4. Rm1 Capiv Torsión Part1

RESISTENCIA DE MATERIALES I

ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL

CAPTULO IV TORSIN

Ing. Carlos Pea Ochoa

Facultad de Ingeniera en Ciencias de la Tierra (FICT)

1

TORSIN

En este captulo se analizarn los efectos queproduce la aplicacin de una carga de torsin sobreun elemento largo y recto como un eje o tubo.

El par de torsin es un momento que tiende a torcerun elemento sobre su eje longitudinal.

Este efecto es de gran importancia en el diseo deejes o rboles de transmisin utilizados en vehculosy maquinarias.

2

TORSINSupongamos tenemos un material altamentedeformable como el caucho.

Se marcan los crculos y las lneas longitudinalmenteen el material, como en la figura.

3

TORSINAl aplicarle un par de torsin, se puede observar los siguientesdetalles:

1. Los crculos y las lneas longitudinales marcados tienden adistorsionarse para formar el patrn mostrado en la figura.

2. Los crculos se conserven como crculos.

3. Cada lnea longitudinal de la cuadrcula se deforma en una hlice queinterseca los crculos en ngulos iguales.

4

TORSIN4. Las secciones transversales de los extremos a lo largo del eje siguen

siendo planas.

5. Las lneas radiales se conservan rectas durante la deformacin.

6. Adems, se puede suponer que si el ngulo de giro es pequeo, lalongitud del eje y su radio se mantendrn sin cambio.

Estas consideraciones son muy importantes para la deduccin de lafrmula de la torsin.

5

DEDUCCIN DE LA FRMULA DE TORSIN

Si un rbol est fijo en uno de sus extremos y se aplica un par de torsin asu extremo, el plano gris oscuro de la figura, se distorsionar en formasesgada como se indica a continuacin:

6

El ngulo (), se denomina ngulo de giro.

Depende de la posicin de x y vara a lo largo del eje.


Debido a la deformacin mostrada en la figura 5-2, las caras frontal yposterior del elemento experimentarn una rotacin, es decir la caraposterior de y la cara frontal de + .Como resultado, la diferencia en estas rotaciones, , hace que elelemento est sometido a una deformacin cortante.

7


Ahora, se aislar un pequeo elemento situado a unadistancia radial (rho) de la lnea central del eje,como en la figura.

8


Observe que antes de la deformacin, el ngulo entre las aristas AB yAC era de 90.

Sin embargo, despus de la deformacin los bordes del elemento sonAD y AC, y ahora el ngulo entre ellos es de .

A partir de la definicin de deformacin cortante se tiene:

9

=

2


Este ngulo, , que se indica en el elemento, puede relacionarse con lalongitud y con el ngulo entre los planos sombreados alconsiderar el arco BD, es decir:

10

= =

Por lo tanto, si se hace y ,

=


Como y son iguales para todos los elementos ubicados en lospuntos sobre la seccin transversal en x.

Es decir, el esfuerzo cortante dentro del eje vara linealmente a lo largode cualquier lnea radial, desde cero en la lnea central del eje hasta unmximo en su lmite exterior, como en la figura:

11

Como

=

=

, entonces:

=

Esta ecuacin es vlida solo para lostubos circulares, adems recordarlas consideraciones mostradasanteriormente.


Al aplicar un par de torsin externo en un eje, en ste se genera un parde torsin interno correspondiente.

La frmula de la torsin nos permite relacionar este par de torsininterno con la distribucin del esfuerzo cortante en la seccintransversal del eje o tubo circular.

Suponemos que el material es elstico lineal, por tanto se puede aplicarla ley de Hooke, = .

En consecuencia cualquier variacin lineal en la deformacincortante conducir a una correspondiente variacin lineal en elesfuerzo cortante a lo largo de cualquier lnea radial en la seccintransversal.

12


Es decir variar desde cero en la lnea central del eje hasta un valormximo, .

Esta variacin se muestra en la figura.

Entonces a partir de la proporcionalidad de tringulos, se puedeescribir:

13

=

Esta ecuacin expresa la distribucindel esfuerzo cortante sobre la seccintransversal en funcin de la posicinradial del elemento.


En especfico, cada elemento de rea , ubicado en , est sometido auna fuerza de = .

El par de torsin producido por esta fuerza es = ().

Por lo tanto, para toda la seccin transversal se tiene:

14

Como

es constante,


La integral depende slo de la geometra del eje.

Representa el momento polar de inercia del rea de laseccin transversal del eje alrededor de su lnea centrallongitudinal.

Su valor se simboliza como y por lo tanto, la ecuacinanterior puede reordenarse y escribirse de la siguientemanera:

15


16

En donde: = el esfuerzo cortante mximo en el eje, que se produce en la superficie

externa.

= el par de torsin interno resultante que acta en la seccin transversal.

= el momento polar de inercia del rea de la seccin transversal.

= el radio exterior del eje


17

Esta es la frmula de torsin.

Recordar que esta frmula es vlida, siempre que se cumpla: Eje circular.

Material es homogneo.

Tenga un comportamiento de manera elstica lineal, es decir, se puede aplicar la ley de Hooke.

Combinando las ecuaciones y

El esfuerzo cortante a la distancia intermedia puede determinarse a partir de:


NGULO DE GIRO

Para determinar el ngulo de giro (phi), asumiremos que el materiales homogneo, de modo que G es constante.

Adems que el material se comporta de manera elstica lineal cuandose le aplica un par de torsin.

Se asla un disco diferencial de espesor, , situado en la posicin x, enla figura.

18


El par de torsin resultante interno es ().

Debido a (), el disco girar, de modo que la rotacin relativade una de sus caras con respecto a la otra es , como en lafigura.

19


En consecuencia, elemento de material que se encuentra en un radio dentro del disco experimentar una deformacin cortante .

Los valores de y se relacionan mediante la ecuacin:

20

=

Como la ley de Hooke, =

, es vlida y el esfuerzo cortante puede

expresarse en trminos del par de torsin aplicado usando la frmulade la torsin:

=()

(), entonces =

()


Sustituyendo en la ecuacin =

, el ngulo de giro para el disco

es:

21

=()

Integrando sobre toda la longitud L del eje, se obtiene el ngulo degiro para todo el eje, es decir:

= 0


22

En donde: = el ngulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro extremo,

medido en radianes.

() = el par de torsin interno en la posicin arbitraria x.

() = el momento polar de inercia expresado como una funcin de laposicin x.

= el mdulo de elasticidad cortante para el material.

= 0


23

Si el material es homogneo, de modo que G es constante.

Y si la seccin transversal del eje y el par de torsin externoson constantes.

Entonces, el par de torsin interno = , adems, elmomento polar de inercia = , de la integral seobtendra:

=

Esta ecuacin es muy similar a la estudiada en el captulo I:

=

En la figura se muestran los valores del momento polar deinercia para secciones circulares.

24


Sustituyendo estos valores en la frmula de la torsin, staadquiere las siguientes formas:

25



26

EJES SLIDOS NO CIRCULARES

Las frmulas mostradas anteriormente son slo para seccionestransversales circulares.

Para calcular los valores de esfuerzos cortantes y ngulo de giro,podemos usar las expresiones de la tabla adjunta:


27

TRANSMISIN DE POTENCIA

Los tubos y ejes con secciones circulares se utilizan para transmitir lapotencia desarrollada por una mquina.

La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo.

Por su parte, el trabajo transmitido por un eje giratorio es igual al paraplicado por el ngulo de rotacin.

Por lo tanto, en un instante de tiempo un par de torsin aplicadohace que el eje gire un ngulo , entonces la potencia instantnea es:

Como la velocidad angular del eje es = /, la potencia puedeexpresarse:


28

TRANSMISIN DE POTENCIA


29

En el sistema SI, la potencia se expresa en vatios cuando el par de torsinse mide en newton-metros (Nm) y se expresa en radianes por segundo(rad/s) (1W = 1 N m/s).

En el sistema pie-libra-segundos, las unidades bsicas de la potencia sonpies-libras por segundo (pie lb/s); sin embargo, los caballos de fuerza(hp) son usado frecuentemente, donde:

En maquinarias, a menudo se usa la frecuencia, y como 1 ciclo = 2 rad,entonces = 2, por lo que la ecuacin anterior, se convierte en:

1 = 550 /

Documents

4. Rm1 Capiv Torsión Part1