basebase

PIRÁMIDEPIRÁMIDE

Una pirámidepirámide es un poliedro formado por caras laterales que son regiones triangularesregiones triangulares que tienen un vértice común vértice común y una región poligonal y una región poligonal llamada llamada basebase que no contiene al vértice que no contiene al vértice

Ejemplos:al

tura

altu

ra

PIRÁMIDE REGULAR:

Apotema(Ap)

Arista lateral (a)

-Las caras lateralescaras laterales son triangulostriangulos isósceles congruentesisósceles congruentes-Las aristasaristas laterales son congruentes-El apotemaapotema (Ap)(Ap) es la altura relativa a la arista de la

base de cualquiera de sus caras laterales

altu

ra

V

AB

C

D

MH

Apotema de la base (ab)

Lado de la base (l)

AREA LATERAL

Si “l” es el lado de la base de la pirámidey Ap la apotema de la pirámide

Ap

l

DE UNA PIRAMIDE REGULAR

pLAT A2nlA =

AREA TOTAL DE UNA

Ap+

PIRAMIDE REGULAR

)a(A2

lnA bpTOT +=

ab

base

h

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

El volumen de una pirámide es igual a un tercio el producto del área de su base por su altura

V = Abase x h 3

TRONCO DE PIRÁMIDESi cortamos una pirámide por un plano,

obtenemos un tronco de pirámide, que será recto u oblicuo, según que el plano sea o no paralelo a la base. Fíjate en que las caras laterales de un tronco de pirámide son trapecios y cuando éste es regular, entonces los trapecios son isósceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirámide. Por otra parte, las bases son polígonos semejantes.

a

a´

Pirámides Otros elementos importantes de una pirámide.

APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA

ARISTA LATERAL

ALTURA DE LA PIRÁMIDE

APOTEMA BASE

ARISTA BÁSICA

BASE

Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado y su arista lateral es de 37 cm.

cm 9,3295,1637

cm 95,162

cm 9,332424

22

22

=−=

=

=+=

h

a

a

23BASE 24 32,9

6316 8 cm3 3

A hV ,

× ×= = =

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista lateral es de 29 cm.

2 2

2 2

29 20 21 cm

20 10 17,3 cm

h

a

= − =

= − =

BASE

2BASE

3

3120 17,3

1038 cm2 2

1038 217266 cm

3

A hV

P aA

V

×=

× ×= = =

×= =

11

EJERCICIO La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm y el lado de la base

mide 6 cm. Hallar el área lateral.

El área lateral es: Al = P. apo / 2

La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base.

Apo = √ [(l/2)2 + h2)] = √ (32 + 42) = = 5 cm Luego: Al = P. apo / 2 = 4.6.5 / 2 = 60 cm2

Ejercicios

l

l

h apo

l/2

Pregunta 1

3 m

3 m

3 m4 . 4 5 m

Pregunta 2

2 . 4 m

7 2 c m