2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

一般地，实数一般地，实数 λλ 与向量与向量 a a 的积是一个向的积是一个向

量，记作量，记作 λaλa ，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：

(1) |λa|=|λ| |a|(1) |λa|=|λ| |a|

(2) (2) 当当 λ>0λ>0 时时 ,λa ,λa 的方向与的方向与 aa 方向相同；方向相同； 当当 λ<0λ<0 时时 ,λa ,λa 的方向与的方向与 aa 方向相反； 方向相反；

特别地，当特别地，当 λ=λ=00 或或 a=0a=0 时时 , , λa=0λa=0

设设 a,ba,b 为任意向量，为任意向量， λ,μλ,μ

为为任意实数任意实数，则有：，则有： ① ① λλ((μμaa)=()=(λμλμ)) aa ② ② ((λ+μλ+μ) ) a=a=λλa+a+μμaa ③ ③ λλ((a+ba+b)=)=λλa+a+λλbb

已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA=a ， OB=b ，则∠ AOB=θ （ 0°≤θ ≤180° ）叫做向量 a 与 b 的夹角。

O

B

Aθ

当 θ＝ 0° 时， a与 b同向；O A B

当 θ＝ 180°时， a 与 b 反向； OA BB

当 θ＝ 90°时，称 a 与 b 垂直，

记为 a⊥b. O Aab

我们学过功的概念，即一个物体在力 F的作用下产生位移 s （如图）

θ

F

S

力 F 所做的功 W 可用下式计算

W=|F| |S|cosθ 其中 θ 是 F 与 S 的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。

已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ ，我们把数量 |a| |b|cosθ 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b

a·b=|a| |b| cosθ

规定 : 零向量与任一向量的数量积为 0 。

|a| cosθ （ |b| cosθ ）叫做向量 a 在 b 方向上（向量 b 在 a 方向上）的投影。

注意：向量

的数量积是

一个数量。

向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

a·b=|a| |b| cosθ

当 0°≤θ ＜ 90° 时 a·b 为正；当 90° ＜ θ ≤180° 时 a·b 为负。当 θ =90° 时 a·b 为零。

设 ba

、 是非零向量， be

是与 方向相同的单位向量， ea

与是 的夹角，则

cos||)1( aeaae

0)2( baba

|;|||)3( bababa

同向时，与当

|;||| bababa

反向时，与当

特别地 2|| aaa

aaa

||或 2a

||||cos)4(

ba

ba

||||||)5( baba

O A

B

θ a

b

B1

| | | | cosa b a b

解： a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4× （ -1/2 ） = － 10

例 1 已知 |a|=5 ， |b|=4 ， a与 b的夹角 θ=120° ，求 a·b。

例 2 已知 a=(1,1),b=(2,0), 求 a·b 。

解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °

= 2

O A

B

θ

|b|cosθ a

b

B1

ba

等于 a

的长度 || a

方向上的投影在ab

与

cos|| b

的乘积。

练习：

1 ．若 a =0 ，则对任一向量 b ，有 a · b=0 ．2 ．若 a ≠0 ，则对任一非零向量 b , 有 a · b≠0 ．

3 ．若 a ≠0 ， a · b =0 ，则 b=04 ．若 a · b=0 ，则 a · b 中至少有一个为 0 ．5 ．若 a≠0 ， a · b= b · c ，则 a=c

6 ．若 a · b = a · c , 则 b≠c, 当且仅当a=0 时成立．7 ．对任意向量 a 有 22 || aa

√

×

×

×

×

×

√

二、平面向量的数量积的运算律：

数量积的运算律：

cbcacba

bababa

abba

))(3(

)()())(2(

)1(

其中， cba

、、 是任意三个向量， R注： )()( cbacba

则

(a + b) ·c = ON |c|

= (OM + MN) |c|

= OM|c| + MN|c|

= a·c + b·c .

O NM

a+b

b

a

c

向量 a 、 b 、 a + b 在 c 上的射影的数量分别是 OM 、 MN 、 ON,

证明运算律 (3)

例 3 ：求证：（ 1 ） (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2 ；

（ 2 ） (a ＋ b)·(a － b) ＝ a2 － b2.

证明：（ 1 ） (a ＋ b)2 ＝ (a ＋ b)·(a ＋ b)

＝ (a ＋ b)·a ＋ (a ＋ b)·b

＝ a·a ＋ b·a ＋ a·b ＋ b·b

＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2.

例 3 ：求证：（ 1 ） (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2 ；（ 2 ） (a ＋ b)·(a － b) ＝ a2 －b2.

证明：（ 2 ） (a ＋ b)·(a － b) ＝ (a ＋ b)·a －(a ＋ b)·b

＝ a·a ＋ b·a － a·b － b·b

＝ a2 － b2.

例 4 、2 ) ( 3 )a b a b

求（ 。| | 6,| | 4,a b a b

已知 与

60 ,o 的夹角为

解 :

5. | | 3,| | 4,a b k

a kb a kb

例 已知 当且仅当 为何值时，

向量 与 互相垂直？

作业：

)(

,2

432,1||||1

cbacaba

cba

k

bakbababa

求证：是非零向量，且、设

的值。互相垂直，求也与且、若

3 、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。

A B

C

O

如图所示，已知⊙如图所示，已知⊙ OO ，， ABAB 为直径，为直径， CC为⊙为⊙ OO 上任意一点。求证∠上任意一点。求证∠ ACB=90°ACB=90°

分析：要证∠ ACB=90° ，只须证向量 ，即 。AC CB

0AC CB

解：设 解：设 则 ，则 ，由此可得：由此可得：

,AO a OC b

,AC a b CB a b

AC CB a b a b

2 22 2| | | |a b a b

2 2 0r r

即 ，∠ ACB=90°0CBAC