能得到直角三角形吗

古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用 13个等距离的结把一根绳子分成等长的 12段，一个工匠同时握住第一个结和第 13个结，两个助手分别握住第 4个结和第 8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第 4个结处。

做 一 做

下列的五组数分别是一个三角形

的三边长 a ， b ， c ：

①3 ， 4 ， 5 ； ② 6 ， 8 ， 10 ；③ 5 ， 12 ，13 ；

④7 ， 24 ， 25 ； ⑤ 8 ， 15 ， 17

（ 1 ）这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？

（ 2 ）分别以每组数为三边作出三角形，用

量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

如果三角形的三边长 a ， b ， c满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

满足 a2+b2=c2 的三个正整数， 称为勾股定理。

例 1 、一个零件的形状如图 1- 11 所示，按规定这个零件中，∠ A 和∠ DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图 1- 12 所示，这个零件符合要求吗？

A B

CD

A B

CD

1- 11 1- 12

解：∵在 Rt△ABD 中， AB2+AD2=9+16=25=BD2

∴△ABD 是直角三角形，∠ A 是直角 ∵ 在△ BCD 中， BD2+BC2=25+144=169=CD2

∴△BCD 是直角三角形，∠ DBC 是直角 因此这个零件符合要求

3

4

13

125

随 堂 练 习

1 、如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足_______________ ，那么这个三角形是直角三角形；2 、写出三组勾股数： _______________________________;3 、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先向正东方向航行 9 千米，然后向正北方向航行 40 千米，这时它离开出发点 _________ 千米。

随 堂 练 习

5 、判断下列哪组数是勾股数：（ 1 ） 6 ， 7 ， 8 ； （ 2 ） 8 ， 15 ， 6 ；（ 3 ） a=n2-1 ， b=2n ， c=n2+1 （ n ＞1 ）（ 4 ） a=m2-n2 ， b=2mn ， c=m2+n2 （ m＞ n ＞ 0 ）

4 、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。（ 1 ） 9 ， 12 ， 15 ； （ 2 ） 15 ， 36 ，39 ；（ 3 ） 12 ， 35 ， 36 ； （ 4 ） 12 ， 18 ，22 。

√ √

√√

例 2 、一小船先向正南行进了 80 米到另一小船处借东西，之后又向正东行进了 150 米，此时它距出发地多少米？

东

南

西

北

80米

150米

解：设它距出发地 x 米， 由勾股定理得： x2=802+1502=28900=1702 ， 解得： x=170 此时小船距出发点 170 米 .

例 3 、如图，四边形 ABCD 中， AB⊥AD ，已知 AD=3cm ， AB=4cm ， CD=12cm ，BC=13cm ，求四边形 ABCD 的面积。

解：连结 BD ，在 Rt△ABD 中， 由勾股定理得 BD=5cm.　　又∵在三角形 BDC 中，三边分别是 5 ， 12 ， 13 ，满足勾股定理，∴ 三角形 BDC 是直角三角形。

36306

1252

143

2

1SSS BDCABDABCD

四边形

因此四边形 ABCD 的面积为 36 平方厘米

拓展演练1 、如果三角形的三条线段 a ， b ， c 满足 a2=c2-b2 ，这个三角形是直角三角形吗？为什么？

2 、如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，她们的 2 倍、 3 倍、 4倍、 10 倍呢？

2 倍 3 倍 4 倍 10 倍

3 ， 4 ， 5 6 ， 8 ， 10

5 ， 12 ， 13 15 ， 36 ， 39

8 ， 15 ， 17 32 ， 60 ， 68

7 ， 24 ， 25 70 ， 240 ， 250

9 ， 12 ， 15 12 ， 16 ， 20

30 ， 40 ， 50

10 ， 24 ， 26

20 ， 48 ， 52

50 ， 120 ， 130

16 ， 30 ， 34

24 ， 45 ， 51

80 ， 150 ， 170

14 ， 48 ， 50

21 ， 72 ， 75

28 ， 96 ， 100

3 、将一根长为 24 个单位的绳子，分别标出 A ， B ， C ， D 四个点，它们将绳子分成长为 6 个单位、 8 个单位和 10 个单位的三条线段，自己握住绳子的两个端点（ A 点和 D 点），两名同伴分别握住 B 点和 C 点，一起将绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形？为什么？

6

8

10 直角三角形

因为三边满足勾股定理 .

4 、假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走 8 千米，又往北走 2 千米，遇到障碍后又往西走 3 千米，再折向北走到 6 千米处往东一拐，仅走 1 千米就找到了宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B的直线距离是多少千米？

A 8

23

6

1B

C

BC=6+2=8

AC=8-3+1=6

AB2=AC2+BC2=36+64=100

∴ AC=10 （千米）