1 Carmen-Sanda Georgescu, Tudor Petrovici, Radu Popa Metode numerice. Fişa de laborator nr. 6: INTEGRAREA NUMERICĂ(continuare). DERIVAREA NUMERICĂ3.3. METODA ROMBERG ŞI PROCEDURADE EXTRAPOLARE RICHARDSONMetoda lui Rombergîmbunătăţeşte eficienţa formulelor de cuadraturănumerică, aplicând repetat una din formulele de calcul, în asociere cu înjum ătăţirea simultanăa intervalului h, deci dublând numărul de intervale pe domeniul [a;b]. Se noteazăcu 1 , i valoarea calculat ăa integralei ( ) ∫ = b a x x fd , f olosind f or mu la trapezelor (5.3), pentru i n 2 = intervale pe [ a;b], cu i≥0. Dacăse considerănumai douănoduri, x 0 = aşi x 1 = b, atunci h = (b−a), n = 1, i = 0 şi se obţine: ( ) ( ) ( ) [ ] b fa fa b + − = 2 1 , 0 . (6.1) Prin inducţie, se obţine formula Romberg: 1 unde , 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 , 1 1 , ≥ − + − + = ∑ − = ∆ = − − i ka b a fa b i kki i i i . (6.2) Rapiditatea convergenţei se măreşte folosind procedura de extrapolare Richardson, ilustratăîn tabelul 6.1. Dacăse foloseşte o formul ăde cuadraturăpentru care eroarea este proporţionalăcu h α , la douăaplicaţii succesive ale acestei formule, cu intervalele 2hşi respectiv h, se obţin erorile α ε ≅ ε 2 1 2 . Exponentul αia valorile: α= 2, 4, 8, 16, 32,… Notând cu valoarea exact ăa integralei, se poate scrie: 2 2 1 1 ε + = ε + = . Se obţine astfel formula de extrapolare Richardson: 1 2 1 2 2 − − + ≅ α , (6.3) care sugereazăfaptul cădacăse considerădouăvalori succesive1 şi 2 care aproximeaz ăpe , se poate obţine o a treia valoare, mai bun ă, adicămai apropiat ăde . Tabelul 6.1. – Ilustrarea grafic ăa procedurii de extrapolare Richardson pentru Exemplul 1 (pentru un număr de intervale n= 8) in=2 i α=2 α=4 α=8 0 1 0,1 =91.5260,2 =116.481 2 1,1 =110.240,3 =132.581,2 = 131.570,3 =139.712 4 2,1 =126.241,3 =139.682,2 =139.173 8 3,1 = 135.94Obţinute cu(6.1) si (6.2) Obtinute cu (6.3) Folosind relaţia (6.3) cu α = 2 (eroarea proporţionalăcu h 2 ), din secvenţa 0,1 ; 1,1 ; 2,1 ; ... i,1 determinatăcu metoda Romberg (6.1) −(6.2), se obţine un nou şir 0,2 ; 1,2 ;..., luând succesiv câte doi termeni din primul şir.