Anlisis de Sensibilidad Despus de que se ha obtenido la solucin ptima de un problema de programacin lineal (PL), puede darse el caso de que uno o varios parmetros de la formulacin original cambien dando origen a un nuevo problema, sin embargo mediante la aplicacin de la tcnica llamada anlisis de sensibilidad no ser necesario volver a resolver el problema desde el principio. La utilidad del anlisis de sensibilidad en los modelos de PL consiste, en que permite una interpretacin razonable de los resultados ya obtenidos. En muchos casos la informacin generada por la aplicacin del anlisis de sensibilidad es ms importante y mucho ms informativa que el simple resultado obtenido en la solucin ptima. En cierto sentido, el anlisis de sensibilidad convierte la solucin esttica de los modelos de PL. en un instrumento dinmico que evala las condiciones cambiantes. El nuevo problema puede diferir del original en uno varios de los siguientes cambios que pueden ocurrir simultneamente: 1. Cambios en la disponibilidad de recursos (vector bi). 2. Cambios en los costos o utilidades unitarias (vector Cj). 3. Cambios en los coeficientes tecnolgicos (matriz aij). La estructura inicial de una tabla simplex es la siguiente:

Y la estructura ptima de una tabla simplex es:

El anlisis de sensibilidad se basa en el conocimiento de la tabla inicial simplex y en la aplicacin de las propiedades de la estructura ptima de una tabla simplex.

Cambios en la disponibilidad de recursos (vector bi). Maximizar Z= CjXj Sujeta a: AijXj= bi Xju0

Los valores ptimos de las variables de un modelo de PL est determinada por la propiedad XB=B-1 b =0 y para Z=CBXB. Al experimentar un cambio en el vector b* XB cambia a: Si = B-1 b* B u0 entonces la nueva solucin ser ptima.B

Si B #0 entonces la nueva solucin B no es factible y ser necesario aplicar el metdo dual-simplex para restaurar la factibilidad. El mtodo dual-simplex, en caso de aplicarse, deber hacerse a la tabla ptima del problema original, cambiando la columna XB porB

.

Ejemplo 1. Considere el siguiente modelo de PL y su correspondiente solucin inicial y solucin ptima. Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A. 3X1 +5X2 # 15 5X! +2X2 # 10 X1u0 , X2u0

Si se decide experimentar un cambio en el vector problema y cul es la nueva solucin ptima? Solucin: El nuevo problema a resolver es: Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A.

a

Cul es el nuevo

3X1 +5X2 # 5 5X! +2X2 # 5 X1u0 , X2u0 Aplicando la tcnica de anlisis de sensibilidad no es necesario volver a resolver el problema desde el principio, lo primero que debemos definir es la propiedad que aplica, para los cambios en el vector b siempre se aplicar la siguiente propiedad:B

= B-1b*

Identificando valores: B-1 = b* = Sustituyendo valores: = =

B

Como

B

=

la solucin sigue siendo factible

La solucin ptima para el nuevo modelo es:optima

=CB

B

=CBB-1b*

Identificando valores: CB = =

B

CBB-1 =

b* = Sustituyendo valores:

optima

=CB =

B

optima

=optima

La otra manera de obteneroptima

es:

= CBB-1 b*

Sustituyendo valores:optima

= =

optima

Conclusin: La solucin ptima del nuevo modelo obtenida por anlisis de sensibilidad es: X1= X2 =optima

=

Ejemplo 2 Supongamos ahora que se decide experimentar otro cambio en el vector a

Cul es el nuevo problema y cul es la nueva solucin ptima? Solucin: El nuevo problema a resolver es: Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A. 3X1 +5X2 # 10 5X! +2X2 # 20 X1u0 , X2u0 Aplicando la tcnica de anlisis de sensibilidad, la propiedad que aplica para los cambios

en el vector b es:B

= B-1b*

Identificando valores: B-1 = b* = Sustituyendo valores: = =

B

Como la solucin es infactible, en estos casos se debe aplicar el B= mtodo dual-simplex para restablecer la factibilidad del nuevo problema, utilizando la tabla ptima del problema original y sustituyendo los valores deB

en lugar de XB.

La solucin ptima para el nuevo modelo es:optima

=CB

B

Identificando valores: CB = =

B

Sustituyendo valores:

optima

=CB =

B

optima

=

Conclusin: La solucin ptima del nuevo modelo obtenida por anlisis de sensibilidad es: X1= X2 =optima

=

Cambios en los costos o utilidades unitarias (vector Cj). Maximizar Z= CjXj Sujeta a: AijXj= bi Xju0 Si se experimentan cambios en el vector Cj el nuevo modelo es: Maximizar Z= Sujeta a: AijXj= bi Xju0 Este tipo de cambios toma como punto de partida la solucin ptima del problema original. Al cambiar el vector decir , la propiedad debe ser actualizada, es

Donde es la columna de la matriz Si los valores actualizados de son no negativas para las variables no-bsicas y cero para las variables bsicas para el caso de maximizar negativas y cero para el caso de minimizar, estas cumplen con las condiciones de optimalidad y entonces la asociada a la tabla ptima original permanece ptima y el nuevo valor de la funcin objetivo ser:

En caso contrario, mediante operaciones matriciales elementales y/o el algoritmo del metodo simplex obtendremos las condiciones de optimalidad.

Ejemplo 1 Considere el siguiente modelo de programacin lineal y su correspondiente tabla ptima: Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A. 3X1 +5X2 # 15 5X! +2X2 # 10 X1u0 , X2u0

Supongamos que el coeficiente = 3 disminuye a correspondiente solucin ptima?. Solucin. El nuevo modelo es: Maximizar. Z= 5X1 + 1X2 S.A. 3X1 +5X2 # 15 5X1 +2X2 # 10 X1u0 , X2u0

=1 Cul es el nuevo modelo y su

Obteniendo la solucin del nuevo modelo de PL por anlisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es: Para el ejemplo que nos ocupa, la propiedad a aplicar es:

para i=1,2 y j=2

Obteniendo la solucin del nuevo modelo de PL por anlisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es: Para el ejemplo que nos ocupa, la propiedad a aplicar es:

para i=1,2 y j=2

Identificando valores = Como el unico coeficiente del vector que cambio es

Obteniendo la solucin del nuevo modelo de PL por anlisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es: Para el ejemplo que nos ocupa, la propiedad a aplicar es:para i=1,2 y j=2

Identificando valores. = Como el nico coeficiente del vector correspondiente es: que cambio es = 1 entonces la propiedad

= = Sustituyendo valores: = Sustituyendo el nuevo valor de =2 en la tabla ptima del modelo original.

Al sustituir el coeficiente 2 en la tabla ptima, observamos que la variable X2 es bsica por lo que la solucin pierde su estructura bsica para restablecerla debemos hacer cero el coeficiente 2, y despus verificar la optimalidad si es ptima la solucin hemos concluido, de no ser as, aplicar el algoritmo del mtodo simplex hasta obtener la solucin ptima.

Conclusin: La solucin ptima del nuevo modelo obtenida por anlisis de sensibilidad es: X1 = 2 X2 = optima = 10 Ejemplo 2 Considere el siguiente modelo de programacin lineal y su correspondiente tabla ptima: Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 S.A. 3X1 +5X2 # 15 5X! +2X2 # 10 X1u0 , X2u0

Supongamos que el vector cambia a correspondiente solucin ptima?. Solucin.

Cul es el nuevo modelo y su

El nuevo modelo es: Maximizar. Z= 1X1 + 1X2 S.A. 3X1 +5X2 # 15 5X1 +2X2 # 10 X1u0 , X2u0 Obteniendo la solucin del nuevo modelo de PL por anlisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es: Para el ejemplo que nos ocupa, la propiedad a aplicar es:

para i=1,2 y j=2

Obteniendo la solucin del nuevo modelo de PL por anlisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es: Para el ejemplo que nos ocupa, la propiedad a aplicar es:para i=1,2 y j=2

Identificando valores = Como los coeficientes del vector que cambiaron son y habr que aplicar la propiedad correspondiente tantas veces como cambios se estn experimentando en el vector .

Obteniendo la solucin del nuevo modelo de PL por anlisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es: Para La propiedad especifica a aplicar es:para i=1,2 y j=1

Identificando valores. = =

Sustituyendo valores:

= Ahora debemos sustituir el nuevo valor de original. Para Como el coeficiente del vector correspondiente es: que cambio es = 1 entonces la propiedad =4 en la tabla ptima del modelo

= = Sustituyendo valores:

= Sustituyendo el nuevo valor de =2 en la tabla ptima del modelo original.

Al sustituir los coeficientes 4 y 2 en la tabla ptima, observamos que las variables X1 y X2 son bsicas por lo que la solucin pierde su estructura bsica para restablecerla debemos hacer ceros los coeficientes 4 y 2, y despus verificar la optimalidad si es ptima la solucin hemos concluido, de no ser as, aplicar el algoritmo del mtodo simplex hasta obtener la solucin ptima.

Conclusin: La solucin ptima del nuevo modelo obtenida por anlisis de sensibilidad es: X1= 20/19 X2 = 45/19 optima = 65/19

Cambios en la matriz Aij (matriz de coeficientes tecnolgicos) Ahora se analizar el efecto de cambiar algunos de los elementos de la matriz analizar solo el caso que incluye, cambios en las columnas no-bsicas. Se

Suponga que la columna no-bsica

. se modifica a

. Entonces la nueva columna

actualizada es y . Si , entonces la solucin anterior es ptima; en caso contrario, el mtodo simplex contina despus de actualizar la columna j de la tabla, introduciendo la variable no bsica .

Obtencin del modelo original a partir de la tabla ptima Aplicando las propiedades del anlisis de sensibilidad y con la siguiente tabla ptima determine el modelo de PL al que corresponde dicha solucin.

Las propiedades de una tabla ptima son:

Paso1. Obteniendo el vector b (vector de disponibilidades de recursos). La propiedad que aplica es: XB=B-1b Identificando valores:

Sustituyendo valores:

= Resolviendo operaciones matriciales y construyendo las ecuaciones de primer grado para encontrar los valores del vector b.

=

Resolviendo el sistema de ecuaciones de primer grado obtenemos los siguientes valores del vector b b1 = 15 b2 = 10

Paso2. Obteniendo la matriz La propiedad que aplica es: Identificando valores:

( matriz de coeficientes tecnolgicos).

=

Sustituyendo valores:

= =

=

Resolviendo los sistemas de ecuaciones de primer grado obtenemos los siguientes valores de la matriz

= Paso1. Obteniendo el vector Cj (vector de costos utilidades). La propiedad que aplica es: Identificando valores:

=

Sustituyendo valores:

= =

-

El modelo original es: Maximizar Z = 5X1 + 3X2 Sujeta a: 3X1 + 5X2 #15 5X1 + 2X2 #10 X1u0 X2u0

Ejercicios 5.1. al 5.5.

Dualidad y Anlisis de SensibilidadTAREA 1 5.1. Anote dentro del parntesis los siguientes nmeros que correspondan a los enunciados. (1) Los parmetros (2) El anlisis de sensibilidad (3) La dualidad (4) Las variables duales (5) El valor ptimo (6) La solucin factible

(7) El mtodo dual-simplex (8) El mtodo heurstico (9) Variable dual Yi (10) Precios sombra (11) Modelo primal 5.1.2. (__) _______________de la funcin objetivo primal es igual al valor ptimo de la funcin objetivo dual. 5.1.3. (__) En el mtodo dual-simplex, si todas las variables bsicas no son negativas el proceso termina y se alcanza _______________ 5.1.4. (__) _______________Permanecen constantes para cada problema, pero varan con problemas distintos. 5.1.5. (__) _______________Es til en el anlisis de sensibilidad. 5.1.6. (__) _______________Para desarrollar soluciones aproximadas aceptables. 5.1.7. (__) _______________Es un mtodo para investigar el efecto que tienen cambios en los diferentes parmetros sobre la solucin ptima de un problema de PL. 5.1.8. (__) _______________Tienen importantes interpretaciones econmicas. 5.1.9. (__) _______________Permite entre otras cosas resolver modelos lineales que tienen ms restricciones que variables. 5.1.10. (__) _______________Contribucin unitaria del i-simo recurso al valor de la funcin objetivo. 5.1.11. (__) La expresin CBXB de la tabla ptima, representa_______________. 5.1.12. (__) El dual del dual es el modelo_______________. TAREA 2 5.2. Determine el modelo dual, a partir de su forma cannica y a partir de las reglas de dualidad (forma directa) del siguiente modelo de PL. Minimizar Z = 5X1 + 2X2 S.A. -8X1 +2X3 u 0 X2 - 3X3 = 6 X1 - 6X2 e 4 X1 libre; X2 e 0; X3 u 0 Las siguientes cinco preguntas, estn relacionadas al modelo dual obtenido, mediante la forma cannica.

(_) 5.2.1. El nmero de variables de decisin del modelo dual es: a). Seis b). Cinco c). Cuatro d). Tres e). Ninguna (_) 5.2.2. Los coeficientes de la segunda restriccin del modelo dual son: a). (0, 1, 3) b). (0, 1,-1 ,6) c). (0, 3, 1) d). (-8, 0, 0, -1) e). Ninguna (_) 5.2.3. Los costos del modelo dual son, respectivamente: a). (0, -6 ,6 ,4) b). (5, -2, 0)t c). (-5, 5, 2, 0)t d). (0, 6) e). Ninguna (_) 5.2.4. El tipo de optimizacin del modelo dual es: a). Min.G b). Max. Z c). Min.(-G) d). Max.-(G) e). Ninguna (_) 5.2.5. Los recursos del modelo dual son respectivamente: a). (0, 6) b). (-5, 5, 2, 0, 0) c). (0, 6, -6)t d). (5,-5, 2, 0,0)t e). Ninguna Las siguientes cinco preguntas, estn relacionadas con el modelo dual en forma directa. (_) 5.2.6. Los costos duales: a). (0, 0, 6) b). (0, -6, 6) c). (-5, 2, 0) d). (0, 6, 4) e). Ninguna (_) 5.2.7. Los recursos duales son: a). (5, -2, 0)t b). (-5, 2, 0)t c). (5,-5, 2, 0, 0)

d). (0, 6) e). Ninguna (_) 5.2.8. La naturaleza de las variables duales, es respectivamente: a). e0, libre b). u0, u0, u0 c). u0, libre d). u0, , libre, e0 e). Ninguna (_) 5.2.9. Las restricciones duales son del tipo, respectivamente: a). =, u, = b). =, e, = c). =, u, d). =, =, u e). Ninguna (_) 5.2.10. La segunda restriccin dual es:: a). Y2-6Y3 u2 b). -8Y1+Y3 = -5 c). 2Y1-3Y2 e 0 d). -Y2u0, e). Ninguna TAREA 3 5.3. Determine el modelo dual, a partir de su forma cannica y a partir de las reglas de dualidad (forma directa) del siguiente modelo de PL. Minimizar Z = X1 + 2X3 S.A. X2 + 6X3 e 24 X1 + X2 - 2X3 = 0 X1 u 0; X2 libre; X3 e 0 Las siguientes cinco preguntas, estn relacionadas al modelo dual obtenido, mediante la forma cannica. (_) 5.3.1. El nmero de variables de decisin del modelo dual es: a). Dos b). tres c). Cuatro d). Cinco e). Ninguna (_) 5.3.2. Los recursos del modelo dual son: a). (1, 0, 2)t b). (1, 0,2 ,0)t

c). (24, 0, 0)t d). (-1, 0, 0, 2,)t e). Ninguna (_) 5.3.3. Los costos del modelo dual son, respectivamente: a). (0, -24, 24) b). (1, -2, 0)t c). 24, 0, 0)t d). (24, 0) e). Ninguna (_) 5.3.4. El tipo de optimizacin del modelo dual es: a). Min.(-G) b). Max. Z c). Min.G d). Max.-(G) e). Ninguna (_) 5.3.5. Los coeficientes de la tercera restriccin del modelo dual son: a). (6, -2, 2) b). (-1, 1, -1) c). (0, -1, 1) d). (6, 2) e). Ninguna Las siguientes cinco preguntas, estan relacionadas con el modelo dual en forma directa. (_) 5.3.6. Los costos duales son: a). (1, 0, 2) b). (24, 0, 0 c). (-24, 24, 0) d). (24, 0,) e). Ninguna (_) 5.3.7. Los recursos duales son: a). (24, 0, 0)t b). (1, 2, 0)t c). (1, 0, 2)t d). (24, 0)t e). Ninguna (_) 5.3.8. La naturaleza de las variables duales, es respectivamente: a). e0, libre b). u0, u0, u0 c). libre, u0, d). libre, libre, e). Ninguna (_) 5.3.9. Las restricciones duales son del tipo, respectivamente:

a). =, u, = b). =, e, = c). =, u,e d). e, =, u e). Ninguna (_) 5.3.10. La segunda restriccin dual es: a). Y1+Y2 e2 b). Y1+Y2 = 0 c). 6Y1-2Y2 u 0 d). -Y2u1 e). Ninguna TAREA 4 5.4. Determine el modelo dual, a partir de su forma cannica y a partir de las reglas de dualidad (forma directa) del siguiente modelo de PL. Minimizar Z = 4X2 + X3 S.A. - X1 +2X2 - 6X3 e 15 X1 + - 2X3 = 70 X1 libre; X2 e 0; X3 u 0 Las siguientes cinco preguntas, estn relacionadas al modelo dual obtenido, mediante la forma cannica. (_) 5.4.1. El nmero de variables de decisin del modelo dual es: a). Dos b). Tres c). Cuatro d). Cinco e). Ninguna (_) 5.4.2. Los recursos del modelo dual son: a). ( 0, 0, 4, -1)t b). ( 0, 4, 1)t c). (4, -1)t d). (15, 70, -70)t e). Ninguna (_) 5.4.3. Los costos del modelo dual son, respectivamente: a). ( 0, 0, 4, -1)t b). ( 0, 4, 1)t c). (15, -70, 70)t d). (15, 70, -70)t e). Ninguna

(_) 5.4.4. El tipo de optimizacin del modelo dual es: a). Min.(-G) b). Max. Z c). Min.G d). Max.-(G) e). Ninguna (_) 5.4.5. Los coeficientes de la tercera restriccin del modelo dual son: a). (-6, 2, -2) b). ( 3, -3, 0, 2) c). (-2, 0, 0) d). (2, 0) e). Ninguna Las siguientes cinco preguntas, estn relacionadas con el modelo dual en forma directa. (_) 5.4.6. Los costos duales son: a). (0, 4, 1) b). (15, -70, 70) c). (-2, 0, 0) d). (15, 70) e). Ninguna (_) 5.4.7. Los recursos duales son: a). (15, 70, -70)t b). (0, 4, 1)t c). (0, 0, 4, -1)t d). ( 15, 70)t e). Ninguna (_) 5.4.8. La naturaleza de las variables duales, es respectivamente: a). e0, libre b). u0, u0, u0 c). libre, u0 d). libre, libre, e). Ninguna (_) 5.4.9. Las restricciones duales son del tipo, respectivamente: a). =, u, = b). =, u, e c). e, u, d). e, =, u e). Ninguna (_) 5.4.10. La segunda restriccin dual es: a). -Y1+3Y2 =0 b). Y1+3Y2 3Y3u 0 c). -2Y1 u 4 d). -6Y1-2Y2e1

e). Ninguna TAREA 5 5.5. Considere la siguiente tabla ptima incompleta, de un modelo de P.L., en forma cannica:

(_) 5.5.1. El nmero de variables de decisin originales son: a). 6 b). 5 c). 4 d). 3 e). Ninguna (_) 5.5.2. El tipo de las variables que se agregaron para resolver el problema son: a). Solo holguras b). Solo artificiales c). Una suplerflua, una artificial y una holgura d). Una holgura y una artificial e). Ninguna (_) 5.5.3. El valor del segundo recurso del modelo es: a). 8 b). 10 c). 14 d). 16 e). Ninguna (_) 5.5.4. El valor del primer recurso del modelo es: a). 12 b). 16 c). 14 d). 8 e). Ninguna (_) 5.5.5. Los coeficientes de las variables de decisin en la funcin objetivo son: a). (0, 2, -3) b). (2, 1, 0) c). (1, 2, 2) d). (-2, 2, 1) e). Ninguna (_) 5.5.6. Los coeficientes de las variables de decisin en la primera restriccin son: a). (2, 1, 0) b). (0, 0, 1)

c). ( 2, 0) d). (1, 1, -2) e). Ninguna (_) 5.5.7. Los coeficientes de las variables de decisin en la segunda restriccin son: a). (2, 1, 0) b). (0, 0, 1) c). (2, 0) d). (1, 1, -2) e). Ninguna (_) 5.5.8. Los precios sombra que muestra la tabla son: a). (0, 2, 2) b). (3, 0, 0) c). (0, 0, 2) d). (2, 2 ) e). Ninguna (_) 5.5.9. El valor ptimo de la funcin objetivo es: a). 150 b). 60 c). 36 d). 240 e). Ninguna (_) 5.5.10. Los coeficientes de las variables de decisin en la funcin objetivo son: a). (X5, X2)t b). (X3, X4)t c). (X4, X3)t d). (X1, X2)t e). Ninguna Bibliografa (Unidad 5)

DANTZIG, G. B. Linear Programming and Extensions. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1963. HAMDY A. TAHA. Investigacin de Operaciones,una introduccin. 5 ed. Alfaomega, 1994. DAVID E. LUENBERGER. Programacin Lineal y no lineal. 2 ed. Addison-Wesley Iberoamericana, 1989. MORENO BONETT A., JAUFFRED M. FRANCISCOJ. Mtodos de Optimizacin, Representaciones y Servicios de Ingeniera, 1974.

ANDERSON DAVID R., DENNIS J. SWEENEY, THOMAS A. WILLIAMS. Introduccin a los Modelos Cuantitativos para Administracin, 6 ed., Grupo Editorial Iberoamrica, 1993. LEVIN, RICHARD I. y KIRKPATRICK CHARLES A.Enfoques Cunatitativos a la Administracin.1. edicin. CECSA. 1978. KENNETH S. BROWN, JACK B REVALLE. Quantitative Methods for Managerial Decisions, 1. Ed., Addison Wesley, 1978. WINSTON WAYNE L., Investigacin de Operaciones, aplicaciones y algoritmos, 2 ed. Grupo Editorial Iberoamrica, 1994. PRAWDA JUAN. Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones, Vol. 1, 1 ed. Limusa, 1980. GASS SAUL I., Programacin Lineal, 1 ed. CECSA, 1975. BAZARAA OKHTAR S., JOHN J. JARVIS, HANIF D. SHERALI. Programacin Lineal y Flujo en Redes, 2 ed., Limusa. KAUFMANN A. Mtodos y Modelos de la Investigacin de Operaciones, Tomo I, 6 ed., CECSA. BRASOV A. S., Qu es la Programacin Lineal ?, 1 ed., Limusa 1982. COOK THOMAS M., RUSELL ROBERT A., Introduction to management science, 3 ed., Prentice Hall, 1997.

UNIDAD 6

El Problema del Transporte

En la presente unidad se continuarn ampliando los horizontes acerca de la extensa aplicabilidad de la programacin lineal. El enfoque ser sobre dos tipos de problemas relacionados que son tan importantes que han recibido nombres propios, problemas de transporte y problemas de asignacin. Ambos caen en la tercera categora de los problemas de programacin lineal vistos en la unidad 2 problemas de redes de distribucin. Los problemas de transporte recibieron su nombre porque muchas de sus aplicaciones involucran la determinacin de cmo transportar bienes en forma ptima. Empero, se ver que algunas de sus aplicaciones importantes nada tienen que ver con el transporte. Los problemas de asignacin son mejor conocidos por las aplicaciones que involucran asignar personas a tareas. Sin embargo, tambin tienen una variedad de otras aplicaciones. El objetivo general de la unidad es coadyuvar a reconocer cundo, un problema al que se enfrente un estudiante puede ser formulado y analizado como un problema de transporte o de asignacin. La presente unidad tiene los siguientes objetivos especficos de aprendizaje: 1. Establecer las caractersticas esenciales de los problemas de transporte y asignacin, as como las variantes de estos problemas. 2. Identificar cundo puede ser formulado un problema de manera que se ajuste a uno de estos tipos de problemas. 3. Facilitar el estudio de la variedad de aplicaciones de cada tipo de problema. Obtener la solucin correspondiente a los problemas de transporte y asignacin con la aplicacin de los diferentes mtodos.

Definicin del Problema del transporte. La manera ms fcil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura "de - hacia": de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aqu hacia all. Al enfrentar este tipo de problema, la intuicin dice que debe haber una manera de obtener una solucin. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinacin ptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran nmero de combinaciones posibles. En general, los problemas de transporte se ocupan (en forma literal o imaginara) de la distribucin desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados orgenes, a cualquier grupo de centros de recepcin, llamados destinos de modo que se minimice el costo total de distribucin.

Cada origen tiene ciertos recursos (oferta) para distribuir a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de estos recursos que recibe de los orgenes. El modelo de un problema de transporte hace la siguiente suposicin acerca de estos recursos (ofertas) y demandas. Suposicin de requerimientos. Cada origen tiene una cantidad fija de unidades (oferta), las cuales tienen que distribuirse entre los destinos. De manera similar, cada destino tiene una demanda fija de unidades, que tiene que ser satisfecha desde los orgenes. Esta suposicin significa que debe haber un equilibrio entre la oferta total de todos los orgenes y la demanda total de todos los destinos. Suposicin de costo. El costo de distribuir unidades de cualquier origen dado a cualquier destino dado es directamente proporcional al nmero de unidades distribuidas. Por lo tanto, este costo es justo el costo unitario de distribucin por el nmero de unidades distribuidas. Los nicos datos necesarios para el modelo del problema de transporte son los recursos ( capacidades, existencias, oferta), las demandas y los costos unitarios. stos son los parmetros del modelo.

Formulacin del Problema del transporte. Supongamos que hay m centros de oferta (orgenes) y n centros de demanda (destinos) asimismo, supongamos que Ej es el nmero de unidades de mercanca disponibles en cada centro de oferta, y Dj el nmero requerido de unidades de mercanca en el centro de demanda. Si consideramos Cij como el costo unitario de transporte en la ruta de un centro de oferta a uno de demanda. El objetivo es determinar el nmero de unidades de mercanca que debe transportarse de las fuentes (i) a los destinos (j) de tal forma que se minimice el costo total del transporte. Si Xijes la cantidad transportada del centro de oferta (i) al centro de demanda (j) Entonces nuestro modelo ser:

Una forma agradable de visualizar un problema de transporte en forma grfica es usar su representacin de red. Esta representacin ignora la disposicin geogrfica de los orgenes y destinos. En su lugar, simplemente alinea todos los orgenes en una columna a la izquierda (donde E1 es el smbolo del origen 1, etc.)y todos los destinos en una columna a la derecha (donde Dj es el smbolo del destino 1, etc). Para problemas muy grandes no es muy conveniente trazar la red completa y desplegar todos los datos. En consecuencia, la representacin de red en realidad es un medio de visualizacin.

figura 6.1

La formulacin del modelo de PL correspondiente a la figura 6.1 es:

La funcin objetivo del modelo de PL es, entonces, minimizar la suma de los costos de transporte para las 12 rutas. Es decir, la funcin objetivo es:

Las restricciones van de la capacidad limitada de cada planta a la demanda de cada almacn. Para la fabrica E1 la restriccin es:

Esto significa que la cantidad total que se manda desde la fbrica E1 debe ser igual que su capacidad. Anlogamente, se debe satisfacer la demanda de cada almacn. Para el almacn D1 se tiene:

Si se escribe todo el modelo, resulta:

Las caractersticas matemticas nicas que se deducen del modelo de transporte planteado son: Los coeficientes en cada restriccin son todos 1 o cero (para las variables que no aparecen). Esto siempre es cierto para un problema de transporte. La suma de las existencias en los orgenes es igual a la suma de las demandas de los destinos. Lo que resulta es que, debido a estas caractersticas nicas, es posible que haya tcnicas de solucin del problema del transporte mas sencillas de solucin. Otra caracterstica de la formulacin del modelo de PL es que se tiene un total de siete restricciones: una para cada origen y cada destino. Sin embargo, una de ellas es redundante. Realmente se necesitan slo seis restricciones. La razn es que se sabe que la cantidad total que se manda desde todas las fbricas debe ser igual que la cantidad total que se recibe en todos los almacenes. Supngase que se omite la restriccin del cuarto almacn. Al resolver el problema se sabe cunto se mand de cada fbrica a los tres primeros almacenes y la cantidad total que se mand desde las fbricas. Se sabr entonces que la diferencia entre estas dos cantidades se tuvo que mandar al cuarto almacn. Esto lleva a la regla general de que el nmero de restricciones independientes siempre ser una menos que la suma del nmero de orgenes y el nmero de destinos. Para cualquier problema de PL, el nmero de variables en la solucin final no puede exceder el nmero de restricciones independientes. Entonces, para el ejemplo, cuando mucho se usarn 6 de las 12 rutas para la solucin ptima. Esta regla es muy importante al resolver problemas con el mtodo del transporte.

Tcnicas de solucin del problema de transporte El problema de transporte es un tipo especial de programacin lineal que, an cuando se puede resolver por el mtodo simplex, sus propiedades especiales ofrecen un procedimiento de solucin ms sencillo. Las tcnicas de transporte tratan de encontrar los caminos para trasladar mercanca desde varias plantas (orgenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos), de tal manera que se minimice el costo de transporte. En la seleccin de las opciones de transporte de una empresa que tiene varias plantas y que en su procedimiento requiere del traslado de productos en diferentes etapas de produccin, puede obtenerse un ahorro sustancial de tiempo y dinero, si se efecta una planeacin cuidadosa del traslado de las mercancas. O si la empresa tiene su propio medio de transporte, el problema ser encontrar las rutas ms apropiadas para que se obtengan los ms bajos costos. Cuando la empresa no tiene su propio medio de transporte el problema es ms complicado. En esta situacin, el modelo se debe enfocar a minimizar el costo o la cantidad de dinero que deba pagarse a la agencia, por el tiempo utilizado y por el volumen que se traslade en cada viaje. Las tcnicas de transporte fueron desarrolladas particularmente para resolver problemas de traslado de mercancas pero se pueden aplicar tambin en la programacin de la produccin y en el anlisis del establecimiento de una nueva planta. Las tcnicas son especialmente tiles para una empresa que produce un mismo artculo en varias plantas y que debe distribuirlo en varios centros de demanda. Varios mtodos han sido desarrollados para resolver problemas de transporte como por ejemplo: Mtodo de la esquina noroccidental. Mtodo de vogel. Tcnica del banquillo. Mtodo de los multiplicadores. Algoritmo de transporte. Mtodo de Asignacin. Para que un problema pueda ser solucionado con cualquier mtodo de transporte debe cumplir con los siguientes requerimientos: 1. La funcin objetivo y las restricciones deben ser lineales. 2. Las mercancas para distribucin deben ser uniformes y no se pueden cambiar entre s. 3. Los coeficientes de las variables en las restricciones deben ser cero o uno. Este ltimo asegura la condicin de la tasa de sustitucin de uno por uno entre

variables 4. La suma de capacidad de todos los orgenes debe ser igual que la capacidad de los destinos, o sea. La demanda total debe ser igual a la oferta total. Toda vez que se ha verificado que se cumple con los requisitos anteriores se procede a construir una matriz de transporte la cual proporciona un cuadro que presenta todos los datos relevantes en forma concisa. Despus se encuentra la solucin inicial. Esta solucin inicial puede ser ptima o no. La nica manera de saberlo es probndolo y existen varias tcnicas para hacerlo. Si la solucin no es ptima, se revisa y la prueba se repite. En cada interaccin la solucin estar ms cerca del ptimo. Ejemplo: Matriz de transporte Con el fin de estructurar la matriz de transporte vamos a considerar el siguiente ejemplo. La Compaa. Pesquera X tiene 3 plantas, una en Mrida, otra en Baja California y otra en Acapulco, que enlatan sardinas. Estos productos se envan a tres centros de distribucin: Mxico, D.F., Monterrey y Guadalajara. La capacidad de produccin de las plantas es de: 72,000 toneladas en Mrida, 102,000 en Baja California y 52,000 en Acapulco. La demanda de los mercados es de: 92,000 toneladas en el Distrito Federal, 56,000 en Monterrey y 77,000 en Guadalajara. Los costos de transporte fueron calculados para cada mercado y para cada ruta y estn relacionados con la cantidad de mercanca. En la tabla figura 6.2. Se proporcionan los datos de transporte para cada mercado con sus respectivas alternativas.

figura 6.2 Tabla: Costos de transporte para cada mercado

La matriz de transporte de nuestro ejemplo de la Compaa Pesquera X se presenta en la tabla figura 6.3.

figura 6.3. Tabla: Matriz de transporte de la compaa pesquera "X".

Para facilitar nuestros clculos, vamos a dividir todos los datos de este ejemplo entre 1000. Para elaborar la matriz de transporte, debemos observar las siguientes etapas: 1. En la columna de la izquierda de la tabla listamos los centros de oferta de nuestro ejemplo: Mrida, Baja California y Acapulco, en trminos generales la columna de los orgenes. 2. En la columna de la derecha de la tabla anotamos las capacidades de cada planta, en trminos generales la columna de oferta. 3. En el encabezado de la tabla listamos cada centro de demanda; cada uno representa un centro de distribucin, o los destinos. 4. En la parte inferior de las columnas anotamos la cantidad que cada mercado requiere que le sea abastecido por los centros oferentes. As cada columna de la tabla representa un centro de mercado con el total de demanda. En trminos generales las demandas. La matriz de costos. Esta es una tabla m x n (como la tabla figura 6.4.) que tendr una matriz de la misma dimensin como los costos de transporte de cada centro de produccin a cada centro de distribucin (mercado), o sea, los Cij. En las casillas de la tabla figura 6.4., adems de los costos de transporte de cada centro de produccin a cada centro de distribucin, nos dan las cantidades que se deben transportar, o las Xijs .

figura 6.4. Tabla: Matriz de transporte (matriz de costos y flujos)

Existe una flexibilidad considerable en la construccin de una matriz de transporte. Por ejemplo, los renglones podran ser los destinos y las columnas los orgenes. Los datos del costo unitario pueden ponerse en cualquier lugar de la celda. Ni siquiera se necesita una regla para trazar la matriz, sin embargo, se piensa que poner un poco de cuidado al

dibujarla tendr ventajas como la de reducir errores. Como observamos, la matriz de transporte de nuestro ejemplo est balanceada, pues la suma de la produccin de las tres plantas es igual a la suma de unidades requeridas por los diferentes centros de distribucin. En trminos generales y matemticos, se tiene:

Es fundamental que estos problemas estn balanceados para que se puedan aplicar las tcnicas de transporte en las resoluciones. Por lo general, en la prctica esta condicin no se satisface, ya que no siempre la demanda es igual a la oferta, pero en esas situaciones se pueden usar variables ficticias (conformando filas o columnas ficticias) para que el problema se balancee.

=

Entonces, es necesario balancear el problema, si no lo est, antes de encontrar la solucin bsica inicial. Hay dos alternativas para cuando el problema no est balanceado: a) Cuando la oferta total es mayor que la demanda total. En tal caso creamos un destino ficticio de demanda, con la cantidad de requerimiento que balancee la tabla, es decir, con la cantidad de la diferencia entre: _ quedando la nueva presentacin como se muestra en la figura 6.5.

figura 6.5. Tabla: Balanceando el problema de transporte con una columna ficticia

b)

Si la demanda total excede a la oferta total. En este caso Abrimos un origen ficticio de oferta con la cantidad de existencia necesaria para balancear la tabla, es decir, por la cantidad de la diferencia entre:

_ y ya balanceada quedara como se muestra en la figura 6.6.

figura 6.6. Tabla: Balanceando el problema de transporte con una fila ficticia

Mtodo de la Esquina Noroccidental Hay varios mtodos para encontrar la solucin inicial, pero el mtodo de la esquina noroccidental tiene un procedimiento lgico y sistemtico que nos permite analizar la solucin inicial con mayor facilidad. El mtodo comienza asignando la cantidad mxima permisible en oferta y demanda a la variable X11 es decir, empezamos en la esquina superior izquierda de la tabla (esquina noroccidental). La oferta disponible de cada rengln debe ser agotada antes de pasar al siguiente. Por ejemplo, en la casilla Acapulco a D.F., o sea, X11 podemos asignar un mximo de 72 unidades, por lo que el rengln quedar agotado e iremos al siguiente; pero ahora se debe agotar la primera columna antes de pasar a otra; entonces, en la casilla X21 (Baja California a D.F.) lo mximo que podemos asignar son 20 unidades; as pues, 72+20=92. La primera columna queda agotada tambin. Iremos a la segunda columna, la casilla de Baja California a Monterrey (X22), aqu podemos asignar 56 unidades (76-20=56), por lo tanto el segundo rengln tambin se agota; pero la segunda columna tiene an requerimientos. Iremos al tercer rengln, a la casilla Mrida a Monterrey; asignamos 21 unidades, y para agotar este ltimo rengln (66-21=45) necesitamos fijar 45 mil toneladas de latas de pescado.

De esta manera, llegamos a una solucin bsica como se observa en la tabla figura 6.7. Ahora debemos determinar el costo de transporte de los diferentes destinos que deben surtir las filiales de la Compaa Pesquera X, hacindolo de la siguiente manera: Costo total = (72)(4) + (20)(16) + (56)(24) + (21)(16) + (45)(24) = 3368

figura 6.7. Tabla: Aplicacin del mtodo de la esquina noroccidental

La solucin inicial es bsica-factible porque la suma de las columnas y renglones menos uno es igual al nmero de asignaciones que se obtuvieron al aplicar el mtodo de la esquina noroccidental, pero no estamos seguros de haber obtenido la solucin ptima, para comprobarlo debemos aplicar la tcnica del banquillo, el mtodo de los multiplicadores o el algoritmo de transporte, los cuales veremos ms adelante. En resumen los pasos del mtodo de la esquina noroccidental son los siguientes: Paso 1 Verificar que el problema este balanceado, es decir, que la oferta sea igual que la demanda, si esto no se cumple, entonces balancearlo de la siguiente manera Si la disponibilidad total (oferta total) es superior a la demanda total agregar un destino ficticio. Si la demanda total es superior a la disponibilidad total (oferta total) agregar un origen ficticio. Paso 2 Construir la matriz de transporte, comprobando que el problema ya esta balanceado.

Paso 3 Aplicar las siguientes reglas del mtodo: La primera asignacin se har en la esquina superior izquierda, en la interseccin de la primera fila, primera columna y se asignar la mnima cantidad ya sea que corresponda a la demanda a la disponibilidad (oferta). La siguiente asignacin se har inmediatamente despus, respetando la esquina superior izquierda (esquina noroccidental), siempre y cuando la disponibilidad (oferta) no este agotada o la demanda no este satisfecha. Paso 4 Verificar que se tiene una primera solucin bsica factible, esto suceder siempre y cuando se cumpla la siguiente expresin: m + n 1 = Nmero de asignaciones Donde: m=Nmero de filas n=Nmero de columnas Si no se cumple esta expresin, entonces se dir que la solucin inicial es degenerada. Paso 5 Identificar los valores con su correspondiente variable bsica y obtener el costo total de la solucin inicial multiplicando los valores de las variables (cantidad asignada) por su correspondiente costo unitario. Los pasos del mtodo se entendern mejor con un segundo ejemplo: Tres fabricas A,B y C disponen de ciertas cantidades de un producto, esas cantidades respectivamente son: 100, 120 y 120 toneladas. El producto se entrega a cinco almacenes 1,2,3,4, y 5 que deben recibir respectivamente 40,50,70,90 y 90 toneladas del producto. El costo por transporte de una cierta unidad de producto esta dado por las tablas (figura 6.8. y figura 6.9.) Obtener una primera solucin bsica-factible por el mtodo de la esquina noroccidental.

figura 6.8. TABLA: MATRIZ DE COSTOS UNITARIOS

figura 6.9.TABLA: MATRIZ DE FLUJOS

Solucin Paso 1 Verificar que el problema este balanceado, es decir, que la oferta sea igual que la demanda. Existencias (oferta) = 340 Demanda = 340 Conclusin. Si esta balanceado el problema porque se cumple que las existencias (oferta) sean igual a la demanda. Paso 2 Construir la matriz de transporte del problema balanceado.

figura 6.10.

Paso 3 Aplicar las reglas del mtodo:

figura 6.11. TABLA:SOLUCIN BSICA-FACTIBLE POR EL METODO DE LA ESQUINA NOROCCIDENTAL

La primera asignacin es en la primera fila, primera columna se asigna la mnima cantidad ya sea que corresponda a la demanda a la disponibilidad. Para el ejemplo que nos ocupa se asignan 40 toneladas y con esta asignacin queda satisfecha la demanda del almacn 1. La siguiente asignacin se hace en la fila 1 columna 2 porque las existencias no estn agotadas, se asigna la mnima cantidad, para nuestro ejemplo la mnima cantidad corresponde a la demanda por lo tanto la asignacin es de 50 toneladas, con esta asignacin queda satisfecha la demanda del almacn 2. La tercera asignacin se hace en la fila 1 columna 3 porque todava quedan 10 toneladas en la fabrica 1 y se asignan 10 toneladas, con esta asignacin quedan agotadas las existencias de la fabrica 1. La cuarta asignacin se realiza en la columna 3 fila 2 y se asignan 60 toneladas con lo cual se satisface la demanda del almacn 3. La quinta asignacin se hace en la columna 4 fila 2 y se asignan 60 toneladas con esta asignacin quedan agotadas las existencias de la fabrica 2. La sexta asignacin se hace en la columna 4 fila tres, para satisfacer la demanda se asignan 30 unidades. Finalmente se realiza la sptima asignacin con un valor de 90 toneladas y con esta asignacin quedan agotadas las existencias pero tambin satisfecha la demanda del almacn 5. En la tabla figura 6.11. se observan todas las asignaciones realizadas siguiendo el procedimiento del mtodo. Paso 4 Verificar que se tiene una primera solucin bsica factible, aplicando la expresin: m + n 1 = Nmero de asignaciones Donde: m=Nmero de filas n=Nmero de columnas Para nuestro ejemplo m=3 n=5 Sustituyendo valores: 3+5-1= 7 Asignaciones

Conclusin: La solucin obtenida es bsica factible

Paso 5 El costo total de la solucin bsica-factible es: Z= 4(40)+1(50)+2(10)+3(60)+5(60)+4(30)+8(90). Z= $ 1550 costo total

Mtodo de Vogel El mtodo de Vogel es ms eficaz que el mtodo de la esquina noroccidental, ya que la solucin inicial hallada por este mtodo; por lo general es la solucin ptima tambin, o muy cercana a la solucin ptima. Los pasos para resolver un problema por medio de este mtodo son los siguientes: Paso 1 Verificar que el problema este balanceado, es decir, que la oferta sea igual que la demanda, si esto no se cumple, entonces balancearlo de la siguiente manera: Si la disponibilidad total (oferta total) es superior a la demanda total agregar un destino ficticio. Si la demanda total es superior a la disponibilidad total (oferta total) agregar un origen ficticio. Paso 2 Construir la matriz de transporte, comprobando que el problema ya esta balanceado. Paso 3 Aplicar las siguientes reglas del mtodo: Utilizar la matriz de transporte inicial (preferentemente la matriz de costos), ya balanceada.

Obtener la diferencia entre los dos coeficientes de costo ms pequeos para cada fila y para cada columna y escribir el resultado en el margen derecho y el margen inferior segn corresponda. Identificar y marcar el rengln o columna con la diferencia de costos mnimos ms grande (si hay dos o ms iguales, arbitrariamente seleccionamos uno). Asignar tanto como sea posible a la casilla que tiene el costo ms pequeo tratando de satisfacer la demanda en funcin tambin de la disponibilidad de la oferta, e ir disminuyendo la oferta y demanda correspondiente. Eliminar la fila y/o columna en donde las existencias estn agotadas o la demanda satisfecha. Repetir el paso 3 hasta que todas las columnas y renglones queden eliminados; si al final solo queda un rengln o una columna, la asignacin o asignaciones se harn de forma directa (automtica), siempre priorizando el mnimo costo. Paso 4 Verificar que se tiene una primera solucin bsica factible, esto suceder siempre y cuando se cumpla la siguiente expresin: m + n 1 = Nmero de asignaciones Donde: m=Nmero de filas n=Nmero de columnas Si no se cumple esta expresin, entonces se dir que la solucin inicial es degenerada. Paso 5 Obtener el costo total de la solucin inicial multiplicando los valores de las variables (cantidad asignada) por su correspondiente costo unitario. Ejemplo. En la tabla figura 6.12. se ve que una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas geogrficas del pas, productoras de un solo artculo que se vende en cuatro diferentes centros de distribucin tambin instalados en diferentes zonas geogrficas. La mxima posibilidad de produccin de las plantas y los requerimientos de cada centro de distribucin estn dados en la tabla. Adems, nos proporciona los costos unitarios de transporte de cada centro de produccin a cada centro de distribucin. El objetivo es encontrar el costo total mnimo de transporte, satisfaciendo las demandas y considerando las limitaciones de oferta. Aplicando el mtodo de Vogel, las tablas (figura 6.13. y figura 6.14.) muestran los pasos mencionados anteriormente.

figura 6.12. Tabla: requerimientos, costos y disponibilidades

figura 6.13. Tabla:Primera tabla del mtodo de Vogel El segundo rengln tiene la diferencia ms alta, y dentro de las casillas de este rengln X21 tiene el costo unitario ms bajo. A X21 asignamos 20 unidades de mercanca (es el mximo que se puede asignar por el requerimiento del centro de distribucin) y eliminamos la primera columna. Con el resto de la tabla sacamos las diferencias entre los costos mnimos para obtener los resultados indicados en la tabla figura 6.14.

figura 6.14. Tabla:Segunda tabla del mtodo de Vogel

Como hay 3 diferencias iguales, arbitrariamente escogemos el tercer rengln. En el tercer rengln el costo ms bajo es el de la casilla X33 que tiene un costo unitario de 5; a esta casilla asignamos 15 unidades (mximo que se puede asignar), as, la columna nmero 3 queda eliminada.

De nuevo sacamos las diferencias entre los dos costos ms pequeos de las columnas y de los renglones restantes. Estas operaciones se presentan en la tabla figura 6.15

figura 6.15 Tabla: tercera tabla del mtodo de Vogel

Obsrvese que hay dos diferencias mximas de costos iguales; arbitrariamente seleccionamos el rengln 3; en este rengln X34 tiene el costo unitario ms bajo (10), por lo tanto asignamos 5 unidades (el mximo que se puede) y la disponibilidad queda agotada. Siguiendo con el mtodo sacamos las diferencias de las columnas y renglones restantes, conociendo los resultados en la siguiente tabla figura 6.16

figura 6.16 Tabla: cuarta tabla del mtodo de Vogel Como se ve en la tabla, la columna del Centro 4 tiene la diferencia ms alta; en esta columna X14 tiene el costo unitario ms pequeo, a sta le asignamos 20 unidades, por lo que la columna queda eliminada. Eliminando la columna del centro 4 quedaremos slo con una. Vase figura 6.17

figura 6.17 Tabla: quinta tabla del mtodo de Vogel A X12 y X22 les asignamos 10 unidades de mercanca, respectivamente. De esta manera,

todas las columnas y renglones quedan eliminadas y el resultado final se ve en la tabla figura 6.18

figura 6.18 Tabla: Solucin final La solucin bsica-factible es:

Y el costo total del transporte ser: C.T. = (10)(20) + (20)(5) + (10)(17) + (20)(5) + (15)(5) + (5)(10) = 695

Tcnica del Banquillo Despus de haber obtenido una solucin inicial (bsica-factible)tenemos que evaluar el resultado para determinar si sta es ptima, es decir, si el costo total de transporte es el mnimo (ptimo). Hay varios mtodos o formas de evaluar el resultado del problema de transporte, uno de ellos es La tcnica del Banquillo, conocida tambin como SteppingStone, o Cruce del Arroyo (cruzar por las piedras). Consideremos el ejemplo: La Compaa. Pesquera X y su correspondiente solucin bsica-factible obtenida por el mtodo de la esquina noroccidental.

figura 6.19 Costo total = (72)(4) + (20)(16) + (56)(24) + (21)(16) + (45)(24) = 3368 Para poder evaluar preguntamos qu suceder si enviamos 1,000 toneladas de sardina enlatada a un centro de distribucin que inicialmente no tuvo ninguna asignacin de mercanca. Si esta accin mejora la solucin (reduce el costo), entonces a este centro le enviaremos algunas unidades de mercanca. Aplicaremos este procedimiento a nuestro ejemplo. Para simplificar el camino usaremos trminos matemticos, identificando a cada casilla por su notacin (matemtica). Observamos que la casilla con valor X12 est vaca; supongamos que asignamos 1,000 toneladas de sardina a esta casilla, enviando de Acapulco a Monterrey una unidad de mercanca (cada unidad de mercanca son 1,000 toneladas de sardina enlatada); para hacer esta modificacin y todava mantener la factibilidad (satisfacer la demanda dependiendo de la disponibilidad de oferta) para el centro de produccin Acapulco, tenemos que quitar una unidad del D. F.; para no exceder la capacidad total (72 unidades) del centro de produccin Acapulco entonces X11 tendr 71 unidades y a X12 (Monterrey) se le asignar una unidad proveniente de Acapulco. Sin embargo, si quitamos una unidad de X11 tenemos que aumentar una unidad a X21 para que se satisfaga la demanda del centro D.F., aumentando una unidad a X21, tenemos que disminuir una unidad a X22 para que no exceda la capacidad del centro de produccin Baja California, as pues X21, ser 21 unidades, X22 = 55 unidades. Todava no cumplimos con los requerimientos del centro de distribucin Monterrey, pero esta solucin es tentativa. La tabla figura 6.20 Demuestra estas modificaciones.

figura 6.20 Tabla: PRIMERA TABLA DE EVALUACIN. Nota: Para que sea factible la solucin al cambio neto total por columna y por rengln debe ser cero. La pregunta es: qu efecto tuvo este cambio en el costo total?. En la siguiente tabla figura 6.21 observamos el resultado de esta evaluacin.

figura 6.21 Este 4 significa que cada unidad de mercanca enviada de Acapulco a Monterrey redujo el costo total de transporte en $4,000 pesos. As conviene considerar esta ruta. Evaluando otras casillas vacas, tal vez nos daran un mejor resultado. Para evaluar cada casilla vaca, aplicando el procedimiento mencionado, habr que asignarle un flujo cerrado, como se observa en la tabla figura 6.22; a estas casillas les asignamos una unidad de mercanca, de tal manera que mantenga siempre el balance en los renglones y las columnas correspondientes; por lo tanto, tenemos que sumar una unidad (+) o restar una unidad (-) a las casillas para mantener la factibilidad. As continuamos con la evaluacin de las casillas. Evaluacin de la casilla X13: X13 - X11 + X21 - X22 + X32 - X33 = 8 4 + 16 24 + 16 24 = = -16 Evaluacin de la casilla X23:

figura 6.22 TABLA: ASIGNACIN DE UN FLUJO CERRADO PARA LA CASILLA X23

X23:

X23 X22 + X32 - X33 = 16 24 + 16 24 = = -6

Evaluacin de la casilla X31:

figura 6.23 TABLA: ASIGNACIN DE UN FLUJO CERRADO PARA LA CASILLA X31 X31: X31 X21 + X22 - X32 = 8 16 + 24 16 = =0

A los valores que resulten de la evaluacin de las casillas vacas les llamaremos ndices de mejoramiento. Cada ndice negativo de mejoramiento representar la cantidad que puede reducirse del costo total de transportacin. Si enviamos una unidad de mercanca a alguna casilla vaca, por ejemplo a la casilla X33, el costo del transporte se reducir 16 pesos, envindola a la casilla X13 el costo bajar 12 pesos, conservndonos la casilla X31 8 pesos. De estas tres alternativas con ndice negativo de mejoramiento elegimos la que tiene un ndice negativo ms grande, en nuestro ejemplo ser X23 que tiene un ndice de 16. Ahora hay que determinar cunta mercanca vamos a enviar a X23. Para encontrar la cantidad mxima que podemos transportar a X33 utilizamos el mismo ciclo de evaluacin anterior:

figura 6.24 La mxima cantidad asignada que puede transportarse de Baja California a Guadalajara, se puede determinar acogiendo el valor ms pequeo de las casillas negativas del ciclo donde se encuentra X23; este valor ser 45. Para encontrar la solucin sumamos 45

unidades a las casillas de posicin positiva y restamos 45 a las de posicin negativa, y el ciclo quedar como sigue:

figura 6.25 Como se ve X33 sali de la solucin bsica, entra X23 y se aumenta la asignacin a X32, que tiene costos de transporte menores que X33, mejorando la solucin. El nuevo costo total de transporte ser: (72)(4) + (20)(16) + (11)(24) + (45)(16) + (66)(16) = 2648 En lugar de los 3368 que tenamos originalmente; de esta etapa es la siguiente tabla figura 6.26

figura 6.26 Ahora habr que empezar a evaluar esta solucin para encontrar si puede mejorarse an ms el costo del transporte. La operacin para la segunda etapa de evaluacin tambin consiste en evaluar las casillas vacas, cuyos resultados son: X12: X12 - X11 + X21 X21 = 8 4 + 16 24 = = -4 X13: X13 - X11 + X23 X23 = 8 4 + 16 16 = =4 X31: X31 X21 + X22 X32 = 8 4 + 16 16 = =0 X33: X33 X23 + X22- X32 =

24 16 + 24 - 16 = = 16 Observando el ndice de mejoramiento de la solucin encontramos un valor negativo para la casilla vaca X12, lo cual indica que existe posible mejoramiento de los costos de transporte, pues cada unidad de mercanca (1,000 toneladas de pescado en latas) transportado a Monterrey reducir el costo del transporte en 4,000 pesos. Para determinar el nmero de unidades de mercanca que debemos asignar a X12 balanceamos los signos (+) y (-) en columnas y renglones seleccionando el valor ms pequeo de la posicin negativa, en este caso X11, quedando el ciclo como se muestra en las siguientes casillas:

figura 6.27 Este valor de X11 unidades hay que sumarlo a las casillas con valor positivo y restarlo a las de valor negativo, y se tendrn las siguientes:

figura 6.28 La tabla final despus de esta etapa queda como se muestra en la tabla figura 6.29

figura 6.29 TABLA: OTRA NUEVA SOLUCIN MEJOR A LA ANTERIOR El costo total del transporte es:

(61)(4) + (11)(8) + (31)(16) + (45)(16) + (66)(16) = 2604 Que como se observa mejor an ms con respecto al original y al anterior. Y de nueva cuenta se evalan las celdas vacas con el mismo procedimiento para mejorar el resultado final. X13: X13 - X11 + X21 X23 = 8 4 + 16 16 = = +4 X22: X22 - X12 + X11 X21 = 24 8 + 14 16 = = +4 X31: X31 X11 + X12 X23 = 8 4 + 8 16 = = -4 X33: X33 X32 + X12- X11 + X21 X23 = 24 16 + 8 4 + 16 - 16 = = 12 La tabla final de esta evaluacin queda como la figura 6.30

figura 6.30 TABLA: SOLUCIN PTIMA El costo total es: (72)(8) + (31)(16) + (45)(16) + (61)(8) + (5)(16) = 2360 Haciendo la evaluacin de las celdas vacas: X11: X11 X31 + X32 X12 = 4 8 + 16 8 = = +4 X13: X13 X23 + X21 X31 + X32 X12 = 8 16 + 16 8 + 16 8 = = +8 X22: X22 X32 + X31 X21 =

24 16 + 8 16 = =0 X33: X33 X23 + X21- X31 = 24 16 + 16 8 = = 16 Como no hay ningn ndice negativo de mejoramiento, la ltima solucin es la ptima.

Mtodo de los multiplicadores El mtodo anterior es un proceso largo y laborioso, pues para cada casilla se debe crear un circuito de evaluacin. Estudiaremos un nuevo mtodo, el mtodo de los multiplicadores, que no necesita de circuitos cerrados dentro de la tabla, y por lo tanto con un solo circuito se puede hacer la evaluacin. Usando el mismo ejemplo de la Compaa Pesquera X, con la misma solucin inicial, obtenida del mtodo de la esquina noroccidental aplicaremos este mtodo de acuerdo con el siguiente procedimiento. Solucin inicial bsica-factible por el mtodo de la esquina noroccidental del ejemplo pesquero

figura 6.31 Costo total = (72)(4) + (20)(16) + (56)(24) + (21)(16) + (45)(24) = 3368 Supngase que R y K sean Rengln y Columna de la tabla figura 6.32 tenemos que calcular un valor para cada rengln y columna. Estos valores dependen de una solucin y sirven para encontrar el ndice de mejoramiento. Sea: Ri = valor asignado al rengln. Rj = valor asignado a la columna. Donde i y j son 1, 2, 3 asignado en nuestro ejemplo, es decir, 3 renglones y 3 columnas. Cij = Costo de la interseccin del rengln i y de la columna j.

figura 6.32 Tabla: PREPARACIN DEL EJEMPLO PESQUERO Para calcular los valores de cada columna y rengln utilizamos la siguiente frmula: Ri + Kj = Cij Esta frmula es aplicable slo a las casillas con solucin, no a las casillas vacas. Como en nuestro ejemplo hay cinco casillas con resultados entonces tendremos cinco ecuaciones. R1 + K1 = C11 R2 + K1 = C21 R2 + K2 = C22 R3 + K2 = C32 R3 + K3 = C33 En nuestro ejemplo las Cij estn dadas, y segn la tabla figura 6.32 nuestras ecuaciones son: R1 + K1 = 4 R2 + K1 = 16 R2 + K2 = 24 R3 + K2 = 16 R3 + K3 = 24 De esta manera, tenemos seis incgnitas y slo cinco ecuaciones, para encontrar una solucin o valores para cada R y K, podemos asignar cero a R y encontrar K1. Podramos aplicar tal procedimiento a cualquier ecuacin, pero usualmente se asigna cero al rengln 1. R1 = 0. Ahora resolveremos las ecuaciones: R1 + K1 = 4 R1 = 0 K1 = 4 Como K1 = 4 entonces R2 + K1 = 16 R2 + 4 = 16 K2 = 12 Como R2 = 12 entonces R2 + K2 = 24 12 + K2 = 24 K2 = 12

Como K2 = 12 entonces R3 + K2 = 16 R3 + 12 = 16 R3 = 4 Como R3 = 4 entonces R3 + K3 = 24 4 + K3 = 24 R3 = 20 Los valores de R y K pueden ser positivos, negativos o cero. El resultado de estas operaciones aparece en la tabla figura 6.33. La segunda etapa del mtodo multiplicador consiste en calcular los ndices de mejoramiento de la solucin. Para obtener estos ndices, tomamos el costo de cada casilla vaca, restamos a este costo el valor del rengln y el valor de la columna. Entonces tendremos la siguiente frmula:

Si el valor del ndice es negativo se puede mejorar el costo total del transporte; si todos los valores del ndice son positivos o cero el costo total del transporte es ptimo y no es posible reducirlo ms. A continuacin evaluamos cada casilla vaca de la solucin inicial vase la tabla figura 6.33

figura 6.33 Para la casilla 12 C12 R1 K2 = ndice de mejoramiento 8 0 12 = -4 Para la casilla 13 C13 R1 K3 8 0 20 = -12 Para la casilla 23 C23 R2 K3 16 12 20 = -16 Para la casilla 31 C31 R3 K1

844=0 Comparando los valores del ndice de mejoramiento la casilla 23 tiene el ndice negativo ms grande. De esta forma creamos un ciclo alrededor de esta casilla asignndole el signo (+), un ciclo cerrado al que alternadamente le daremos signos positivos o negativos; elegiremos de entre las casillas con signo negativo el de valor ms pequeo, que sumaremos a la posicin positiva, restndolo a las casillas con posicin negativa. Revisando la tabla 23 Vemos que las casillas de posicin negativa son la 23 y 33, donde la casilla 33 tiene el valor ms pequeo. Siguiendo el mismo procedimiento, obtendremos la tabla figura 6.34

figura 6.34 Al evaluar las casillas vacas, tenemos que encontrar los valores de Ri y Kj. Con cada nueva solucin nuevos valores de Ri y Kj tienen que calcularse. Empezamos con R1 = 0. R1 + K1 = C11 R2 + K1 = C21 R2 + K2 = C22 R2 + K3 = C23 R3 + K2 = C32 R1 = 0. 0 + K1 = 4 K1 = 4 Como K1 = 4 entonces R2 + 4 = 16 R2 = 12 Como R2 = 12 entonces 12 + K2 = 24 K2 = 12 Como R2 = 12 entonces 12 + K3 = 16 K3 = 4 Como K2 = 12 entonces R3 + 13 = 16 R3 = 4

Ahora, usando la frmula Cij = Ri - Kj = ndice de mejoramiento, encontramos los nuevos ndices. Para la casilla 12 C12 R1 K2 = ndice de mejoramiento 8 0 12 = -4 Para la casilla 13 C13 R1 K3 8 0 4 = 12 Para la casilla 31 C31 R3 K1 844=0 Para la casilla 33 C33 R3 K3 24 4 4 = 16 Los resultados de estas evaluaciones los observamos en las tablas figura 6.35 y figura 6.36 respectivamente.

figura 6.35

figura 6.36 Se evalan las casillas vacas, con la formula general Ri + Kj = Cij para encontrar los nuevos valores de Ri y Kj. R2 + K1 = C21 R2 + K3 = C23 R3 + K2 = C32 Supngase que R1 = 0 entonces 0 + K1 = 4

K1 = 4 R1 + K2 = C12 0 + K2 = 8 Como K1 = 4 entonces R2 + 4 = 16 R2 = 12 Como R2 = 12 entonces 12 + K3 = 16 K3 = 4 Como K2 = 8 entonces R3 + 8 = 16 R3 = 8 Utilizamos la frmula Cij - Ri - Kj = ndice de mejoramiento, para la casilla 13. Para la casilla 13 C13 R1 K3 = ndice de mejoramiento 804=4 Para la casilla 22 C22 R2 K2 24 12 8 = 4 Para la casilla 31 C31 R3 K1 8 8 4 = -4 Para la casilla 33 C33 R3 K3 24 8 4 = 12 El ndice negativo nos indica que no hemos llegado a la solucin ptima. El ndice negativo pertenece a la casilla 31 , seguimos con el procedimiento (vase tablas figura 6.37 y figura 6.38).

figura 6.37

figura 6.38

De nuevo encontramos los valores Ri y Kj y para evaluar las casillas vacas: R1 + K2 = C12 R2 + K1 = C21 R2 + K3 = C23 R3 + K1 = C31 R3 + K2 = C32 Supngase que K1 = 0 entonces R2 + 0 = 16 R2 = 16 Como R2 = 16 entonces 16 + K3 = 16 K3 = 0 R3 + 0 = 8 R3 = 8 Como R3 = 8 entonces 8 + K2 = 16 K2 = 8 Como K2 = 8 entonces R1 + 8 = 8 R1 = 0 Utilizamos la frmula Cij - Ri - Kj = ndice de mejoramiento, para la casilla 11. Para la casilla 11 C11 R1 K1 = ndice de mejoramiento 400=4 Para la casilla 13 C13 R1 K3 800=8

Para la casilla 22 C22 R2 K2 24 16 8 = 0 Para la casilla 33 C33 R3 K3 24 8 0 = 16 Como en los valores de los ndices de mejoramiento no hay ningn valor negativo, resulta que no es posible mejorar o bajar el costo total obtenido en la etapa anterior, entonces, la solucin es ptima y el costo total ser: Zptima = (72) (8) + (31) (16) + (45) (16) + (61) (8) + (5) (16) = $ 2360

Algoritmo de transporte Consideremos el siguiente ejemplo, para describir el algoritmo de transporte, este algoritmo se aplica a una solucin bsica-factible obtenida por el mtodo de la esquina noroccidental o por el mtodo de vogel, su objetivo es verificar si la solucin es la ptima y si no es, el mismo algoritmo optimiza la solucin. Tres fabricas A,B y C disponen de ciertas cantidades de un producto, esas cantidades respectivamente son: 100, 120 y 120 toneladas. El producto se entrega a cinco almacenes 1,2,3,4, y 5 que deben recibir respectivamente 40,50,70,90 y 90 toneladas del producto. El costo por transporte de una cierta unidad de producto esta dado por la siguiente tabla. Obtener una primera solucin bsica-factible por el mtodo de la esquina noroccidental.

figura 6.39 MATRIZ DE COSTOS UNITARIOS

figura 6.40 SOLUCIN INICIAL BSICA FACTIBLE OBTENIDA POR EL METODO DE LA ESQUINA NOROCCIDENTAL

Para obtener la solucin ptima es necesario aplicar el algoritmo de transporte, siguiendo los siguientes pasos: Paso 1: Se colocan en un cuadro por separado los costos por unidad que corresponden a las casillas ocupadas por la matriz (Xij)1. (Cij)1 Paso 2: Ahora se trata de llenar las casillas vacas de (Cij)1 para ello: a) Se selecciona el menor elemento que figure en la tabla (Cij)1 en este caso es el 1, se coloca en el margen derecho de la tabla, en cualquier fila, de preferencia en la primera fila. Tabla de costos (Cij)1 4 1 2 31

5 4

8

b) Ahora se deben de encontrar las dems cifras que deben aparecer en los mrgenes derecho e inferior de tal manera que, su suma sea exactamente el costo que aparece en la interseccin de la fila y de la columna a que pertenece. En el siguiente cuadro aparecen calculados los elementos del margen derecho e inferior. (Cij)1 Tabla de costos (Cij)1 4 1 2 3 0 11

5 4 3

2

8

1

3

7

c) Las casillas vacas se llenan con la suma de las cifras que aparecen en el margen derecho e inferior de la fila y de la columna a que pertenecen. (Cij)1

Tabla de costos (Cij)1 4 5 4 3 1 2 1 0 2 3 2 1 4 5 4 3 8 9 81 2 1

7

Paso 3: Se calculan las diferencias de cada costo indirecto menos su correspondiente costo original, es decir: (Cij)1 - (Cij). 4 1 5 2 4 1 menos 4 1 6 4 5 2 igual 0 0 -1 -2 -1 -1 2 3 2 2 3 6 4 5 4 6 5 4 8 9 8 9 7 8

0 -2 -1 0 0 2 -4 0 0

De este ltimo cuadro interesan nicamente las cifras positivas, pues la presencia de cualquiera de ellas indica la posibilidad de mejorar el problema de transporte, como se vera a continuacin. Ntese que, si todas las cantidades que aparecen en el cuadro fueran negativas o cero, esto implica que se ha alcanzado el costo mnimo. Paso 4: En el cuadro (Cij)1 - (Cij). Se selecciona la mayor de las cifras positivas, en este caso es 2, en caso de registrarse empate se escoger aquella que tenga la menor Cij , es decir, aquella cuyo costo original correspondiente sea el menor. Supngase que esa cantidad la denotamos como (teta); entonces en el cuadro (Xij)1 sumaremos esa cantidad teta en la casilla correspondiente, esto se muestra en el cuadro siguiente que llamaremos (Xij)1(1) Tabla de asignaciones (Xij)1(1)

Sin embargo al asignar a esta casilla la cantidad teta se alteran las sumas de la fila y la columna correspondientes donde fue asignada por lo tanto se debe de restar teta de un elemento de la misma columna y uno de la misma fila como lo muestra el cuadro siguiente. (Xij)1(1)

Tabla de asignaciones . (Xij)1(1)

Paso 5: A continuacin se debe determinar el valor de para as obtener una nueva solucin. Como en la solucin de este tipo de problemas no deben de figurar cantidades negativas, el valor de esta limitado por la menor de las cantidades que se van a restar; al mismo tiempo se busca el mximo valor de porque mientras ms grande sea, el costo total disminuye en mayor cantidad de lo anterior se deduce que = 60 porque 60 - = 0. Efectuando las operaciones para teta =60 tenemos el siguiente cuadro.

Z = 40(4) + 50(1) + 10(2) + 60(3) + 60(7) + 90(4) + 30(8) = 1430. As hemos obtenido una nueva solucin (Xij)2 con un costo menor que la solucin anterior. Vemos que el costo ha descendido en 120 con respecto al costo anterior que era de $1550. Con esta ltima solucin se regresa al paso 1, es decir, se debe elaborar nuevamente un cuadro de costos. A saber: (Cij)2 Tabla de costos (Cij)2 4 5 6 3 1 2 3 0 2 3 4 1 2 3 4 1 6 7 81 2 3

5

Y continuar el proceso tantas veces como sea necesario hasta obtener la solucin ptima. Continuaremos este proceso ya sin explicar los cuadros respectivos. (Cij)2 - (Cij) 4 1 5 2 6 3 menos 4 1 2 3 4 2 2 3 4 6 6 7 8 9

6 4 5 2 igual 0 0 -1 -2 1 1

3 6

5 4

7 8

0 -4 -3 0 -2 0 -2 0 0

Tabla de asignaciones (Xij)3

Valor de = 30. Sustituyendo valores, se obtiene la siguiente solucin:

Z = 40(4) + 20(1) + 40(2) + 30(3) + 90(7) + 30(2) + 90(4) = 1400. Aplicando los pasos del algoritmo de transporte, nuevamente para verificar si la solucin obtenida es la ptima y si no es as, proceder a optimizarla obteniendo otro esquema de solucin para el problema de transporte. (Cij)3 Tabla de costos (Cij)3 4 5 5 3 (Cij)3 - (Cij) 4 1 5 2 5 2 menos 4 1 2 3 3 2 3 4 4 6 6 7 7 9 1 2 2 0 2 3 3 1 3 4 4 2 6 7 71 2 2

5

6 4 5 2 igual 0 0 -1 -2 0 0

3 6

5 4

7 8

0 -3 -3 0 -1 0 -3 0 -1

Por lo tanto el costo mnimo es Zoptima = 1400 y se obtiene mediante las asignaciones hechas en el cuadro (Xij)3 La solucin ptima del problema de transporte es: X11 = 40 X12 = 20 X13 = 40 X23 = 30 X25 = 90 X32 = 30 X34 = 90

El problema de asignacin Muchos problemas pueden solucionarse usando diferentes mtodos de asignacin. El mtodo de asignacin es un tipo de problema de programacin lineal que busca colocar trabajos (o trabajadores) a maquinarias, nuevos productos a planes de produccin, entre otros. Los mtodos de asignacin, como los de transporte, se basan en tablas y el problema puede solucionarse con una serie de operaciones repetitivas (sumar, restar) para maximizar o minimizar. El mtodo de asignacin requiere que a cada trabajador se le asigne uno y slo un trabajo, planteando una matriz cuadrada, donde el nmero de renglones (trabajadores, mquinas, entre otros) es igual al nmero de columnas (trabajos). El proceso de solucin del problema no es factible si se asigna un trabajador a dos o ms actividades. Si el nmero de renglones no es igual que el nmero de columnas. Es necesario aumentar variables ficticias con valores cero para obtener una tabla balanceada. Supngase que estamos en la situacin de asignar M trabajadores a N mquinas. Un trabajador i (dnde i=1,2,...m) cuando se asigna a la mquina j (dnde j=1,2,.....n) incurre en un costo de Cij. El objetivo es asignar los trabajadores a las mquinas, de tal manera que se minimicen los costos; o cuando asignemos m vendedores a n distritos de ventas, se obtenga una ganancia de Cij. Es decir, nuestro objetivo es maximizar la utilidad.

Matemticamente hablando:

Se tendr un problema de asignacin cuando: i= 0 1 Aij = 0 1 Adems bj= 0 1

Algoritmo del mtodo de asignacin. Etapas para encontrar los costos de oportunidad. 1. Para encontrar los costos de oportunidad, para cada columna, restamos el costo mnimo de cada una, de los dems costos de la misma columna. 2. Restamos el costo mnimo de cada rengln a los costos del rengln correspondiente. 3. Nota: En algunos casos este costo mnimo ser cero por la resta anterior; tambin se puede intercambiar el orden, es decir, primero reducir por rengln y luego por columna. 4. Hacer la asignacin por rengln o por columna encerrando en un cuadro el cero seleccionado que debe quedar asignado. Debe ser uno, y slo uno, por rengln y por columna. 5. Trazar una lnea recta en cada columna y rengln que contenga el valor cero. Debemos trazar el mnimo de lneas rectas para cubrir todos los valores ceros de rengln y columna. Si el mnimo de lneas rectas es igual al nmero de columnas o renglones, la solucin es ptima. 6. Asignar a cada rengln donde haya slo un valor cero y asignar en cada columna donde haya cualquier valor pero que no sea cero. Ejemplo: Minimizacin

La compaa X fabrica cuatro artculos que pueden ser producidos en cualquiera de las cuatro mquinas que tiene. El costo de instalacin y preparacin de las mquinas para iniciar la produccin es alto. Cada producto deber ser elaborado en una sola mquina. Determinar la asignacin que minimice el costo. Los costos de operacin se muestran en la tabla figura 6.41

figura 6.41 Solucin: 1. Restar el costo mnimo de cada columna a los dems costos en la misma columna (44, 6-4, 8-4, 7-4; 6-3, 3-3, 6-3, 5-3; 3-3, 6-3, 4-3, 6-3; 9-4, 4-4, 6-4 y 8-4) y obtendremos la tabla figura 6.42

figura 6.42 2. Restar el costo mnimo de cada rengln a los restantes costos del rengln. Obtendremos la tabla figura 6.43

figura 6.43 3. Encerrar en un cuadro un cero por rengln y columna, de la manera indicada en la tabla figura 6.44

figura 6.44 4. Cubrir todos los ceros con el menor nmero posible de lneas rectas, como se muestra en la tabla figura 6.45

figura 6.45 Como el menor nmero de lneas usado para cruzar todos los ceros es 4, cantidad igual a los renglones o columnas, se ha llegado a la solucin ptima, y slo falta hacer la asignacin final. 5. Asignar donde haya un cero en cada rengln o columna. Entonces la solucin final ser: A1, B4, C3, D2 El costo total = 4 + 4 + 4 + 5 = 17 Ejemplo: Maximizacin Supngase que hay cuatro puestos vacantes en la empresa que usted est dirigiendo. Cinco personas han sido entrevistadas y se les aplicaron pruebas de habilidad para medir la aptitud de cada una; la calificacin mxima posible de estas pruebas es 10. Indicar las personas que se elegirn y puestos que se les asignarn. El resultado de la prueba aparece en la tabla figura 6.46

figura 6.46

Como el nmero de renglones es mayor que el nmero de columnas, tenemos que crear una nueva columna con un puesto ficticio, es decir, que la persona ficticia asignada a esta posicin no ser contratada y para asegurarnos de esto le daremos la calificacin ms baja. Ver tabla figura 6.47

figura 6.47 El objetivo de nuestro problema es maximizar la calificacin para cada puesto. Por ello, procederemos de la siguiente manera: 1. Restar a todos los elementos el valor mximo de la tabla. En nuestro ejemplo el valor ms alto es 9, y ste se lo restamos a todos los otros valores de la tabla; el resultado ser el indicado en la tabla figura 6.48

figura 6.48 A partir de aqu se procede como si el problema fuera de minimizacin, siguiendo los pasos que corresponden. 2. Obtendremos los costos de oportunidad haciendo las reducciones por columna (y por rengln si es necesario) restando el valor mnimo de cada columna de los dems valores de la columna correspondiente. Ver tabla figura 6.49

figura 6.49 3. Asignamos los diferentes valores, encerrando en un cuadro los ceros seleccionados, cuidando que slo deban ser uno por rengln y por columna.

4. Cruzamos la mayor cantidad de ceros con el menor nmero de lneas posibles. Aplicando las etapas 3 y 4 a nuestro ejemplo, obtendremos la tabla figura 6.50

figura 6.50 Como el mnimo de lneas posibles a trazar en todos los ceros de columnas y renglones son cuatro, menos el nmero de columnas o renglones, sabemos que la solucin no es ptima. La etapa siguiente es seleccionar el valor ms pequeo de la matriz que no est cruzado por una lnea, restar ste a todos los que no estn cruzados por lneas y sumarlo a todos los que estn en las intersecciones de dos lneas, los valores que estn cruzados por una sola lnea permanecern iguales. En nuestro ejemplo, el valor ms pequeo no cruzado por las lneas es el 1. Al seguir los pasos mencionados, obtendremos la tabla figura 6.51

figura 6.51 Observamos que todava con 4 lneas podemos cruzar todos los ceros. El procedimiento mencionado y nuevamente el valor ms pequeo no cruzado por las lneas es 1. Lo restamos a todos los valores no cruzados por una lnea y lo sumamos a los valores de las intersecciones de dos lneas. El resultado es el mostrado en la tabla figura 6.52

figura 6.52 Como el nmero mnimo de lneas es cinco (igual que el nmero de columnas y renglones), se ha llegado a la solucin ptima.

Debemos ahora asignar partiendo de los renglones o columnas con slo un cero. Como se ve en la tabla Los renglones 4 y 5 tienen un solo cero al igual que la columna D, entonces la solucin es: Solicitudes 1 A 2 C 3 D 4 B Puestos

El resultado final de asignacin es: 6 + 7 + 9 + 9 = 31 Aparentemente, la columna C tiene dos posibles soluciones: Solicitud 2 o Solicitud 3. Como el Solicitud 3 fue asignado al puesto D estamos obligados a colocar la solicitud 2 al puesto C y por lo tanto tambin obligados a asignar el puesto A a la solicitud 1 y no a la 2. En la solucin no se tom en cuenta la solicitud 5 que le corresponde al puesto E, pues como se recordar esta columna o puesto es ficticia y nos indica que no conviene asignar la solicitud 5. Si hubiera otra solucin deber ser equivalente a la obtenida, pues este algoritmo nos garantiza que llegamos a la solucin ptima.

Bibliografa (Unidad 6)

BRASOV A. S., Qu es la Programacin Lineal ?, 1 ed., Limusa 1982. MAMAD NAGHI NAMAKFOROOSH. Investigacin de Operaciones, Interpretacin de modelos y casos,1 ed. Limusa, 1985. CHARLES A. GALLAGHER, HUGH J. WATSON. Mtodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administracin, 1 ed. Mc Graw Hill, 1982. ANDERSON DAVID R., DENNIS J. SWEENEY, THOMAS A. WILLIAMS. Introduccin a los Modelos Cuantitativos para Administracin, 6 ed., Grupo Editorial Iberoamrica, 1993. HAMDY A. TAHA. Investigacin de Operaciones,una introduccin. 5 ed. Alfaomega, 1994.

LEVIN, RICHARD I. y KIRKPATRICK CHARLES A.Enfoques Cunatitativos a la Administracin.1. edicin. CECSA. 1978. KENNETH S. BROWN, JACK B REVALLE. Quantitative Methods for Managerial Decisions, 1. Ed., Addison Wesley, 1978. WINSTON WAYNE L., Investigacin de Operaciones, aplicaciones y algoritmos, 2 ed. Grupo Editorial Iberoamrica, 1994. PRAWDA JUAN. Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones, Vol. 1, 1 ed. Limusa, 1980. COOK THOMAS M., RUSELL ROBERT A., Introduction to management science, 3 ed., Prentice Hall, 1997.