4.1. DEFINICIÓN DE ESPACIOS Y SUB ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial sobre un cuerpo , es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

( , , +,.)

Recordemos que la forma de representar a un vector es:

V={( a ,b )/a∧bϵIR }

⇒ A={xϵz /x>5∧ x<7 }

W={(x , yzw )/ y=z} (1−2−20)ϵW

Conjunto no vacio de vectores Ov

Operación Interna (SUMA DE VECTORES)

Operación Externa (PRODUCTO DE UN VECTOR por un ESCALAR)

Condiciones

o restricciones Genérico

OPERACIÓN INTERNA OPERACIÓN EXTERNA

Suma de Vectores Multiplicación de un escalar por un Vector

V 1=(2 ,5) V 1=(2 ,5)

V 2=(−3 ,4) α = 3

V 1+V 2=(−1 ,9) αV 1=(6 ,15)

Espacios Vectoriales Comunes( V , K , + , * ) GENÉRICO EJEMPLO 0V

¿ a + bx 3 - x 0 + 0 x¿ a+b x+c x2 2+3 x+5x2 0+0x+0 x2

¿ ( a , b ) ( 2 , 5 ) ( 0, 0 ) ¿ ( a , b , c ) ( 4 , -6 , 2 ) ( 0 , 0 , 0 )¿ [a b

c d ] [ 2 −8−6 3 ] [0 0

0 0]

Un espacio vectorial (V), definido sobre un cuerpo k (en generalRoC) es un conjunto V ≠∅ ; sobre el que hay definidas dos operaciones:

1. Suma :

+:V xV →V

(u , v )→u+v

Verificando las siguientes propiedades:

(a) Conmutativa: u+v=v+u ,∀u , v∈V

(b) Asociativa: (u+v )+w=u+( v+w ) ,∀u , v ,w∈V .(c) Elemento neutro:Existe0∈V tal queu+0=0+u=u ,∀u∈V .

(d) Elemento opuesto: Para todou∈V existe ¡−u∈V tal queu+(−u)=(−u)+u=0

V 1 V 2

V 3 V 4

0V

V 6 V 5

V 1 V 2

V 3 V 4

0V

V 6 V 5

2. Producto por un escalar:

¿ :K xV →V

( λ ,u ) →λ∗u

Verificando las siguientes propiedades:

(a) 1∗u=u ,∀u∈V . (b)α∗( β u )=( αβ )∗u , ∀αβ∈K , ∀u∈V . (c) (α+β )∗u=α∗u+β∗u ,∀α ,β∈K ,∀u∈V .

(d) α∗(u+v )=α∗u+α∗v ,∀α∈K ,∀u , v∈V .

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales.

SUBESPACIO VECTORIALSe llama subespacio vectorial (S) de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vacío, tal que S⊂V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V.

Caracterización de subespacios vectorialesSi V es un espacio vectorial y S⊂V , S≠∅, entonces:

Ses subespacio vectorial deV { (1)u+v∈S ,∀u; v∈S(2)αu∈S ,∀ α∈K y ∀u∈S

CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA UN ESPACIO VECTORIAL

a) W ≠∅ , PDOv∈W

b) ∀u , v∈W ,u+v∈W

c) ∀u∈W , ∀α∈ k ,α∗u∈W

Ejemplo:

Demostrar si W es subespacio vectorial:

a) W={( x , y , z ) ¿ y=z }

1. W , PDOv∈W

( x y z )=(0 0 0 )

x=0y=0z=0 }z= y ,∴Ov∈W

W ≠∅

2. ∀u , v∈W ,u+v∈W

W={( x , z , z ) ¿ x , z∈R }

u=(x1 , z1 , z1)v=(a ,b ,b )

u+v=(x1+a , z1+b , z1+b )z1+b= z1+b∴u+v∈W

b) W={( x , y ) ¿ a+b=1 }1. W , PDOv∈W

(a b )=(0 0 )

a=0b=0}a+b≠1 ,∴Ov∉W

COMBINACIÓN LINEAL

Sea B= {u1 , u2 ,u3 ,…,un }, un conjunto de vectores de un e.v. V, un vector u de V es una combinación lineal de los vectores de B, sí se puede escribir lo siguiente:

u=α1u1+α 2u2+α 3u3+…+α nun

Ejemplo1:

¿T={2 ,−1 } Es combinación lineal de u={3 ,3 }?

(3 ,3 )=α (2 ,−1 )

S .E {2α=3−α=3

( 2−1|33) f 1↔f 1+ f 2(1

−1|93) f 2↔f 2+f 1(10| 912)

∴ ∃ solucion∴no esCL

Ejemplo2:

¿s= {(1 ,0 ,−2 ) ; (3 ,0 ,5 ) } Es combinación lineal de u={0 ,3 ,−1 }?

(0 ,3 ,−1 )=α (1 ,0 ,−2 )+β (3 ,0 ,5 )

S .E { α+3 β=00α+0 β=3

−2α+5 β=−1

( 1 30 0

−2 5|03

−1)∴ ∃ solucion∴no esCL

Ejemplo3:

¿s= {1+x2; x+x2;1+x } Es combinación lineal de u={2+4 x−4 x2 }?

2+4 x−4 x2=α (1+x2 )+β (x+x2 )+γ (1+ x )

S .E { α+0 β+γ=20α+1β+γ=41α+1β+0 γ=−4

(1 0 10 1 11 1 0|

24

−4) f 3←f 3−f 1(1 0 10 1 10 1 −1|

24

−6) f 3←f 3−f 2

(1 0 10 1 10 0 −2|

24

−10) f 3←(−12 ) f 3(1 0 10 1 10 0 1|

245) f 1←f 1−f 3

f 2←f 2−f 3

(1 0 00 1 00 0 1|

−3−15 )

∴α=−3β=−1γ=5 }∃CL

CAPSULA LINEAL (⟨ S ⟩)

Gráficamente se lo representa así:

Sea S= {u1 ,u2 , u3 ,…,un }, un conjunto de vectores de un e.v. V. El conjunto S genera a V, o V es generado por S, si todo vector u es de V una combinación lineal de los vectores de S, es decir:

⟨ S ⟩= {v∈V /v=α s1+ βs2+γ s3+…+δ sn }

PASOS PARA OBTENER UNA CAPSULA LINEAL ALGÚN CONJUNTO S

Ejemplo:Encontrar la capsula de S= {(1 ,−1 ,0 ); (−2,3 ,−1 ); (2 ,1,−3 ) }

1. Escribimos la definición:

⟨ S ⟩= {v∈V /v=α s1+ βs2+γ s3+…+δ sn }

2. Escribimos la formula genéricamente

⟨ S ⟩= {( x , y , z ) /( x , y , z )=α (1 ,−1 ,0 )+β (−2 ,3 ,−1 )+γ (2 ,1 ,−3 ) }

3. Obtenemos un sistema de ecuaciones

( x , y , z )=α (1 ,−1,0 )+β (−2 ,3 ,−1 )+γ (2,1 ,−3 )

S .E .{α−2 β+2 γ=x−α+3 β+γ= y−β−3 γ=z

4. Expresamos matricialmente la expresión anterior

( 1 −2 2−1 3 10 −1 −3|

xyz )

5. Aplicamos Gauss-Jordán para encontrar la restricción en este caso

( 1 −2 2−1 3 10 −1 −3|

xyz ) f 2←f 2+ f 1(1 −2 2

0 1 30 −1 −3|

xx+ yz ) f 1←f 1+2 f 2

f 3←f 3+f 2

(1 0 80 1 30 0 0|

3 x+2 yx+ y

z+x+ y )6. Como tenemos que no existe solución obtenemos la siguiente capsula

⟨ S ⟩= {v∈R3 /x+ y+z=0 }

⟨ S ⟩= {( x , y , z ) /x+ y+z=0 }

CONJUNTO GENERADOR

S genera a W, donde S es el conjunto generador

PASOS PARA HALLAR S QUE GENERA A W

1. Hallar las restricciones

2. Remplazar las restricciones

3. Contar el numero de variables

4. Descomponer el vector de acuerdo al números de variables

5. Extraer los escalares

6. Escribir el conjunto generador

Ejemplo 1:W={(a ,b , c ) /b=2a+3c }

W={(a ,2a+3c , c )/a , c∈R }

W={(a ,2a ,0 )+(0 ,3 c , c) /a , c∈R }

W={a (1 ,2,0 )+c (0 ,3 ,1)/a , c∈ R }

S={(1 ,2 ,0 ) ;(0 ,3 ,1) }S generaaW

∴ ⟨ S ⟩=W

Ejemplo 2:

W={(a bc d )/b=c+3d}

W={(a c+3dc d )/a , c ,d∈R}

W={(a 00 0)+(0 c

c 0)+(0 3d0 d ) /a , c , d∈R}

W={a(1 00 0)+c (0 1

1 0)+d (0 30 1)/a , c ,d∈ R}

S={(1 00 0); (0 1

1 0); (0 30 1)}S genera aW

∴ ⟨S ⟩=W

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALEn álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de los vectores puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Un conjunto es LI si ninguno de sus vectores es combinación lineal de los otros.Un conjunto es LD si alguno de sus vectores es combinación lineal de los otros.

PASOS PARA PROBAR SI ES L.I. O L.D.

1. Se tiene que hacer la combinación lineal nula.

0 v=α 1u1+α 2u2+α3u3+…+αnun

2. Obtener el sistema homogéneo

3. Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo por Gauss o Gauss-Jordán

∃! soluc→S es L . I .∃∞soluc→Ses L. D .

Ejemplo 1:Verificar si S es LD

S= {(1 ,−3 ) ;(−2 ,6)}α (1 ,−3 )+β (−2 ,6 )=(0 ,0)

S .E ( α−2 β=0−3α+6 β=0)

( 1 −2−3 6 |00) f 2←f 2+3 f 1(

1 −20 0 |00)∴∃∞soluc

si|A|=0→∃∞soluc

Ejemplo 2:Verificar si S es LI

S= {(2 ,0 ); (1 ,1)}α (2 ,0 )+β (1 ,1 )=(0 ,0)

S .E (2α+β=00α+β=0)

(2 10 1|00) f 1←f 1−f 2(

2 00 1|00) f 1←f 1(

12)(2 00 1|00)

∴∃ !soluc

si|A|≠0→∃! soluc

BASE

Sea (V, k, +,*)un e.v y S⊆V

S es base de V si:

a) S es L.I.

b) S genera Av

PASOS PARA HALLAR UNA BASE

a) Hallar el conjunto generadorb) Probar que es L.I.

DIMENSIÓN DE VDEFINICIÓN: es el número de vectores de S

EJEMPLO:

Encontrar una base del s.e.v W.

a) Hallar el conjunto generador

W={( x , y , z )/ y=x+ z }

W={( x , x+z , z )/ x , z∈R }

W={( x , x ,0 )+(0 , z , z )/ x , z∈ R }

W={x (1 ,1 ,0 )+(0 ,1 ,1)/ x , z∈R }

S={(1 ,1 ,0 ) ;(0 ,1 ,1)}S genera aW

∴ ⟨ S ⟩=W

b) Probar que S es L.I.S= {(1 ,1 ,0 ) ;(0 ,1 ,1)} (0 ,0 ,0 , )=α (1 ,1 ,0 )+β (0 ,1 ,1)

S .E ( α+0 β=01α+1β=00α+1β=0)

(1 01 10 1|

000) f 2←f 2−f 1

f 3←f 3−f 2(1 00 10 0|

000)

∴∃ !solu c

EJEMPLO:

Encontrar una base del s.e.v W.

Hallar el conjunto generado

W={( x , y , z )/x , y , z∈R }

W={( x ,0 ,0 )+(0 , y ,0)+(0 ,0 , z )/ x , z∈ R }

W={x (1 ,0 ,0 )+ y (0 ,1 ,0)+z (0 ,0 ,1)/ x , z∈R }

S= {(1 ,0 ,0 ); (0 ,1 ,0 ); (0 ,0 ,1)}S genera aW

∴ ⟨S ⟩=W

Probar que S es L.I.S= {(1 ,0 ,0 ); (0 ,1 ,0 ); (0 ,0 ,1 ) }

(0 ,0 ,0 , )=α (1 ,0 ,0 )+β (0 ,1,0 )+γ (0 ,0 ,1 )

S .E (α=0β=0γ=0)

∴∃ !solucsi|A|≠0→∃! soluc

∴S es LI

∴S eslabase deWdim (W )=dim(V )=3

Teorema 11(libro de trabajo)Dim (V)= n =# de vectores de SS es la base de V si tiene n vectores LI

Teorema 12(libro de trabajo)

Dim (V)= n =# de vectores de S

S es la base de V si tiene n vectores que generan a V

Teorema:

Para que sea base debe cumplir 2 de las tres condiciones:

{1. dim (V )=¿de vectoresen S=n2 . LI

3 .Genera

Ejemplo:

Demostrar que S es una base de W:W={( x , y , z )/x , y , z∈R }S= {(1 ,0 ,0 ); (0 ,1 ,0 ); (0 ,0 ,1 ) }

(0 ,0 ,0 , )=α (1 ,0 ,0 )+β (0 ,1,0 )+γ (0 ,0 ,1 )

S .E (α=0β=0γ=0)

∴∃ !solu c

si|A|≠0→∃! soluc∴S es LI

Dim(R3)= 3 =# de vectores de SS genera a W⟨ S ⟩=W

∴Ses basedeW

Encontrar la dimensión de S con W:

W={a+bx+c x2/b=0}

W={a+ox+c x2/a , c∈ R }

W={(a+ox+0 x2 )+(0+ox+c x2)/a , c∈R }

W={a (1+ox+0 x2 )+c(0+ox+1 x2)/a , c∈ R }

S={1+ox+0 x2; (0+ox+1 x2)}Sgenera aW∴ ⟨S ⟩=W

Dim(p2)= 2 =# de vectores de S

Ejemplos:

W={( x , y , z )/ y=z }→dim (W )=3−1=2

W={(a bc d) /a=b

c=0}→dim (W )=4−2=2

W={( x , y )/ y=2x }→dim (W )=2−1=1

W={a+bx+ c x2

b=2c−a}→dim (W )=3−1=2

COMO COMPLETAR UNA BASE

Ejemplo:

Completar la base S para llegar al e.v V=R3.

Teorema

Dim (s.e.v) = dim (e.v) - # restricciones Dim(W) = Dim(V) - # restricciones

W={( x , y , z ) / y=x+ z }

W={( x , x+z , z )/ x , z∈R }

W={( x , x ,0 )+(0 , z , z )/ x , z∈ R }

W={x (1 ,1 ,0 )+(0 ,1 ,1)/ x , z∈R }

S={(1 ,1 ,0 ) ;(0 ,1 ,1)}S genera aW

∴ ⟨ S ⟩=W

1. Tenemos la base S pero podemos observar que para que se cumpla que sea base de R3

tienen que haber tres vectores en la base, por lo que aumentamos un vector a la base S que no cumpla la restricción y lo ponemos seguido a los que ya teníamos.

S '={(1 ,1 ,0 ) ; (0 ,1,1 ) ;(1 ,0 ,1)}

El vector(1 ,0 ,1)no cumple que y=x+z

2. Ahora tenemos que es de dimensión tres por lo tanto tenemos la primera condición para que sea base de R3.

Dim(S’)=3

3. Ahora demostramos si es LI para completar una base de R3.

S '={(1 ,1 ,0 ) ; (0 ,1,1 ) ;(1 ,0 ,1)}

α (1 ,1 ,0 )+β (0 ,1 ,1 )+γ (1,0 ,1)=(0 ,0 ,0)

S .E (α+γ=0α+β=0β+γ=0 )

(1 0 11 1 00 1 1|

000) f 2←f 2−f 1(1 0 1

0 1 −10 1 1 |000) f 3←f 3−f 2

(1 0 10 1 −10 0 2 |000) f 3←( 12 ) f 3(

1 0 10 1 −10 0 1 |000) f 2←f 2+ f 3

f 1←f 1−f 3

(1 0 00 1 00 0 1|

000)

∴∃ !solucsi|A|≠0→∃! soluc

∴S ' esLI

∴S' es basede R3