4. SAK - uvod u MKE.pdf

7/25/2019 4. SAK - uvod u MKE.pdf

1/21

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE

DEPARTMAN ZA GRAEVINARSTVO I GEODEZIJU

FAKULTET TEHNIKIH NAUKA

UNIVERZITET U NOVOM SADU

MKE Dinamika konstrukcija

VEBE

PREDMET: SEIZMIKA ANALIZA KONSTRUKCIJA


2/21

MKE Katedra za konstrukcije Departman za graevinarstvo i geodeziju FTN Novi Sad

strana 2 od 19

MKE u dinamikoj analizi konstrukcija

1. Uvod

Princip Metode konanih elemenata (MKE) je u tome da se kontinualan problem prevedena diskretan pomou fizike diskretizacije. Pri analizi linijskih nosaa (domen) osnovu ini tap(poddomen). Sistem je diskretan tj. sastavljen od pojedinih tapova koji su povezani u diskretnimtakama tj. vorovima nosaa. Osnovne jednaine koje definiu problem u analizi linijskih nosaasu izvedene na diferencijalno malom elementu tj. problem se definie preko diferencijalnih

jednaina. U Metodi konanih elemenata zavisnosti se uspostavljaju na konanom elementu,odnosno problem definisan diferencijalnim jednainama se na ovaj nain prevodi na problemdefinisan preko algebarskih jednaina. Metoda konanih elemenata je priblina numerika metodakod koje se sa poveanjem broja konanih elemenata poveava i tanost ali s obzirom da se na taj

nain poveava i broj algebarskih jednaina koje treba reiti primena raunara je praktinoneophodna.

Pretpostavke: pri analizi ponaanja nosaa pod dejstvom dinamikog optereenjarazmatraju se samo pravi prizmatini tapovi tj. konani element je prav prizmatian tap, vailinearna teorija prvog reda i razmatraju se samo ravanski nosai.


3/21


strana 3 od 19

2. Matrica masa

Da bi se proraun inercijalnih sila sa raspodeljenim masama (taan proraun zahtevareavanje parcijalnih diferencijalnih jednaina celog sistema) pojednostavio raspodeljene

inercijalne sile se zamenjuju ekvivaletnim vornim inercijalnim silama. Primenjuje se zamenaraspodeljenih masa konzistentnim masama ili koncentrisanim masama. Za odreivanjeinercijalnog optereenja (proizvod mase i ubrzanja) du tapa mora se poznavati funkcijapomeranja taaka tapa v(x).

Ako se pri odreivanju matrice masa pretpostavi da je deformisani oblik tapa pridinamikom optereenju isti kao i pri statikom pri istim graninim uslovima po pomeranjima ondase dobija konzistentna matrica masa konanog elementa. Ona je simetrina i pozitivno definitnakvadratna matrica.

Radi pojednostavljenja analize masa konanih elemenata moe direktno da se koncentrie

u vorove nosaa. U sluaju pravog prizmatinog tapa sa konstantnim poprenim presekomnjegova ukupna masa moe da se podeli na dva jednaka dela i koncentrie na njegovim krajevima.Na ovaj nain smo ukupnu inercijalnu silu konanog elementa rasporedili ravnomerno na dvekoncentrisane sile na njegovim krajevima tj. u vorovima sistema. U ovom sluaju je ekvivalentnoinercijalno vorno optereenje jednako nuli jer masa postoji samo u vorovima nosaa. Matricamase konanog elementa postaje dijagonalna i naziva se matrica koncentrisanih masa.

Sa matricom koncentrisanih masa, u principu, se dobijaju nie vrednosti svojstvenihfrekvencija od onih koje se dobijaju sa konzistentnom matricom masa, a takoe i nie vrednosti odtanih.

2.1 Konzistentna matrica masa (tap konstatnog poprenog preseka)

Razmatramo prave prizmatine tapove konstantnog poprenog preseka.

Konzistentna matrica masa tapa tipa k:

2

22

4.

22156

00140

31304

1354022156

007000140

420

lsim

l

lll

ll

FlMik

Konzistentna matrica masa tapa tipa ig:

99

0140

51608

558036204

07000140

420

2

.sim

l,l

,lFl

Mig


4/21


strana 4 od 19

Konzistentna matrica masa tapa tipa gk:

28.

36204

00140

5,165,58099

00700140

420

lsim

l

lFl

Mgk

Konzistentna matrica masa prostog tapa:

121

211

3 /

/FlMs

Napomena:izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena.

2.2 Matrica koncentrisanih masa

Razmatramo prave prizmatine tapove konstantnog poprenog preseka. Ukupna masatapa se deli na dve jednake mase koje se koncentriu na njegovim krajevima tj. u vorovimanosaa. Na ovaj nain matrica masa postaje dijagonalna.


5/21


strana 5 od 19

3. Jednaina slobodnih nepriguenih oscilacija frekventna jednaina

3.1 Jednaina slobodnih nepriguenih oscilacija sa konzistentnim masama

Frekventna jednaina ima oblik:

02 nninn MK

gde je:

n broj nepoznatih pomeranja

svojstvena kruna frekvencija

Knn matrica krutosti uz nepoznata pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu

Mnn matrica masa uz nepoznata pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu

Transformacija matrica krutosti i masa konanih elemenata iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem se vri na isti nain kao u statici konstrukcija pomou matrica transformacije.


3.2 Jednaina slobodnih nepriguenih oscilacija sa koncentrisanim masama

U postupku koji koristi direktno koncentrisane mase moe se desiti da neki elementidijagonalne matrice masa budu jednaki nuli zbog toga to se uz neke stepene slobode pomeranjamogu javiti male inercijalne sile iz razliitih razloga (npr. mala masa ili malo ubrzanje). Odnosno,pri prelasku sa statikog komplikovanijeg modela na dinamiki jednostavniji model (komplikovanijimodel znai da ima vie stepeni slobode od jednostavnijeg modela) moramo postupkomkondenzacije definisati matricu krutosti dinamikog modela.

Matrica krutosti, masa i vektor pomeranja imaju sledee oblike:

2221

1211

KK

KKKnn

00

011MMnn

2

1

0U

UUn

gde je U1vektor pomeranja bitnih stepeni slobode (u ovim pravcima pomeranja postoje inercijalnesile), a U2vektor poeranja nebitnih stepeni slobode (u ovim pravcima pomeranja inercijalne sile su

jednake nuli).

Sistem jednaina ima sledei oblik:

0

0

222121

212111

2

11

UKUK

UKUMK

Ako iz druge jednaine izrazimo vektor U2i unesemo njegov izraz u prvu jednainu dobijamo:


6/21


strana 6 od 19

01112

21

1

221211 UMKKKK

Kondenzovana matrica krutosti Kc ima oblik:

21

1

221211 KKKKKc

Frekventna jednaina ima oblik:

0112 MK ic


Napomena:uvoenje priguenja u analizu je dato u literaturi koja je na kraju navedena.

Napomena: postupci analize nosaa izloenog razliitim dinamikim dejstvima su prikazani uliteraturi koja je na kraju navedena.

3.3 Jednaina slobodnih nepriguenih oscilacija sa raspodeljenim masama (transverzalne ilipoprene oscilacije)

Reava se parcijalna diferencijalna jednaina malih oscilacija. U sluaju transverzalnih(poprenih) oscilacijaprizmatinih tapova imamo sledee veze:

)()(2

2

zM

dz

ydEIzq

dz

dFF

dz

dM TT

Diferencirajui treu jednainu dva puta po zdobijamo:

)(4

4

3

3

zqdz

dF

dz

ydEIF

dz

dM

dz

ydEI TT

Prilikom poprenih oscilacija grede popreno pomeranje yje funcija poloaja zi vremena t.Na osnovu Dalamberovog principa se moe smatrati da je greda koja popreno osciluje optereenainercijalnim silama po jedinici duine:

2

2

)(

t

yAzq

Kombinujui dve prethodne jadnaine dobijamo:

04

42

2

2

2

2

4

4

z

y

A

EI

t

yili

t

yA

z

yEI

Reenja za krune frekvencije imaju sledee vrednosti (izvoenja su data u [7] za pojedinesluajeve konturnih uslova):

1. Prosta greda: ,...)3,2,1(2

22

nA

EI

L

nn


7/21


strana 7 od 19

2. Konzola:

1)cosh()cos(:)(

2

2

kLkLreavanjemdobijaseLkA

EI

L

Lkn

nn

3. Greda na jednom kraju ukljetena, a na drugom slobodno oslonjena:

)()(:)(

2

2

kLthkLtgreavanjemdobijaseLkA

EI

L

Lkn

nn

4. Obostrano ukljetena greda:

1)cosh()cos(:)(

2

2


EI

L

Lkn

nn

Napomena:izvoenje za longitudinalne oscilacije je dato u literaturi koja je na kraju navedena.


8/21


strana 8 od 19

4. Primer

Za zadati sitem odrediti svojstvene krune frekvencije.

Podaci: = 2500kg/m3, E = 31GPa, b/d = 30/50cm, L = 10m.

Napomena: uporedna analiza je sprovedena metodom konanih elemenata u programu Ansysv12.1. Tip konanog elementa BEAM3.

Reenje:

Greda je podeljena na dva konana elementa:

tap i k L A I cos() sin()

1 1 2 5 0,15 0,003125 1 0

2 2 3 5 0,15 0,003125 1 0

Reenje sa konzistentnim masama:

Matrice masa u lokalnom koordinatnom sistemu:

2

22

2312

4.

22156

00140

31304

1354022156

007000140

420

lsim

l

lll

ll

AlMM

Matrice transformacije: ITT 21


9/21


strana 9 od 19

Matrice masa u globalnom koordinatnom sistemu:

ikik

T

ik

*

ik TMTM

6

5

4

32

1

4.

22156

00140

313041354022156

007000140

420

2

22

*

12

lsim

l

lllll

AlM

9

8

76

5

4

4.

22156

0014031304

1354022156

007000140

420

2

22

*

23

lsim

l

lll

ll

AlM

Matrice krutosti konanih elemenata u lokalnom koordinatnom sistemu:

80

2400960

0069

40240080

240096002400960

00690069

2312

,.sim

,,

,

,,,

,,,,

,,

EIKK

Matrice krutosti konanih elemenata u globalnom koordinatnom sistemu:

ikik

T

ik

*

ik TKTK

6

5

4

3

2

1

80

2400960

0069

40240080

240096002400960

00690069

12

,.sim

,,

,

,,,

,,,,

,,

EIK


10/21


strana 10 od 19

9

8

7

6

5

4

80

2400960

0069

40240080

240096002400960

00690069

23

,.sim

,,

,

,,,

,,,,

,,

EIK

Matrica masa uz nepoznata pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

6

5

4

200

0312

00280

420

.sim

AlMnn

Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

6

5

4

61

01920

00219

,.sim

,

,

EIKnn

Svojstvene krune frekvencije se dobijaju reavanjem frekventne jednaine:

02 nninn MK

Napomena:naglaene (boldovane) su poprene oscilacije:

konzistentne mase Ansys v12.1 (konzistentne mase bez uticaja smicanja)

1 115,559 115,403

2 416,653 414,244

3 1219,836 1219,818

Reenje sa koncentrisanim masama:

Masu tapova koncentriemo u vorove (po polovina mase tapa se koncentrie u vorove za kojeje vezan).

Matrica koncentrisanih masa:

6

5

4

0

08751

008751

sim

,

,

Mnn


11/21


strana 11 od 19

Kondenzovana matrica krutosti:

1920

021911

,.sim

,EIK

0

012 EIK 0021 EIK 6122 ,EIK

192,0.

02,1921

1221211

simEIKKKKKc


8751

0875111

,.sim

,M


0112 MK ic


koncentrisane mase Ansys v12.1 (koncentrisane mase bez uticaja smicanja)

1 99,599 99,601

2 995,992 996,011

Reenje sa raspodeljenim masama (samo poprene oscilacije):Koristimo reenje:

1)cosh()cos(:)(

2

2


EI

L

Lkn

nn

Komentar:

Analiza je izvrena sa 4 i 8 konanih elemenata (Ansys v12.1 bez uticaja smicanja).


Raspodeljene

maseAnsys v12.1 (koncentrisane mase)

4KE / 8KEAnsys v12.1 (konzistentne mase)

4KE / 8KE

1 113,71 113,355/ 113,701 113,719/ 113,581

2 313,46 301,159/ 313,129 314,844/ 312,167

3 614,51 495,046/ 611,310 620,999/ 609,714

4 1015,82 1078,069 / 997,330 1134,869 / 1004,304


12/21


strana 12 od 19

Komentar:

Moe se zakljuiti da su reenja za krune frekvencije dobijena na modelu sa 4 KE, primenomkoncentrisanih masa, priblino tana samo za prvi ton. Za veu tanost kod viih tonova potrebno

je primeniti vei broj konanih elemenata.

Oblici oscilacija (model sa 8 KE konzistentne mase Ansys v12.1 bez uticaja smicanja):

1 Ton

1

X

Y

Z

OCT 3 2011

11:17:23

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =1

FREQ=18.077

DMX =.820406

2 Ton

1

X

Y

Z

OCT 3 2011

11:20:34

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =2

FREQ=49.683

DMX =.759838

3 Ton

1

X

Y

Z

DEC 17 2012

19:59:17

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =3

FREQ=97.039

DMX =.760385


13/21


strana 13 od 19

5. Primer

Za zadati sitem odrediti svojstvene krune frekvencije.

Podaci: = 2500kg/m3, E = 31GPa, b/d = 30/120cm, L = 10m.

Napomena: uporedna analiza je sprovedena metodom konanih elemenata u programu Ansys

v12.1. Tip konanog elementa BEAM3.

Komentar:modeliranje moe da se izvri na dva naina:

1.

2.

Razlike u reenju pri modeliranju na prethodna dva naina su zanemarljive.

Reenje:

Greda je podeljena na dva konana elementa:

tap i k L A I cos() sin()

1 1 2 5 0,36 0,0432 1 0

2 2 3 5 0,36 0,0432 1 0


14/21


strana 14 od 19

Reenje sa konzistentnim masama:

Matrice masa u lokalnom koordinatnom sistemu:

2

22

2312

4.

22156

00140

31304

1354022156

007000140

420

lsim

l

lll

ll

AlMM

Matrice transformacije: ITT 21

Matrice masa u globalnom koordinatnom sistemu:

ikikTik

*ik TMTM

6

5

4

3

2

1

4.

22156

00140

31304

1354022156

007000140

420

2

22

*

12

lsim

l

lll

ll

AlM

9

8

7

6

5

4

4.

22156

00140

31304

1354022156

007000140

420

2

22

*

23

lsim

l

lll

ll

AlM

Matrice krutosti konanih elemenata u lokalnom koordinatnom sistemu:

80

2400960

0061

40240080

240096002400960

00610061

2312

,.sim

,,

,

,,,

,,,,

,,

EIKK

Matrice krutosti konanih elemenata u globalnom koordinatnom sistemu:

ikik

T

ik

*

ik TKTK


15/21


strana 15 od 19

6

5

4

3

2

1

80

2400960

0061

40240080

240096002400960

00610061

12

,.sim

,,

,

,,,

,,,,

,,

EIK

9

8

7

6

5

4

80

2400960

0061

40240080

240096002400960

00610061

23

,.sim

,,

,

,,,

,,,,

,,

EIK

Matrica masa uz nepoznata pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

9

7

6

5

4

3

100

0140

750200

6500312

07000280

0075650100

420

.sim

AlMnn

Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

9

7

6

5

4

3

80

061

40061

240001920

0610033

0040240080

,.sim

,

,,

,,

,,

,.,

EIKnn


02 nninn MK


16/21


strana 16 od 19


konzistentne mase Ansys v12.1 (konzistentne mase bez uticaja smicanja)

1 120,868 120,160

2 534,505 522,120

3 567,438 567,441

4 1343,523 1273,413

5 1982,282 1982,282

6 2449,411 2234,489

Reenje sa koncentrisanim masama:

Masu tapova koncentriemo u vorove (po polovina mase tapa se koncentrie u vorove za kojeje vezan).


7

5

4

252

054

0054

,sim

,

,

Mnn

Kondenzovana matrica krutosti:

61

01920

61033

11

..sim

,

.,

EIK

000

2400240

000

12 ,,EIK TKK 1221

80

4061

04080

22

,sim

,,

,,

EIK

6,10048,0

6,103,3

211221211

simEIKKKKKc


0112 MK ic


17/21


strana 17 od 19


koncentrisane mase Ansys v12.1 (koncentrisane mase bez uticaja smicanja)

1 119,519 119,519

2 539,027 539,028

3 1301,326 1301,311

Reenje sa raspodeljenim masama (samo poprene oscilacije):

Koristimo reenje:

,...)3,2,1(2

22

nA

EI

L

nn

Komentar:

Analiza je izvrena sa 8 i 16 konanih elemenata (Ansys v12.1 bez uticaja smicanja).


Raspodeljene

maseAnsys v12.1 (koncentrisane mase)

8KE / 16KEAnsys v12.1 ( konzistentne mase)

8KE / 16KE

1 120,393 120,392 / 120,392 119,688 / 119,688

2 481,572 481,424 / 481,562 470,680 / 470,560

3 1083,537 552,248 / 552,914 554,026 / 553,354

1081,550 / 1083,441 1031,353 / 1030,116

Oblici oscilacija (model sa 8 KE konzistentne mase Ansys v12.1 bez uticaja smicanja):

1 Ton

1

X

Y

Z

OCT 3 2011

11:31:00

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =1

FREQ=19.049

DMX =.469209


18/21


strana 18 od 19

2 Ton

1

X

Y

Z

OCT 3 2011

11:34:02

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =2

FREQ=74.911

DMX =.468774

3 Ton1

X

Y

Z

DEC 17 2012

20:47:25

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =3

FREQ=88.176

DMX =.472921

4 Ton (3 Ton poprene oscilacije)

1

X

Y

Z

DEC 17 2012

20:49:30

DISPLACEMENT

STEP=1

SUB =4

FREQ=164.145

DMX =.484109


19/21


strana 19 od 19

6. Literatura

1. Chopra A. K.: Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering,Prentice Hall, New Jersey, 1995.

2.

Clough R. W., Penzien J.: Dynamics of structures, Computers & Structures, Inc., Berkeley,California, 1995.

3. ori B., Salati R.: Dinamika graevinskih konstrukcija.

4. Petrovi B. i drugi: Zemljotresno inenjerstvo.

5. Rankovi S., ori B.: Dinamika konstrukcija.

6. Sekulovi M.: Metod konanih elemenata.

7. Vujanovi B.: Teorija oscilacija.


20/21

7. Odreivanje konzistentnih matrica masa

tap tipa k

Nk x L,( )

1 x

L

-

0

0

1 3 x

L

2

- 2 x

L

3

+

0

x 2 x

2

L-

x3

L2

+

x

L

0

0

3 x

L

2

2 x

L

3

-

0

x2

L-

x3

L2

+

:=

Mik F, x, L,( ) F0

L

xNk x L,( )T

Nk x L,( )

d:=

420

F L Mik F, x, L,( )

140

0

0

70

0

0

0

156

22 L

0

54

13- L

0

22 L

4 L2

0

13 L

3- L2

70

0

0

140

0

0

0

54

13 L

0

156

22- L

0

13- L

3- L2

0

22- L

4 L2

tap tipa ig

Nig x L,( )

1 x

L-

0

0

1 3

2

x

L

2

- 1

2

x

L

3

+

0

x 3

2

x2

L-

1

2

x3

L2

+

x

L

0

0

3

2

x

L

21

2

x

L

3

-

:=

Mig F, x, L,( ) F 0

L

xNig x L,( )T

Nig x L,( )

d:=

420

F L Mig F, x, L,( )

140

0

0

70

0

0

204

36 L

0

117

2

0

36 L

8 L2

0

33 L

2

70

0

0

140

0

0

117

2

33 L

2

0

99


21/21

tap tipa gk

Ngk x L,( )

1 x

L-

0

0

1 3

2

x

L-

1

2

x

L

3

+

x

L

0

0

3

2

x

L

1

2

x

L

3

-

0

1

2- x

1

2

x3

L2+

:=

Mgk F, x, L,( ) F0

L

xNgk x L,( )T

Ngk x L,( )

d:=

420

F L Mgk F, x, L,( )

140

0

70

0

0

0

99

0

117

2

33 L

2-

70

0

140

0

0

0

117

2

0

204

36- L

0

33 L

2-

0

36- L

8 L2

Prost tap

Ns x L,( ) 1 xL

- xL

:=

Ms F, x, L,( ) F0

L

xNs x L,( )T

Ns x L,( )

d:=

3

F L Ms F, x, L,( )

1

1

2

1

2

1

420

F L Ms F, x, L,( )

140

70

70

140

Documents

4. SAK - uvod u MKE.pdf