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Chapitre 5 suite
Dans les Episodes piecedents
W S Supreme de Coxeter
Cw Er ordre foible fadroite sur CW S
u tr v funnotrdduit.de
u est putfixed un mot riduit de v
Problime a Trower une condition
pom tester si X est bound ou non
b Trourer an algorithm pour calculer
Vr X si X est bona
On ra se rappeller que si u vav exist alers
EI ukr cone oilmen 2 Ela u EhrN
bi conure biconvex Tinware
Nous arons relpondu aux questions suivantes
a Comment developpernotre intuition avec les
Systema de racines en rang ZB
22 23314th 21dg
HzdHettyL Letty
d d the Az1124 241
b Soit ASoit converealers A fini a nvfHnQ 0
4
LyIcia x
a
AccClPOI EQ 2
x10
p 03
4
42
Proposition Hollweg Labbe Soit AGottalers A est biconoexe fini si et subvent si
il existe un hypeplan H Keef ft VI Kl queA 3peott fcp o ITA 3petit Jlp do
et IK o f x E tr pour tout k E Q 1203On dit que H separe strict eventA de ITA et de Q
preare adm's
Remarque Dans le aas Iwl LA la condition
floc Lo pour tout x C Q yo est toujours
verified car 02 303 dans ce casa
Aussi dans ce cas A et Et IA sont biconvexes Finis
Examples i WS est de typeI 2
Um hyperplan projectifici est un point.cm les
hyperplane du plan sont les droits
fqo region lototi i t i
so do so
dH d th Hz de
Ho Kenpo
Hyperplanes lpl elp of Ecw plecpko oIlwwof
tHo O e I w
H d 1 Etihad 21
H2 di 4th 12 22 2
On retroure bien tous les biconvexes Jim's eh
done tous les elements de Tet
ii W S est de typeage q
t H 1Pa
e Fini in e gea 22
IPQ est bien stridement dans la partie nigalie
de Hj la partie positive est doneLinie
ele correspond an biconvex
da e e I Ela
iii W S est de typeI 2 3
Comme W est fini les racines dechaque Cotes de H ferment un
ensemble d inversion
H keepB n
t
22 23243
314 22Lz
D tdzt4Letty
X 4th Azda 2kg
off C Etl elepko 34 33 45431 17311
Beetle p 03 74,2 12641,16 23oIlw
Calenlons OILS On soit que
oI w 443W 42141,2971kHz
has US Ncu
Yaz w 2 23,21121kHz
On peut voir que Bla2,162 2,77 0
done 2 4 23 K 237
D out oI w 322302 34,4 114 317
422 U2 9430 423,4 31
45132
oI 2132
c Existence et cahul du joinSi le join de u err exist alers on Sait
queo U Eru var et v Sp vivre v
El u E oICurrv et EI v Eet aver
IE u u Ehr C OI layer
On admet le theorem sairant
theorime Dyer 6121 Sifu r est bound alers
OI aver cone toLulu Ihh
Comme oI Curro careful IH est biconvexe fini
il exist doni un hyperplan H qui si par Itu var
de Q
Proposition Hollweg Labbe't Soit yo E Tt aloes
uyev exist cone Ela o Eto na do
ie exist H qui si pace
shiatementconeq Ela UoIhr de Q
Dans a Cas ofCuvier cone of CoItduEcus
prenic adun's
Remarque Engine'ral Vr X exist si et subvent si
cone OIG x C X est sdpaie de Q par H
Deus a cas ICKX cone Ibd sc EX
Proposition Soit IES On note
A as Is c I le systeinsimple de WI I
et OI WI AI son systine de racines
Iet Een correctsi Ona we w El w E IILii Si Wels x aloes il exist um
unique element Wo E WI de longueur
maximale dans WI et oIwo IIT
preuve On Sait que CWI Il est un
spline de Coxeter De plus WI ag IV sur
lRAI EV
Si w t we on soit que tout not relden't se'uit
w S Sk avec Sj EI Rook
Icw as s Ksa y S Sh Casal E WIKI ETI
Mais Eet oI soit done OIG E II
Si w t we on soit que tout not readmit skit
w S Sk avec Sj EI Boac
Icw as s Ksa y S Sh Casal E WIKI ETI
Mais Eet oI not done IG E Itfie Consequence de l existence de Wo dans
toute Wis supt de Coxeterfini qRemarque Si I S et w fini on note was Wo
Ek Soit IE Ser x EW non ride
i X bones dans W X bornedans WI
ii s X born'e alias VrX E WI S de
plas WI fini VRX Er Wo I
prove i Si il existe w EWI kl que
w sq k pour tout x E X aloes comme
w EWI E W X est bowel dans W
Supposeus X bone dans w Alois
2 Vr X E TN et OIG cone Ethel a EX
C cone EI can oIHEI.at
OI
Dono z E WI et X bound dans WI
Ceci montie aussi Cii Dld
Grollain Soit IE WI fini et X EW borne non n'de
bel que DIEU EW alois Wo Er VaxKEX
preemie Ittwoe It cone CDI EconeoI Italiaex ICKX
Examples i CWS est de typeI 2 3
22 2321dg
314 22Lz
D tattyLetty
X 4th Azda 2C2p
Calculous Avr 23
On a ET e ga It 123 Yaz xztxz
On Sait deja que 121 Wog z Er we 23 Car
34,13 42 C OIG VII 23
Dieu
Coneq Ell 1723 4,2214122,42 23,4 03
OI w et Kw IoIIwH 5
Calculous w on Sait que
di de 4th oItw OI 121
Done OI w OI 121 w 41 23,41 4 43
Ifa W 121 23,5 22
ET 12132
22 23243
0162132 314 22K2
D tdzta01723
oI4z3Mtg
A 4th Az1124 24
on observer
oI 12132 oI423 woIl2342114122,4 221233
4 491 3
DR 121321 Dr 21232 Dr 213231 72,3
DR 123 33 et Dr 23 333
On note dr w 1Dr Cust On remarque
Ip 12132 2 l t l dpd23 tdr 23
Conjecture Soit CWS un Systema de
Coxeter Soit w u r E W TI que
IL w Ecu u Ehr alois drlwt drlultdp.tv
Application calcul homologique les narietis de
Schubert C Gelometrie algibrigue
ciel CW s est detype3
fMfg
asif I
0
3147 4 tag 36,1221 4th 3 de
3131227 Or
13
41 4th Az
Question Est a que les pains suirants air
sent bomies S oui calculer aver
a u 32 V 31
3
to
ElmOILMconvloIHTH'M
3 4 are tag 3364 Ag Eth 3 de
33133KD Or
133RD
41 dit de Az
Relponse oui car
Conn ET3D oil32 n Q
contr 143,23 4,4 4 A Q
On a done
IT 31 32 cone Ita 1341
123 xgt4 4th 314 47
143034422,4 223
Ears
4121
b u 3121 2
On a cow OIC31211,174 AQ Q
Done 3121 2 nlaxist pas
3
tf
E 3M Gnr El31217,1721
3147 4 tag 3364 Ag 9th 3 de
3313347 Or
133RD
LI dit de Az
c u 31232 v 32
On a coral oI 312327,01732 dQ
Done 31232 32 exist Calculous le
3
MeOIC32
Ibm3147 4 tag 3364 Ag 9th 3 de
331334503144kg
Q
133RD 264th12kHz
41 4th Az
OI 31232 32 123,3141 361,3cL that
313 La 3121442371
42330344,4 4th
13h27 144 23
OI 3121 U 3121 31 1,237
OI 312131
et l 312131 I oI 31213171 6
