含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式

枣阳市高级中学黎书俊枣阳市高级中学黎书俊

学习目标学习目标• 1. 掌握含绝对值的不等式的基本性质；• 2. 能证明含绝对值的不等式；• 3. 理解并掌握放缩法证明含绝对值的

不等式的方法；• 4. 培养对数学知识的理解能力、应用

能力及论证能力。

复习回顾复习回顾• 1. 不等式的基本性质及证明方法。• 2. 绝对值的意义及最简单的含绝对值不等式

的解集 :

(2) ( 0)x a a a x a

(3) ( 0)x a a x a x a 或(4) a a (5) a a a

0

0 0

0

a a

a

a a

，，，

(1) a

新课新课• 定理

a b a b a b

三角形不等式（ 1 ）定理特征：

（ 2 ）定理证明：a b a b a b

: a a a b b b 证明 ，

( )a b a b a b

.a b a b 即a a b b b b 又 ，

.a b a b 即

①

②

.a b a b a b , 由 得① ②

a a b b a b b 所以由 得 ，①

• （ 3 ）定理推论：

1 2 3 1 2 3a a a a a a 推论 1

推论 2 a b a b a b

1 2 3 1 2 3 1 2 3a a a a a a a a a

( )a b a b a b

a b a b a b

即

定理应用定理应用21. : ( ) 1

: ( ) ( )

f x x a b

f a f b a b

例 已知 ，当 时，

求证2: ( ) 1f x x 证明2 2( ) ( ) 1 1f a f b a b

2 2

2 2 2 2

( )( )

1 1 1 1

a b a b a b

a b a b

a b

a ba b

.a b （放缩法）

22. 0

1

: 1 1.

x x ax b

a b

例 关于 的方程 两根

为 、 ，若 ，

求证 且

2: 0

x ax b

a b

1证法 、 是方程 两根，+ = ， 1a b

1. + 又

1 ，

1. 同理

( 1)( 1) 0 ， 1

2: ( )f x x ax b 2证法 设

(1) 1 1 ( )

1 1 0

f a b a b

( 1) 1 1 ( ) 0f a b a b 0 1 1 1

1 1

2 2 2

a a

a

( ) 0 11f x 方程 的两实根在 ，内，1 1. 即 ，

3. 0a b R ab

A a b a b B a b a b

C a b a b D a b a b

例 、 ，且 ，则有（ ）

( ) ( )

( ) ( )

c

解法一 : (D) 显然不对， (A) 、 (B) 可两边平方判断是错误的，故应选 (C).

解法二 : （特殊值法）取 a=1 ，b=-1 即可。

2 2

2

: 2.

x y x y

x y

4.例 设 ，

求证2x y x y :证明

2 4x y x y 2 2 2 2 2x y x y 2 2 2 2x y x y 又 2 2 2 2 2x y x y 2 1x 即 2: 1y 同理可证2 2 2.x y 故

2: ( ) 13 1

( ) ( ) 2( 1).

f x x x x a

f x f a a

5.例 求证 若 ，

则

: ( )( 1)x a x a 证明 左式

1x a ( ) 2 1x a a

2 1x a a

2( 1)a

2( ) 2 7

3

( ) ( ) 6

f x x x

x m

f x f m m

:练习题 已知

且 ，

: +15. 求证

6. :1 1 1

a b a b

a b a b

例 求证

:1

1

1

1 1

1 1 1

1

.1

1

:

a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a

a b

a b a b

a b a b a b

a b

b

a b

a b

分析 如果不等式左边式子用 替代，

则只须证

而

关键是如何证明

1:证法 0a b 1（ ）当 时，显然显然成立；

12 0

11

a b

a b

=（）当 时，左边

11

1a b

.1

a b

a b

右边

2:证法1

1 (1 1

a b

a b a b

拆分）

111 a b

利用（ 定理放缩）

.1

a b

a b

( ) ( 0) .1

xf x x

x

3:证法 证明 是增函数即可

0

1 .

a b

x y m y x

x m x

y m y

x a b y a b

m

4:证法 若 、 异号时（否则结论显然成立）， “利用命题 若 、 、 ， ，

”则

这里只须取 ， ，

即可

3

1 2 1 2

2 1 2 1

2 1

7. ( ) 0 1

01 .

(1) : (0) (1)

(2) ( ) ( ) 2

(3) : ( ) ( ) 1.

f x x x c

x x x x

f f

f x f x x x

f x f x

、

例 已知函数 定义在区间 ，

上， ，且

证明 ；

:证明 ；

证明

3: (1) ( )

(0) (1)

(0) (1).

f x x x c

f c f c

f f

证明，

3 32 1 2 2 1 1

3 32 1 2 1

2 22 1 2 1 1 2

1 2 1 2

2 22 1 1 2

2 22 1 1 2

2 1 2 1

(2) ( ) ( )

1

01

0 3

1 2

( ) ( ) 2 .

f x f x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

f x f x x x

、 ，且

，，

2 1 2 1

: (3) (0) (1)

( ) ( ) ( ) (1) (0) ( )

f f

f x f x f x f f f x

证明

2 1( ) (1) (0) ( )f x f f f x

2 12 1 2 0x x

1 2

2 1 2 1

01

( ) ( ) 2 1 2

x x

f x f x x x

、又 ，

2 12 2 2x x

2 1 2 1 2 1

2 1

( ) ( ) 2

2 2

x x f x f x x x

x x

当 时，

2 1

2 1( ) ( ) 1 .

x x

f x f x

同理可证当 时，

也成立

①

② 2 1( ) ( ) 1f x f x + 由 得① ②

思考题思考题2( ) ( 0)

1 ( ) 1

: (2) 8.

f x ax bx c a

x f x

f

设 ，

当 时，总有 ，

求证

小结小结• 这节课我们学习了含有绝对值的不等

式中的“三角形不等式”即课本上的定理以及定理的两个推论，要求同学们会证明定理及两个推论，并能够灵活运用。又学习了证明不等式的一种方法——放缩法，希望同学们掌握。

• 另外，在例题中还渗透了函数与方程、数形结合的数学思想方法。望同学们课后体会。