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§4.2 椭球面、双曲面、抛物面. 二次曲面. 二次曲面的定义：. 三元二次方程所表示的曲面称之为 二次曲面 ．. 相应地平面被称为 一次曲面 ．. 讨论二次曲面形状的 截痕法 ：. 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．. z. o. y. x. 椭球面. 截痕法. 用 z = h 截曲面. 用 y = m 截曲面. 用 x = n 截曲面. 椭球面的方程. 椭球面. 椭球面与三个坐标面的交线：. - PowerPoint PPT Presentation
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§4.2 椭球面、双曲面、抛物面
二次曲面的定义：
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
椭球面
1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
截痕法
用 z = h 截曲面
用 y = m 截曲面用 x = n 截曲面
y
x
z
o
椭球面的方程
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax 椭球面
椭球面与三个坐标面的交线：
,
0
12
2
2
2
zby
ax
,
0
12
2
2
2
ycz
ax
.
0
12
2
2
2
xcz
by
o
z
yx
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz
1
21
22
2
2
21
22
2
2
1)()(
zz
zccb
y
zcca
x
同理与平面 和 的交线也是椭圆 .1xx 1yy
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 .
cz || 1
椭球面的几种特殊情况：
,)1( ba 12
2
2
2
2
2
cz
ay
ax
0
12
2
2
2
yc
z
a
x由椭圆 绕 轴旋转而成．z
旋转椭球面与椭球面的区别：
12
2
2
22
cz
ayx
方程可写为
与平面 的交线为圆 .1zz )||( 1 cz
旋转椭球面
,)2( cba 12
2
2
2
2
2
az
ay
ax
.2222 azyx
.)(
1
21
22
222
zz
zcca
yx截面上圆的方程
方程可写为
球面
一、单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax 单叶双曲面
（ 1 ）用坐标面 与
曲面相截截得中心在原点
)0( zxoy
的椭圆)0,0,0(O
0
12
2
2
2
zby
ax
与平面 的交线为椭圆 .1zz
1
2
21
2
2
2
2
1
zzcz
by
ax
（ 2 ）用坐标面 与曲面相截)0( yxoz
截得中心在原点的双曲线 .
0
12
2
2
2
ycz
ax 实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合 .xz
当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上 .
1zz
（ 3 ）用坐标面 ，与曲面相截)0( xyoz
均可得双曲线 .
单叶双曲面图形
x
yo
z
二、双叶双曲面
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
双叶双曲面
x
yo
z
一、椭圆抛物面的概念 ( 解析定义法 )• 定义定义 4.6.14.6.1 在直角坐标系下，由方程 在直角坐标系下，由方程
• (4.6-1)(4.6-1)
• • 所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做椭圆抛物面椭圆抛物面
2 2
2 22 , 0
x yz a b
a b
方程方程 (1)(1) 叫做椭圆抛物面的叫做椭圆抛物面的标准方程标准方程 ..
2 2
2 22 2 2, 2 2 ,x
x ya b y az z
a b 当 时取
例 将抛物线
绕它的对称轴旋转
2 2:
0
y pz
x
y
z
2 2 2x y pz
o
z
y
x
二、椭圆抛物面的性质
3 3 范围范围
为椭圆抛物面的顶点为椭圆抛物面的顶点 ..
关于关于 z z 轴，轴， xOz xOz 、、 yOz yOz 坐标平面对称坐标平面对称 ;;
0,0,0
2 2 顶点顶点
1 1 对称性对称性
方程方程（（ 4.6-14.6-1 ）表示的）表示的曲面全部在曲面全部在 xOy xOy 平面的一侧平面的一侧 ..
② 用 y = 0 截曲面
③ 用 x = 0 截曲面
① 用 z = 0 截曲面 0 0,0,0zC 顶点：
2 2
0
2
0.y
x a zC
y
抛 线
，： 物
Cx ＝ 0
Cy ＝ 0
三、椭圆抛物面的图形 (平行截割法 )
ⅰ） 用坐标面截割 两条主抛物线具有相同的顶点 ,对称轴和开口方向
x
z
yO
① 用 z = h (h>0) 截曲面
结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与 xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
2 2
2 21,
2 2.
z h
x yC a h b h
z h
椭圆：
x
z
yO
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
② 用 y = k 截曲面
22 2
22
2
.y k
yx a z
C b
y k
抛 线，
： 物
结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面 .
x
z
yO
例 已知椭圆抛物面 S 的顶点在原点，对称面为 xOz 面
与 yOz 面，且过点 和 ，求这个椭圆抛物面的方程。
1,2,6 1, 1,1
3
分析：对称面为 xOz 面与 yOz 面
2 2
2 22 , 0
x yz a b
a b
且 1(1,2,6), ( , 1,1)
3S
,a b
一、双曲抛物面的概念
定义定义４４ .. ６６ .. ２２ 在直角坐标系下，由方程 在直角坐标系下，由方程 （（ 4.6-4.6- ２）２）
所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做双曲抛物面双曲抛物面
其中其中 aa ，， bb 为任意的正常数为任意的正常数 ..
2 2
2 22
x yz
a b
方程（方程（ 4.6-4.6- ２）叫做２）叫做双曲抛物面的标准方程双曲抛物面的标准方程 ..
二、双曲抛物面的性质1 1 对称性对称性
双曲抛物面双曲抛物面（（ 4.6-24.6-2 ））关于关于 xOz xOz 、、 yOz yOz 坐标平面坐标平面
以及以及 z z 轴对称轴对称 ..xOz xOz 、、 yOz yOz 坐标平面是它的对称平面坐标平面是它的对称平面 ,, z z 轴是它的对称轴是它的对称轴轴 ..
双曲抛物面无对称中心双曲抛物面无对称中心 ..
2 2 范围范围, , .x R y R z R
方程方程 (4.6-2)(4.6-2) 表示的曲面是无界的表示的曲面是无界的 ..
