METODO SIMPLEX: ANALISIS DE SENSIBILIDAD. JOSE E. VAZQUEZ AREVALO.  Una empresa fabrica dos tipos de alfombras del mismo ancho, afelpadas y para interior-exterior. Ambos tipos tienen una gran demanda por lo que la empresa puede vender cualquier cantidad que fabrique. Los dos tipos de alfombra pasan primero por el departamento de teñido y luego por tejido. Teñido tiene disponible 320 horas semanales mientras que tejido tiene disponible 400 horas semanales para fabricar las alfombras afelpadas y 160 para las alfombras de interior-exterior. Actualmente se fabrican seis modelos, cuatro del tipo afelpado y dos del tipo interior-exterior con los siguientes tiempos y márgenes de utilidad: 

DepartamentoModelo de Alfombra

(horas/metro)1 2 3 4 5 6

TeñidoTejido AfelpadasTejido Interior-Exterior

0.50.7

 

 1.21.2

  

0.80.5

 

11 

0.5 1

0.5 1

Utilidad Marginal($/metro)

60 70 70 100 200 300

 a.       Modele el problema para tener un programa de producción que pueda maximizar las

utilidades de la empresa.b.       Presente la tabla final y el análisis de sensibilidad para el problema modelado, ambos

calculados en la computadora.c.       Encuentre la solución óptima del problema modelado.d.       Interprete la solución óptima especificando ¿cuántas horas de capacidad no utilizada

existe en el departamento de teñido, en el tejido de alfombras afelpadas y en el tejido de alfombras para interior-exterior?

e.       Si un cliente importante pide 50 metros del modelo 2 ¿cuál es el efecto que tiene hacer esta producción?

f.         Si el personal de tejido para interior-exterior trabajara una hora extra ¿qué provocaría este cambio?

g.       Si al personal de teñido se le dejara tiempo extra ¿cuántas horas extras pueden trabajar sin cambiar el “precio sombra” para el departamento de teñido.

h.       Si el personal de alfombras para interior-exterior trabajara 60 horas extras con un pago adicional de $50/hora ¿qué efecto tiene este cambio en la solución óptima y en el valor de la función objetivo?

i.         ¿Qué precio se estaría dispuesto a pagar por una hora adicional en el departamento de teñido?

j.         ¿Cuánto tendría que aumentar el margen de utilidad del modelo 5 para que apareciera en la solución óptima del problema?

k.       ¿Cuánto podría cambiar el margen de utilidad del modelo 1 antes de que se afectara la solución óptima?

l.         Si nos vemos obligados a fabricar un metro más del modelo 6 ¿cuál sería la solución óptima para el problema?

m.     Si hubiera horas adicionales sin costo extra para el departamento de tejido para afelpadas, ¿cuántas horas recomendaría utilizar para maximizar las utilidades sin afectar la mezcla actual de producción?

      

SOLUCIONESa. Modelación del problema.

Variables de Decisión.Xi = Metros semanales a fabricar del Modelo “i”

(metros/semana) Función Objetivo.Máx. Z = 60X1 + 70X2 + 70X3 + 100X4 + 200X5 + 300X6

$/s ($/m)(m/s) = $/s Restricciones.1. Proceso.

Teñido 0.5X1 + 1.2X2 + 0.8X3 + X4 + 0.5X5 + 0.5X6 320

Tejido afelpado 0.7X1 + 1.2X2 + 0.5X3 + X4 400

Tejido interior-exterior X5 + X6 160 h/m (m/s) = h/s h/s

2. No negatividad Xi 0  b. Tabla Final y Análisis de Sensibilidad.Se presenta la tabla final y el análisis de sensibilidad calculadas con el Storm. Tabla Final (solución óptima) 

Base CjX1 X2 X3 X4 X5 X6 H1 H2 H3 BI60 70 70 100 200 300 0 0 0

X1

H2

X6

600

300

100

2.40-0.48

0

1.60-0.62

0

2-0.4

0

001

001

2-1.4

0

010

-10.71

480 64 160

ZJ 60 144 96 120 300 300 120 0 240 76,800CJ - ZJ 0 -74 -26 -20 -100 0 -120 0 -240  

  Reporte del Análisis de Sensibilidad. 

Coeficientes de Contribución

Disponibilidad del Recurso

Cj Mínimo Máximo Bi mínimo MáximoC1

C2

C3

C4

C5

C6

50-Infinito-Infinito-Infinito-Infinito 200

300144 96120300Infinito

B1

B2

B3

80336 68.5714

365.7143Infinito640

 c. Solución óptima.

X1 = 480H2 = 64X6 = 160Máx. Z = 76,800

 d. d.      Interpretación.

El programa de producción para la siguiente semana debe ser de 480 metros del modelo 1 (X1 = 480) y 160 metros del modelo 6 (X6 = 160) para tener la máxima utilidad de $76,800 (Máx. Z = 76,800). Al hacer este programa, sobrarán 64 horas de capacidad no utilizada en

el departamento de tejido de alfombras afelpadas y nada de tiempo en el departamento de teñido y tejido para interior-exterior.

  e. e.       Forzar una “variable no básica”.

Al forzar la fabricación de 50 metros del modelo 2, que es una variable que no está en la solución óptima (variable “no básica”), equivale a agregar una restricción más al modelo que es X2 = 50. Esta restricción modifica a la región factible del problema generando otra solución. Para este cambio se analiza la columna de la X2 en la tabla final. La utilidad óptima (Máx. Z = 76,800) se reducirá ya que se está perdiendo una contribución marginal de 74 por unidad (Cj – Zj = -74). La pérdida total es de 74(50) = 3,700 quedando la nueva utilidad en 76,800 – 3,700 = 73,100.  Para calcular la nueva solución óptima, se deben utilizar las “tasas de intercambio” de la columna X2 de la tabla final cambiándoles el signo ya que los recursos utilizados anteriormente a la fabricación de X1 se van a destinar a la fabricación de X2. La nueva solución óptima es: X2 = 50X1 = 480 - 2.4 (50) = 360H2 = 64 + 0.48 (50) = 88X6 = 160 - 0 (50) = 160Máx. Z = 76,800 – 74(50) = 73,100

 f. f.        Cambio en la disponibilidad del recurso de una restricción.

El departamento de tejido para interior-exterior pasa de tener 160 horas semanales disponibles a 161. Este cambio está dentro del rango del análisis de sensibilidad por lo que se tendrá la misma solución óptima (la misma mezcla de variables pero con diferentes valores) y se recalculará el valor de la función objetivo. Para calcular el valor de la función objetivo, se debe observar que la variable de holgura asociada a este departamento es H3, por lo que en la tabla final se debe ver el “precio sombra” (Zj=240) de la columna H3. El precio sombra indica que se puede tener un incremento en la utilidad de la función objetivo de 240 por cada hora que se agregue o una disminución por cada hora que se disminuya. En este caso, se está aumentando una hora por lo que la utilidad se incrementa en 240 (1) = 240 quedando en Máx. Z = 76,800 + 240 (1) = 77,040. La solución óptima mantiene las mismas variables pero hay que calcular su valor con base en las “tasas de intercambio” que aparecen en la tabla final en la columna de H3. La solución óptima queda en la forma siguiente: X1 = 480 – 1(1) = 479H2 = 64 + 0.7(1) = 64.7X6 = 160 + 1(1) = 161Máx. Z = 76,800 + 240(1) = 77,040 Si se hace un decremento de 10 horas, se tendrán disponibles 150 horas semanales en el departamento de tejidointerior-exterior. Este cambio queda dentro del rango de B3 y la solución óptima será: X1 = 480 - 1(-10) = 490H2 = 64 + 0.7(-10) = 57X6 = 160 + 1(-10) = 150Máx. Z = 76,800 + 240(-10) = 74,400  

g. g.      Análisis de Sensibilidad para la disponibilidad del recurso de una restricción.

La tabla del análisis de sensibilidad, se puede ver que la disponibilidad de las horas semanales del departamento de teñido (B1 = 320) puede variar de 80 a 365.7143 sin provocar un cambio en su precio sombra (Z j= 120) dado por la columna de H1

 Por ejemplo, si se incrementa en 30 horas el tiempo disponible semanal de teñido, el valor de B1 quedaría en 350; este cambio está dentro del rango del análisis de sensibilidad por lo que se tiene la misma solución y se calcula el valor de función objetivo. Viendo las tasas de intercambio de la columna H1, se pueden calcular los variables de la solución óptima, quedando:  X1 = 480 + 2 (30) = 540H2 = 64 – 1.4 (30) = 22X6 = 160Máx. Z = 76,800 + 120 (30) = 80,400 Si se tiene un cambio fuera del rango del análisis de sensibilidad como hacer B1 = 400, este cambio hace que cambie la solución óptima del problema y el valor de la función objetivo. Para comprobar esto, se solucionó nuevamente el modelo cambiando el tiempo disponible de la restricción de teñido y se obtuvo la siguiente solución óptima: X1 = 400X4 = 120X6 = 160Máx. Z = 84,000

 h. h.      Cambio en la disponibilidad de recursos de una restricción.

El cambio afecta al tiempo disponible del departamento de tejido para interior-exterior (B3 = 160). Con un aumento de 60 horas, el tiempo disponible es 160 + 60 = 220 horas semanales. Este cambio está dentro del rango del análisis de sensibilidad que va de 68.5714 a 640. Este cambio en el tiempo disponible de la restricción de tejido interior-exterior, está vinculado con la variable de holgura H3 y en su respectiva columna de la tabla final, se pueden ver las tasas de intercambio y su precio sombra (Zj = 240). Como hay un pago adicional de $50/hora y el precio sombra es de 240 por cada hora, se tendrá una ganancia adicional de 240 – 50 = $190/hora, dando un incremento a la utilidad de 60(190) = 11,400 por lo que el valor de la función objetivo y la solución óptima es de: X1 = 480 – 1(60) = 420H2 = 64 + 0.7(60) = 106X6 = 160 + 1(60) = 220Máx. Z = 76,800 + 11,400 = 88,200 Cuando se soluciona el modelo con este nuevo valor, se encuentra una solución óptima igual a la calculada pero con una Máx. Z = 91,200. Este valor es diferente porque se calcula con el valor del precio sombra de 240, sin considerar el pago adicional que se hace por hora. Al restarle este costo, se llega al mismo valor en la Máx. Z. 

i. i.        Precio a pagar por una unidad adicional.El precio sombra de teñido se puede ver en la columna de H1 de la tabla final (Zj = 120). Se podría pagar un incremento en el costo de hasta $120 como máximo, es decir el valor del precio sombra.

 j. j.        Incremento del margen de utilidad para que una variable “no básica” entre a la

solución óptima.Para que la X5 entre a la base y aparezca en la solución óptima del problema, se requiere que su margen de utilidad se incremente en un valor mayor al valor absoluto de C j – Zj = -100 que se ve en la columna X5 de la tabla final. El margen de utilidad de X5 debe ser mayor a 200 + 100 = 300 para que se convierta en una variable de entrada a la base al quedar Cj – Zj con un valor positiva.

 Por ejemplo, si C5 = 400 se tiene que la solución óptima es: X1 = 480H2 = 64X5 = 160Máx. Z = 92,800

 k. k.      Rango de variación en coeficiente de contribución de la función objetivo.

En la tabla del análisis de sensibilidad, se ve el rango de variación para C1, coeficiente de contribución de X1 en la función objetivo, siendo este rango de 50 a 300. Para comprobar que no se afecta la solución óptima del problema y que solo cambia el valor de la función objetivo, se dio el valor de C1 = 100 y se obtuvo la siguiente solución óptima: X1 = 480H2 = 64X6 = 160Máx. Z = 96,000

  l. l.        Forzar un nuevo valor de una “variable básica”.

Si nos vemos obligados a incrementar en 1 el valor de X6 = 160 + 1 = 161, ya que es una variable básica que está en la solución óptima del problema, se tendrá una solución infactible ya que no cumple con la restricción de teñido ni con la de tejido interior-exterior. En el teñido se consumen 320.5 horas semanales haciendo una producción de X1 = 480 y X6 = 161 contra 320 horas que se tienen disponibles. En el tejido interior-exterior, este programa consume 161 contra las 160 horas semanales disponibles. En ambas restricciones se consumirían más recursos que los que se tienen disponibles, luego esta solución no se puede hacer.

 m. m.    Rango de variación en la disponibilidad del recurso de una restricción.

Si en tejido de afelpadas se pudieran utilizar horas adicionales sin costo extra, se vería que el rango de variación en el análisis de sensibilidad para B2 es de “336 a infinito”, esto significa que cualquier cambio dentro de este rango mantiene las mismas variables óptimas pero con diferente valor y el mismo valor de la función objetivo. Esta restricción no es una restricción dominante puesto que en la solución óptima, le sobra tiempo H2 = 64 pero si insistimos en darle más tiempo, solo se tendrá más tiempo sobrante en H2 y la misma solución óptima y valor de la función objetivo. Por ejemplo, si se hace B2 = 350 y B2 = 1,000 y se soluciona el modelo, se tiene que: Con B2 = 350 Con B2 = 1,000 Solución óptima Solución óptima

X1 = 480 X1 = 480H2 = 14 H2 = 664X6 = 160 X6 = 160Máx. Z = 76,800 Máx. Z = 76,800