4.° grado: Matemática

Resolvemos situaciones diversas considerando la longitud, perímetro, área y volumen de los prismas

y pirámides

SEMANA 8

DÍA 4

La pirámide que se muestra en la figura fue erigida porKefrén, cuarto faraón de la IV dinastía y la finalización desu construcción data del año 2520 a. C. La medida de loslados de su base cuadrangular es 215,25 m y su altura esde 143,50 m.

A partir del enunciado de la situación responde las preguntas 1, 2 y 3.

La pirámide de Kefrén

Situación 1

1. ¿Cuánto mide cada una de sus aristas?

a) 104,6 m b) 208,85 m c) 318,4 m d) 418,4 m

Resolución

Para calcular la arista de la pirámide realizamos trazosauxiliares como la altura y el segmento que une elpunto medio de la base con uno de sus vértices.Podemos observar que se forma el triángulo rectánguloAOE.Para aplicar el teorema de Pitágoras, calculamos lamedida del segmento AO, que es la semidiagonal de labase cuadrada.

Datos:Lado de la base = 215,25 mMedida de la altura = 143,50 m

D215,25 m

143,50 mx

CB

A

E

O

Para calcular la arista de la pirámide recuerda que en todotriángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras. Sea eltriángulo rectángulo de lados a, b y c.

𝒄𝟐= 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

a

b

c

Grafico la base de la pirámide.

D

B C

A215,25 m

21

5,2

5 m

O

Recuerda:En el triángulo rectángulo notablede 45° la medida de los ladosguardan la siguiente relación:

𝒌

𝒌

𝟐 𝒌

45°

Calculo el segmento AO, en el triángulo notable de 45° ACD, se tiene

que K = 215,25 m, entonces, la medida del lado AC es 215,25 2 ,entonces:

𝑨𝑶 =𝑨𝑪

𝟐→ 𝑨𝑶 =

𝟐𝟏𝟓, 𝟐𝟓 𝟐

𝟐

𝑨𝑶 = 𝟏𝟓𝟏, 𝟕𝟓 𝐦

Calculo la arista de la pirámide aplicando elteorema de Pitágoras en el triángulo rectánguloAOE.

𝑥2 = 151,75 m 2 + 143,50 m 2

𝑥2= 23 028,0625 m2 + 20 592,25 m2

𝑥 = 43 620,3125 m2

𝑥 = 208,85 m

Respuesta: Cada una de sus aristas de la pirámide mide 208,85 m.Alternativa: b).

215,25 m

143,50 mx

CB

A

E

O

D

2. Hipotéticamente si tuvieras que pintar las caras laterales de la pirámide, ¿cuánto sería dicha área?

a) 22 237,5 m2 b) 45 831,9 m2 c) 77 050,88 m2 d) 87 983,1 m2

Datos:Lado de la base = 215,25 mMedida de la arista = 208,85 m

La pintura debe ser utilizada para el pintado de las 4caras de la pirámide, eso quiere decir, que debemoscalcular el área lateral.

Para calcular el área del triángulo, trazo otro segmento auxiliar EF que parte del vértice superior y llega al puntomedio de cualquiera de los lados de la base de la pirámide de forma perpendicular. Este segmento es la altura del

triángulo y la apotema (Ap) de la cara lateral de la pirámide.

215,25 m

143,50 m

CB

A

E

O

D

F

Ap

𝐴lateral = 4 ∙ 𝐴triángulo

Resolución

Calculo la medida de la altura EF del triángulo DEF, aplicando elteorema de Pitágoras.

𝐷𝐸 2= 𝐸𝐹 2 + 𝐷𝐹 2

208,85 m 2= 𝐸𝐹 2 + 107,625 2

43 618,31 m2 − 11 583,14 m2 = 𝐸𝐹 2

32 035,18 m2 = 𝐸𝐹 2

178,98 m = 𝐸𝐹 2

F

E

CD107,625 m

x

A continuación, calculo el área lateral de la pirámide:

𝐴lateral= 4 ∙ 𝐴triángulo

𝐴lateral = 4 ∙215,25 m × 178,98 m

2

𝐴lateral= 4 ∙ 19 262,72 m2

𝐴lateral= 77 050, 88 m2

Respuesta:El área lateral de la pirámide es77 050,88 𝐦𝟐.

Alternativa: c).

3. Calcula el volumen de dicha pirámide.

a) 10 854 224 m3 b) 9 692 772 m3. c) 2 216 240,79 m3 d) 46 332,6 m3

Recuerda:El volumen de la pirámide se calcula aplicandola siguiente fórmula:

𝑽𝐩𝐢𝐫á𝐦𝐢𝐝𝐞 =𝟏

𝟑𝑨𝑩 × 𝒉

Donde:AB: área de la base (cuadrada) = 𝑙2

h: altura de la pirámide

Reemplazo valores en la expresión para calcular elvolumen de la pirámide y operamos.

𝑉pirámide =1

3𝐴𝐵 ∙ ℎ

𝑉pirámide =1

3215,25 m 2 × 143,50 m

𝑉pirámide =1

346 332,56 m2 × 143,50 m

𝑉pirámide =6 648 722,36 m3

3

𝑉pirámide = 2 216 240,79 m3

Respuesta: El volumen de la pirámide es igual a 2 216 240,79 𝐦𝟑.Alternativa: c).

Resolución

Julio se siente a gusto teniendo peceras en casa. Un día tomóla decisión de elaborar una pecera especial cuya base tiene laforma del polígono regular de 20 cm de lado y una altura de60 cm, como el que se muestra en la figura.

A partir del enunciado de la situación responde las preguntas4 y 5. https://bit.ly/2VATcwZ

La pecera especial

Situación 2

4. ¿Qué cantidad de vidrio utilizará Julio para elaborar la pecera sabiendo que todas sus caras son de dicho material?

a) 9276 m2 b) 8238 m2 c) 6544 m2 d) 12000 m2

Para determinar la cantidad de vidrio que utilizará Julio para elaborar su pecera, considero su área lateral + área de una base.

𝑨𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝑨𝐥𝐚𝐭𝐞𝐫𝐚𝐥 + 𝑨𝐛𝐚𝐬𝐞 = 6 veces el área del rectángulo + 1 área del hexágono regular de la base

Observa que:La pecera tiene la forma de unprisma recto, cuya base es unhexágono de 20 cm de lado y 60 cmde altura.

60 cm

ResoluciónPara unapecera no se toma encuenta una de las bases.

Calcula el área total de la pecera:

𝐴total = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵

𝐴𝑡otal = 6 20 cm × 60 cm + 620 cm 2. 3

4

𝐴𝑡otal = 7200 cm2 + 6400 cm2 . 1,73

4

𝐴𝑡otal = 7200 cm2 + 6692 cm2

4

𝐴𝑡otal= 7200 cm2 + 1038 cm2

𝐴𝑡otal = 8 238 cm2

Recuerda:La fórmula del área del hexágono regulares:

𝑨𝐡𝐞𝐱á𝐠𝐨𝐧𝐨 =𝟔 ∙ 𝑳𝟐 ∙ 𝟑

𝟒

Respuesta: La cantidad de vidrio que utilizará Julio para elaborar su pecera es: 8 238 𝐜𝐦𝟐.Alternativa: b).

5. ¿Cuántos litros de agua caben en dicha pecera como máximo?

a) 48,83 L b) 62,28 L c) 74,18 L d) 82,62 L

Para calcular cuántos litros de agua, caben en la pecera, calculo su volumen.

𝑉 = 𝐴𝐵 × ℎ

𝑉 = 620 cm 2. 3

4× 60 cm

𝑉 = 6400 cm2 1,73

4× 60 cm

𝑉 = 1038 cm2 × 60 cm𝑉 = 62 280 cm3

Recuerda:Para convertir a litros:

1 L = 1000 cm3

Convierto a litros el volumen de la pecera.

V = 62 280 cm3 ×1 L

1000 cm3 = 62,28 L

Respuesta:En la pecera caben como máximo 62,28 litros de agua.

Alternativa: b).

Resolución

Una piscina de 10 m de ancho tiene la sección longitudinal que se muestra en la figura. Calcula lacantidad de agua necesaria para llenarla completamente.

a) 500 m3 b) 550 m3 c) 600 m3 d) 650 m3

La piscina del municipio

Situación 3

Para calcular la cantidad de agua que cabe en la piscina, procedo a descomponer la parte longitudinal de la figuraen 4 partes, tal como se muestra en a continuación:

𝑽𝟏𝑽𝟐 𝑽𝟑

𝑽𝟒

Calculo el volumen total:

𝑉total = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4

Debemos considerar que:𝑉1: representa el volumen de un

prisma de base rectangular.𝑉2: representa el volumen de un

prisma de base triangular.𝑉3: representa el volumen de un

prisma cuya base es un trapecio.𝑉4: representa el volumen de un

prisma de base rectangular.El ancho de la piscina es 10 m.

Recuerda:Volumen = área de la base × altura

Resolución

Calculamos el volumen total:

𝑉total = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4

𝑉𝑡otal = 10 m × 1 m × 10 m +10 m × 1 m

2× 10 m +

6m + 2 m

2× 5 m × 10 m + 5 m × 6 m × 10 m

𝑉𝑡otal = 100 m3 + 50 m3 + 200 m3 + 300 m3

𝑉𝑡𝑜tal= 650 m3

Respuesta: Para llenar la piscina son necesarias 650 𝐦𝟑de agua. Alternativa: d).

Gracias