一、基本理论与概念1 、过程特征 --- 状态方程 因为

（ 1 ）气体的流动速度快，系统来不及与外界交换热量，则dQ=0 （绝热），理想下， ds=0 （等熵）

（ 2 ）气体的粘性很小，摩擦很小，可以忽略

所以，近似的将气体流动过程认为是可逆绝热过程

可逆绝热过程： Cp

第三节 窑炉系统中可压缩气体的流动

2 、判断可压缩气体流动参数：音速及马赫数

（ 1 ）音速定义式 ddp

a

RTpp

Cd

Cd

d

dpa

11)(

由状态方程 Cp

代入得

由于 p 、 ρ 、 T 随环境而变，故音速与流动介质有关，与温度 T 有关。故 a 称为当地音速。

（ 2 ）马赫数定义： a

wM a

w----- 某一截面上的流速

a----- 该截面上的当地音速。

当： Ma>1-------- 超音速流动；

Ma=1 -------- 音速流动；

Ma<1--------- 亚音速流动。

1 2

w1, a1

1

11 a

wM a

w2, a2

2

22 a

wM a

)/(0)(2

1 2 kgJdp

gdzwd

0)(2

1)( 2 wdCd

3 、能量方程单位质量流体微小流速的伯努利方程

由于 p 、 w 变化很大，相对来说，位能项 gdz 可以忽略

Cp

将方程

代入，则有

常数

21

2

1

1w

C 积分得： 常数

2

2

1

1w

p

即

该方程为可压缩流体的伯努利方程

微分得 0)(2

1)( 21 wdd

C

22

2

221

1

1

2

1

12

1

1w

pw

p

伯努利方程的其它表示方式（ 1 ）对于任意两截面

1 2

w1, p1, w2, p2

RTp

11

(2) 、用焓或内能表示

p

uhTcRTp

p

内能）(11

v

p

c

c Rcc vp 其中，

1

R

c p 1

R

cv所以

常数 2

2

1wh则方程为 常数内能） 2

( 2

1w

pu

或

1 、速度的变化规律1w1

ρ1

p1

T1

h11

w2

ρ2

p2

T2

H2

2

2

列 1 、 2 两截面的可压缩伯努利方程：

22

2

2

1

1

2

1

11w

pp

因为 w1=0 ，所以，

22

2

221

1

1

2

1

12

1

1w

pw

p

变换该式得 )(1

2)(

1

221

2

2

1

12 TT

Rppw

（ 1 ）

二、可压缩气体的流动规律

将（ 2 ）式代入（ 1 ）方程中去得：

若考虑能量损耗，则 2'2 ww

])(1[1

21

2

2

1

12

pp

w （ 3）

从该式可以看出可压缩气体速度主要决定于压强比（ P2/P1)

注意与不可压缩气体速度的区别：

不可压缩气体速度主要决定于压强差 (P2 -P1) 。

又因为 2

2

1

1 pp 所以

1

1

212 )(p

p

1

1

2

1

11

1

1

2

1

11

1

1

2

1

2

2

2 )(

p

pp

p

pp

p

ppp因此 (2)

流量求解：222 wFm

1w1

ρ1

p1

T1

h11

w2

ρ2

p2

T2

h22

2

将公式 1

1

212 )(p

p 与公式（ 3 ）代入得

])(1[1

2)(

1

1

2

1

1

1

1

212222

p

pp

p

pFwFm

（ 4）

2 、三种流动状态（滞止状态、极限状态、临界状态）

1ws

ρs

ps

Ts

hs1

w2

ρ2

p2

T2

h22

2

1 ） 滞止状态 ------- 该截面上速度为零的状态

例如：容器内或气体撞击壁面上 ( 用脚表 s 表示 ,psTsws ）

2 ）极限速度 ------- - 该截面上速度为最大的状态

分析可压缩气体伯努里方程

常数

2

2

1

1w

p

假想某一截面上的 P=0 ， T =0 。则此时该截面上流速最大，为极限速度，即理论最大速度，

3 ）临界状态 ------- 该截面上的速度等于音速的状态， 即 Ma=1 的状态 若可压缩气流在某一截面上的流速为当地音速，则称此截面为临界截面。该截面上的参数为临界参数，用下角标 cr 表示。

1ws

ρs

ps

Ts

hs1

u2=ucr

ρ2= ρcr

p2=pcr

T2=Tcr

2

2

列 1 、 2 两截面的可压缩伯努利方程：

22

2

22

2

1

12

1

1w

pw

ps

s

s

分析： 1 截面在容器内，则 0sw

2 截面为临界状态，则

cr

crc

ppaww

2

222

将各项代入得

cr

cr

cr

cr

cr

cr

s

s pppp

)1(2

)1(

2

1

11

即

临界压强比

crs

cr

r

s

cr

r

s

cr

s

cr

s

cr

P

P

P

P

P

P

P

P

1

11

1

)1

2(

1

2)(

)(1

2

1

2

由此式可以看出 : 临界压强比是一个仅与气体种类有关的比值。

1

11

)1

2()(

s

cr

s

cr

p

p

1

2)(

1

s

cr

s

cr

p

p

T

T

相应的得到临界密度比

临界温度比

质量流量

1

1

11 )1

2(

pFm cr

crcrcr wFwFm 222

若按前面公式（ 4 ）计算，

])(1[1

2)(

1

1

2

1

1

1

1

212222

p

pp

p

pFwFm （ 4

）

])(1[1

2)(

1

11

1

1

11

p

pp

p

pFwFm crcrcrcrcrcr

变换则有：

化简后得：

3 、压强、流速、截面积与 Ma 之间的关系1 ）压强、流速与 Ma 之间的关系

由理想流体微小流速的伯努利方程)/(0)(

2

1 2 kgJdp

gdzwd

得 常数dp

wd )(2

1 2 )(wwddp

w

wdw

P

dpP )(2

两边同除以 a2 ，则得w

wd

a

w

P

dp

a

P )(2

2

2

将 p

a 代入则有：w

dwM

p

dpa21

即：w

dwM

p

dpa2 该式说明无论 Ma>1 还是

Ma<1 ，可压缩气体的压力与速度成反比

2 ）流速、截面积与 Ma 之间的关系由连续性方程： 常数 wfm

1lnlnlnlnln cwfpm 两边取对数

3cp

由绝热方程

3lnlnln cp 两边取对数

0w

dw

f

dfd

两边求导数 （ 1 ）

d

p

dp两边求导数 （ 2

）将（ 2 ）式代入（ 1 ）式得

01

w

dw

f

df

P

dP

（ 3）

将公式w

dwM

p

dpa2 代入（ 3 ）

得

02 w

dw

f

df

w

dwM a

f

df

w

dwM a )1( 2所以

（ 4）

同时得到 f

df

p

dp

M

M

a

a

2

21

（ 5）

讨论：f

df

p

dp

M

M

a

a

2

21

f

df

w

dwM a )1( 2 （ 4

）（ 5）

A: Ma<1 ——， 亚音速流动 dw 与 df 符号相反 ; dP 与 df 符号相同。 若 w 增大则 f 减少， P 也减少； 反之，若 w 减少则 f 增大， P 也增大 df<0

dw>0dp<0

Ma<1

讨论：f

df

p

dp

M

M

a

a

2

21

f

df

u

duM a )1( 2 （ 4

）（ 5）

B:Ma>1 ——， 超音速流动 dw 与 df 符号相同 ; dP 与 df 符号相反。 若 w 增大则 f 增大， P 减少； 反之，若 w 减少则 f 减少， P 增大。

df>0duw> 0dp < 0

Ma>1

C:Ma=1 ——， 音速流动df=0 截面为最小，即喉部 最小截面

Ma=1 音速

Ma<1 Ma>1

喉部

4 、两种喷管A: 渐缩喷管 : 流体在该管内流动为亚音速流动，在管嘴出口处为音速或亚音速

注意：出口处所能够达到的最大速度为音速 . 即出口处 Ma 小于 1 ，最大等于 1 ，不可能大于 1

1

ps

1

p3 p4

3 4

P4=Pc

Ma<1

B: 缩放喷管 ( 拉阀尔管 )

流体在收缩管内流动为亚音速流动，在扩张管内为超音速流动 , 有一最小截面 . 最小截面

Ma=1 音速

Ma<1 Ma>1

喉部出口处Ma 大于 1

1

ps

1

P3 p4 p5

3 4 5

p2<pc

5 、管嘴中流量的变化规律由流量计算公式

理论上得到如下曲线

0)/( 12

PPd

md 在极大值处

crPP

112 )

1

2(/ 此时， w=acr 。

])(1[1

2)(

1

1

2

1

1

1

1

212222

p

pp

p

pfwfm

m

1

P2/P1

（ 4）

对（ 4 ）式积分后得：

Βcr 值见表 1-4

分析： P2/P1<βcr 时，

（ 1 ）对于收缩喷管， 当 P2/P1<βcr ，即外界压力低于临界压力 pcr 时，其出口压力为临界压力 , 流速为最大流速为音速，因此流量应该为 cr 对应的最大流量。

（ 2 ）对于缩放喷管（拉阀尔管），当 p2<pcr 时，其喉部达到音速，喉部流量也应该为 cr 对应的最大流量，由于其前后流量应该完成一致，即也应该为最大流量。

综上所述， P2/P1<βcr 时，流量为一条直线。

m

1

P2/P1

β

mmax

注意：需要记忆公式：

（ 1 ）可压缩伯努里方程

（ 2 ）可逆绝热方程

（ 3 ）马赫数定义式

（ 4 ）理想气体状态方程

22

2

221

1

1

2

1

12

1

1w

pw

p

Cp

a

wM a

RTp /

本章小结 重点内容：（１）不可压缩气体流动（方程及应用）（２）可压缩气体流动（方程及应用）相关的知识点（１）气体物理性质（ 2 ）气体的特殊流动