直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率( 二 )

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1. 掌握过两点的直线的斜率公式，牢记公式形式特点及适用范围；

2. 进一步了解向量的作用； 3. 了解斜率和倾斜角是对直线倾斜度从数和型两方面的刻画。教学重点：两点的直线的斜率公式。教学难点：斜率公式的推导。

直线的倾斜角和斜率 (2)

1. 给定直线的倾斜角 α ，如何求斜率？

2. 若 k≥0 ，则 α 的范围是 ___________. 若 k<0 ，则 α 的范围是 _____________.

k=tan α

0 ° < α < 90 °

90 ° < α < 180 °

（ 1 ）直线的倾斜角为 α ，则直线的 斜率为 tan α ；（ ）（ 2 ）直线的斜率为 tan β, 则直线的 倾斜角为 β; ( ) （ 3 ）所有的直线都有倾斜角 , 故所有的直线都有斜率 ;( )

3. 判断正误：

×

×

×

若两点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2),则直线 P1P2 的斜率如何求 ?

引入

下面我们研究倾斜角不为 900 角时直线斜率的情况 :

X

Y

O

P1

P2

Pαα P1

P2

O X

Y

Pαα

设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则直线 l 的一个方向向量可取为

,, 1212 yyxxP

21PPOP

12

12

12

12 ,tanxx

yyk

xx

yy

1 、过两点的直线的斜率公式

,yy,xxPP 121221 v

,tan1

2

v

vak

O

Y

X X

P1

O

Y

P2

P1

PP2

P

的方向向上时当向量 12PP

12

12

21

21tanxx

yy

xx

yy

综上，我们得到经过两点P1 （ x1 ， y1 ） P2 （ x2 ， y2 ）的直线斜率公式

12

12

xx

yyk

如果向量 , 则向量

)0(, 121 vvvv 是直线 l 的方向 v),(

121

1

与vvv

平行

即 ),1(),1(1

2 kv

v 也是直线 l 的

一个方向向量 .

2 、直线方向向量与斜率的关系

⒈ 斜率公式与两点的顺序无关。 ⒉ 若 y1=y2 ， x1≠x2 时，直线与 x 轴平 行则 k=0 ，若 y1≠y2 , x

1=x2 ，直线与 x 轴垂直 , 则 k 不存在。 ⒊ 在同一直线上的任何两点所确定的斜率都等。

小结回顾小结回顾

引申根据

12

12tanxx

yyk

可以用来解决那些类型的问题？(1) 已知 α 求 k, 已知 k 求 α;(2) 已知 P1, P2 的坐标求 k ；

(3) 已知 k 及 x1 、 x2 、 y1 、 y

2 中 的三个量可求第四个量；(4) 证明三点共线。

例题 1 已知直线 l 的一个方向向量

解：2

3

2

3

k

)3,2(v ，求直线的斜率。

已知直线 l 的倾斜角为 1200

解： 3tan120 k

例题 2

求这直线的斜率和一个方向向量。

)3,1(),1( kv

例题 3 求过 A （ -2 ， 0 ）， B （ -5 ， 3 ）两点的直线的斜率和倾斜角

解： 1tan,1

25

03

即k

00 1800 0135∴ 这条直线的斜率是 -1 ，倾斜角是 1350

例题 4

求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 α

① P1(-2,3),P2(-2,8) ； ② P1(5,-2),P2(-2,-2) ； ③ P1(-1,2),P2(3,-4) ；

答案：①k 不存在， α=900 ；②k=0, α=00;

③k=-3/2, α=π-arctan3/2.

若三点 A(2,3),B(3,-2),C(1/2,m)

共线 , 求 m 的值 .解 :kAB=kAC 2

1

221

3

23

32

mm

例题 5

巩固

P5. A 1 , 2 ， 4 题中适当选题

1 、 要熟练掌握经过两点 P

1 （ x1 ， y1 ） P2 （ x2 ， y2 ）的直线的斜率公式 :

12

12

xx

yyk

小结回顾小结回顾

2 、掌握直线方向向量与斜率关系

如果已知直线的斜率 k ，则直线一个方向向量为

),1(),1(1

2 kv

v

①① 课本 课本 : P5. A 1 , 2: P5. A 1 , 2 ，，44

剩题 剩题