Notas de Aula -RM1

Resistncia dos Materiais I

Esttica Conceitos ePrincpios Fundamentais

Fbio Blas Masuela

O que a Mecnica?

Cincia que descreve e prediz as condies de repousoou movimento de corpos sob a ao de foras.

Conceitos e PrincpiosFundamentais

A Esttica a parte da Fsica que estuda sistemas (partculas oucorpos rgidos) sob a ao de foras que se equilibram.

De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de umsistema em equilbrio tambm esto em equilbrio.

De acordo com a segunda lei de Newton, a acelerao destessistemas nula.

Espao: Conceito associado a noo de posio de um ponto P,relativamente a origem de um determinado referencial decoordenadas.

Tempo: A posio de um ponto P pode modificar-se com o tempo. Massa: Conceito associado quantidade de matria. Fora: Representa a ao de um corpo sobre outro, podendo

exercer-se por contato direto ou distncia. Uma fora caracterizada pelo ponto de aplicao, intensidade, direo esentido; representa-se por um vetor.

O estudo da Mecnica Newtoniana repousa em seis princpiosfundamentais, com base em evidncias experimentais:

1 Regra do Paralelogramo para Adio de Foras: Estabeleceque duas foras atuando numa partcula podem ser substitudas poruma nica fora, chamada resultante, obtida traando a diagonal doparalelogramo que tem por lados as duas foras dadas.

2 Primeira Lei de Newton: Se a resultante das foras que atuamnuma partcula nula, esta permanecer em repouso (se estavainicialmente em repouso) ou mover-se- com velocidade constantesegundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).

EXEMPLO: Um elevador de um prdio de apartamentos encontra-se, durante um certo tempo, sob a ao exclusiva de duas forasopostas: o peso e a trao do cabo, ambas de intensidade iguala 2000 N. O elevador est parado?

3 Segunda Lei de Newton: Se a resultante que atua sobre umponto material no zero, este ter uma acelerao proporcional intensidade da resultante e na direo desta, com o mesmo sentido.

4 Terceira Lei de Newton: As foras de ao e reao entrecorpos interagindo tm as mesmas intensidades, mesmas linhas deao e sentidos opostos.

5 Princpio da Transmissibilidade: Estabelece que as condiesde equilbrio ou de movimento de um corpo rgido no se alteram sesubstituirmos uma fora atuando num ponto do corpo por outrafora com a mesma intensidade, direo e sentido, mas atuando emum outro ponto do corpo, desde que ambas as foras possuam amesma linha de ao.

6 Lei da Gravitao de Newton: Estabelece que dois pontosmateriais de massas M e m so mutuamente atrados com forasiguais e opostas F e F de intensidade F dada por:

Sorocaba 2sem / 2011

Exemplo: 1dm = 0,1m = 10-1 m 1cm = 0,01m = 10-2 m 1mm = 0,001m = 10-3m

1dm = (1 dm) = (10-1m) = 10-2m 1cm = (1cm) = (10-2m) = 10-4 m 1mm = (1mm) = (10-3m) = 10-6m

1dm = (1 dm) = (10-1m) = 10-3m 1cm = (1cm) = (10-2m) = 10-6 m 1mm = (1mm) = (10-3m) = 10-9m


VetoresFbio Blas Masuela

Vetores As grandezas vetoriais so representadas por um ente matemtico

denominado vetor.

Um vetor rene, em si, o mdulo, representando o valor numrico ou intensidade da grandeza, e a direo e sentido, representando a orientao da grandeza.

importante salientarmos as diferenas entre direo e sentido: um conjunto de retas paralelas tem a mesma direo.

Vetores e, a cada direo, podemos associar uma orientao.

Vetores A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um

segmento de reta orientado (direo e sentido) com uma determinada medida (mdulo).

Vetores Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas

indicadas abaixo:

Vetores Iguais e Vetores Opostos Dois vetores so iguais quando possuem o mesmo mdulo, a

mesma direo e o mesmo sentido.

Vetores Iguais e Vetores Opostos Dois vetores so opostos quando possuem o mesmo mdulo, a

mesma direo e sentidos contrrios.

Multiplicao de um vetor por um escalar.

Podemos multiplicar um vetor por um escalar n (nmero real), obtendo um novo vetor .

Esse novo vetor tem as seguintes caractersticas:

Adio de Vetores . Para a determinao do vetor resultante, ou seja, para efetuarmos a

adio vetorial de dois ou mais vetores, podemos utilizar trs mtodos, denominados:

a) regra do polgonob) regra do paralelogramoc) regra dos componentes vetoriais

Adio de Vetores . a) Regra do Polgono (qualquer nmero de vetores)

Adio de Vetores . a) Regra do Polgono (qualquer nmero de vetores) Exemplo: Dados trs vetores , sendo:

Determine o valor resultante:

Adio de Vetores . a) Regra do Polgono (qualquer nmero de vetores) Resoluo

Adio de Vetores . b) Mtodo do paralelogramo

(somente para dois vetores)


Exemplo: Dados os vetores e com a = b = 20, obter o vetor


Resoluo:

Adio de Vetores . c) Componentes vetoriais


Exemplo: Dados os vetores abaixo, obter o vetor resultante

a = 20 ub = 42 uc = 38 ud = 30 u

sen 37= cos 53= 0,6cos 37= sen 53= 0,8


Resoluo:

ax = a cos 37= 20 . 0,80 = 16 u ay = a sen 37= 20 . 0,60 = 12 u dx = d cos 53= 30 . 0,60 = 18 u dy = a sen 53= 30 . 0,80 = 24 i>u Rx = + ax + bx cx dx = 16 + 0 38 18 Rx = 40 u Ry = ay + by + cy dy = 12 + 42 + 0 24 Ry = 30 u


Resoluo:


Vetores cartesianoFbio Blas Masuela

Componentes retangulares de um vetor

Vetor Unitrio

Representao de um Vetor Cartesiano

ngulos Diretores Coordenados

Determinao dos ngulosDiretores Coordenados

Sistemas de Foras concorrentes

Exemplo

Exemplo 2


Equilbrio de uma partculaFbio Blas Masuela

Condio de Equilbrio do Ponto Material

Diagrama de Corpo Livre

Cabos e Polias

Equaes de Equilbrio

Formulao Matemtica para oEquilbrio em Trs Dimenses

Exerccio


Momento de uma foraFbio Blas Masuela

Definio

Exemplo

Formulao escalar para momento

Momento resultante de um sistema de foras coplanares

Exemplo


Momento de uma foraFbio Blas Masuela

Momento de uma Fora Anlise Vetorial

Princpio dos Momentos

Regras do Produto Vetorial

Formulao Vetorial Cartesiana

Exemplo


Equilbrio de um corpo rgidoFbio Blas Masuela

Equaes de Equilbrio da EstticaSistema Bidimensional

Tipos de apoio

Exemplos de apoio

Diagrama de Corpo Livre AnalogiaPrtica/Terica

Exemplo

Problemas que Envolvem oEquilbrio de um Corpo Rgido

Exemplo:Uma estrutura em arco treliado fixa ao suportearticulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 30 com ahorizontal. O vo AB mede 20 m. O peso prprio da estrutura de100 kN. A fora resultante dos ventos de 20 kN, e situa-se a 4 macima de A, horizontalmente, da direita para a esquerda. Determineas reaes nos suportes A e B.


Exemplo (continuao):Diagrama de Corpo Livre


Exemplo (continuao):


Exemplo: Um letreiro pendurado por duas correntes no mastroAB. O mastro articulado em A e sustentado pelo cabo BC.Sabendo que os pesos do mastro e do letreiro so 1000 N e 800 N,respectivamente, determine a trao no cabo BC e a reao naarticulao em A.


Exemplo (continuao):Diagrama de Corpo Livre

Exemplo (continuao):


TreliaFbio Blas Masuela

Trelia simples

Trelia Plana

Trelia de uma ponte

Elementos de duas foras

Mtodo dos ns

Mtodo das sees

Exemplo


Centro de gravidadeFbio Blas Masuela

INTRODUO Os conceitos de CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE

MASSA e CENTRIDE, muitas vezes so utilizados comose fossem a mesma coisa, pois, na prtica so originriosde um mesmo princpio, o desenvolvimento do primeiro,leva aos outros dois, com algumas particularidades.

Antes, porm, vamos retomar o TEOREMA DE VARIGON,utilizado para desenvolver o conceito de centro degravidade.

TEOREMA DE VARIGNON O momento da resultante de um sistema de foras

coplanares, em relao a um ponto qualquer de seuplano, igual a soma algbrica dos momentos parciaisdas foras constituintes do sistema em relao aomesmo ponto. 2

TEOREMA DE VARIGNONEXEMPLO

O sistema abaixo, compem-se de uma viga com as trs foras

indicadas (F1, F2, F3), tendo como resultantes: FR = - 14 N eMRO = - 33 N.m (sentido horrio) + M0 = (3x1) (12x3)

M0 = 3 36

MRo = - 33 N.m

Determinao do ponto (XG) onde se

pode colocar a FR que ter o mesmoefeito de translao e rotao.

MR0 = FR . XG

-33 = -14N . XGXG = -33/14 = 2,4m

3

CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE UMA FIGURA PLANA

BARRA PRISMTICA Seco longitudinal

Seco transversal

4

CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE UMA FIGURA PLANA

1. rea2. Momento Esttico de rea3. Centro de Gravidade; Centro de Massa,

Centride 4. Momento de Inrcia

5

1 - REA de uma figura plana a superfcie limitada pelo seu contorno.

b

h

Unidade de rea: [L2] unidade decomprimento ao quadrado

Sistema Internacional [m2] outrasunidades: in2 ; cm2; mm2

A rea utilizada para adeterminao das tenses normais

de trao e compresso () e dastenses de cisalhamento ou corte ()

A = b.h

A = b.h/2

A = (b+B)/2 . hA = a2

A = (R2 r2)

A = R2

a

a

6

2 MOMENTO ESTTICO DE READefini-se o Momento Esttico de umelemento de superfcie como o produtoda rea deste elemento pela distncia queo separa de um eixo de referncia.

Mx = y. dA e My = x . dA

Momento Esttico de rea (superfcie plana)

a somatria de todos os momentos estticos doselementos de superfcie que formam a superfcietotal

( 01 )

( 02)

7

3 CENTRO DE GRAVIDADE, BARICENTRO, CENTRIDE

Um slido constitudo por grande nmero de partculas, cada uma

delas atradas para a Terra, devido seu prprio peso. Ao somarmos todas

as foras-pesos de cada uma das partculas, temos o peso total do slido.

Assim, a atrao exercida pela Terra num corpo rgido pode ser

representada por uma nica fora P, chamada de Peso do corpo, que

aplicada em um ponto denominado centro de gravidade (ou baricentro)

O centro de gravidade de uma superfcie plana , por definio, o ponto

de coordenadas:

Onde, My e Mx so, respectivamente, o Momento Esttico de rea

em relao aos eixos X e Y.

( 04)( 03 )

8

3.1 CENTRO DE GRAVIDADESeja sistema trs partculas de pesos P1,P2 e P3, conforme mostrado na figura aolado.

- P. XG = - P1.x1 - P2.x2 - P3.x3

P. XG = P1.x1 +P2.x2 + P3.x3

Aplicando o Teorema de Varignon ponto O:

XG = P1.x1 + P2.x2 + P3.x3P

XG = m1.g.x1 + m2.g.x2 + m3. g.x3m.g

Como m = m1 + m2 + m3

XG = m1.x1 + m2.x2 + m3.x3

m1+ m2.+ m3

( 05 )

( 06 )

Tambm denominada de centro de massa

9

3.1 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRO DE MASSA

Girando-se o sistema de partculas de90 e no sentido horrio, mantm-se amesma relao das foras-pesosdestas partculas.

Analogamente, a ordenada YG dalinha de ao da resultante ser dadapor:

CENTRO DE GRAVIDADE: quando se utiliza as foras-pesos

CENTRO DE MASSA: quando se utiliza as massas

Mas ambos so conceitos semelhantes, na prtica se diz Centro de Gravidade, ou ainda o termo CG

( 07 )

10

3.2 CENTRIDE DE UMA SUPERFCIE Quando consideramos uma superfcie (figura

no plano XY) ao invs de um corpo slido

(volume), a expresso centro de gravidade

denominada por alguns autores de

CENTRIDE, ou ainda de BARICENTRO de uma

superfcie.

Utilizando o conceito de densidade (d)

d = m / V m = d . V = d . A. h

Para casos de densidade homognea (mesmo

material) e superfcies de mesma espessura

(h), as expresses ( 06) e (07) desenvolvidas

para o centro de gravidade:

XCG = d h (A1 X1 . A1 + X2 A2 + X3 A3)

d. h. (A1 + A2 + A3)

YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + .Y3 A3

A1 + A2 + A3

XCG = X1 . A1 + X2 A2 + X3 A3

A1 + A2 + An ( 08 )

ANALOGAMENTE,

( 09 )11

3.2 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRIDE DE UMA SUPERFCIE

Se ao invs de trs elementos em que a rea dividida,aumentarmos para n elementos, as equaes (8) e (9) ficam:

Considerando a totalidade das partculas, temos:

XCG = x dA YCG = Y dA

XCG = X1 . A1 + X2 A2 + ... Xn An

A1 + A2 + ... An

YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + ... Yn An

A1 + A2 + ... An( 10 ) ( 11)

( 12 ) ( 13)A A

Na prtica usamos as equaes (10) e (11) que tambm so expressas por

( 14 )( 15 )

12

CENTRO GRAVIDADE composio de figuras

13

No exemplo abaixo, desmembramos a figura (a) em duas formas:

Fig (a)

Fig (a)

X1 A1 + X2 A2 + X3 A3

A1 + A2 + A3

XCG =

XCG =X1 A1 + X4 A4 - X5 A5

A1 + A4 - A5

5

1

23

1

4

Analogamente

para YCG

CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRIDESAlgumas observaes

1. Para este curso, utilizaremos a expresso centro de gravidade com mesmo significado de centride de uma superfcie plana, ou ainda baricentro.

2. trabalharemos no plano XY3. existem diversas notaes para expressar o

centro de gravidade: XG; XCG e analogamente YG; YCG e

14

CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRIDES) DE SUPERFCIES PLANAS

Retngulo Quadrado Tringulo

15

CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRIDES) DE SUPERFCIES PLANAS

Crculo Crculo Semicrculo

16

EXEMPLO 1: Localize o CG da figura abaixo

17

EXEMPLO 1 - Soluo

18

EXEMPLO 2: Localizar e calcular o centride da pea abaixo.

19

EXEMPLO 2 Soluo

20

EXEMPLO 3 Localizar o centride da figura abaixo

EXEMPLO 3 Soluo

22

EXEMPLO 4 Determinar o centro de gravidade da figura, utilizando o Momento Esttico de rea

1 Clculo das reas:

SOLUO

2 Clculo dos Momentos Estticos de cada rea:

3- Clculo do CG

YCG = 7,36 cm23

EXEMPLO 5 Determinar o Centro de Gravidade utilizando Momento Esttico de

rea

A Figura hachurada pode ser o resul-tado de um retngulo (126) cm do qual foram retirados um tringulo e um semicrculo.

SOLUO1- REA

2- MOMENTO ESTTICO

3- COORDENADA YCG DO CENTRO GRAV.

24

EXEMPLO 5 (continuao) analogamente determina-se a coordenada XCG do centro de gravidade

25

EXERCCIOS Calcular o CG das figuras abaixo:

A1 = a2; x1 = a/2; y1 = a/2

A2= a2/2 ; x2=4a/3; y2=a/3

XG = 0,777a; YG = 0,444a

Ex. 01 Ex. 02 Ex. 03

26

Ex. 04 Ex. 05

EXERCCIOS CENTRO DE GRAVIDADE

27

EXERCCIOS CENTRO GRAVIDADEEX. 06 Calcule o centro de gravidade da figura abaixo (repare que a figura pode ser expressa pela composio de duas outras)

-= 28

Momento de Inrcia

Flexo em vigas Consumindo-se um mesmo volume de material, possvel modificar

a rigidez flexo da estrutura.

MOMENTO DE INRCIA

30

O momento de inrcia de uma superfcie

plana em relao a um eixo de referncia

definido como sendo a integral de rea dos

produtos dos elementos de rea que

compem a superfcie pelas suas respectivas

distncias ao eixo de referncia, elevadas ao

quadrado.

O Momento de Inrcia tambm denominado de Momento deSegunda Ordem, em contraposio ao Momento Esttico derea (momento de primeira ordem)

MOMENTO DE INRCIA SECO RETANGULAR

31

Seja a seco retangular mostrada na figura

ao lado. Determinar o momento de inrcia do

retngulo em relao aos seguintes eixos:

a) x, passando pela base inferior.

b) CG x , passando pelo CG.

dA = b dy

Se girarmos a pea, invertendo as posies, temos Iy = h.b

3/3

Soluo a)

b) Em relao ao eixo que passa pelo CG

MOMENTOS DE INRCIA

32

x

Y

PROPRIEDADES MOMENTO DE INRCIA

33

O momento de inrcia total de uma superfcie a somatriados momentos de inrcia das figuras que a compe.

Exemplo 01:Determinar o momento de inrcia dasuperfcie hachurada em relao ao eixo x quepassa pelo CG. (medidas em centmetros)

TEOREMA DOS EIXOS PARALELOSTEOREMA DE STEINER

Translao de eixosO momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo

qualquer igual ao momento de inrcia em relao ao eixo quepassa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto darea (A) pelo quadrado da distncia que separa os dois eixos.

34

Ix = momento de inrcia da figura em relao ao eixo x.

Iy= momento de inrcia da figura em relao ao eixo Y.

IxCG = momento de inrcia da figura em relao ao eixo

XCG que passa pelo CG da figura.

IyCG = momento de inrcia da figura em relao ao eixo

YCG que passa pelo CG da figura.

xCG = distncia do eixo y at o eixo YCG .

yCG = distncia do eixo x at o eixo XCG .

TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS TEOREMA DE STEINER

35

EXEMPLO 02: Calcular o momento de inrcia da seco U abaixo em relao ao seu centro

de gravidade.

Temos que calcular o momento de inrcia de cada rea em relao ao prprio CG. Apesar

das reas A1, A2 e A3 serem retngulos, no podemos simplesmente calcul-los pela

expresso Ix = b.h/12, pois a mesma para o clculo do momento de inrcia em relao

ao prprio centro de gravidade (CG1, CG2 e CG3) e no em relao ao centro de gravidade

da seco toda utilizamos o TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS TEOREMA DE STENER

36

O Teorema dos Eixos Paralelos ou ainda Teorema de Steiner para o casotratado, dado pela frmula abaixo:

Obs.: O momento de inrcia calculado em relao a um eixo e no

em relao um ponto. O correto aqui, quando dizemos clculo do

momento de inrcia em relao ao centro de gravidade : em relao

linha neutra que passa pelo centro de gravidade.

MOMENTO DE INRCIA Algumas consideraes

O MOMENTO DE INRCIA utilizado para a determinao das tenses normais a que esto sujeitas as peas submetidas flexo.O MOMENTO DE INRCIA importante para o dimensionamento doselementos estruturais, pois fornece, em valores numricos, a resistncia dapea. Quanto maior for o momento de inrcia da seo transversal de uma pea,maior a sua resistncia mede sua rigidez, ou a sua resistncia flexo.

O MOMENTO DE INRCIA mede a distribuio da massa de um corpo em tornode um eixo de rotao quanto maior for o momento de inrcia de um corpo,mais difcil ser faz-lo girar ou fletir.

Contribui mais para a elevao do momento de inrcia a poro de massa queest tanto mais afastada do possvel eixo de giro ou do centro de gravidade dapea.

Por depender do quadrado das distncias ao eixo um valor sempre positivo.

A unidade de MOMENTO DE INRCIA L4 no sistema internacional deunidades dada por m4, mas muitas vezes mais conveniente express-lo nosmltiplos cm4 ou mm4 . 37

EXEMPLO 06 Determinar o Momento de Inrcia figura abaixo

1 Clculo das reas:

SOLUO

3 Teorema dos Eixos Paralelos

2- Clculo do CG

YCG = 7,36 cm

38

d1 = cm; d2 = cmd3 = cm

=

=

=

=

EXEMPLO 07: Determinar o momento de inrcia em relao

ao eixo x do perfil abaixo:

39

Pelo Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de STEINER:

O momento de inrcia da seco a soma de

I1 = 8.23 + (1,345) 2.16 I1 = 34,313 in

4

I2 = 2.53 + (2,154) 2 . 10 I2 = 66,843 in

4

12

12

Documents

Notas de Aula -RM1