝48.

7 ． (2010 年广西崇左 ) 如图 K5 － 7 ， O 是矩形 ABCD 的对角

线的交点， E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ， OC ， OD 上的点，

且 AE ＝ BF ＝ CG ＝ DH.

(1) 求证：四边形 EFGH 是矩形；

(2) 若 E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ， OC ， OD 的中点，且

DG⊥AC ， OF ＝ 2 cm ，求矩形 ABCD 的面积．

图 K5 － 7

(1) 证明：如图 D72 ，∵四边形 ABCD 是矩形，

图 D72

∴OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD.

∵AE ＝ BF ＝ CG ＝ DH ，

∴AO － AE ＝ OB － BF ＝ CO － CG ＝ DO － DH ，

即 OE ＝ OF ＝ OG ＝ OH.

∴ 四边形 EFGH 是矩形．

(2) 解：∵ G 是 OC 的中点，

∴GO ＝ GC.

∵DG⊥AC ，

∴∠DGO ＝∠ DGC ＝ 90°.

又∵ DG ＝ DG ，

∴△DGC≌△DGO.

∴CD ＝ OD.

∵F 是 BO 中点， OF ＝ 2 cm ，

∴BO ＝ 4 cm.

∵ 四边形 ABCD 是矩形，

∴DO ＝ BO ＝ 4 cm ，

∴DC ＝ 4 cm ， DB ＝ 8 cm ，

∴ CB＝ DB2－DC2＝4 3，

∴ 矩形 ABCD的面积＝4× 4 3＝16 3(cm2)．

(1) 求证： EF ＝ FM ；

(2) 当 AE ＝ 1 时，求 EF 的长．

图 K5 － 8

8．(2012 年宁夏)如图 K5－8，正方形 ABCD的边长为 3，E，

F分别是 AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△ DAE绕点 D逆

时针旋转 90°，得到△ DCM.

(1)证明：∵ △ DAE逆时针旋转 90°得到△ DCM，

∴ DE＝DM，∠EDM＝90°.

∴ ∠EDF＋∠FDM＝90°.

∵ ∠EDF＝45°，

∴ ∠FDM＝∠EDF＝45°.

在△ DEF和△ DMF中，

DE＝DM，∠EDF＝∠MDF，DF＝DF，

∴ △ DEF≌△ DMF(SAS)．

∴ EF＝MF.

(2)解：设 EF＝MF＝x，

∵ AE＝CM＝1，且 BC＝3，

∴ BM＝BC＋CM＝3＋1＝4.

∴ BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－x.

∵ EB＝AB－AE＝3－1＝2.

在 Rt△ EBF中，由勾股定理，得 EB2＋BF2＝EF2，

即 22＋(4－x)2＝x2，

解得 x＝52，

∴ EF＝52.

9 ．如图 K5 － 9 ，在四边形 ABCD 中， AD ＜ BC ，对角线 AC ，

BD 相交于点 O ， AC ＝ BD ，∠ ACB ＝∠ DBC.

(1) 求证：四边形 ABCD 为等腰梯形；

(2) 若点 E 为 AB 上一点，延长 DC 至点 F ，使 CF ＝ BE ，连

接 EF 交 BC 于点 G ，请判断点 G 是否为 EF 的中点，并说明理

由．

图 K5 － 9

(1) 证明：如图 D73 ，∵∠ ACB ＝∠ DBC ，

图 D73

∴OB ＝ OC.

∵AC ＝ BD ，

∴OA ＝ OD.

∴∠OAD ＝∠ ODA ，

∵∠DOC ＝∠ OAD ＋∠ ODA ＝∠ OBC ＋∠ OCB ，

∴2∠OAD ＝ 2∠OCB.

∴∠OAD ＝∠ OCB.

∴AD∥BC.

∵AD ＜ BC ，

∴ 四边形 ABCD 为梯形．

∴△ABC≌△DCB.

在△ ABC和△ DCB中， AC＝BD，∠ACB＝∠DBC，CB＝BC，

∴AB ＝ CD.

∴ 四边形 ABCD 为等腰梯形．

(2) 解：点 G 是 EF 的中点．理由：

过点 E 作 EH∥CD 交 BC 于点 H.

∴∠EHB ＝∠ DCB ，∠ EHG ＝∠ GCF.

∵ 梯形 ABCD 为等腰梯形，

∴∠EBH ＝∠ DCB.

∴∠EBH ＝∠ EHB.

∴EB ＝ EH.

∵EB ＝ CF ，

∴EH ＝ CF.

∴△EHG≌△FCG.

∴EG ＝ FG ，即 G 为 EF 中点．

在△ EHG和△ FCG中， ∠EHG＝∠FCG，∠EGH＝∠FGC，EH＝CF，