4. modul Poliéderek felszíne, térfogatakooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár... · Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és

Matematika „A” 12. évfolyam

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

Készítette: Vidra Gábor

Matematika „A” – 12. évfolyam – 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 2

A modul célja A felszín és a térfogat szemléletes fogalmának továbbfejlesztése. A poliéderek szemléletes definíciója, alapfogalmak ismerete (pl.: alkotó, alaplap, magasság). A hasáb, a gúla, a csonkagúla felszínének és térfogatának kiszámítása a megismert képletek alapján.

Időkeret 6 óra

Ajánlott korosztály 12. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok Sokszögek területe, kerülete, síkidomok és testek hasonlósága. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szög-függvények kiterjesztése.

AJÁNLÁS A modul óráin javasoljuk a Polydron készlet alkalmazását csoportmunkában: testépítés háló vagy leírás alapján, a test adatainak (élhosszak,

testmagasság, lapszögek) mérése, a mért adatok felhasználása térfogat és felszín számításakor. Az eszközkészlet használata helyett a mintapéldá-

kat a modulhoz készült bemutató segítségével is átvehetjük, de ekkor a tanulók ne használják a Tanulók könyvét, hanem csoportosan próbálják a

mintapéldát megoldani.

Érdemes felhívni a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el,

vonalzót használva. Igyekeznünk kell megtalálni a csoportmunka és az egyéni feladatmegoldás helyes arányát, ezért a modulvázlatban több he-

lyen szerepel a „tetszőleges módszerrel” megjegyzés.

Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra

(lásd vegyes feladatok) és arra is, hogy a modul anyagát a heti 3 óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni.


A képességfejlesztés fókuszai

Számolás, számítás, számlálás: A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél. Mennyiségi következtetés: Testek ismert adataiból a hiányzó adatok kiszámítása. Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Valóságból vett feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények konvertálása a valós problémába. A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok ese-tén. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Az eddig tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom terü-letének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. Az adatok rendszerezése, egy feladaton belül a szükséges egység kiválasztása, és arra való átszámítás. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkal-mazása más esetekben.


ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint

• Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. • Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyette-

sítéssel. Emelt szint

• Térgeometriai feladatok megoldása.

TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz készült egy bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges informáci-

ókat. Ezen kívül találhatók benne olyan képek, amelyek segítenek csoportmunkában tapasztalatokat gyűjteni (ld. Polydronnal megoldható felada-

tok).

A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. A hasáb térfogata, felszíne 2. Feladatok megoldása 3. A gúla térfogata, felszíne 4. Feladatok megoldása 5. A csonkagúla térfogata, felszíne 6. Feladatok megoldása


MODULVÁZLAT

Lépések,

tevékenységek

Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/Feladat/

Gyűjtemény

I. A hasáb

1. Testek származtatása, poliéderek, térfogat, felszín, testmagasság

(hasáb, gúla esetén), Metakogníció, figyelem, rendszerezés

Bemutató

2. Csoportalakítás tetszőleges módszerrel, ismétlés Kooperáció, kommunikáció, rendszere-

zés

3. Hasáb építése, mérés, térfogat és felszín meghatározása (csoport-

munka, ellenőrzés párban módszer)

Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi

következtetés, becslés

Bemutató, Polydron, vagy

1. és 2. mintapélda

4. Hasáb térfogatával, felszínével kapcsolatos feladatok (egyéni fel-

adatmegoldás vagy csoportmunka)

Mennyiségi következtetés, számolás,

becslés, ábrázolás, számológép használa-

ta

1–14. feladatokból váloga-

tunk

5. Mintapéldák testátlóra (frontális vagy csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi

következtetés, becslés

3. és 4. mintapéldák, bemu-

tató

6. Testátlóval kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció,

metakogníció, mennyiségi következtetés,

számolás, becslés, ábrázolás, számológép

használata


tunk


II. A gúla

1. A gúla térfogata (csoportmunkában)

• 3 egybevágó gúlát építünk, és ezeket kockává illesztjük össze;

• szabályos tetraéder, négyzet alapú gúla.

Kommunikáció, kooperáció,

metakogníció, mennyiségi következtetés

Polydron, bemutató

2. Gúla térfogatával és felszínével kapcsolatos feladatok Metakogníció, figyelem, számolás, becs-

lés, ábrázolás, matematikai szöveg érté-

se, képletek alkalmazása


tunk

3. Hasonló testek térfogata, felszíne (testépítés és számítások cso-

portmunkában, majd mintapéldák frontális megoldása)

Kommunikáció, kooperáció,

metakogníció, mennyiségi következtetés

Bemutató, 5. és 6. minta-

példa

4. Feladatok megoldása Metakogníció, figyelem, számolás, becs-




tunk

III. A csonkagúla

1. Mintapélda megoldása (frontális, tanári magyarázat) 7. mintapélda

2. Feladatmegoldás (tetszőleges módszerrel)

Metakogníció, figyelem, számolás, becs-




tunk

IV. Vegyes feladatok

1. Feladatok megoldása (frontális vagy egyéni, differenciált feladat-

megoldás)

Metakogníció, figyelem, számolás, becs-



43–61. feladatok közül vá-

logatunk

4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7

I. A hasáb A lakásban szeretnénk átalakításokat végezni: új falat emelni gipszkartonból, légkon-

dicionálót beszereltetni, a falat lefestetni. Csupa olyan probléma, amelynek megoldásához

alapvető térgeometriai ismeretekre van szükség: a festék mennyiségének meghatározásához

területet, felszínt kell számolni, a megfelelő hűtőrendszer kiválasztásához pedig ismernünk

kell a helyiség térfogatát.

A test térfogata annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot

mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk, amely az egységélű kocka térfogata.

Módszertani megjegyzés: Célszerű régi térfogategységeket feleleveníteni, esetleg a történe-

tükkel és átszámításukkal kapcsolatban internetes kutatás-projektet indítani.

A testek származtatása a 9. évfolyam anyaga, az ismétlést megbeszélhetjük a modulhoz

készült bemutató segítségével is.

A test felszíne a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló

lapok területének összege.

Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder konvex,

ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza.

Minden konvex poliéderre teljesül Euler tétele: 2+=+ ecl (lapok + csúcsok száma = élek száma + 2). A poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder (12 lap), ikozaéder (20 lap).

A középiskolában leggyakrabban a poliéderek közül a hasábokkal, gúlákkal és

csonkagúlákkal foglalkozunk. A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha

egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete.

Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem

párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel,

8 MATEMATIKA „A” • 12. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ

hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így

keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott

egyenes merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástnak nevezzük. Az alaplap és a

fedőlap síkjának távolsága adja a hasáb magasságát.

A térfogat és felszínképletek bizonyítható állítások. Speciális hasábok a téglatest és a kocka.

• A kocka térfogata: V = a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka élhossza).

• A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy

csúcsából kiinduló éleinek hossza).

Módszertani megjegyzés: A Polydron készlet és hurkapálca segítségével tanulmányozhatjuk a

testek testátlóit, lapátlóit, hajlásszögeit. Javasolt téglatesteket, hasábokat építtetni a tanulókkal

csoportmunkában, azon méréseket végezni, kiszámítani a lapátlókat, testátlókat,

hajlásszögeket, és a mért adatokat összehasonlíttatni a számított adatokkal. Hatékony

módszer, ha a tanulók párban végzik a méréseket és számításokat: előbb egy téglatesten mér

az egyik tanuló, számít a másik, majd egy szabályos hatszög alapú hasábon felcserélik a

szerepeket. A csoport másik párja szintén ugyanezen a két testen dolgozik, és a párok

egyeztetik az eredményeket.

Így a mintapéldák helyett a gyakorlat során megépített testeken végezhetünk számításokat.

Mindenképpen javasolt térfogatot és felszínt számíttatni, rajzoltassunk testhálót, írassuk be az

adatokat a megfelelő élekre, és szögfüggvények alkalmazásával számítassunk hajlásszögeket

is.

Az alábbi mintapéldát frontálisan, a bemutató segítségével vegyük át. Választhatjuk a két

mintapélda feldolgozása helyett Polydron készlet alkalmazását az előbb leírt módon.

A hasáb térfogata: V = alapterület · testmagasság,

felszíne: A = 2·alapterület + a palást területe.


Mintapélda1 Az ábrán látható prizma egy fényképezőgép alkatrésze. Négy darab

téglalap határolja, amelyek közül a szomszédosak egy-egy oldala

közös és 4 cm hosszú, valamint két szimmetrikus trapéz, amelyek

alapjai 4 cm és 2 cm, magassága 2 cm. A két trapéz síkja merőleges a

prizma alap és fedőlapjára. Számítsuk ki a prizma felszínét és a térfogatát!

Megoldás:

A felszín kiszámításához

szükségünk van a trapéz szárára:

512 12 =+=c .

A test hálóját felrajzolva láthatók a

testet határoló síkidomok. A fel-

szín ezek területének összege:

2cm 9,47583022

42)4252(4 ≈+=⋅+

+++⋅=A .

A térfogat kiszámításához felhasználjuk, hogy a test egy trapéz alapú egyenes hasáb, az

alapterület a trapéz területe: 622

42=⋅

+=T cm2, a testmagasság M = 4 cm, így a

térfogat: 3cm24=⋅= MTV .

Mintapélda2 Egy négyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja olyan

paralelogramma, melynek egyik szöge 60°. Mekkora a hasáb térfogata és felszíne, ha az

alapél hossza 14 cm, az oldalél hossza 20 cm?

Megoldás:

Ábrát készítünk, és ráírjuk a megfelelő adatokat. Az

alapterület 19614 == 2T (cm2).

Az egyik alapél és az oldalél által alkotott derékszögű

háromszögből számítható a testmagasság, amely ebben az esetben az egyik oldallap

magassága is egyben: 20

60sin m=° , ahonnan 32,1760sin20 ≈°⋅=m (cm).

A térfogat 3cm7,3394≈⋅= mTV .

A felszín kiszámításához minden adatot ismerünk: 22 cm96,1436)32,1714142014(2 ≈⋅+⋅+⋅=A .


Feladatok

Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat csoportmunkában dolgozzuk fel: mindenki

1-1 részfeladattal foglalkozik a csoportból. Adott időre (például 8 perc) kell végezni. Az

értékelés a megoldás helyessége alapján történik, a csoportban először a négyzetes oszlop

térfogatának és felszínének képletét kell megkeresni, majd a munkamegosztásról kell dönteni.

Az elkészült csapattagok segíthetnek társaiknak, ellenőrizhetik őket.

Gyengébb képességű tanulók esetén a képleteket közösen is meghatározhatjuk. Ekkor a

megoldáshoz kevesebb időt adunk.

1. Mekkora az a alapélű, b oldalélű négyzetes oszlop a térfogata és felszíne, ha

a) a = 12 cm, b = 2 dm; b) a = 2,4 cm, b = 35 mm; c) a = 400 mm, b = 4 dm;

d) a = 55 mm, b = 0,3 dm.

Megoldás: a) 2880 cm3, 1248 cm2; b) 20,16 cm3, 45,12 cm2; c) 64 dm3; 96 dm2; d)

90,75 cm3; 126,5 cm2.

2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszorosa az alapélnek. Töltsd ki a táblázat

hiányzó részeit!

3. Egy építkezéshez 32 darab, négyzetes oszlop alapú gerendát használnak fel. A gerenda

keresztmetszete 10,5 cm x 10,5 cm, hosszuk egységesen 8,4 m.

a) Hány m3 a gerendák térfogata összesen?

b) A gerendákat olyan felületkezelő anyaggal vonják be, amelynek kiadóssága

10 m2/liter. Hány liter vegyszerre van szükség?

Megoldás: a) 72,94m96,232 3 ≈⋅ m3 ; b) 35500,5 cm2 ≈ 3,5 m2 egy gerenda felszíne, azt

összes felszín: 112 m2, ehhez 11,2 l favédő anyag kell.

alapél térfogat felszín

a) 6 cm 648 cm3 504 cm2

b) 4,6 dm 292 dm3 296,24 dm2

c) 7 cm 1029 cm3 686 cm2

d) 2,5 m 46,875 m3 87,5 m2


4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög alapú hasáb térfogatát és felszínét, ha az

alaplap alapja 50 cm, szárai 45 cm hosszúak, és a hasáb magassága 70 cm!

Megoldás: Az alaplap magassága 4,3714002545 22 ≈=−=m cm, az alapterület

9352

4,37502

≈⋅

=⋅

=maT cm2, a térfogat 65450=⋅= MTV cm3.

A felszín ( ) 11670704525093522 =⋅⋅++⋅=+= PTA cm2.

5. Az üzletben 750 ml-es utántöltőben is árulják a folyékony szappant. Van egy hasáb

alakú tartónk, amelynek alaplapja egy 6 cm és 12 cm alapú, 7,2 cm szárú trapéz, a

testmagassága 18 cm, és a tartó térfogatából 85% a tartály. Betölthető-e ebbe a

szappantartóba a vásárolt folyékony szappan?

Megoldás:

Az alaplap magassága 55,632,7 22 ≈−=m , az alapterület 95,5855,62126

=⋅+

=T

(cm2). A térfogat 1,1061=⋅= MTV cm3. 90285,0 ≈⋅V cm3 ≈ 9 deciliter, tehát a 7,5 dl

belefér.

6. Az alábbi lakás szobáiba és konyhájába szeretnének

klímaberendezést vásárolni. A lakás magassága 2,8 méter.

Becsüljük meg, mekkora teljesítményű berendezéseket

vásároljanak az egyes helyiségekbe! Átlagosan 35 W/m3

teljesítményegységgel számolhatunk.

Megjegyzés: A kapott érték valóban becslés, mert a kívánt teljesítmény függ a helyiség használatának jellegétől, a benne tartózkodó személyek számától, a burkolófelületek anyagától, a tájolástól stb.

Megoldás: A konyha térfogata 3,438,23,46,3 ≈⋅⋅ m3, a szükséges teljesítmény

kW5,1W5,1515353,43 ≈=⋅ . Hasonlóan számolv: 1. szoba: 44,5 m3 és 1,6 kW;

2. szoba: 70 m3 és 2450 W ≈ 2,5 kW; 3. szoba: 32 m3 és 1120 W ≈ 1,1 kW.


7. Egy 9 cm oldalhosszúságú kocka sarkaiból levágunk egy-

egy 3 cm oldalélű kockát az ábra szerint. Mekkora a

megmaradó rész térfogata és felszíne?

Megoldás: 513389 33 =⋅−=V cm3 , a felszín megegyezik a kocka

felszínével: 48696 2 =⋅=A cm2.

8. Mekkora az ábrán látható, 2 cm élű

játékkockákkal kirakott játékbástya térfogata

és felszíne?

Megoldás: Az építmény 42 kis kockából áll, így a

térfogata 336242 3 =⋅=V cm3.

A felszínt 168 négyzet adja, aminek a területe 6722168 2 =⋅=A cm2.

Módszertani megjegyzés: Csoportmunkához ajánlott, hogy a tanulók számítsák ki padjuk

faanyagának (vagy bútorlapanyagának) térfogatát és felszínét. Határozzák meg, hogy milyen

adatokat kell megmérniük, végezzék el a méréseket, majd a számításokat.

9. Egy téglatest egyik éle 3 m-rel hosszabb a másiknál, a harmadik éle 20 m, a térfogata

2600 m3. Mekkorák az élei és a hasáb felszíne?

Megoldás: Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él):

20)3(2600 += aa , ahonnan a hiányzó élek 10 és 13 m, a felszín 1180 m2.

10. Egy téglatest felszíne 8576 cm2. Egyik oldaléle 2,4 dm, a másik két oldalél különbsége

12 cm. Mekkorák a hasáb élei és térfogata?

Megoldás:

Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él):

[ ])12()12(242428576 ++++== aaaaA , ahonnan a hiányzó élek 40 cm és 52 cm, a

térfogat 49920 cm3.


11. Egy ajtóban az üveg keretét 8 cm x 3 cm széles deszkából készítették. Az

ajtó 210 cm magas és 86 cm széles, az üveg 8 mm vastag. Az ajtó

térfogatának hány százaléka az üveg térfogata?

Megoldás: Az üvegtábla méretei: 194 cm x 70 cm, a térfogata

108648,0701941 =⋅⋅=V cm3, a keret térfogata

13440)387038210(22 =⋅⋅+⋅⋅⋅=V cm3. Az üveg %7,4410021

1 =⋅+VVV .

12. Egy szabályos hatszög alapú hasáb magassága másfélszerese az alapélének. Mekkora

a hasáb felszíne, ha térfogatának pontos értéke 33888 ?

Megoldás: a az oldalél, az alapterület 4

362aT ⋅= , a testmagasság aM 5,1= . A térfogat

33888325,24

5,136 32

==⋅

=⋅= aaaMTV , így 18,12 == Ma .

A felszín 2,2044129634326332 2 ≈+=+=+= aMaPTA (te).

13. Egy szabályos sokszög alapú hasáb alapéle 12 cm, testmagassága 25 cm. Számítsd ki a

hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap

a) hatszög; b) ötszög; c) nyolcszög; d) tízszög.

Megoldás: a) 9353≈V cm3, 2548≈A cm2; b) 6194≈V cm3, 1995≈A cm2;

c) 17382≈V cm3, 3791≈A cm2; d) 27699≈V cm3, 5216≈A cm2.

14. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának

területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének.

Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?

Megoldás: Az alaplap területe 3164

32

=⋅

=aT .

A palást területe MMaP ⋅⋅=⋅⇒⋅⋅= 8331663 , ahonnan a testmagasság 34=M .

A hasáb térfogata 192=⋅= MTV cm3, a felszíne 7,221312832 ≈=+= aMTA cm2.

Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 2006. májusi középszintű érettségin.


Mintapélda3 Egy ideiglenes, téglatest alakú színpad vas keretéhez merevítésként be kell hegeszteni

síkonként egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót négy

egyforma darabból kell összeállítani). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt mennyi vas

anyagra lesz szükség, ha a színpad 1,6 m magas, és 10 m x 6m a felület, amin fellépnek a

művészek. Mekkora szögben illeszkedik egymáshoz a két testátló, és milyen hosszú az a négy

darab, amiből összehegesztve megkapjuk a merevítést?

Megoldás:

A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk

ki: 21,656,386,16 22 ≈=+=x (m)

66,11136106 22 ≈=+=y (m)

13,1056,102106,1 22 ≈=+=z (m)

A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: 222222 6,161010 ++=+= xd , ahonnan 56,1382 =d , 77,11≈d (m).

A megfelelő darabok hosszát összeadva kapjuk a szükséges anyagmennyiséget:

15077,112)(2)6,1610(4 ≈⋅+++⋅+++⋅ zyx m anyagra van szükség.

A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget

keresünk a testátlók által meghatározott síkban.

Szögfüggvény segítségével 105

2tg zz

==α , ahonnan

.5,45 °≈α

A feladat megoldása során láttuk, hogy a testátló hossza hogyan függ az oldalak hosszától:

d2 = a2 + b2 + c2. Ebből kapunk egy általánosan is igaz összefüggést:

A téglatest testátlójának hossza: 222 cbad ++= , ahol a, b és c

a téglatest egy csúcsban összefutó éleinek hossza.


Mintapélda4 Hogyan függ a kocka testátlójának hossza a kocka (a) oldalhosszától?

Megoldás:

A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is

alkalmazhatjuk. Most minden oldal egyenlő:

2222 3aaaad =++= , ahonnan 3ad = .

Feladatok 15. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a, b és c egy téglatest egy csúcsban összefutó

élei, d a testátló, A a felszín és V a térfogat.

a b c d A V

a) 5 cm 8 cm 10 cm 13,7 cm 340 cm2 400 cm3

b) 12,3 cm 0,46 dm 72 mm 15 cm 356,5 cm2 407,4 cm3

c) 10 m 20 m 26 m 34,3 m 1960 m2 5200 m3

d) 6 cm 11 cm 14,8 cm 19,4 cm 635,2 cm2 976,8 cm3

e)

8 dm

a + 8

16 dm

a + 11

19 dm

26,1 dm 1168 dm2 2432 dm3

16. Mekkora szöget zár be a kocka testátlója

a) a kocka éleivel; b) a kocka lapjaival; c) a kocka egy másik testátlójával?

Megoldás: a) °≈= 7,54,2tg αα ; b) °≈−° 3,3590 α ;

c) 32

23

22

2

22

2sin ===

a

a

d

aβ , °≈ 5,109β . Azonban a

hajlásszög 90°-nál nem nagyobb, ezért a keresett szög β mellékszöge: 70,5°.

17. Mekkora a kocka térfogata és a felszíne, ha testátlója 12 cm?

Megoldás: A testátló: 312 ad == , ahonnan 343

12==a . A térfogat

6,33231923 ≈== aV cm3, a felszín 2886 2 == aA cm2.


18. Egy téglatest két éle 8 cm és 16 cm, felszíne 1168 cm2. Mekkora szöget zár be a

testátlója azokkal az élekkel és lapokkal, amelyek a testátló egyik csúcspontjában

találkoznak?

Megoldás: )168168(21168)(2 xxbcababA ++⋅=⇒++= ,

ahonnan a harmadik él: .cm19=x 1,26222 ≈++= cbad .

dx

=αcos , ahonnan °≈α 3,43 a 19 cm-es éllel bezárt szöge, és

az alaplappal bezárt szöge °≈α−° 7,4690 . Hasonló módon a

másik két éllel bezárt szögek 72,2° és 52,2°, a másik két lappal bezárt szögek 17,8°és

37,8°.

19. Mekkora szöget zár be a 4 cm alapélű, 499 cm3 térfogatú, szabályos hatszög alapú

hasáb leghosszabb testátlója az alaplappal?

Megoldás:

Az alapterület 3244

362

=⋅=aT , a magasság 12≈=

TVM cm.

23

812

2tg ===

aMα , ahonnan °≈ 3,56α .

20. Egy szabályos sokszög alapú egyenes hasáb alapéle a, oldaléle b. Fejezd ki a

leghosszabb testátlót a és b segítségével, ha az alaplap

a) négyzet; b) hatszög; c) nyolcszög.

Megoldás:

a) 2222222 2,2 badebdae +=⇒+== ; b) 224 bad += ;

c) °

=5,67cos

2a

e ; 22

2222

5,67cos)2( badbed +

°=⇒+= .


II. A gúla

Módszertani megjegyzés: A gúla térfogatát szemléletesen pleximodellek és víz segítségével

mutathatjuk be, ha van azonos alaplapú és testmagasságú, nyitott téglatestünk, illetve gúlánk.

Ekkor 3 gúlányi vizet kell a téglatestbe tölteni, hogy tele legyen.

A másik lehetőség: a modulvázlat mellékletében három gúla hálózata található (A4-es lapra

kinyomtatható, kartonból kivágható és összeragasztható). A három gúlából összeállítható egy

szabályos háromszög alapú hasáb (ragasztógyurmával összeragasztható). A három gúláról

belátható, hogy térfogatuk megegyezik (ehhez előtte meg kell egyeznünk abban, hogy ha két

gúlának egyenlő az alapterülete és a magassága, akkor azok térfogata is egyenlő), így a gúla

térfogata a hasáb térfogatának harmada.

A Polydron készletet is használhatjuk a szemléltetéshez:

A következő feladatokat csoportmunkában javasolt megoldani. Az első feladatot a csoport

együtt oldja, vagy tanári irányítással az egész osztály. Ezután a feladatokat a csoporton belül

megosztják a tanulók.

Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon

kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel

összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező

korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap

síkjának és a csúcspontnak a távolsága.


Feladatok

21. Kheopsz fáraó négyzet alapú szabályos gúlát formáló Nagy Piramisának eredeti

alapéle 230 m, magassága 147 m volt. Számítsuk ki, hogy mekkora a térfogata és a

felszíne!

Megoldás: ;m147,m230 == Ma

62

106,233

⋅≈⋅

=⋅

=MaMTV m3,

amamaaA 22

4 22 +=⋅

⋅+= ;

6,1862

22

≈+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Mam (m). Behelyettesítve 5104,1138736 ⋅≈=A m2.

22. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle 3,5 dm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha

50 cm

a) a testmagassága; b) az oldallapjának magassága; c) az oldaléle?

Megoldás: a) cm50,cm35 == Ma .

2041733

2

≈⋅

=⋅

=MaMTV cm3,

532

22

≈+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Mam cm, 493522 =+= amaA cm2.

b) cm50,cm35 == ma , 8,462

22 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

amM (cm). 19110≈V cm3,

4725=A cm2.

c) 4,432

355022

2 22

222

2

2 ≈−=−=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

abMbaM cm, 7,17721≈V cm3.

8,462

35502

22

22 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

abm cm, 4501≈A cm2.


23. Egy szabályos hatszög alapú egyenes gúla alapéle a = 12 cm. Mekkora a térfogata és a

felszíne, ha 20 cm a) testmagassága; b) oldallapjának magassága; c) oldaléle?

Megoldás: az alapterület mindhárom esetben 1,3744

362

≈⋅=aT (cm2), és

4,102

3≈=

ax (cm). Az alkalmazott képletek: 3MTV ⋅

= ,

26 maTA ⋅⋅+= .

a) cm20;cm12 == Ma . 2494≈V cm3.

6,2222 ≈+= Mxm (cm), 1188≈A cm2.

b) cm20;cm12 == ma . 1,1722 ≈−= xmM (cm), 4,2132≈V cm3. 1094≈A cm2.

c) cm20;cm12 == ba . 1622 =−= abM (cm), .cm2,1995 3≈V

1,1922 ≈+= Mxm (cm), 7,1061≈A cm2.

Módszertani megjegyzés: A következő két feladatnak a) és b) része is van, a megoldást

„ellenőrzés párban” módszerrel javasoljuk. A 4 fős csoport egyik párja az a) feladatot oldja,

mialatt a másik pár a b)-vel foglalkozik. Egy adott idő múlva (ez függ a gyerekek

terhelhetőségétől) a párok feladatot cserélnek. Az „ellenőrzés párban” módszernek az a

lényege, hogy a pár egyik tagja oldja a feladatot a másik ellenőrzése mellett, majd a

következő feladatnál szerepet cserélnek. Mindkét feladat megoldása után a csoporton belül

egyeztetik az eredményeket és megbeszélik a tapasztalatokat. A szerepcsere fontos, hogy a

feladat jellegével és megoldásával minden tanuló megismerkedjen.

24. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle 10 cm. Mekkora a gúla térfogata és a

felszíne, ha 75°

a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge?

Megoldás:

a) °== 75,cm10 αa . Az alaplap átlójának a fele

25 (cm), a testmagasság

4,2675tg25 ≈°⋅=M (cm). Az oldallap

magassága 9,262

22 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

aMm (cm).

A keresett adatok: .cm638,cm880 23 ≈≈ AV


b) °== 75,cm10 βa . 7,18tg5,)cm(3,19cos

2 ≈β⋅=≈β

= M

a

m (cm).

A keresett adatok: .cm486,cm3,623 23 ≈≈ AV

25. Egy hatszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 12 cm átmérőjű kör írható. Mekkora

a térfogata és a felszíne, ha 45°


Megoldás:

a) A szabályos hatszög köré írható körének sugara egyenlő

a hatszög alapélének hosszával: °== 45,6 αcma .

6tg =α⋅= aM (cm), 5,934

362

≈⋅=aT (cm2).

9,72

32

22 ≈⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= maMm . A keresett adatok:

.cm7,235,cm187 23 ≈≈ AV

b) °== 45,6 βcma . 2,5tg2

3≈⋅= βaM (cm), 4,7

sin≈=

βMm (cm), 5,93≈T (cm2).

A keresett adatok: .cm7,226,cm162 23 ≈≈ AV

26. Két szabályos gúla magassága megegyezik. Az egyik alaplapja szabályos ötszög, a

másiké szabályos hatszög. A két sokszög köré írható körök sugara is megegyezik.

Hány százalékkal nagyobb az egyik test térfogata a másik térfogatánál?

Megoldás:

A hatszög területe:

22

1 5981,24

36 rrT ⋅≈⋅= , az ötszög

területe 22

2 3776,22

72sin5 rrT ⋅=°⋅

⋅= .

A térfogatok aránya:

093,1

3

32

1

2

1

2

1 ==⋅

⋅

=TT

MT

MT

VV , vagyis a hatszög alapú gúla térfogata 9,3%-kal nagyobb az

ötszög alapú gúla térfogatánál.


27. Reklámcélra egy cég legyártja az ábrán látható testet: egy

120 cm élű kocka éleinek harmadoló pontjait kötötték össze, és

levágták a kocka így adódó sarkait.

a) Mekkora a keletkező test térfogata?

b) Mekkora a felülete a piros és a kék részeknek összesen?

Megoldás:

a) A levágott gúla alaplapjának az egyik derékszögű háromszög

alakú lapját tekintjük. Ekkor a gúla magassága 40 cm.

3

2

1 cm7,106663

402

40

3≈

⋅=

⋅=

MTV . A test térfogata

.m6,1cm4,16426668120 331

3 ≈≈⋅−= VV

b) A testet 6 darab nyolcszög és 8 darab szabályos háromszög

határolja. Egy nyolcszögek területe:

112002

4044052

21 =⋅+⋅=T (cm2), egy háromszög területe:

( ) 6,13854

32404

322

2 ≈⋅

==aT (cm2). A test felszíne:

.m8,7cm8,7828486 2221 ≈≈⋅+⋅= TTA

28. a) Számítsuk ki az a élű szabályos tetraéder térfogatát és felszínét!

b) Mekkora az alaplap és az oldallap, illetve az alaplap és

az oldalél hajlásszöge?

Megoldás: a) 4

3,2

3 2aTas == . A testmagasság az alaplap

középpontjában, a súlyvonal oldalhoz közelebbi harmadoló

pontjában metszi az alaplapot. Ezért

22

2

2

22

22

32

323

32

32 aaaaasaM =−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= , aM

32

= . Az oldallap

magassága 2

3am = . A felszín: 34

34 22

aaA =⋅= , a térfogat

122

32

43

31

31 32 aaaMTV =⋅=⋅= .


b) Az alaplap és az oldalél által bezárt szög: °≈⇒=⋅

= 7,54332

332

cos ααa

a

, az

alaplap és az oldallap szöge: °≈⇒= 5,7031cos ββ .

29. A Téglatest együttes új nevet vett fel: Pyramys. Az együttes koncertjein árult,

műanyagból készült, 3 cm×4 cm×5 cm élű téglatestekből 360 darab megmaradt.

Ezeket megolvasztják, és olyan négyzet alapú szabályos piramisokat gyártatnak

belőle, amelyek alapéle 7 cm, testmagassága 3,5 cm. A gyártás során 7%-os

térfogatveszteséggel kell számolni. Hány ilyen piramis készíthető?

Megoldás: A megmaradt anyag térfogatának 93%-a megegyezik az új piramisok térfogatának

összegével: 21 93,0 VV =⋅ . 216005433601 =⋅⋅⋅=V cm3, n darab piramis esetén a

térfogat 17,573

5,372

2 ⋅≈⋅

⋅= nnV . Az egyenletet felírva: 17,5793,021600 ⋅=⋅ n ,

ahonnan 4,351≈n , vagyis 351 darab piramis készíthető.

30. Egy vállalkozás reklámcélokra szabályos hatszög alapú szabályos gúlákat csináltat,

amit fából készítenek el. A gúla alapélei 4,2 cm hosszúak, magassága 25 mm. Eddig

250 ilyen ajándékot osztottak ki.

a) Hány cm3 faanyag van az eddig kiosztott gúlákban?

b) A gúla oldallapjait színesre festik. Hány cm2 felületet festenek be egy gúla

oldallapjainak a színezésekor? Mennyi festékre volt szükség a 250 ajándék

befestésekor, ha 1 m2-hez 3,6 liter festék kell?

Megoldás:

a) Az alapterület hat szabályos háromszög összege: 83,454

362

≈⋅=aT (cm2), a gúlák

térfogata: 95502,382505,24

32,462503

2502

≈⋅≈⋅⋅⋅=⋅

⋅=MTV cm3.

b) A palást területének kiszámításához szükségünk van az

oldallap magasságára.

64,32

3≈=

ax (cm), a Pitagorasz-tételt felírva


222 5,2 mx =+ , ahonnan 41,4≈m (cm). A palást területe: 6,5522,46 ≈⋅=

mP cm2,

összesen a felszín: 13900250 ≈⋅= PA (cm2) ≈ 1,4(m2), ezért 56,34,1 ≈⋅ liter festék

kellett.

Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 2005. októberi középszintű érettségin.

A következő mintapélda a hasonló testek térfogatának és felszínének arányára világít rá, a

tapasztalat szintjén. A mintapélda helyett Polydron segítségével, csoportmunkában is

megtapasztalhatjuk az ismereteket (3.1 feladatlap).

Mintapélda5 Egy 12 cm alapélű, 12 cm magasságú négyzet alapú szabályos gúlát elvágunk a testmagasság

harmadoló pontjain átmenő, alaplappal párhuzamos síkokkal.

a) Határozzuk meg az így keletkező három test térfogatát!

Megoldás:

A vázlat elkészítése a megoldás egyik kulcs-

lépése. Három gúlát kapunk, amelyek alaplapja

hasonló egymáshoz (a gúla csúcsából történő

középpontos hasonlósággal ezek az alaplappal

párhuzamos síkmetszetek egymásba vihetők).

A hasonlóság arányát a megfelelő szakaszok,

most a testmagasságok arányából határozzuk meg. A hasonló síkidomok területe a

hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg: ( ) 223232 2:: == MMTT , ami azt

jelenti, hogy 332

2 42 TTT =⋅= , és hasonlóan 332

1 93 TTT =⋅= .

A szabályos egyes gúlák alapterülete: 169

129

21

3 ===TT cm2, 642 =T cm2, a gúla

térfogata 3MTV ⋅

= , a legkisebb gúláé 3,213

643

4163 ≈=

⋅=V cm3.

A másik két test térfogata gúlák térfogatának különbségeként állítható elő:

3,1493

86432 ≈−

⋅= VV cm3, illetve 3,405)(

31212

32

2

1 ≈+−⋅

= VVV cm3.

Megjegyzés: A gúla alaplapjával párhuzamos síkok által levágott testek közül a gúla csúcsánál egy újabb gúla keletkezett, a másik két test pedig egy-egy csonkagúla, amellyel a későbbiekben részletesen foglalkozunk. A keletkezett kis gúla hasonló az eredetihez. A hasonlóság a térbeli alakzatokra is ugyanazt jelenti, mint a síkidomokra megadott definíció.


Mintapélda6 Egy T alapterületű, M testmagasságú gúlát a csúcsából k-szorosára nagyítunk. Írd fel T, M és k

segítségével a keletkező új gúla térfogatát!

Megoldás:

Az eredeti gúla térfogata 3MTV ⋅

= . A nagyított gúla térfogata 3

''' MTV ⋅= , ahol T’ az új

test alapterülete, M’ pedig a testmagassága. A nagyított és az eredeti gúla hasonlósága

miatt MkM ⋅=' , míg az alapterület TkT ⋅= 2' . Ezeket behelyettesítve

( ) ( ) VkMTkMkTkMTV ⋅=⋅

⋅=⋅⋅⋅

=⋅

= 332

3''

3''

3'''

Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának második hatványa. Hasonló

testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának harmadik hatványa.

Feladatok

31. Egy szabályos gúlát úgy vágunk el egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a

keletkező két rész térfogata megegyezzen. A magasság hányad részénél kell

elvágnunk a gúlát?

Megoldás: A levágott és az eredeti gúla között k arányú hasonlóság van, mkM ⋅= , és

vkV ⋅= 3 (kisbetűk jelölik a levágott gúla adatait). Ez utóbbiból 2

3 VkV ⋅= , ahonnan

3 2=k . Innen MMm ⋅≈= 79,02

13

. Tehát a csúcstól számítva a magasság 79%-ánál

kell elvágni a gúlát.

32. Egy hatszög alapú szabályos gúla testmagassága és alapéle egyaránt 24 cm. Úgy

vágjuk el a gúlát egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész

térfogatának aránya 3 : 2 legyen!

a) Számítsd ki a keletkező részek térfogatát!

b) Hol kell elvágni a gúlát?

Módszertani megjegyzés: jobb képességű diákoknak feladhatjuk a felszín kiszámítását is.

Ha az 1. és a 2. test hasonló és k a hasonlóság aránya, akkor

2

2

1 kAA

= és 3

2

1 kVV

=


Megoldás: a) A nagy gúla térfogata 3,1995244

32431

31 2

≈⋅⋅=⋅⋅= MTV (cm2). A kisebb

gúla térfogata 31 cm2,1197

53

≈= VV , a csonkagúla térfogata 32 cm1,798

52

≈= VV .

b) A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság köbével egyenlő. A kis gúla és az

eredeti gúla hasonló, a hasonlóság aránya: 84,053

3 ≈=k , azaz a csúcstól számítva

20,1 cm-re kell az eredeti gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan elvágni.

33. Egy 8,5 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alaplappal 65°-os szöget

zár be. Az alaplaptól milyen távolságokban vágjuk el a gúlát két, alaplappal párhuza-

mos síkkal, hogy a keletkező részek térfogata egyenlő legyen?

Megoldás: Legyen a legkisebb gúla magassága M1. A

hasonlóság miatt 13

2 2 MM ⋅= és 13

3 3 MM ⋅= . Az

alaplap átlójának fele, M3 és az oldalél által alkotott

derékszögű háromszögben:

9,12

225,8

65tg 3 ≈⇒=° MM3 (cm), így

9,81 ≈M (cm), 3,112 ≈M (cm). Az alaptól tehát 1,6 cm és 4 cm-re kell elvágni a gúlát.


III. A csonkagúla Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk.

Mintapélda7

Hány liter virágföldet vásároljunk abba a négyzet alapú, csonkagúla alakú virágládába,

amelynek belső méretei: az alaplap éle 26 cm, a fedőlap éle 38 cm, a láda magassága 47 cm?

Megoldás: A cserép térfogatának meghatározásához ismerni kell a csonkagúla térfogatának

kiszámítási módját. Hasonlóság segítségével a következő képletet lehet levezetni:

Az adatokat képletbe behelyettesítve:

( ) liter7,48cm48692382638263

47 22222 ≈=+⋅+=V . Érdemes tehát egy 50 literes

zsák virágföldet megvásárolni.

A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon

oldunk meg. Ha a csonkagúla négyzet alapú szabályos gúlából származott, melynek adatai az

ábrán láthatók, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap

magassága (m) és testmagasság (M), valamint az oldallap magassága és az oldalél (b) között a

Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: 2

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=caMm

222

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=camb

A csonkagúla térfogata: ( )tTtTMV +⋅+=3

, ahol M a

testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe.


Módszertani megjegyzés: A következő feladatot csoportmunkában javasoljuk megoldani.

Feladatok

34. Egy egyiptomi matematikatörténeti emlék, a moszkvai papirusz a következőképpen

írja le a csonkagúla térfogatának kiszámítását: „[ … ] alapélek: 2, illetve 4 könyök, magasság: 6 könyök.

1. Add össze ezt a 16-ot

2. ezzel a 8-cal és ezzel a 4-gyel:

3. kijön 28. Számítsd ki

4. 1/3-át a 6-nak. Kijön 2.

5. Számolj 28-asával kétszer. Kijön 56.

6. Nézd, ez 56. Helyesen számítottad ki.”

Valóban helyes a számolás? Ellenőrizd!

Megoldás: ( ) ( ) 56442236

32422 =+⋅+=+⋅+= TTttMV . Jól számoltak.

Forrás: http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0004/24.html

35. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!

a b c m M V A

a) 10 6 6 ≈32 5,7 ≈28 5,3 346,3 318,4

b) 18 ≈52 7,2 10 6 ≈20 4,5 906 760

c) a1=2;

a2=14

5 8 4 ≈247 15,7 439,6

1946,8

148

436

d) 23 ≈306 17,5 5 15 12 2676 1394

36. Egy 3,6 dm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal

középpontjával, majd az így kapott gúlát elvágjuk az adott oldallal párhuzamos, a

kocka középpontján átmenő síkkal. Határozd meg az így kapott csonkagúla térfogatát

és felszínét!


Megoldás:

( ) 322 dm6,138,16,38,16,338,1

≈+⋅+=V .

0,29,08,1 22 ≈+=m (dm).

.dm8,3722

6,38,148,16,3 222 ≈⋅+

⋅++=A

37. Egy sokszög alapú szabályos csonkagúla alaplapjának éle 18 cm, fedőlapjának éle

8 cm, oldaléle 20 cm. Mekkora a térfogata és felszíne, ha az alaplap

a) négyzet; b) szabályos hatszög?

Megoldás: a) m ≈ 19,4 cm; M ≈ 18,7 cm; V ≈ 3389,6 cm3;

A ≈ 1396,8 cm2.

b) 32,171020 22 ≈−=M cm;

36,19520 22 ≈−=m cm; V ≈ 8919,7 cm3; A ≈ 2518,1

cm2.

38. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 26 cm, fedőlapjának éle 18 cm, és az

oldallapok 73°-os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne?

Megoldás: 7,1373cos

4≈

°=m (cm);

1,1373tg4 ≈°⋅=M (cm); 324182 ==t (cm2);

676262 ==T (cm2);

( ) 3cm3,64103

≈++= TtTtMV ;

.cm6,22052

4 2≈⋅+

⋅++= mcaTtA

39. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 16 cm, fedőlapjának éle 8 cm, és az

oldalélek 64°-os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne?

Megoldás: 3,1128 ≈=e (cm); 6,22216 ≈=f (cm);

65,52

≈−

=efx (cm); 6,1164tg ≈°⋅= xM (cm);


9,1264cos

≈°

=xb (cm); 3,12422 ≈−= bm (cm); 6482 ==t (cm2); 256162 ==T

(cm2). ( ) 3cm3,17323

≈++= TtTtMV ; .cm4,9102

4 2≈⋅+

⋅++= mcaTtA

40. Egy szobor talapzata 1,7 méter magas szabályos hatszög alapú egyenes csonkagúla, az

alaplap éle 120 cm, és a fedőlap éle 30%-kal kisebb az alaplap élénél.

a) Mekkora a talapzat tömege, ha az anyaga 2,7 kg/dm3 sűrűségű márvány?

b) Télire becsomagolják a szobor talapzatát, hogy megóvják az időjárás

viszontagságaitól. Mennyi csomagolóanyagra van szükség, ha a kötözéshez a

talapzat felszínén kívül még 10% anyagot rá kell számolni?

Megoldás: a) A fedőlap éle 84,07,02,1 =⋅ (m). Az alaplap területe

74,34

32,162

≈⋅=T (m2), a fedőlapé

83,14

384,062

≈⋅=t (m2).

( ) 639,483,183,174,374,337,1

≈+⋅+=V (m3). A tömeg:

=⋅ρ= Vm 1252546397,2 ≈⋅ kg.

Az oldallap magassága 2

22

23)84,02,1(7,1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=m összefüggésből 73,1≈m (m),

59,1073,12

84,02,16 ≈⋅+

⋅=P (m2). Összesen tehát 42,1283,159,10 ≈+ m2.

41. Az ábrákon kürtős páraelszívók láthatók. Számítsd ki a térfogatukat és a felszínüket! A

páraelszívók szimmetrikusak egy olyan síkra, amelyik az alaplap 60 cm-es élével

párhuzamos és az alaplapra merőleges. Minden távolságadat cm-ben értendő.

a) b)


Megoldás:

a) A csonkagúla térfogata: ( ) 122511229060229060349 22

1 ≈⋅⋅++⋅⋅=V (cm3), a

négyzetes oszlopé 31460652222 =⋅=V (cm3), együtt 153971 cm3.

A felszínhez szükség van a kétféle

oldallap magasságaira:

6,593449 221 ≈+=m (cm),

6,521949 222 ≈+=m (cm).

( ) 4,18286652246,526,592

22902 =⋅⋅+++

⋅=A cm2.

b) Itt nincs hátlap, a csonkagúla egyik oldallapja

merőleges az alaplapra. A térfogat

( ) 1242762521906025219060349

1 ≈⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=V (cm3), a négyzetes oszlopé

367507025212 =⋅⋅=V (cm3), együtt 161026 cm3.

A két magasság: 6,623949 221 ≈+=m (cm), 8,585,3249 22

2 ≈+=m (cm), a

felszín: ( ) 3,1481670252128,582

219026,622

2590=⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅

+=A cm2.

42. Egy szabályos háromszög alapú szabályos csonkagúla oldallapjai az alaplappal 70°-

os szöget zárnak be. A csonkagúla magassága 19 cm, az alaplap éle 32 cm. Mekkora

a felszíne és a térfogata?

Megoldás: 2,2070sin

19≈

°=m (cm); 9,6

70tg19

≈°

=x (cm).

A csonkagúla egyenes, ezért az alaplap és a fedőlap

középpontján átmenő egyenes merőleges az alaplap

síkjára. y a fedőlap magasságának harmada.

3,22

33231

≈−=−= xxPQy (cm), így a fedőlap éle

az 2

331 cy = összefüggésből 0,8≈c (cm). Az alaplap területe 7,27

432

≈=cT (cm2),


a fedőlapé 4,443≈t (cm2).

( ) ,cm9,36843,4434,4437,277,273

19 3≈+⋅+=V

.cm1,16832,202

83234

384

332 222

≈⋅+

⋅++=A


IV. Vegyes feladatok

43. Mekkora annak a háromszög alapú egyenes hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek

alapélei 10 cm, 12 cm és 14 cm, oldaléle pedig 20 cm hosszú?

Megoldás:

Az alapterületet vagy a Héron-képlettel számítjuk ki, vagy a koszinusz-tétellel

meghatározzuk a legkisebb szögét (ez biztosan hegyesszög), és a trigonometrikus

területképletet használjuk.

α⋅⋅⋅−+= cos14122141210 222 , ahonnan °≈ 42,44α .

Az alapterület 2cm8,582

sin1412≈

⋅⋅=

αT , a hasáb térfogata 1176208,58 ≈⋅=V cm3.

A felszín: ( ) 6,637201412108,5822 ≈⋅+++⋅=+= PTA cm2.

44. Egy négyzetes oszlop oldalainak hossza centiméterrel mérve egész szám, térfogata

72 cm3. Mennyi lehet a felszíne?

Megoldás: A térfogat 232 3272 ⋅=== baV . Így ( ){ }2222 32;3;2;1 ⋅∈a , ezért a csak 1, 2, 3

vagy 6 lehet. A lehetséges megoldások:

45. Egy ajtót úgy készítettek, hogy két bútorlapot összeragasztottak. Az

egyik méretei: 82 cm×201 cm×23 mm, a másik méretei:

85 cm×202,5 cm×15 mm.

a) Számítsd ki az egyes bútorlapok, majd az egész ajtó anyagának

térfogatát!

b) Mekkora a tömege az ajtónak, ha a bútorlap sűrűsége 600 kg/m3?

A sűrűség, a tömeg és a térfogat közötti összefüggés: Vm

=ρ .

Megoldás: a) ,m038,0023,001,282,0 31 ≈⋅⋅=V

,m026,0015,0025,285,0 32 ≈⋅⋅=V .m064,0 3

21 ≈+= VVV

b) .kg4,38≈⋅= Vm ρ

a 1 2 3 6 (cm)

b 72 18 8 2 (cm)

A 290 152 114 120 (cm2)


46. Egy 108 cm élű kocka oldalait kilenc egybevágó négyzetre osztjuk, és a középső

négyzeteknek megfelelően teljesen átfúrjuk a kockát.

a) Mennyi a megmaradó rész térfogata?

b) A kocka lapjain megmaradó 8-8 négyzetet újra

9 egybevágó négyzetre osztjuk, és az itt megje-

lenő középső négyzeteknek megfelelően ismét

átfurkáljuk a kockából megmaradt testet. Mek-

kora az így keletkező test térfogata?

Módszertani megjegyzés: Érdeklődő diákjainknak

megemlíthetjük, hogy ha a folyamatot a végtelenségig

folytatjuk, fraktált kapunk (Menger-szivacs; sorozat felállítása a térfogatra). Indíthatunk

gyűjtőprojekteket, amelyek eredménye a fraktálokat ismertető kiselőadás (bemutatóval), vagy

a dimenzió olyan értelmezésével kapcsolatos, amely nem egész számot ad. A fraktáloknak

nagy jelentősége van, mert segítségükkel jól leírhatók a cikcakkos tengerpartok, a csipkés

hegygerincek, a páfránylevelek stb. A fraktáldimenzió (törtdimenziójú felületek, testek)

értelmezése logaritmussal történik, az összes szükséges előismerettel rendelkeznek a tanulók.

A következő honlapokon bővebb ismertetéseket is találunk (2007. márciusi állapot):

http://t-t.freeweb.hu/minden/kaosz/menger.htm http://fraktal.lap.hu/

Megoldás:

a) 7 darab, 36 cm élű kockát távolítottunk el, a megmaradó rész térfogata:

.cm933120367108 333 ≈⋅−

b) 20 darab, az eredetihez hasonló kis kocka keletkezik, a hasonlóság aránya 31 . Ezért

6912002031

det

3

=⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= iereVV cm3.


47. Mekkora annak a hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek hálóját és méreteit az ábra

mutatja?

Megoldás:

a) Derékszögű háromszög alapú hasáb. 522138

=⋅

=T (cm2), az alaplap átfogója

3,15233138 22 ≈=+ (cm), 20=M (cm). A térfogat 3cm1040=⋅= MTV , a

felszín .cm830)(2 2≈+++= cbaMTA

b) Rombusz alapú hasáb. 7,2160sin52 ≈°⋅=T (cm2). .cm4,143,cm5,108 23 ≈≈ AV

c) Deltoid alapú hasáb. Az átlók hossza 1,1025sin122 ≈°⋅⋅=e (cm) és

9,1640tg

25sin1225cos12 ≈°°⋅

+°⋅=f (cm), az alapterület 3,852

≈⋅

=feT cm2.

.dm3,1cm5,1279 33 ≈≈V A deltoid ismeretlen oldala 9,740sin21,10

≈°⋅

(cm), a felszín

.dm7,7cm6,767)1229,72(152 22 ≈≈⋅+⋅⋅+= TA

48. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan trapéz, amelynek egyik alapja kétszerese a

másiknak. Hogyan tudnánk három, egyenlő térfogatú hasábra vágni két olyan síkkal,

ami párhuzamos az oldalélekkel?

Megoldás: A keresett síkok a hosszabbik alap F felezőpontjára

és egy-egy oldalára illeszkednek. Így mindhárom hasáb

alapterülete és testmagassága egyenlő, a térfogataik tehát

megegyeznek.


49. Egy trapéz alapú egyenes hasábot az alaplap átlóját

tartalmazó, alaplapra merőleges síkokkal négy darab

háromszög alapú hasábra bontunk az ábra szerint. Milyen

összefüggések találhatók a keletkező hasábok térfogatai

között? A trapéz rövidebbik alapja 6 cm, a hosszabbik 15 cm.

Megoldás: T1 + T4 = T3 + T4 ⇒ T1 = T3 , így az 1. és a 3. test térfogata egyenlő. 2. és 4.

háromszögek hasonlósága miatt 2

2

4 615 TT ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= , így a térfogatuk aránya is

25,66

15 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . VVTTTTTTT 69,068,0

15622 1

2

131 =⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=−== .

50. A 10 cm alapélű, 15 cm testmagasságú, rombusz alapú egyenes hasábok közül

melyiknek a legnagyobb a térfogata? Számítsd ki a maximális térfogatot és azt is,

hogy ekkor mennyi a felszín!

Megoldás: A trigonometrikus területképletet alkalmazva, az alapterület αsin102 ⋅=T , ahol α

a rombusz hegyesszöge. Ez akkor maximális, ha 1sin =α , azaz α=90°, a rombusz

négyzet, a test négyzetes oszlop. Ekkor térfogata 32 cm15001510 =⋅ , felszíne 800 cm2.

51. Egy hasáb alakú sarokgardrób alaplapja látható az ábrán.

Mennyibe kerül a bútorlap költsége, ha a szekrény

magassága 193 cm, körbe mindenhol bútorlap határolja

és a négyzetméter ár 2400 tallér?

Megoldás: Az alapterület .cm63002

6090 22

2 =−=T Az első

oldal szélessége (a két ajtó együtt) cm9,84260 ≈ , így a felszín:

.m53,7cm7,75305)9,84302902(19363002 22 ≈=+⋅+⋅⋅+⋅=A

A költség kb. 18072 tallér.


52. Egy szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alapél kétszerese. Mekkora szöget zár be az

alaplap az oldallappal?

Megoldás: aaam215

2)2(

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ,

151

1522cos ====

aa

ma

m

a

α , ahonnan °≈ 75α .

53. Egy szabályos négyoldalú gúla alapélének és testmagasságának aránya 3 : 5, térfogata

1875 cm3. Mekkora a felszíne?

Megoldás:

Az arány miatt van egy közös egység (e), amivel felírva az alapél 3e, a magasság 5e.

32

153

5)3( eeeV =⋅

= , ahonnan == 315Ve 5(cm), az alapél 15=a cm, a testmagasság

25=M cm.

Az oldallap magassága 1,26255,7 22 ≈+=m (cm), a palást 7382

4 ≈⋅

⋅=maP (cm2), a

felszín 10082 ≈+= PaA cm2.

54. Egy 24 cm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal

középpontjával. Határozd meg az így kapott gúla térfogatát és felszínét!

Megoldás:

.cm46083

33

==aV Az oldallap magassága

8,262412 22 ≈+=m (cm), így .cm4,1862)2( 2≈+⋅= maaA


55. Egy kerítésdíszt úgy készítenek, hogy egy 26 cm élű kocka szemközti oldalainak

csúcsait összekötik a kocka középpontjával (középen pontszerűen összehegesztik).

Határozd meg az így kapott dísz térfogatát és felszínét!

Megoldás: .cm7,58581326312 32 ≈⋅⋅⋅=V 213=m , az egész test

felszíne .cm32642

213268262 22 ≈⋅

⋅+⋅=A

56. A 20 cm magasságú, 18 cm alapélű, négyzet alapú szabályos gúlát az alaplapjával

felfelé fordítjuk, és a magasság feléig megtöltjük vízzel. Ezután lezárjuk, és a gúlát az

alaplapjára fordítva lerakjuk az asztalra. Milyen magasan áll benne a víz?

Megoldás:

Az egész gúla térfogata

21603

20182

=⋅ , a beleöntött víz

térfogata 27031092

=⋅ (cm3); a

hasonlóság miatt az alapél is felére csökken, 9 cm-re.

Megfordítás után a hasonlóság miatt 1820yx

= , ahonnan xy 9,0=

A felső gúla térfogata 18902702160 =− (cm3). A térfogat képletével számolva

31890

2 xy= , beírva az előbbi összefüggést

381,01890

3x= , 1,1970003 ≈=x (cm). A víz

tehát mindössze kb. 9 mm magasan áll a gúlában.

57. Egy szabályos ötszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 6,8 cm sugarú kör írható.

Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 45°


Megoldás:

Az alapterület a trigonometrikus területképlettel

számítva: 9,1092

72sin8,652

≈°⋅

⋅=T (cm2), az alapél


0,836sin8,62 ≈°⋅⋅=a (cm). A 45° azt jelenti, hogy egyenlőszárú derékszögű

háromszögekkel számolhatunk. 5,536cos8,6 ≈°⋅=x (cm).

a) 2

5;cm1,2493

;(cm)8,6 3 maTAMTVrM ⋅⋅+=≈

⋅=== , ahol

7,822 ≈+= Mxm (cm). Behelyettesítve az adatokat .cm9,283 2≈A

b) 8,72;cm5,2013

;(cm)5,5 3 ≈=≈⋅

=≈= xmMTVxM (cm); .cm9,265 2≈A

58. Egy nyolcszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 2,3 dm sugarú kör írható. Mekkora

a térfogata és a felszíne, ha 35°


Megoldás:

A nagyobb pontosság miatt centiméterben számolunk,

és az eredményt a végén váltjuk át és kerekítjük.

2,14962

45sin2382

≈°⋅

⋅=T (cm2);

6,175,22sin232 ≈°⋅⋅=a (cm);

2,215,22cos23 ≈°⋅=x (cm).

a) 1,1635tg23 ≈°⋅=M (cm); 6,2622 ≈+= xMm (cm);

;dm8cm6,802931 33 ≈≈⋅= MTV .dm7,33cm8,3368

28 22 ≈≈

⋅⋅+=

maTA

b) 8,1435tg ≈°⋅= xM (cm); 9,2522 ≈+= xMm (cm); ;dm4,7cm3,7381 33 ≈≈V

.dm2,33cm6,3319 22 ≈≈A

59. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla testmagassága 25°-os szöget zár be az

oldallap magasságával, és a két magasság különbsége 6,8 cm. Mekkora a térfogata és

a felszíne, ha a fedőlap éle 23 cm?

Megoldás: 8,6=− Mm ; °⋅= 25cosmM , ezért

8,6)25cos1( =°−M , ahonnan

6,72≈M (cm), 1,80≈m (cm).


9,3325sin ≈°⋅= mx (cm), 8,90223 ≈+= xa (cm); 6,8244≈T (cm2), 529=t (cm2),

;dm9,262cm4,262861 33 ≈≈V .dm270cm4,27004 22 ≈≈A

60. Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla fedőlapjának és alaplapjának élei közötti

különbség 12 cm, testmagassága 13,8 cm. Mekkora a felszíne, ha a térfogata 2498

cm3?

Megoldás:

8,13=M (cm); 12+= ca ; 62

122

==−

=cax (cm);

1522 ≈+= xMm (cm). A térfogat

[ ]22 )12()12(3

8,132498 ++⋅++= cccc , ahonnan 0133122 =−+ cc adódik. Ennek

pozitív megoldása: 7=c (cm), ebből 19=a (cm). A felszín

.cm11902

4 2=⋅+

⋅++= mcaTtA

61. Mekkora annak a négyzet alapú csonkagúlának a

térfogata és felszíne, amelyiknek hálója az ábrán látható?

Megoldás:

7,875510 22 ≈=−=m ; 1,750522 ≈=−= mM ;

32418;648 22 ==== Tt ;

( ) 3cm1,12593

≈+⋅+= TTttMV ;

.cm4,8402

4 2≈⋅+

⋅++= mcaTtA


Kislexikon A test térfogata: annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot

mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk.

Térfogategység: az egységélű kocka térfogata.

A test felszíne: a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló

lapok területének összege.

Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszög határolja.

Konvex poliéder: bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza.

Euler tétele: 2+=+ ecl (lapok + csúcsok száma = élek száma + 2); minden konvex

poliéderre teljesül.

Szabályos poliéder: élei, élszögei és lapszögei egyenlők.

Hasáb: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem

párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel,

hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így

keletkező bezárt térrészt nevezzük hasábnak.

Egyenes hasáb: olyan hasáb, amelynél az adott egyenes merőleges az alapsíkra.

Palást: a poliéder oldallapjainak együttese.

Gúla: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont).

Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk.

A keletkező bezárt térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a

csúcspontnak a távolsága.

Csonkagúlát kapunk, ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal.


Gyakran előforduló poliéderek térfogata és felszíne:

• A kocka térfogata: V = a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka éle).

• A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest élei).

• A hasáb térfogata: V = alapterület · testmagasság,

felszíne: A = 2·alapterület + a palást területe.

• A gúla térfogata 3

magasságtalapterüleV ⋅= , felszínét a határoló lapok területeinek

összege adja.

• A csonkagúla térfogata: ( )tTtTMV +⋅+=3

, ahol M a testmagasság, t a fedőlap,

T az alaplap területe.

Hasonló testek: két test hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a

másikhoz rendeli. Hasonló testek esetén fennáll a síkidomokra is érvényes állítás: az egyik

alakzat két tetszőleges pontjának egymástól való távolsága s a másik alakzat megfelelő

pontjainak egymástól való távolsága között levő arány állandó.

Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzete. Hasonló testek

térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe.

Documents

4. modul Poliéderek felszíne, térfogatakooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár... · Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és