Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalHak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit CV. Usaha MakmurMATEMATI KAKONSEP DAN APLI KASI NYAUntuk SMP/MTs Kelas VIIPenulis : Dewi NuhariniTri WahyuniEditor : IndratnoPerancang Kulit : Risa ArdiyantoIlustrasi, Tata Letak : Risa ArdiyantoUkuran Buku : 17,6 x 25 cm410NUH NUHARINI, DewimMatematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI SMP/MTs I/DewiNuharini, Tri Wahyuni; editor Indratno. Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2008.viii, 299 hlm.: ilus.; 25 cm.: hlm. 299BibliograIndeks.ISBN 978-462-998-71. Matematika-Studi dan PengajaranI. JudulII. Wahyuni, TriIII. IndratnoDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...KATA SAMBUTANiiiKata SambutanPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karuniaNya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbituntuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website)Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikandan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syaratkelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui PeraturanMenteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada parapenulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswadan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan,dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untukpenggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhiketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku tekspelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruhIndonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapatmemanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada parasiswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaikbaiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya.Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat PerbukuanKATA PENGANTARBuku Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini membantumu belajar matematika dan aplikasinya dalam kehidupansehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yangmudah kamu pahami. Di dalam buku ini kamu akan menjumpaisoal-soal yang dapat melatih keterampilanmu. Dengan harapan,kamu akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.Setiap awal bab di buku ini disajikan kover bab. Bagian iniberisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan denganmateri bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikantujuan pembelajaran yang harus kamu capai dalam setiap bab.Kata-kata kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulukata-kata kuncinya sebelum kamu mempelajari isi materi.Di dalam buku ini disajikan Tugas Mandiri yang akanmeningkatkan pemahaman kamu terhadap konsep yang telah kamupelajari. Diskusi akan mendorongmu untuk lebih bersemangatdalam bekerja sama. Soal Tantangan akan memotivasi kamudalam memahami konsep. Pelangi Matematika akan menambahpengetahuan dan wawasan kamu mengenai tokoh yang berjasabesar pada konsep yang sedang dipelajari. Tips akan membantumumemahami konsep yang sedang kamu pelajari. Di bagian akhirsetiap bab dilengkapi dengan soal-soal untuk mengevaluasikompetensi yang telah kamu capai setelah mempelajari satu bab.Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan seganuntuk bertanya jika kamu menemui kesulitan. Selamat belajar,semoga sukses.Surakarta, ................. 2008PenulisivMatematika Konsep dan Aplikasinya 1SAJIAN ISI BUKURefleksi berisi umpan balik yang harus dilakukanoleh siswa setelah mempelajari materi satu bab.Bagian ini berisi soal-soal pilihan ganda dan soalsoal esai sebagai bahan evaluasi untuk mengukurtingkat pemahaman siswa setelah mempelajarimateri satu bab.Rangkuman berisi ringkasan materi dalam satu bab.Bagian ini disajikan di akhir setiap bab agar siswadapat mengingat kembali hal-hal penting yang telahdipelajari.Soal tantangan berisikan suatu soal yang menantangsiswa untuk menguji kecerdasannya. Bagian inidapat memotivasi siswa dalam memahami konsepmateri secara total.Bagian ini berisi tugas yang harus dikerjakan secaraberpasangan atau berkelompok. Diskusi memuattugas observasi, investigasi, eksplorasi, atauinkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikirkritis, kreatif, dan inovatif.Pelangi matematika berisi tokoh-tokoh yang berjasa besar pada konsep yang sedang dipelajari.Tips berisi info atau keterangan yang dapat membantu siswa memahami materi yang sedangdipelajari.Bagian ini berisi tugas yang bersifat individu.Tugas mandiri memuat tugas observasi, investigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacusiswa untuk berpikir kritis, kreatif, maupuninovatif.Uji kompetensi berisikan soal-soal latihan bervariasi yang disajikan setiap subbab. Ujikompetensi dapat digunakan untuk mengujipemahaman siswa berkaitan dengan isi materi.vSajian Isi BukuviMatematika Konsep dan Aplikasinya 1DAFTAR ISIKATA SAMBUTAN ........................................................................................................... iiiKATA PENGANTAR ....................................................................................................... ivSAJIAN ISI BUKU......................................................................................................... vDAFTAR ISI ................................................................................................................... viPENDAHULUAN............................................................................................................... 1BAB 1 BILANGAN BULATA. Bilangan Bulat ............................................................................................ 4B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat ........................................................... 7C. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat ........................... 20D. Kelipatan dan Faktor .................................................................................. 22E. Perpangkatan Bilangan Bulat ...................................................................... 27F. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat ......................................... 33G. Penggunaan Operasi Hitung Bilangan Bulat untuk MenyelesaikanMasalah ..................................................................................................... 34Evaluasi 1........................................................................................................ 37BAB 2 PECAHANA. Bilangan Pecahan ....................................................................................... 40B. Perbandingan dan Bentuk-Bentuk Pecahan ............................................... 48C. Operasi Hitung Pecahan ............................................................................ 56D. Pembulatan dan Bentuk Baku Pecahan...................................................... 69E. Menyelesaikan Masalah Sehari-Hari yang Berkaitan dengan Pecahan....... 72Evaluasi 2 ......................................................................................................... 76BAB 3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABARA. Bentuk Aljabar dan unsur-unsurnya .......................................................... 80B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar .......................................................... 83C. Pecahan Bentuk Aljabar ............................................................................. 92D. Penggunaan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah................................... 98Evaluasi 3 ......................................................................................................... 101BAB 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELA. Kalimat Terbuka ........................................................................................ 104B. Persamaan Linear Satu Variabel ................................................................. 106C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ......................................................... 114D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yangBerkaitan dengan Persamaan Linear Satu Variabel .................................... 122E. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yangBerkaitan dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ............................. 124F. Logika Matematika (Pengayaan) ............................................................... 126Evaluasi 4 ......................................................................................................... 133BAB 5 PERBANDINGAN DAN ARITMETIKA SOSIALA. Aritmetika Sosial dalam Kegiatan Ekonomi ............................................... 136B. Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto ..................................................... 142viiDaftar IsiC. Bunga Tabungan dan Pajak ....................................................................... 145D. Perbandingan ............................................................................................. 147E. Gambar Berskala ....................................................................................... 149F. Bentuk-Bentuk Perbandingan .................................................................... 152G. Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan KonsepPerbandingan ............................................................................................. 157Evaluasi 5 ......................................................................................................... 161BAB 6 HIMPUNANA. Himpunan .................................................................................................. 164B. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta............................................... 169C. Himpunan Bagian ....................................................................................... 171D. Hubungan Antarhimpunan ......................................................................... 175E. Operasi Himpunan ..................................................................................... 177F. Diagram Venn ............................................................................................ 186G. Menyelesaikan Masalah dengan Menggunakan Konsep Himpunan ........... 193Evaluasi 6 ......................................................................................................... 196BAB 7 GARIS DAN SUDUTA. Garis .......................................................................................................... 200B. Perbandingan Segmen Garis...................................................................... 205C. Sudut ......................................................................................................... 208D. Menggambar dan Memberi Nama Sudut ................................................... 211E. Jenis-Jenis Sudut ....................................................................................... 214F. Hubungan Antarsudut ................................................................................ 216G. Hubungan Antarsudut jika Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Garis Lain.... 220H. Melukis Sudut ............................................................................................ 224I. Membagi Sudut ......................................................................................... 226Evaluasi 7 ......................................................................................................... 231BAB 8 SEGITIGA DAN SEGI EMPATA. Segitiga ...................................................................................................... 234B. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga .................................................................... 241C. Hubungan Panjang Sisi dengan Besar Sudut pada Segitiga ....................... 243D. Keliling dan Luas Segitiga .......................................................................... 246E. Segi Empat ................................................................................................ 250F. Melukis Segitiga ........................................................................................ 276G. Melukis Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi ................................. 279H. Melukis Garis-Garis Istimewa pada Segitiga............................................. 280I. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Segi Empat .....................284Evaluasi 8 ......................................................................................................... 288DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................... 290GLOSARIUM................................................................................................................... 291KUNCI JAWABAN SOAL TERPILIH............................................................................ 292DAFTAR SIMBOL ........................................................................................................... 296INDEKS............................................................................................................................. 2971PendahuluanPENDAHULUANMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologimodern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu sehinggamemajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika diberikan kepada siswamulai dari sekolah dasar untuk membekali siswa dengan kemampuan bekerja sama.Pembelajaran matematika di buku ini dimulai dengan pengenalan masalah yangsesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,siswa secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Sekolahdiharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alatperaga, atau media lainnya untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran.Buku Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini diperuntukkan bagi siswakelas VII SMP/MTs. Materi pembelajaran buku ini mengacu pada Standar Kompetensidan Kompetensi Dasar Matematika SMP/MTs tahun 2006. Kajian materi buku inimeliputi tiga aspek, yaitu aspek bilangan, aljabar, dan aspek geometri.Untukmemudahkan pembahasan, buku ini terbagi ke dalam delapan bab sebagai berikut.Bab 1 Bilangan BulatBab ini memuat materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, danpangkat pada bilangan bulat beserta sifat-sifatnya; cara menaksir hasilperkalian dan pembagian bilangan bulat; kuadrat dan pangkat tiga sertaakar kuadrat dan akar pangkat tiga bilangan bulat. Dengan memahami sifatsifat operasi hitung tersebut dapat bermanfaat untuk menyelesaikan masalahdalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan bilangan bulat.Bab 2 PecahanBab ini berisi materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkatpada pecahan beserta sifat-sifatnya; cara mengubah bentuk pecahan kebentuk pecahan yang lain; dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung padapecahan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yangberkaitan dengan pecahan.Bab 3 Operasi Hitung Bentuk AljabarBab ini memuat materi mengenai bentuk aljabar dan unsur-unsurnya; operasihitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; sertamenerapkan operasi hitung bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal.Bab 4 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu VariabelBab ini berisi uraian materi mengenai persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dalam berbagai bentuk dan variabel; menentukanpenyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel; sertamembuat model matematika dan menyelesaikannya dari suatu masalah yangberkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.2Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Bab 5 Perbandingan dan Aritmetika SosialBab ini memuat materi mengenai penggunaan konsep aljabar dalampemecahan masalah aritmetika sosial, misalnya nilai keseluruhan, nilai perunit, laba, rugi, rabat, dan bunga tunggal; pengertian skala sebagai suatuperbandingan; faktor perbesaran dan pengecilan pada gambar berskala;serta perbandingan seharga (senilai) dan perbandingan berbalik harga(berbalik nilai).Bab 6 HimpunanBab ini berisi materi mengenai pengertian, notasi, dan penyajian himpunan;konsep himpunan bagian; operasi irisan, gabungan, kurang (difference),dan komplemen pada himpunan; penyajian himpunan dengan diagram Venn,serta menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dankonsep himpunan.Bab 7 Garis dan SudutBab ini memuat materi mengenai hubungan antara dua garis, serta besardan jenis sudut; sifat-sifat sudut yang terbentuk jika dua garis berpotonganatau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain; serta cara melukis danmembagi sudut.Bab 8 Segitiga dan Segi EmpatBab ini berisi uraian materi mengenai sifat-sifat segitiga berdasarkan sisidan sudutnya; sifat-sifat persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat,layang-layang, dan trapesium; menghitung keliling dan luas bangun segitigadan segi empat dan menggunakannya dalam memecahkan masalah dalamkehidupan sehari-hari; serta cara melukis segitiga, garis tinggi, garis bagi,garis berat, dan garis sumbu.1 BILANGAN BULATPernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Padapengukuran menggunakan termometer, untukmenyatakan suhu di bawah 0oC digunakantanda negatif. Pada tekanan 1 atmosfer, suhuair mendidih 100oC dan membeku pada suhu0oC. Jika air berubah menjadi es, suhunyakurang dari 0oC. Misalkan, es bersuhu 7oC,artinya suhu es tersebut 7oC di bawah nol.Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh bilangan bulat;dapat menyatakan sebuah besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif;dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan;dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat bilanganbulat termasuk operasi campuran;dapat menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengannegatif dan positif dengan negatif;dapat menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat;dapat menghitung kuadrat dan pangkat tiga serta akar kuadrat dan akar pangkattiga bilangan bulat;dapat menemukan dan menggunakan sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian,pembagian, dan perpangkatan bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah.Kata-Kata Kunci:bilangan bulat positifperkalian bilangan bulatbilangan bulat negatifpembagian bilangan bulatpenjumlahan bilangan bulatperpangkatan dan akar bilangan bulatpengurangan bilangan bulatSumber: Kamus Visual, 20044Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, sebaiknyakalian memahami kembali mengenai bilangan cacah, garis bilangan,kuadrat, akar pangkat dua, serta KPK dan FPB dari dua bilanganatau lebih. Pemahaman materi tersebut akan sangat bermanfaatdalam mempelajari materi bilangan bulat. Konsep yang akan kalianpelajari pada bab ini merupakan dasar untuk mempelajari babselanjutnya di buku ini.A. BILANGAN BULAT1. Pengertian Bilangan BulatCoba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasarmengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jikabilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan,apa yang kalian peroleh?Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garislurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiridi satu titik dan ia namakan titik 0.0 1 2 3 4Gambar 1.1Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jikaia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya,jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Laluia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakahia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundurlagi 1 langkah ke belakang?Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0)dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depandinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakangdari titik nol (0) dinyatakan dengan 4. Adapun posisi 2 langkah kebelakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan 2.Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkanakan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulatbiasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebuthimpunan bilangan bulat dan dinotasikan denganB = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}.(Berpikir kritis)Apa yang kamu ketahui mengenai bilangan cacah? Ceritakansecara singkat didepan kelas.5Bilangan BulatBilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif{..., 3, 2, 1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif{1, 2, 3, ...}.2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan SeharihariPerhatikan Gambar 1.2. Kapal selam digunakan untukkepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan.Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlumengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air lautdinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakandengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan lautdinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m dibawah permukaan laut ditulis 10 m.(Berpikir kritis)Diketahui suatu gedung berlantai 12. Dari gedung tersebut 3 diantaranya berada di bawah permukaan tanah. Tito berada di lantaiterbawah, kemudian naik 7 lantai dengan lift. Di lantai berapakahia berada di atas permukaan tanah?Sumber: Ensiklopedi Matematika dan PeradabanManusia, 2003Gambar 1.2(Menumbuhkankreativitas)Perhatikan lingkungansekitarmu. Amatikejadian/peristiwayang merupakanpenerapan bilanganbulat dalamkehidupan sehari-hari.Catat dandeskripsikan hal itu.Hasilnya, ceritakan didepan kelas.6Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Letak Bilangan Bulat pada Garis BilanganPada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakansebagai berikut.Gambar 1.3Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebutbilangan bulat positif, sedangkan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ...disebut bilangan bulat negatif.Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkanbilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat3 2 1 0 1 2 3Gambar 1.4Perhatikan garis bilangan di atas.Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan,makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makinkecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, qbilangan bulat berlakua. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.Pada suatu garis bilangan, bilangan 3 terletak di sebelah kiribilangan 2 sehingga ditulis 3 < 2 atau 2 > 3. Adapun bilangan3 terletak di sebelah kanan 5 sehingga ditulis 3 > 5 atau5 < 3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh5 < 3 < 2 atau 2 > 3 > 5.5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5bilangan bulat negatif bilangan bulat positif nolKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.a. 175 meter di atas permukaan air laut.b. 60 meter di bawah permukaan airlaut.1. Jika permukaan air laut dinyatakandengan 0 meter, tulislah letak suatutempat yang ditentukan sebagai berikut.7Bilangan Bulat5. Isilah titik-titik di bawah ini dengan tanda> atau 2, pada S = {..., 3, 2, 1, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6};c. 5 < x s 4, pada S = {5, 4, 3,2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.Kemudian gambarlah masing-masingnilai-nilai tersebut pada garis bilangan.7. Diketahui suhu di dalam suatu ruanganlaboratorium 17oC. Karena akan digunakan untuk sebuah penelitian, makasuhu di ruangan tersebut diturunkan 25oClebih rendah dari suhu semula. Berapakah suhu di ruangan itu sekarang?c. 270 meter di bawah permukaan airlaut.d. 10 meter di atas permukaan air laut.2. Dengan menggunakan garis bilangan,tentukana. lima bilangan bulat yang terletak disebelah kiri 3;b. enam bilangan bulat yang terletak disebelah kanan 2;c. empat bilangan bulat yang lebih dari1;d. tujuh bilangan bulat yang kurang dari5.3. Diketahui sebuah tangga lantai memiliki10 anak tangga. Nyoman dan Santiberada di anak tangga ke-2, kemudianmereka naik 7 tangga ke atas. Karenaada buku yang terjatuh, Nyoman dan Santiturun 5 tangga ke bawah. Di anak tangga berapakah mereka sekarang?4. Tentukan benar atau salah pernyataanberikut.a. 4 < 8 e. 2 > 102b. 5 > 7 f. 150 < 150c. 2 > 4 g. 6 < 5d. 3 < 4 h. 75 > 57B. OPERASI HITUNG PADA BILANGANBULAT1. Penjumlahan pada Bilangan Bulata. Penjumlahan dengan alat bantuDalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapatdigunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yangdijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuaidengan bilangan tersebut.Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan.Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arahkiri.(Menumbuhkaninovasi)Selain dengan garisbilangan,penjumlahan padabilangan bulat dapatdigunakan alat bantuyang lain. Cobaeksplorasilah hal inidengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.8Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Penyelesaian:8 7 6 0 1 2(b)(a)(c)3 2 1 5 4Gambar 1.6Untuk menghitung (3) + (4), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kirisampai pada angka 3.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 3 sejauh 4 satuan ke kiri.(c) Hasilnya, (3) + (4) = 7.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.1. 6 + (8)Penyelesaian:3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7(b)(a)(c)Gambar 1.5Untuk menghitung 6 + (8), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuanke kanan sampai pada angka 6.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8satuan ke kiri.(c) Hasilnya, 6 + (8) = 2.2. (3) + (4)c. 6 + (9)d. (4) + (7)e. 8 + (2)f. 6 + 10Dengan menggunakan garis bilangan,hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulatberikut ini.a. 3 + 7 b. 8 + 5g. (5) + 10h. (3) + 2i. (6) + (4)j. (8) + (3)9Bilangan Bulatb. Penjumlahan tanpa alat bantuPenjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukandengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilanganyang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu,kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.1) Kedua bilangan bertanda samaJika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilanganpositif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan keduabilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tandakedua bilangan.Contoh:a) 125 + 234 = 359b) 58 + (72) = (58 + 72) = 1302) Kedua bilangan berlawanan tandaJika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positifdan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besardengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikantanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilailebih besar.Contoh:a) 75 + (90) = (90 75) = 15b) (63) + 125 = 125 63 = 62Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.i. (34) + 46 + (28)j. 68 + (29) + (45)2. Tentukan nilai p yang memenuhi, sehingga kalimat matematika berikut inimenjadi benar.a. 8 + p = 15b. p + (4) = 1c. (12) + p = 3d. p + 6 = 4e. 9 + (p) = 51. Tanpa menggunakan alat bantu, hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulatberikut ini.a. 23 + 19b. (42) + 27c. 38 + (53)d. (46) + (35)e. (56) + 47f. 32 + (18)g. (15) + 62h. (27) + (14) + 7510Matematika Konsep dan Aplikasinya 1b. Sifat komutatifSifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahandua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang samawalaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkantempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11b. (7) + 4 = 4 + (7) = 3c. 8 + (12) = (12) + 8 = 4d. (9) + (11) = (11) + (9) = 20c. Mempunyai unsur identitasBilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas padapenjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulatapabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a = a.d. Sifat asosiatifSifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat inidapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku(a + b) + c = a + (b + c).2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulata. Sifat tertutupPada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkanbilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = cdengan c juga bilangan bulat.a. 16 + 25 = 916 dan 25 merupakan bilangan bulat.9 juga merupakan bilangan bulat.b. 24 + (8) = 1624 dan 8 merupakan bilangan bulat.16 juga merupakan bilangan bulat.11Bilangan Bulata. (4 + (5)) + 6 = 1 + 6= 54 + ((5) + 6) = 4 + 1= 5Jadi, (4 + (5)) + 6 = 4 + ((5) + 6).b. (3 + (9)) + 10 = 12 + 10= 23 + ((9) + 10) = 3 + 1= 2Jadi, (3 + (9)) + 10 = 3 + ((9) + 10).e. Mempunyai inversInvers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut.Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabilahasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya(lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).Lawan dari a adalah a, sedangkan lawan dari aadalah a.Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nolpasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlakua + (a) = (a) + a = 0.e. 9 + x = 0f. x + (5) + (9) = 03. Suatu permainan diketahui nilai tertingginya 100 dan nilai terendahnya 100.Seorang anak bermain sebanyak 6 kalidan memperoleh nilai berturut-turut 75,80, 40, 65, x, dan 50. Jika jumlah nilaianak tersebut seluruhnya 60, tentukannilai x yang memenuhi.1. Dengan menggunakan sifat-sifat yangberlaku pada penjumlahan bilangan bulat,hitunglah hasil penjumlahan berikut.a. 23 + (19) + 37b. 32 + (27) + (43)c. (51) + 75 + 51d. 38 + (45) + (22)e. (49) + 56 + (31)f. 25 + (17) + (28)2. Tentukan nilai x yang memenuhi untuk xbilangan bulat.a. 4 + x = 3b. x + (5) = 6c. 2 + x = 6d. x + (8) = 0Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.(Berpikir kritis)Coba cek jawabanmu pada Uji Kompetensi 4 dengan menggunakankalkulator. Apakah hasilnya sama?(Menumbuhkan kreativitas)Diskusikan dengantemanmu.Coba kalian ingatkembali sifat operasipenjumlahan bilangancacah. Bandingkandengan sifat penjumlahan pada bilanganbulat. Apakah setiapbilangan cacah a memiliki invers (lawan)?Mengapa?12Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Pengurangan pada Bilangan BulatSeperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitunghasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garisbilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi ditingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakanpenjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.Perhatikan uraian berikut.a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan denganlawan bilangan pengurangBandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.1) 4 30 1 2 2 1 3 4 5341Gambar 1.72) 4 + (3)0 1 2 2 1 3 4 5341Gambar 1.83) 5 (2)0 1 2 3 2 1 4 5523Gambar 1.94) 5 + 20 1 2 3 2 1 4 5523Gambar 1.10Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.4 3 = 4 + (3) = 15 (2) = 5 + 2 = 313Bilangan BulatPada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatubilangan sama artinya dengan menambah dengan lawanpengurangnya.Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlakua b=a + (b).(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa sifatkomutatif dan asosiatiftidak berlaku padaoperasi penguranganbilangan bulat.(Berpikir kritis)Coba ingat kembali,bahwa bilangan 0merupakan unsuridentitas padapenjumlahan bilanganbulat. Menurutmu,apakah padapengurangan bilanganbulat terdapat unsuridentitas?Eksplorasilah hal inidengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.a. 7 9 = 7 + (9) = 2b. 8 6 = 8 + (6) = 14c. 15 (5) = 15 + 5 = 20d. 12 (6) = 12 + 6 = 6Pada contoh di atas dapat kalian lihat bahwa hasil daripengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat.Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.b. Pengurangan dengan alat bantuBerdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitunghasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilanganberikut ini.Penyelesaian:Untuk menghitung 4 7, langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuanke kanan sampai pada angka 4.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7satuan ke kiri sampai pada angka 3.(c) Hasilnya, 4 7 = 3.0 1 2(b)(a)(c)3 2 1 4 3 4 5Gambar 1.111. 4 714Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. 3 (5) Penyelesaian:Langkah-langkah untuk menghitung 3 (5) sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuanke kiri sampai pada angka 3.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 3 sejauh5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.(c) Hasilnya, 3 (5) = 2.0 1 2(b)(a)(c)3 2 1 4 3 4 5Gambar 1.12Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Hitunglah hasilnya.a. 9 3 e. 15 9 13b. 5 8 f. 32 21 14c. 13 9 g. 18 11 (24)d. 16 (6) h. (7 27) 182. Jika n adalah bilangan bulat, tentukannilai n agar menjadi kalimat yang benar.a. 7 n=2b. n 4 = 3c. n (9) = 5d. 8 n=1e. n (6) = 03. Diketahui suhu di Puncak Jaya Wijaya4oC, sedangkan suhu di Kota Mekah48oC. Hitunglah selisih suhu keduatempat tersebut.4. Jarak Kota A dan Kota B 40 km. JikaKota C terletak di antara Kota A dan B,sedangkan jaraknya 25 km dari Kota B,berapakah jarak Kota C dari Kota A?4. Perkalian pada Bilangan BulatKalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasipenjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikancontoh berikut.4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 205 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 5 dan 5 4 berbedaartinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif makan a=sebanyak suku... - - - na a a a15Bilangan Bulata. Menghitung hasil perkalian bilangan bulatPerhatikan uraian berikut.2 4 = 4 + 4 = 82 3 = 3 + 3 = 62 2 = 2 + 2 = 42 1 = 1 + 1 = 22 0 = 0 + 0 = 02 4 = (2 4) = (4 + 4) = 82 3 = (2 3) = (3 + 3) = 62 2 = (2 2) = (2 + 2) = 42 1 = (2 1) = (1 + 1) = 22 0 = (2 0) = (0 + 0) = 02 (2) = (2) + (2) = 42 (1) = (1) + (1) = 2(2) (3) = (2 (3)) = ((3) + (3)) = 6(2) (2) = (2 (2)) = ((2) + (2)) = 4(2) (1) = (2 (1)) = ((1) + (1)) = 2Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akanmemperoleh sifat-sifat berikut.Jika p dan q adalah bilangan bulat maka1) p q = pq;2) (p) q = (p q) = pq;3) p (q) = (p q) = pq;4) (p) (q) = p q = pq.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tulislah arti perkalian berikut, kemudianselesaikan.a. 8 4b. 2 (3)c. 3 pd. 4 (p)e. 4 8f. 5 (2p)2. Hitunglah hasil perkalian berikut.a. 7 (18)b. (12) (15)c. (16) 9d. 25 0e. (24) (11)f. 35 (7)(Berpikir kritis)Buatlah kelompokterdiri atas 2 anak, 1laki-laki dan 1 perempuan. Buktikan sifatsifat operasi perkalianpada bilangan bulatseperti di samping.Berikan contoh-contohyang mendukung.Diskusikan hal inidengan temanmu.16Matematika Konsep dan Aplikasinya 1b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat1) Sifat tertutupUntuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.3 8 = .... 3 (8) = ....(3) 8 = .... (3) (8) = ....Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakanbilangan bulat?Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlakup q = r dengan r juga bilangan bulat.2) Sifat komutatifUntuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2 (5) = .... (3) (4) = ....(5) 2 = .... (4) (3) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlakup q = q p.3) Sifat asosiatifUntuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.3 (2 4) = .... (2 6) 4 = ....(3 (2)) 4 = .... 2 (6 4) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku(p q) r = p (q r).Dalam suatu permainan jika menang diberinilai 3, jika kalah diberinilai 2, dan jika seridiberi nilai 1. Sebuahregu telah bermainsebanyak 47 kali,dengan 21 kalimenang dan 3 kaliseri. Tentukan nilaiyang diperoleh regutersebut.17Bilangan Bulat4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahanUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2 (4 + (3)) = .... (3) (8 + 5) = ....(2 4) + (2 (3)) = .... ((3) (8)) + (3 5) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlakup (q + r) = (p q) + (p r).5) Sifat distributif perkalian terhadap penguranganUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadappengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.5 (8 (3)) = .... 6 (7 4) = ....(5 8) (5 (3)) = .... (6 (7)) (6 4) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlakup (q r) = (p q) (p r).6) Memiliki elemen identitasUntuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulisdan tentukan hasil perkalian berikut.3 1 = .... (4) 1 = ....1 3 = .... 1 (4) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlakup 1 = 1 p = p.Elemen identitas pada perkalian adalah 1.18Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Dengan menggunakan sifat distributif,tentukan nilai daria. 8 (24)) + (8 (16))b. ((17 (25)) + ((25) (19))c. ((7) (16)) ((2) (16))d. (29 (9)) (9 (9))4. Salin dan lengkapilah tabel berikut.Buatlah kesimpulan, sifat apakah yangkamu peroleh dari tabel tersebut?5. Salin dan lengkapilah tabel berikut.Buatlah kesimpulan, sifat apakah yangkamu peroleh dari tabel tersebut?Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan nilai pengganti huruf-hurufberikut sehingga menjadi kalimat yangbenar.a. 6 p = (3) 6b. 2 (q) 9 = 9 3 2c. 3 a (2) = 3 (5 (2))d. 7 (a b) = (7 (8)) + (7 (2))2. a. Tentukan hasil perkalian berikut.(i) (5 4) (3) dan5 (4 (3))(ii) (6 (2)) 7 dan6 ((2) 7)(iii) (8 (6)) (5) dan8 ((6) (5))(iv) ((7) (9)) (4) dan(7) ((9) (4))b. Berdasarkan soal (a), sifat apakahyang berlaku pada perkalian tersebut? Apa yang dapat kalian simpulkan?5. Pembagian Bilangan Bulata. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalianPerhatikan uraian berikut.(i) 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis3 4 = 12=12 : 3 = 4.(ii) 4 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis4 3 = 12=12 : 4 = 3.Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakanoperasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapatditulis sebagai berikut.a b c a(b + c) ab ac (ab) + (ac)222211113333a b c a(b c) ab ac (ab) (ac)33332222444419Bilangan BulatJika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, danq 0 maka berlaku p : q = r = p = q r.b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulatCoba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Darisifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q 0 dan memenuhip : q = r berlaku(i) jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;(ii) jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.c. Pembagian dengan bilangan nolUntuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat denganbilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat denganbilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlakua 0 = 0=0 : a = 0Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a 0.Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.d. Sifat pembagian pada bilangan bulatApakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?Perhatikan bahwa 15 : 3 = 58 : 2 = 42 : 2 = 1Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilanganbulat?Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulatyang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwapembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilanganbulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yangmemenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulatberlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi12 : (6 : 2) = 4.Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagianbilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan bahwa pada pembagian bilangan bulat a : 0 = tidakdidefinisikan (tidakada), sebab tidak adasatupun bilanganpengganti yang memenuhi. Eksplorasilahhal tersebut untuksebarang bilanganbulat a.PetunjukGunakan pemisalana : 0 = x.20Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.d. m 13 = 104e. 16 m = 112f. 8 m = 136g. m 12 = 156h. m (6) = 1444. Jika a = 3, b = 2, dan c = 4, tentukannilai daria.- b ca; d.a bb c;b.- a bc; e.c ba b;c.acb; f.- - b c aa.Apakah hasilnya ada yang bukan merupakan bilangan bulat? Mengapa?1. Tentukan hasil pembagian bilangan bulatberikut ini.a. 90 : 5 f. 108 : (18)b. 56 : (8) g. 72 : 4c. 84 : 7 h. 52 : 0d. 51 : (3) i. 0 : (49)e. 64 : (8) j. 128 : (8)2. Tentukan hasil pembagian berikut (jikaada bilangan bulat yang memenuhi).a. 72 : 6 d. 30 : (6)b. 52 : 3 e. 82 : 9)c. 70 : 4 f. 96 : (18)3. Tentukan pengganti m, sehingga pernyataan berikut menjadi benar.a. m (4) = 88b. 9 m = 54c. m (7) = 91C. MENAKSIR HASIL PERKALIAN DANPEMBAGIAN BILANGAN BULATSumber: Dok. PenerbitGambar 1.13Pernahkah kamu berbelanja ke supermarket? Jika pernah,apakah jumlah harga belanja kamu selalu bulat?Misalkan, kamu berbelanja barang-barang sehargaRp18.280,00. Jika kamu memberikan uang Rp20.000,00 kepadakasir, berapa uang kembalian yang kamu terima?21Bilangan Bulat(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah kejadian disekitarmu. Tuliskanmasalah yang terkaitdengan pembulatanatau taksiran bilanganbulat. Kemudianselesaikanlah.Hasilnya, kemukakansecara singkat didepan kelas.Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.1. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.a. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidakdihitung atau dihilangkan.b. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angkatersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.2. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekata. Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dansatuan dihilangkan.b. Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5,angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan.Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatanke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.1. Tentukan taksiran pada hasil perhitunganberikut ke angka puluhan terdekat.a. 37 19b. 118 : 24c. 2.463 : 31Penyelesaian:a. 37 19 = 40 20 = 800b. 118 : 24 = 120 : 20 = 6c. 2.463 : 31 = 2.460 : 30 = 822. Tentukan taksiran pada hasil perhitunganberikut ke angka ratusan terdekat.a. 225 133b. 392 1.174c. 2.548 : 481Penyelesaian:a. 225 133 = 200 100 = 20.000b. 392 1.174 = 400 1.200 = 480.000c. 2.548 : 481 = 2.500 : 500 = 5Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka ratusan terdekat.a. 121 358 c. 2.834 : 733b. 1.469 112 d. 6.273 : 8911. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka puluhan terdekat.a. 36 : 9 c. 266 : 33b. 27 154 d. 54 8822Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian padabilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukankelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatubilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan PersekutuanTerkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatubilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) danFaktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan akanbermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untukitu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut.D. KELIPATAN DAN FAKTOR1. Kelipatan Suatu Bilangan Bulat PositifDi tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenaikelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang danmemperdalam materi tersebut.Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari kadalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.1 3 = 32 3 = 63 3 = 94 3 = 12...Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...3. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka ribuan terdekat.a. 2.383 1.564b. 1.746 3.324c. 4.830 : 1.416d. 7.700 : 3.925(Menumbuhkan inovasi)Cek hasil perhitungansoal-soal di Uji Kompetensi 9 di atasdengan menggunakankalkulator. Kamu jugadapat menggunakankomputer jika tersediadi sekolahmu.Bandingkan hasilnya.Apakah terdapatselisih di antara keduajawaban tersebut?Mengapa? Diskusikanhal ini dengantemanmu.a. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yangkurang dari 30;b. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yangkurang dari 30;Penyelesaian:a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagaiberikut.1 2 = 2 6 2 = 12 11 2 = 222 2 = 4 7 2 = 14 12 2 = 243 2 = 6 8 2 = 16 13 2 = 264 2 = 8 9 2 = 18 14 2 = 285 2 = 10 10 2 = 20Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.23Bilangan Bulatc. Tentukan semua bilangan asli yang kurangdari 30 dan merupakankelipatan 2 dan 5.b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah5, 10, 15, 20, 25.c. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakankelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20.Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari DuaBilangan atau LebihBilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut KelipatanPersekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, denganp, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecilanggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.Tentukan KPK dari 2, 3,dan 4.Penyelesaian:Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18, 20, 22, 24, ....Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,....Bilangan asli kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12, 24, ....Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.c. Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 6.2. Tentukan semua kelipatan persekutuandari 3 dan 5 yang kurang dari 40. Kemudian, tentukan KPK-nya.1. a. Tentukan semua kelipatan 4 dan 6yang kurang dari 50.b. Tentukan semua kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang kurang dari50.24Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Tentukan KPK dari pasangan bilanganberikut.a. 5 dan 7 c. 12 dan 15b. 6 dan 8 d. 24 dan 324. Tentukan KPK dari bilangan-bilanganberikut.a. 2, 4, dan 5 c. 12, 32, dan 36b. 3, 5, dan 6 d. 18, 36, dan 423. Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar(FPB)Perhatikan perkalian bilangan berikut.1 8 = 82 4 = 8Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.Sekarang perhatikan perkalian berikut.1 2 = 21 3 = 31 5 = 51 7 = 7Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanyamempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilanganseperti ini disebut bilangan prima.Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai duafaktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri.Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yangapabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengank.a. Tentukan semua faktordari 25.Penyelesaian:1 25 = 255 5 = 25Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.b. Tentukan semua faktordari 30.Penyelesaian:1 30 = 30; 2 15 = 30; 3 10 = 30; 5 6 = 30Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dantidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semuafaktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.25Bilangan Bulatc. Tentukan semua faktorprima dari 45.Penyelesaian:Ingat kembali cara menentukan faktor primasuatu bilangan dengan pohon faktor.453153 5Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25; faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30.Karena 5 merupakan faktor terbesar, maka 5 disebut faktorpersekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30.Dapatkah kamu menentukan FPB dari 25, 30, dan 45?Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalahbilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan keduabilangan tersebut.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Tentukan faktor persekutuan dari bilangan-bilangan berikut. Kemudian, tentukanFPB-nya.a. 16 dan 24b. 30 dan 45c. 48 dan 54d. 9, 18, dan 36e. 24, 32, dan 64f. 36, 52, dan 60g. 82, 120, dan 150h. 36, 108, dan 1601. Tentukan semua faktor dari bilanganberikut.a. 27 d. 120b. 36 e. 240c. 64 f. 3202. Tentukan semua faktor prima dari bilangan berikut. Kemudian, tulislah perkalianfaktor-faktor primanya.a. 24 d. 56b. 32 e. 115c. 48 f. 250(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah kejadian dilingkungan sekitarmu.Tuliskan masalahyang terkait denganKPK dan FPB.Kemudian, selesaikanlah. Diskusikan halini dengan temansebangkumu.Hasilnya, tulislahdalam bentuk laporandan serahkan kepadagurumu.26Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan KPK dan FPBdari 36 dan 40 dengan caramemfaktorkan.Penyelesaian:36 = 22 3240 = 23 5Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 36 dan40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika adafaktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 22dan23, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 23. Jadi, KPK dari 36dan 40 = 23 32 5 = 360.Adapun Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 36dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilanganpokok yang sama, dengan pangkat terendah. Jadi, FPBdari 36 dan 40 = 22= 4.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan caramengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilanganpokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) diperoleh dengan caramengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah.4. Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atauLebih dengan MemfaktorkanDi depan kalian telah mengetahui cara menentukan KPKdan FPB dari dua bilangan atau lebih dengan mencari kelipatandan faktor dari masing-masing bilangan. Selain dengan cara tersebut,kita dapat menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebihdengan terlebih dahulu menentukan faktorisasi prima masingmasing bilangan itu.Perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan disebutfaktorisasi prima.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Tentukan KPK dan FPB dari bilanganbilangan berikut dengan cara memfaktorkan.a. 4, 12, dan 20 c. 45, 78, dan 100b. 24, 36, dan 72 d. 64, 115, dan 2301. Tentukan faktorisasi prima daribilangan-bilangan berikut.a. 68 c. 145b. 75 d. 22527Bilangan BulatE. PERPANGKATAN BILANGAN BULAT1. Pengertian Perpangkatan BilanganCoba kalian ingat kembali materi di sekolah dasar tentangpengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatubilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itusendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalianberulang dengan bilangan yang sama.Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.21= 222= 2 2 (22dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)= 423= 2 2 2 (23dibaca 2 pangkat 3)= 8....2n=kali2 2 2 ... 2 n(2ndibaca 2 pangkat n)Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n,berlakusebanyak faktor... nnp p p p pdengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen).Untuk p 0 maka p0= 1 dan p1= p.Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahasperpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif.CatatanNanti di kelas IX, kalian akan mempelajari lebih jauh tentangperpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif, negatif, dannol.Tentukan hasil perpangkatan bilangan-bilangan berikut ini.a. 92c. 54b. (6)3d. (10)4Penyelesaian:a. 92= 9 9= 81b. (6)3= (6) (6) (6)= 36 (6)= 216Pada perpangkatanbilangan bulat pn, perhatikan bilangan pokoknya. Cermati perbedaan perpangkatanbilangan bulat berikut.faktorfaktorfaktor...( ... )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) - - - - - - -nnnnnp p p p pp p p p pnp p p p p28Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c. 54= (5 5 5 5)= 625d. (10)4= (10) (10) (10) (10)= 10.0002. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkata. Sifat perkalian bilangan berpangkatPerhatikan perkalian bilangan bulat berpangkat berikut.N2 32 faktor3 faktor5 faktor53 3 (3 3) (3 3 3)(3 3 3 3 3)3 Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat makafaktor faktor( ) faktor( ... ) ( ... )... ... ).m nm nm nm np p p p p p p pp p p p p pp pm pn= pm + nb. Sifat pembagian bilangan berpangkatPerhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut.5 35 faktor 3 faktor25 : 5 (5 5 5 5 5) : (5 5 5)5 55 Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat makafaktor faktor( ) faktor: ( ... ) : ( ... )( ... ).m nm nm nm npppp p p p p p pp p pm: pn= pm n29Bilangan Bulatc. Sifat perpangkatan bilangan berpangkatPerhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut.2 3 2 2 22 faktor 2 faktor 2 faktor6 faktor6(2 ) (2 ) (2 ) (2 )(2 2) (2 2) (2 2)(2 2 2 2 2 2)2 Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif makafaktorfaktor faktor faktorfaktor() faktor( ) ...( ... ) ( ... ) ( ... )( ... ... ... )m n m m mnm m mnm np p p pp p p p p p p p pp p p p p p p p p .m np(pm)n= pm nd. Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagianPerhatikan uraian berikut.(5 2)3= 103= 10 10 10 = 1.000(5 2)3= 53 23= 125 8 = 1.000(2 3)2= 62= 36(2 3)2= 22 32= 4 9 = 36Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut.Jika mbilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat makafaktorfaktor faktor( ) ( ) ( ) ... ( )( ... ) ( ... ).( )mmm mm mm m mp q p q p q p qp p p q q qp qp q p q (Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan berlakunyasifat (p : q)m= pm: qmdengan p, q bilanganbulat dan m bilanganbulat positif.30Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Sederhanakan bentukpangkat berikut.a. 44 42: 43b. 84 42: 29Penyelesaian:a. 44 42: 43= (44 42) : 43= 44 + 2: 43= 46: 43= 46 3= 43b. 84 42: 29= (84 42) : 29= ((23)4 (22)2) : 29= (212 24) : 29= 212 + 4: 29= 216: 29= 216 9= 27Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasilnya.a. 92f. 23 24b. 113g. (5)2 (5)3c. 63h. ((3)2)3d. (13)2i. (22)2e. (4)3j. (3 (5))22. Sederhanakan bentuk pangkata. 45 43f. y5 y8: yb. 69: 64g. ((3)5)4c. 5 (5)4 58h. ((2)5 (23))2d. 89: 83: 82i. (46: 43)4e. x7: x3 x6j. (z3)5 (z2)43. Dengan menggunakan sifatkatan suatu perkalian ataubilangan bulat, sederhanakanberikut.perpangpembagianbentukpangkat berikut.a. (3 4)5d. (4 2)3: 34b. (6 : 2)4e. (4 : 2)2 42c. ((2)2 33)24. Tentukan bentuk berikut ke dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2.a. 4 32 64b. (128 23 22) : (256 22 2)c. 256 : 23: (2)2d. 16 64 : 3231Bilangan Bulat3. Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat Tiga dan AkarPangkat Tigaa. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulatKalian telah mengetahui bahwa a2= a a di manaa2dibaca a kuadrat atau a pangkat dua.Jika a = 2 maka a2= 2 2 = 4. Hal ini dapat ditulis24 2. a4 dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadratdari 4.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.a2= b sama artinya dengan . b aTentukan nilai berikut ini.1.162.1693.2( 25) 4. 1.225Penyelesaian:1.216 4, karena 4 4 4 16 2.2169 13, karena 13 = 13 13 = 169 3.2( 25) = ( 25) ( 25) = 625 - - 4. Untuk mengetahui nilai 1.225 , tentukan letak bilangan 1.225 terlebih dahulu. Bilangan 1.225 terletak diantara 302= 900 dan 402= 1.600. Jadi, 1.225 terletakdi antara nilai 30 dan 40. Bilangan bulat antara 30 dan40 yang kuadratnya bersatuan 5 adalah 35. Jadi,1.225 = 35, karena 352= 35 35 = 1.225.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Misalkan a2= b.Buktikan bahwaa = b atau a = - b .b. Pangkat tiga dan akar pangkat tigaDi bagian depan telah dijelaskan bahwa operasi perpangkatanmerupakan perkalian berulang dengan unsur yang sama. Hal inijuga berlaku pada bilangan berpangkat tiga.a3=a a aBentuk a3disebut pangkat tiga dari a. Jika a=2 makaa3= 23= 2 2 2 = 8. Hal ini dapat ditulis pula bahwa38 = 2dan dibaca akar pangkat tiga dari 8 = 2.a3= b sama artinya dengan3b = aTentukan nilai dari akarberikut.1. 75 452. 335 9 3 813.2 37294. 5 43262a a bb a b5. 332432x x yyxy32Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan nilai berikut ini.1.3642.3216 3. (9)34.33.375Penyelesaian:1.364 = 4, karena 43= 4 4 4 = 642.3216 - = 6, karena (6)3= (6) (6) (6)= 2163. (9)3= (9) (9) (9) = 7294. Untuk mengetahui nilai dari33.375 , tentukan letakbilangan 3.375 terlebih dahulu. Bilangan 3.375 terletakdi antara bilangan 103= 1.000 dan 203= 8.000. Bilangan bulat antara 10 dan 20 yang nilai pangkat tiganyabersatuan 5 adalah 15. Karena 153= 15 15 15 =3.375 maka33.375 = 15.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.(Berpikir kritis)Berdasarkan contoh di atas, simpulkan mengenai pangkat tigasuatu bilangan bulat negatif. Bandingkan dengan kesimpulanberikut.Hasil pangkat tiga bilangan bulat negatif adalah bilangan bulatnegatif pula. Apakah kamu berkesimpulan sama? Diskusikandengan temanmu.2. Tentukan nilai akar kuadrat berikut.a.2 2( 8 7) (11 3) - - - b.2 2(5 ( 4)) ( 10 2) - - - - c.2 2(10 12) ( 9 ( 4)) - - - - d.2 2( 3 4) ( 19 5) - - - - 1. Tentukan nilai akar berikut.a. 36 g.364b. 64 h.3125c. 81 i.3512d. 529 j.31.000e. 1.156 k.31.728f. 7.921 l.33.37533Bilangan Bulat3. Hitunglah nilai berikut ini.a.3 3x yb.3 2( )c.( )3 633 xd.3 36 0z 3 2 2: ( ) x y xy( )2 4y x y 3 2 2:2xx y x yy- F. OPERASI HITUNG CAMPURAN PADABILANGAN BULATDalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terdapat dua hal yang perlu kalian perhatikan, yaitu1. tanda operasi hitung;2. tanda kurung.Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulatterdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurungharus dikerjakan terlebih dahulu.Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidakterdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifatoperasi hitung berikut.1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan () sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebihdahulu.2. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinyaoperasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.3. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripadaoperasi penjumlahan (+) dan pengurangan (), artinya operasiperkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahuludaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan ().Tentukan hasil dari operasi hitung berikutini.a. 24 + 56 42 384 : 12b. 28 (364 + 2.875) : (9.756 9.742)c. 80 : ((11 7) (4))d. (8 + 5) (36 : (6 9))Penyelesaian:a. 24 + 56 42 384 : 12= 24 + (56 42) (384 : 12)= 24 + 2.352 32= 2.376 32= 2.344b. 28 (364 + 2.875) : (9.756 9.742)= 28 3.239 : 14= 90.692 : 14 = 6.47834Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c. 80 : ((11 7) (4))= 80 : (4 (4))= 80 : (16)= 5d. (8 + 5) (36 : (6 9))= 3 (36 : (3))= 3 (12)= 36Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.6. 168 : ((17 24) (19 + 15))7. 24 (240 : ((36 + 40) (23 + 17))8. 360 : (15 + ((27 32) (9 + 16)))9. 420 : (7) + 70 30 (8) + 1510. 13 (140 : (7)) + (2) 19Tentukan nilai dari operasi hitung berikut.1. 45 + 56 48 216 : 92. 15.762 : 37 512 + 96 723. 19 27 + 5.205 : 15 2694. (9) 6 (72) : 16 205. (8.742 9.756) 36 : (4.356 4.360)G. PENGGUNAAN OPERASI HITUNGBILANGAN BULAT UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH1. Pada percobaan fisika,seorang siswa melakukan pengukuransuhu pada sebongkahes. Suhu es tersebutmula-mula 5oC. Setelah dipanaskan, esberubah menjadi airyang bersuhu 3oC.Berapa kenaikan suhues tersebut hinggamenjadi air?Penyelesaian:Suhu es mula-mula adalah 5oC. Setelah dipanaskan, esberubah menjadi air yang bersuhu 3oC. Artinya, suhu esmengalami kenaikan, yaitu selisih suhu terakhir dengan suhumula-mula. Misalkan kenaikan suhu es tersebut = t, makakondisi ini dapat dituliskan sebagai t = 3 (5) = 8. Jadi,suhu es naik 8oC hingga berubah menjadi air.35Bilangan Bulatai r .Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Dari 100 soal, seorang peserta menjawab95 soal dan 78 di antaranya dijawab dengan benar. Tentukan nilai yang diperoleh peserta tersebut.3. Jumlah tiga bilangan bulat berurutan diketahui 12. Tentukan bilangan-bilanganitu.4. Dalam suatu permainan ditentukan nilaitertinggi adalah 100, dan dalam permainan tersebut dimungkinkan seorang pemain memperoleh nilai negatif. Untuk 6kali bermain seorang pemain memperoleh nilai berturut-turut 75, 80, 40, 50,90, dan 35. Hitunglah jumlah nilaipemain tersebut.1. Sebuah kantor berlantai 20 mempunyai3 lantai berada di bawah tanah. Seorangkaryawan mula-mula berada di lantai 2kantor itu. Karena ada suatu keperluan,ia turun 4 lantai, kemudian naik 6 lantai.Di lantai berapakah karyawan itu sekarang berada?2. Dalam suatu ujian, penilaian ditentukandengan ketentuan sebagai berikut. Jawaban benar diberikan nilai 3. Jawaban salah diberikan nilai 1. Untuk soal yang tidak dijawab diberikan nilai 0.2. Dalam suatu tes, penilaian didasarkan bahwa jawaban benardiberikan nilai 2, jawaban salah diberikannilai 1, dan untuk soalyang tidak dijawabdiberikan nilai 0. Dari30 soal, seorang siswamenjawab 25 soal dan19 diantaranya dijawab dengan benar.Berapakah nilai yangdiperoleh siswa tersebut?Penyelesaian:Dari 30 soal, 25 soal dijawab dengan 19 di antaranya benar.Artinya, siswa tersebut menjawab 25 soal, 19 soal dijawabbenar dan 6 soal dijawab salah. Dengan demikian, ada 5soal yang tidak dijawab siswa.Jadi, nilai yang diperoleh siswa tersebut adalah= (jawaban benar 2) + (jawaban salah (1)) + (tidakdijawab 0)= (19 2) + (6 (1)) + (5 0)= 38 + (6) + 0= 38 6= 32(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah masalah/kejadian di lingkungan sekitarmu. Tuliskanmasalah yang berkaitan dengan penggunaan operasi hitungbilangan bulat, kemudian selesaikanlah. Hasilnya, tuliskandalam bentuk laporan dan kumpulkan kepada gurumu.36Matematika Konsep dan Aplikasinya 11. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, danbilangan bulat positif.2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.a. Sifat tertutupUntuk setiap bilangan bulat a dan b, berlakua + b = c dengan c juga bilangan bulat.b. Sifat komutatifUntuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.c. Sifat asosiatifUntuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku(a + b) + c = a + (b + c).d. Mempunyai unsur identitasUntuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitaspada penjumlahan.e. Mempunyai inversUntuk setiap bilangan bulat a, selalu berlakua + (a) = (a) + a = 0. Invers dari a adalah a, sedangkaninvers dari a adalah a.3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a b = a + (b).4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.5. Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif makasebanyak suku... - - nn a a a a6. Jika p dan q bilangan bulat makaa. p q = pq;b. (p) q = (p q) = pq;c. p (q) = (p q) = pq;d. (p) (q) = p q = pq.7. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifata. tertutup terhadap operasi perkalian;b. komutatif: p q = q p;c. asosiatif: (p q) r = p (q r);d. distributif perkalian terhadap penjumlahan:p (q + r) = (p q) + (p r);e. distributif perkalian terhadap pengurangan:p (q r) = (p q) (p r).37Bilangan Bulat8. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiapbilangan bulat p berlaku p 1 = 1 p = p.9. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.10. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.11. a2= b sama artinya dengan . b a12. a3= b sama artinya dengan3. b a13. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulattidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifatsifat operasi hitung berikut.a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan () sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.b. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.c. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuatdaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (),artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakanterlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) danpengurangan ().Setelah mempelajari mengenai Bilangan Bulat, coba rangkummateri yang telah kamu pahami. Jika ada materi yang belum kamupahami, catat dan tanyakan pada temanmu yang lebih tahu ataukepada gurumu. Catat pula manfaat yang kamu peroleh dari materiini. Berikan contoh penggunaan bilangan bulat dalam kehidupansehari-hari beserta penyelesaiannya. Hasilnya kemukakan secarasingkat di depan kelas.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1. Suhu sebongkah es mula-mula 5oC.Dua jam kemudian suhunya turun 7oC.Suhu es itu sekarang adalah ....a. 12oC c. 2oCb. 2oC d. 12oC2. Jika x lebih besar dari 1 dan kurangdari 4 maka penulisan yang tepatadalah ....a. x > 1 > 4 c. 1 > x > 4b. x < 1 < 4 d. 1 < x < 438Matematika Konsep dan Aplikasinya 1B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.a. 22 3 72b. 2 32 72c. 2 32 73d. 24 3 727. Nilai dari36 3 02 3 7 adalah ....a. 6 c. 15b. 12 d. 208. KPK dan FPB dari 72 dan 120 bertu-rut-turut adalah ....a. 40 dan 24 c. 360 dan 40b. 360 dan 24 d. 240 dan 3609. Nilai dari 35 + 14 8 34 : 17 adalah....a. 145 c. 246b. 245 d. 34510. Nilai dari 3 (15 + (52)) = ...a. 97 c. 111b. 111 d. 2013. Pernyataan berikut yang benar adalah....a. 17 (13) 4 = 0b. 25 (8) 17 = 34c. 18 + (2) + 13 = 7d. 12 + (7) 6 = 14. Jika p = 1, q = 4, dan r = 2, nilaidaripqradalah ....a. 1 c. 1b. 2 d. 25. Nilai dari (6 : 3)2 23adalah ....a. 22 c. 32b. 23 d. 336. Bentuk sederhana dari(3 4)3 (2 5 7)2: (2 5 6)2adalah ....1. Suhu suatu kamar diketahui 15oC. Kemudian turun toC, sehingga suhunyasekarang menjadi 13oC. Hitunglah nilait.2. Gunakan garis bilangan untuk menghitung nilai daria. 4 + (6)b. 2 + (3)c. 9 + (5) + (4)d. 6 3e. (4) + 2 + (1)3. Nyatakan operasi pengurangan berikutke dalam operasi penjumlahan, kemudian tentukan nilainya.a. 2 13b. 9 3c. 4 (7)d. 6 (2)e. 10 5 3f. 35 (9)g. 18 41 (24)h. 36 45 (16)4. Tentukan nilai operasi hitung berikut.a. 5 [(3) + (12)]b. [(20) + 11 5] (2)c. (35) : 7 (3)d. 12 (2) : 4 + (5)5. Hitunglah nilainya.a. 53 52: 54b. (22 32)2: 23c.( )( )3 16 2 36d.3 3 6 22: ( )xx y xyyTujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan: biasa,campuran, desimal, persen, dan permil;dapat mengubah bentuk pecahan ke bentuk pecahan yang lain;dapat menyelesaikan operasi hitung tambah, kurang, kali, dan bagi bilanganpecahan;dapat menggunakan sifat-sifat operasi hitung tambah, kurang, kali ataubagidengan melibatkan pecahan serta mengaitkannya dalam kejadian sehari-hari.2 PECAHANSebuah gelas jika terkena getarandapat pecah berkeping-keping. Bagianpecahannya lebih kecil daripada ketikagelas masih utuh. Menurut kalian, samakah jumlah seluruh pecahan gelas dengan satu gelas utuh?Kata-Kata Kunci:jenis pecahanpengurangan pecahanbentuk pecahanperkalian pecahanpenjumlahan pecahanpembagian pecahanSumber: Jendela Iptek, 200140Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Di tingkat sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenaibilangan pecahan. Pada bagian ini, kita akan mengulangi danmemperdalam kembali materi tersebut. Pada bab sebelumnya kalianjuga telah mempelajari mengenai bilangan bulat, sifat-sifat operasihitung pada bilangan bulat serta KPK dan FPB dari dua bilanganatau lebih. Pelajari kembali materi tersebut agar kalian dapatmemahami materi pada bab ini dengan baik. Pahamilah konsepmateri ini dengan baik, karena akan sangat bermanfaat untukmempelajari konsep aljabar dalam bentuk pecahan. Hal ini akankalian temui pada bab selanjutnya.A. BILANGAN PECAHAN1. Pengertian Bilangan PecahanIbu mempunyai 20 buah jeruk yang akan dibagikan pada 3orang anak. Adi memperoleh 4 buah jeruk, Fitri memperoleh 5buah jeruk, dan Ketut memperoleh 10 buah jeruk. Adapun sisanyadisimpan oleh Ibu. Dalam hal ini, Adi memperoleh420bagian jeruk,Fitri memperoleh520bagian jeruk, dan Ketut memperoleh1020bagian jeruk. Apakah menurutmu sisa yang disimpan oleh Ibu120bagian jeruk?Bilangan-bilangan4 5 10 1, , , dan20 20 20 20yang merupakanbanyak buah jeruk dibandingkan jumlah keseluruhan buah jerukdisebut bilangan pecahan. Bilangan-bilangan pecahan sering disebutsebagai pecahan saja. Pada pecahan-pecahan tersebut, angkaangka 4, 5, 10, dan 1 disebut pembilang, sedangkan angka 20disebut penyebut.Dari uraian di atas, dapat dikatakan bahwa pecahan merupakan bagian dari keseluruhan.Sekarang perhatikan Gambar 2.2 di samping.Luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (a) menunjukkanpecahan13. Luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (b) menunjukkanpecahan36. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (c) dan(d) berturut-turut menunjukkan pecahan312dan5.24(Berpikir kritis)1. Letakkan pecahan, ,1 12 4dan34padagaris bilangan.2. Tentukan dua pecahan yang senilaidengan .143. Nyatakan bilangan32 dan 56 denganfaktorisasi prima,kemudian tentukanKPK dan FPB-nya.Gambar 2.1(a)(b)(c)(d)Gambar 2.241PecahanBerdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai,pqdengan p, q bilangan bulat dan q 0. Bilangan p disebutpembilang dan bilangan q disebut penyebut.2. Pecahan SenilaiPerhatikan Gambar 2.3 di samping.Luas daerah yang diarsir pada Gambar 2.3 (a) menunjukkan14dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir pada Gambar 2.3(b) menunjukkan28dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsirpada Gambar 2.3 (c) menunjukkan312dari luas lingkaran.Dari ketiga gambar tersebut, tampak bahwa daerah yangdiarsir memiliki luas yang sama. Hal ini berarti1 2 3.4 8 12 Selanjutnya, pecahan-pecahan1 2 3, , dan4 8 12dikatakan sebagaipecahan-pecahan senilai.Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama.Untuk memperoleh pecahan yang senilai, pelajari uraianberikut.1 1 2 23 3 2 61 1 3 33 3 3 9 2 2: 2 16 6: 2 33 3: 3 19 9: 3 3 1 1 4 43 3 4 121 1 5 53 3 5 15 4 4: 4 112 12: 4 35 5: 5 115 15: 5 3 Pecahan-pecahan1 2 3 4 5, , , , dan3 6 9 12 15di atas mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat ditulis1 2 3 4 5.3 6 9 12 15 (a)(b)(c)Gambar 2.3(Menumbuhkan kreativitas)Dengan mengalikanpembilang dan penyebut dengan bilanganyang sama, tentukanlima pecahan yangsenilai dengan .2542Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Dari uraian di atas, tampak bahwa untuk memperolehpecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan denganmengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya denganbilangan yang sama.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Jika diketahui pecahanpqdengan p, q0 maka berlakuatau p p a p p : bq q a q q : b, di mana a, b konstanta positif bukannol.Tentukan dua pecahanyang senilai dengan pecahan berikut.a.23b.2842Penyelesaian:a.2 2 2 43 3 2 62 2 5 103 3 5 15 Jadi, dua pecahan yang senilai dengan23adalah4 10dan .6 15b.28 28: 2 1442 42: 2 2128 28:14 242 42:14 3 Jadi, dua pecahan yang senilai dengan2842adalah14 2dan .21 33. Menyederhanakan PecahanKalian telah mengetahui cara menentukan pecahan senilai,yaitu dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnyadengan bilangan yang sama, kecuali nol (0).43PecahanSekarang, perhatikan cara menemukan pecahan-pecahansenilai berikut.24 24: 2 1236 36: 2 1824 24: 3 836 36: 3 12 24 24: 6 436 36: 6 624 24:12 236 36:12 3 Pecahan23pada pengerjaan di atas tidak dapat dibagi lagidengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini, pecahan23merupakan bentuk paling sederhana dari24.36Untuk memperoleh bentuk paling sederhana, pecahan2436harus dibagi dengan bilangan 12. Coba cek apakah 12 adalah FPBdari bilangan 24 dan 36?Suatu pecahan , 0pqq dapat disederhanakan dengan caramembagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPBnya. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut.Dalam menyederhanakan sebarang pecahan , 0,pqq berlaku:,:p p aq q a di mana a Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)dari p dan q.(Berpikir kritis)Temukan bentukpaling sederhana daripecahan .3648Nyatakan pecahan1845dalam bentuk pecahan paling sederhana.Penyelesaian:FPB dari 18 dan 45 adalah 9.18 18: 9 245 45: 9 5 Jadi, bentuk pecahan paling sederhana dari1845adalah25.44Matematika Konsep dan Aplikasinya 14. Menyatakan Hubungan Antara Dua PecahanPerhatikan Gambar 2.4 di samping.Luas daerah arsiran pada Gambar 2.4 (a) menunjukkan13dari luas keseluruhan. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar2.4 (b) menunjukkan23dari luas keseluruhan. Tampak bahwaluas arsiran pada Gambar 2.4 (b) lebih besar dari luas arsiran padaGambar 2.4 (a) atau dapat ditulis2 1 1 2atau .3 3 3 3> atau < untuk setiap pernyataan berikut sehingga menjadi pernyataan yang benar.a.3 2...4 3b.5 7...9 12Penyelesaian:a.3 94 12(KPK dari 4 dan 3 adalah 12)2 83 129 8 3 2 2 3Karena maka atau .12 12 4 3 3 4`'> > .a.2 1...3 2- - c.2 5...5 7- b.1 3...4 5- - d.9 4...11 5- 7. Tentukan sebuah pecahan yang terletakdi antara kedua pecahan berikut.a.1 2dan3 3- c.4 5dan7 7- b.1 1dan2 4- d.5 6dan8 8- 1. Berilah tanda , atau = sehinggapernyataan berikut menjadi benar.a.4 5...7 8c.7 3...12 8b.5 7...6 9d.4 3...9 52. Susunlah pecahan berikut dalam urutanturun, kemudian tentukan letaknya pada garis bilangan.a.3 5 3, ,5 8 4c.1 5 4, ,3 6 9b.3 2 3 5, , ,4 3 5 8d.4 7 13 5, , ,5 10 15 63. Urutkan pecahan-pecahan berikut dariyang terkecil.a.5 1 3, ,7 5 4c.3 5 1, ,8 6 4b.2 2 4, ,6 3 5d.3 3 5, ,11 12 134. Urutkan pecahan-pecahan berikut dariyang terbesar.a.2 5 1, ,7 8 3- - c.1 4 1, ,2 5 6- - B. PERBANDINGAN DAN BENTUK-BENTUKPECAHAN1. Pecahan sebagai Perbandingan Bagian dari KeseluruhanTelah kalian ketahui bahwa pecahan merupakan bagian darikeseluruhan. Apabila terdapat dua besaran yang dibandingkan,pecahan dikatakan sebagai perbandingan bagian dari keseluruhan.Perhatikan contoh berikut.49PecahanSeorang anak memiliki 12kelereng, yang terdiri atas3 kelereng warna merah,4 kelereng warna hijau, dan5 kelereng warna biru.a. Tentukan perbandingan kelereng warnamerah terhadap hijau.b. Tentukan perbandingan kelereng warnamerah terhadap biru.c. Tentukan perbandingan kelereng warnahijau terhadap biru.Penyelesaian:a. Perbandingan kelereng warna merah terhadap hijauadalah3 4:12 12atau1 1: .4 3b. Perbandingan kelereng warna merah terhadap biruadalah3 5: .12 12c. Perbandingan kelereng warna hijau terhadap biruadalah4 5: .12 122. Menyatakan Bilangan Bulat dalam Bentuk PecahanPerhatikan garis bilangan berikut.123113103938373635343332313037262524232221202820 1 2 3 4Gambar 2.10Dari Gambar 2.10 tersebut diperoleh0 0 6 90 32 3 2 32 3 8 121 42 3 2 34 622 3 Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentukpecahan ,pqdi mana p merupakan kelipatan dari q, q 0.50Matematika Konsep dan Aplikasinya 11. Nyatakan pecahan berikut ke dalam pecahancampuran.a.354b.756Penyelesaian:a. Cara 1354=835 4323Hasilnya, 35 : 4 = 8 sisa 335 384 4Cara 235 32 34 4 4384384 1. Nyatakan perbandingan berikut ke bentuk paling sederhana.a. 24 : 66 c. 5 km : 6.000 mb. 32 : 80 d. 1,5 kg : 25 kw2. Uang saku Dono sebesar Rp5.000,00.Sebanyak35bagian dari uang tersebutdibelikan alat tulis. Berapa sisa uang sakuDono sekarang?3. Tulislah bilangan bulat dari pecahanpecahan berikut.a.968c.2244b.1563d.30634Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Campurandan SebaliknyaIbu memiliki 3 buah apel yang akan dibagikan kepada 2orang anaknya dengan sama besar. Bagian apel yang akan diperolehtiap anak adalah satu apel dan setengah apel. Hal ini dapatdinyatakan sebagai 3 : 2 atau112. Bentuk pecahan112merupakanbentuk pecahan campuran. Pecahan campuran112terdiri atasbilangan bulat 1 dan bilangan pecahan1.2Gambar 2.1151Pecahanb. Cara 1756=1275 66015123Hasilnya, 75 : 6 = 12 sisa 375 3 112 126 6 2 Cara 275 72 36 6 611221122 2. Ubahlah pecahancampuran berikut kebentuk pecahan biasa.a.529b.7312Penyelesaian:a. Cara 1 Cara 25 52 29 918 59 9239 5 2 9 529 918 59239 b. Cara 1 Cara 27 73 312 1236 712 124312' `- - - . - 7 3 12 7312 1236 7124312 - Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Bentuk pecahan campuranqprdengan r0 dapat dinyatakandalam bentuk pecahan biasa - p r qr.Catatan:q q p r q p r qp pr r r r r - - 4. Mengubah Bentuk Pecahan ke BentukDesimal danSebaliknyaCoba kalian ingat kembali mengenai nilai tempat padabilangan pecahan desimal. Perhatikan nilai tempat pada bilangan235,674 berikut.52Matematika Konsep dan Aplikasinya 11. Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentukpecahan desimal.a.34b.425Penyelesaian:a. Cara 13 3 254 4 25751000, 75Jadi,30, 75.4Cara 20, 7 53, 0 0 403 02 82 02 00perseribuan, nilainyaatau 0,00441.000perseratusan, nilainyaatau 0,077100persepuluhan, nilainyaatau 0,6610satuan, nilainya 5puluhan, nilainya 30ratusan, nilainya 2002 3 5, 6 7 4Jika ditulis dalam bentuk panjang, diperoleh235,674 200 30 5 0,6 0,07 0,0046 7 4200 30 510 100 1.000600 70 4200 30 51.000 1.000 1.0006742351.000674235 .1.000 - - - - - - - - - - - - Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah ataudinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukandengan cara mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1.000, 10.000,dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi pembilang denganpenyebutnya.Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadipecahan biasa/campuran dapat kalian lakukan dengan menguraikanbentuk panjangnya terlebih dahulu.(Menumbuhkan kreativitas)Carilah artikel mengenai penggunaan bilangan desimal dalamkehidupan sehari-hari.Bacalah koran, tabloid,buku-buku iptek, ataucarilah di internet.Sajikan dalam sebuahlaporan dan kumpulkan pada gurumu.53Pecahanb. Cara 14 2 5 425 514514 25 2282,810 Cara 24 2 5 425 51452,8 2,81 4 51 0402. Nyatakan bilanganbilangan berikut menjadi pecahan biasa/campuran yang palingsederhana.a. 5,82b. 0,16Penyelesaian:a.8 25,82 510 10080 25100 10082510082 415 5100 50 - - b. Cara 1 Cara 21 60,16 010 10010 6100 10016 4100 25 - 160,1610016: 4100: 4425Perhatikan bentuk desimal 2,333...Bentuk desimal seperti 2,333... disebut bentuk desimalberulang.Untuk mengubah bentuk desimal berulang seperti di atas kebentuk pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara berikut.54Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Misalkan x = 2,333... maka 10x = 23,333...21910=23,333... xx=2,333...9=21 xx=x=73Jadi, 2,333... =7.35. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen danSebaliknyaDapatkah kalian mengubah bentuk25dan34ke bentukperseratus?2 2 20 405 5 20 1003 3 25 754 4 25 100 Bentuk pecahan perseratus seperti di atas disebut bentuk persenatau ditulis %, sehingga2 4040%5 100 dan3 7575%.4 100 Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapatdilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahansenilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dikerjakan makadapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan100%. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahanbiasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian sederhanakanlah.1. Nyatakan pecahanpecahan berikut dalambentuk persen.a.78b.125Penyelesaian:a.7 7 12, 58 8 12, 587, 587, 5%100 b.12 12 205 5 20240240%100 (Menumbuhkan kreativitas)Bacalah koran, tabloid,internet, atau sumberlainnya. Temukanpenggunaan persendalam kehidupansehari-hari. Ceritakantemuanmu di depankelas.(Menumbuhkan inovasi)Diskusikan dengantemanmu.Tuliskan 5 contoh bentuk pecahan desimalberulang. Lalu, ubahlah ke bentuk pecahanbiasa. Jika perlu, gunakan kalkulator untukmembantu pekerjaanmu.55Pecahan2. Nyatakan bentuk persen berikut menjadibentuk pecahan biasa/campuran.a. 32%b. 120%Penyelesaian:a.3232%10032: 4100: 4825b.120120%100120: 20100: 20651156. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Permil danSebaliknyaPecahan dalam bentuk perseribu disebut permil atau ditulis. Bentuk pecahan2751.000dikatakan 275 permil dan ditulis275.Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dapatdilakukan dengan mengubah pecahan semula menjadi pecahansenilai dengan penyebut 1.000. Jika hal ini sulit dikerjakan makadapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan1.000.1. Nyatakan pecahanpecahan berikut dalambentuk permil.a.1720b.38Penyelesaian:a.17 17 5020 20 508501.000850b.3 3 1258 8 1253751.0003752. Nyatakan bentuk permil berikut menjadi pecahan biasa/campuran.a. 22,5b. 90Penyelesaian:a.22, 522, 51.00022, 5 21.000 2452.0009400b.9090100090 : 101.000 : 109100(Menumbuhkan kreativitas)Temukan penggunaanpermil dalam kehidupan sehari-hari. Carilahdi koran, internet, ataubuku referensi lainnyauntuk mendukungkegiatanmu. Hasilnya,kemukakan secarasingkat di depankelas.56Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.5. Tuliskan bentuk persen berikut ke dalambentuk pecahan biasa/campuran yangpaling sederhana.a. 25% c. 30%b.124 %4d.133 %36. Nyatakan bilangan-bilangan berikutdalam bentuk persen.a.825c.48125b.518d. 0,367. Ubahlah pecahan-pecahan berikut kebentuk permil.a. 0,08 c.1225b. 1,625 d.15208. Bedu mempunyai uang sebesarRp250.000,00. Jumlah uang Tika danAdang 70% dari uang Bedu, sedangkanuang Tika diketahui23dari uang Adang.Berapakah besarnya masing-masinguang Tika dan Adang?1. Nyatakan pecahan-pecahan berikut kebentuk pecahan campuran.a.83c.21340b.174d.246212. Tuliskan pecahan campuran berikut kebentuk pecahan biasa.a.223c.267b.549d.1853. Nyatakan bilangan-bilangan berikutdalam bentuk pecahan desimal denganpendekatan sampai satu tempat desimal.a.45d.11512b.920e.122 %2c.134f.266 34. Nyatakan pecahan-pecahan desimalberikut ke bentuk pecahan biasa.a. 0,35 c. 3,666...b. 4,2 d. 4,2323...C. OPERASI HITUNG PECAHAN1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahana. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilangan bulatDalam menentukan hasil penjumlahan atau penguranganpecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalambentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahanitu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya57Pecahansebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentukpecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulatdengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.1.2352.12 34Penyelesaian:1.2 2 1535 5 52 155175235- 2. Cara 1 Cara 21 12 3 (2 3)4 41( 1)44 14 434- - - - 1 92 3 34 49 124 434- b. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan pecahanDalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan duapecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengancara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, barudijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya.Tentukan hasilnya.1.3 47 52.1 322 4Penyelesaian:1. KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga diperoleh3 4 15 287 5 35 3543358135- Diketahui jumlah duabilangan pecahanadalah .4215Tentukansalah satu bilangantersebut.Petunjuk: Soal di atasmemiliki beberapaalternatif jawaban.58Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. Cara 1 Cara 21 3 1 32 22 4 2 42 324 41248 14 47 314 4' `- - . ' ` - . ' ` - . ' ` - . 1 3 5 322 4 2 410 34 474314- c. Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahanCoba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku padapenjumlahan bilangan bulat.Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku1) sifat tertutup: a + b = c;2) sifat komutatif: a + b = b + a;3) sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c);4) bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan:a + 0 = 0 + a = a;5) invers dari a adalah a dan invers dari a adalah a,sedemikian sehingga a + (a) = (a) + a = 0.Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada penjumlahan bilanganpecahan, artinya sifat-sifat tersebut berlaku jika a, b, dan c bilanganpecahan. Coba buktikan hal ini dengan mendiskusikan bersamatemanmu.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasil penjumlahan pecahanberikut dalam bentuk paling sederhana.a.223f.5 36 4b.42 35g.1 225 3c.11 52h.2 137 6d.3 15 4i.2 31 25 8e.5 28 5j.3 23 57 4(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Pada penguranganbilangan bulat, tidakberlaku sifat komutatifdan sifat asosiatif.Coba cek apakah halini juga berlaku padapengurangan bilanganpecahan. Berikancontoh dan buatlahkesimpulannya.Kemukakan hasilnyadi depan kelas.59Pecahan2. Tentukan hasil pengurangan pecahanberikut dalam bentuk paling sederhana.a.526f.3 2110 3b.1( 1)3- g.7 512 4c.7 26 5h.2 13 23 4d.3 48 5i.2 35 35 12e.3 127 2j.2 14 211 22. Perkalian Pecahana. Perkalian pecahan dengan pecahanUntuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian padapecahan, perhatikan Gambar 2.12 di samping.Pada Gambar 2.12 tampak bahwa luas daerah yang diarsirmenunjukkan pecahan38bagian dari luas keseluruhan.Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukkan perkalian1 3 3.2 4 8 Jadi, dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsirsama dengan perkalian pecahan1 3.2 4Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.Untuk mengalikan dua pecahanpqdanrsdilakukan denganmengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut denganpenyebut atau dapat ditulis p r p rq s q sdengan q, s 0.3412Gambar 2.12Tentukan hasil perkalianpecahan berikut dalambentuk paling sederhana.1.2 53 82.1 32 12 10- Penyelesaian:1.2 5 2 53 8 3 8102410 : 2 524 : 2 12 60Matematika Konsep dan Aplikasinya 12.1 3 5 132 12 10 2 105 132 10652065: 520: 513 134 4- - - -b. Sifat-sifat perkalian pada pecahanIngat kembali sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilanganbulat berikut.Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku1) sifat tertutup: a b = c;2) sifat komutatif: a b = b a;3) sifat asosiatif: (a b) c = a (b c);4) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:a (b + c) = (a b) + (a c);5) sifat distributif perkalian terhadap pengurangan:a (b c) = (a b) (a c);6) a 1 = 1 a = a; bilangan 1 adalah unsur identitas padaperkalian.Sifat-sifat ini juga berlaku pada perkalian bilangan pecahan.c. Invers pada perkalianPerhatikan perkalian bilangan berikut.2 515 23 818 3 ' `- - . Pada perkalian-perkalian bilangan di atas,25adalah inversperkalian (kebalikan) dari52. Sebaliknya,52adalah invers perkalian(kebalikan) dari25.(Menumbuhkan inovasi)Diskusikan dengantemanmu.Coba cek bahwa sifatsifat operasi hitungperkalian bilanganbulat di samping jugaberlaku padaperkalian bilanganpecahan, denganmemisalkan a =,13b =,34dan c =.1461PecahanDari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatubilangan dengan invers (kebalikan) bilangan itu sama dengan 1.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Invers perkalian dari pecahanpqadalahqpatau inversperkalian dariqpadalah .pq Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannyamaka hasilnya sama dengan 1.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.g.2 12 35 2- h.1 61 44 7' `- . i.1 105 22 13- j.2 3 22 37 11 3' `- - . 2. Tentukan invers perkalian bilangan-bilangan berikut.a. 3 d.126b. 4 e.32c.49f.25131. Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut dalam bentuk yang palingsederhana.a.2 75 8b.3 54 6c.7 29 21d.4 125 3- e.3 137 6' ` . f.2 129 15' ` ' `- . . 3. Pembagian PecahanKalian telah mempelajari bahwa operasi pembagian padabilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari perkalian. Hal inijuga berlaku pada pembagian bilangan pecahan.Bedakan pengertianlawan dan invers suatu bilangan pecahan. Lawan dari pecahanpqadalah. pq Invers dari pecahanpqadalah.qp62Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Perhatikan uraian berikut.33 72:72 12123 122 7361418 427 7 4 11:4555145 114 4 Dengan mengamati uraian di atas, secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut.Untuk sebarang pecahanpqdanrsdengan q 0, r 0,s 0 berlaku : p r p sq s q rdi manasrmerupakan kebalikan(invers) dari .rsTentukan hasil pembagianbilangan berikut ini.1.3 1: 58 22.1 73 :14 8Penyelesaian:1.3 1 3 11: 5 :8 2 8 238421113442.1 7 13 153 :1 :4 8 4 81341821526 11115 15 4. Perpangkatan Pecahana. Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positifPada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahasperpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif.Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan padapecahan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol.Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa padabilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif berlakufaktor... , nna a a a a untuk setiap bilangan bulat a.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa padaoperasi pembagianpecahan tidak berlakusifat komutatif, asosiatif, dan distributif.Buktikan pula padaoperasi pembagianpecahan berlaku sifattertutup.63PecahanDengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalianberulang dengan bilangan yang sama. Definisi tersebut juga berlakupada bilangan pecahan berpangkat.Perhatikan uraian berikut.12233faktor1 12 21 1 12 2 212141 1 1 12 2 2 212181 1 1 1...2 2 2 2' `. ' ` . ' ` . ' ` . "nnDari uraian di atas, secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat p dan q dengan q 0 dan mbilangan bulat positif berlakufaktor...' ` . mmp p p pq q q qDalam hal ini, bilangan pecahanpqdisebut bilangan pokok.Tentukan hasil operasi perpangkatan pecahan berikut.a.223' `. b.334' `. Penyelesaian:a.22 2 23 3 3( 2) ( 2) 43 3 9' ` ' ` ' `- - . - b.