DINAMIKA ESTICE

U kinematici smo prouavali zakone gibanja bez obzira na to to je uzrokovalo to gibanje. Dinamika razmatra fizikalne uzroke gibanja. Osnova dinamike su tri Newtonova zakona, koje je 1686. formulirao engleski fiziar Isaac Newton. Iz tih zakona moe se izgradi tzv. klasina ili Newtonova mehanika.

Newtonova mehanika odlino opisuje makroskopske pojave, dakle tijela dimenzija veih od atoma i molekula te brzine mnogo manje od brzine svjetlosti. Za opisivanje mikrosvijeta (atoma i molekula) moraju se primijeniti zakoni kvantne fizike, a za velike brzine upotrebljavaju se zakoni relativistike mehanike (Einsteinove teorije relativnosti). Meutim kvantna i relativistika mehanika svode se na klasinu mehaniku u graninom sluaju, tj. na udaljenosti koje su velike s obzirom na veliinu atoma, i za brzine koje su malene u usporedbi s brzinom svjetlosti.

Masa i sila

Najvanije fizike veliine su sila i masa. U fizici silu opisujemo pomou njezina djelovanja. Djelovanje sile moe biti dvojako:

- sila moe ubrzati ili usporiti neko tijelo, tj. promijeniti mu stanje gibanja - sila moe promijeniti oblik tijela, tj. deformirati ga.

U dinamici emo prouavati samo prvo djelovanje tj. silu kao uzrok promjene stanja gibanja nekog tijela, smatrajui pritom da se oblik tijela ne mijenja.

Sila vektorska veliina uz iznos potrebno je znati i smjer u kojemu djeluje. Oznaava se znakom F, prema engleskoj rijei force.

Silu moemo odrediti tako da mjerimo ili akceleraciju tijela ili njegovu deformaciju. Obino se za odreivanje upotrebljava deformacija tijela. Najjednostavnije silu mjerimo dinamometrom prikazanim na slici 3.1.

Slika 3.1. Dinamometar

To je elastina opruga jednim krajem uvrena na kraju metalnog valjka, dok je drugi kraj slobodan i moe se izvlaiti pod utjecajem sile.

Produljenje opruge pod utjecajem vanjske sile linearno je u granicama elastinosti opruge i moe se prikazati izrazom:

F= kl (3.1)

Gdje je: F - sila koja djeluje na oprugu l - produljenje opruge k - konstanta opruge

Umjeravanjem dinamometra moe se iz produljenja opruge oitati sila koja djeluje na dinamometar.

U prirodi se pojavljuju razliite sile: - guranje predmeta naprezanje miia proizvodi silu - na podlozi sila trenja - na svako tijelo u blizini Zemljine povrine sila tee - pri deformacijama harmonina sila - magnet djeluje na elini predmet magnetska sila - dva se nabijena tijela privlae ili odbijaju elektrostatskom silom - sastojci jezgre se privlae nuklearnom silom itd.

Usprkos ovakvoj razliitosti sve se sile u prirodi mogu svesti na etiri vrste meu djelovanja:

1. privlana gravitacijska sila izmeu bilo koja dva tijela 2. elektromagnetska sila izmeu elektrinih naboja u mirovanju, odnosno

gibanju 3. sila jake interakcije pojavljuje se izmeu nukleona u jezgri 4. sila slabe interakcije pojavljuje se pri radioaktivnom -raspadu jezgre

Samo se prve dvije pojavljuju u klasinoj fizici, a ostale koje emo prouavati mogu se objasniti pomou njih dviju.

Masa je svojstvo svakog tijela koje odreuje njegovo ponaanje pri djelovanju sile: masa tijela vea tijelo tromije tee ga usporiti ili ubrzati tj. promijeniti mu stanje gibanja

Tijelo se opire promjeni stanja svog gibanja. Svojstvo tijela da odrava svoje stanje gibanja (odnosno u posebnom sluaju, mirovanja) zovemo ustrajnost, tromost ili inercija. Masa je kvantitativna mjera tromosti tijela.

Osim mase i sile u dinamici se upotrebljavaju i druge fizikalne veliine: koliina gibanja, moment sile, moment koliine gibanja, rad, energija itd.

Koliina gibanja materijalne toke m i brzine vr jest

vmp rr = (3.2)

Smjer vektora pr je isti kao i smjer brzine.

Jedinica koliine gibanja je kilogram metar u sekundi (kg m/s).

U relativistikoj mehanici koliina gibanja ovisi o brzini prema jednadbi:

2

2

1c

v

vmp

=

rr

(3.3)

to se pri malim brzinama svodi na jednadbu (3.2) detaljnije u 9. poglavlju.

Prvi Newtonov zakon. Inercijalni sustavi

Jo je Galilei uoio da tijelo na koje ne djeluju vanjske sile miruje ili se jednoliko giba po pravcu. Tijelo koje se giba jednoliko po pravcu ostat e u tom stanju gibanja sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila. Kuglica u horizontalnoj ravnini bez trenja gibat e se jednoliko sve im je jednom stavimo u pokret. Kaemo da svako tijelo ima svojstvo da odrava svoje stanje gibanja ili mirovanja. To svojstvo se zove inercija tijela.

Prvi Newtonov zakon: Svako e tijelo ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijeni.

Ovaj zakon esto nazivamo i princip ustrajnosti (tromosti ili inercije)

Drugi Newtonov zakon

Prvi N.z. opisuje ponaanje tijela kada na njega ne djeluju druga tijela ili kada je rezultanta sila jednaka nuli. Drugi zakon opisuje ponaanje tijela kada na njega djeluje odreena vanjska sila F.

Akceleracija tijela je razmjerna sili i ima smjer sile. Konstanta proporcionalnosti izmeu sile i akceleracije jeste masa tijela m:

maF = (3.4)

Pomou ove jednadbe moemo izvesti i jedinicu sile:

[F]= [m] [a] = kg m/s2 = N Njutn je sila koja tijelu mase jedan kilogram daje akceleraciju metar u sekundi na kvadrat.

Djelovanje sile na gibanje tijela moemo ispitati pomou Atwoodova padostroja prikazanog na slici 3.2.

Slika 3.2. Atwoodov padostroj

Preko kolotura je prebaena tanka elina ica na ijim krajevima vise dva jednaka utega. Gornji dio utega je razrezan u tanke, ploaste krike, te se prebacivanjem kriki s jednog utega na drugi moe poveati masa jednom a smanjiti drugome. Kada su mase jednake sistem miruje, a kada su razliite sistem se giba pod djelovanjem teine pritega (m2 m1) g.

Masu kolotura i trenje pri tom zanemarujemo. U tablici 3.1. dani su rezultati takvog mjerenja. Teina utega je npr. 200 g.

Tablica 3.1. Rezultati mjerenja Atwoodovim padostrojem m1/kg m2/kg (m2 m1) g s/m t/s a=2s/t2 0,18 0,22 0,39 N 0,2 0,687 0,87 m/s2 0,18 0,22 0,39 N 0,8 1,539 0,866 m/s2 0,18 0,22 0,39 N 1,8 2,04 0,867 m/s2 0,185 0,215 0,29 N 1,8 2,4 0,63 m/s2 0,19 0,21 0,19 1,8 2,9 0,43 m/s2

Kao to se vidi iz rezultata mjerenja gibanje je jednoliko ubrzano , opisano izrazom

s= at2/2

Stalna sila izaziva gibanje sa stalnom akceleracijom. Akceleracija je proporcionalna sili koja djeluje na sistem: a (m2 m1) g Slino bi smo mogli pokazati mjenjajui masu sistema m1+m2 da je akceleracija obrnuto razmjerna masi: a 1/(m1 + m2)

Drugi Newtonov zakon u stvari kae kako sila utjee na promjenu koliine gibanja tijela.

Brzina promjene koliine gibanja proporcionalna je sili i zbiva se u pravcu te sile:

tdpdF rr

r= ...(3.5)

Ako je vmp rr = , to je ispunjeno ako je v< c jednadba 3.5 prelazi u jednadbu:

( )am

dtvd

mdt

vmdF rrr

r=== ...(3.6)

Drugi Newtonov zakon moe se dakle izraziti u dva oblika: - openitom obliku jednadba (3.5) to je relativistiki oblik - u nerelativistikom obliku amF

rr= - vrijedi samo u Newtonovoj mehanici

Pri praktinom rjeavanju problema gibanja potrebno je napisati jednadbu gibanja (drugi Newtonov zakon) i rijeiti je uz odgovarajue uvjete. Prvo se odrede sile koje djeluju na promatrano tijelo , a zatim napie jednadba:

= iFamrr

...(3.7) Ista se rjeava odabirom koordinatnog sustava te se navedena jednadba napie pomou projekcije vektora na koordinatne osi, to e biti prikazano primjerom.

Masa i teina

Na svako tijelo koje se nalazi na Zemljinoj povrini djeluje sila koju nazivamo teina ili sila tee. Ta je sila razmjerna masi m tijela i pie se u obliku:

gmG rr

= ...(3.8)

Gdje je. G - teina m - masa gr - akceleracija sile tee

Na geografskoj irini 45 akceleracija sile tee iznosi priblino g=9,81 ms-2

Masa i teina dvije su razliite veliine: - masa je svojstvo tijela i iskazuje se jedinicom kg - teina je sila i njezina mjerna jedinica je njutn [N] teina potie od

gravitacijske sile kojom Zemlja privlai tijelo - masa tijela kojom je odreena teina tijela naziva se teka masa

- masa koja se pojavljuje u drugom Newtonovom zakonu je troma masa

Ako ih prikaemo u jednadbi gibanja dobit emo:

gmam rr = ...(3.9)

Masa nekog tijela ovisi o njegovu volumenu V i materijalu o kojeg je tjelo napravljeno:

Vm

= (vrijedi za homogena tijela) ...(3.10)

Ako tijelo nije homogeno vrijedi:

dVdm

Vm

V=

= 0

lim ...(3.11)

Trei Newtonov zakon

Sile koje djeluju na neko tijelo potjeu iz okoline tog tijela. Trei Newtonov zakon govori o interakciji odreenog tijela i njegove okoline.

Ako tijelo A djeluje na tijelo B silom ABFr

, tada i tijelo B djeluje na tijelo A jednako velikom silom po iznosu ali suprotnog smjera BAF

r:

ABFr

= - BAFr

...(3.12) Prvu silu zovemo akcija, a drugu silu reakcija, te piemo u obliku:

sila akcije ABFr

= - sila reakcije BAFr

Ovu injenicu je izrazio Newton u treem zakonu mehanike, koji glasi:

Svakom djelovanju (akciji) uvijek je suprotno i jednako protudjelovanje (reakcija). Djelovanje dvaju tijela jednoga na drugo uvijek su jednaka i protivnog smjera.

Koliina gibanja i impuls sile

Koliinu gibanja materijalne toke definirali smo kao umnoak mase i brzine:

vmp rr = ...(3.13)

Ova dinamika veliina oznaava svojstvo tijela koje se giba. Tee je zaustaviti tijelo s veom koliinom gibanja nego s manjom i za svaku promjenu koliine gibanja potrebno je da na tijelo neko vrijeme djeluje sila. Da bismo opisali djelovanje sile na tijelo, definiramo impuls sile.

tFI =rr

...(3.14)

Impuls sile Ir

je vektorska veliina i ima smjer sile a predstavlja umnoak sile i vremenskog intervala u kojem djeluje ta sila.

U F-t dijagramu impuls sile je brojano jednak povrini ispod krivulje F(t).

a) b)

Slika 3.3 Impuls a) stalne i b) promjenjive sile

Sila nije stalna mijenja se u vremenu i impuls naemo tako da vremenski interval podijelimo u mnogo malenih intervala. U svakom takvom intervalu impuls je jednak umnoku sile i vremenskog intervala. Ukupni impuls jednak je zbroju svih tih impulsa:

( ) == it

tiit

dttFtFI2

10

limrrr

...(3.15)

Impuls sile jednak je integralu sile po vremenu u kojem djeluje ta sila.

Povezanost impulsa sile i drugog Newtonovog zakona dana je jednadbom:

( )vmdtd

dtpdF rr

r== ...(3.16)

za infinitezimalno vrijeme dt tijelo e dobiti impuls

pddtF rr

= (3.17)

dok e u vremenskom intervalu izmeu t1 i t2 primljeni impuls sile biti jednak:

( ) ===2

1

2

1

1212

p

p

t

t

vvmpppddtF rrrrrr

...(3.18)

Zakon ouvanja koliine gibanja

Promatrajmo sistem od dvije i vie estica mase m1, m2, m3, .... estice unutar sistema mogu djelovati jedna na drugu tzv. unutranjim silama, a tijela izvan sistema mogu djelovati na sistem tzv. vanjskim silama. Ako nema vanjskih sila sistem je izoliran (zatvoren). Zamislimo sistem od dvije materijalne toke mase m1 i m2 koje se centralno i elastino sudare:

Slika 3.4. Prikaz uz izvod zakona o ouvanju koliine gibanja za sistem od dvije estice

Brzine estice prije sudara oznaimo sa 1vr

i 2vr

, a nakon sudara 1vr i 2v

r.

Po treem Newtonovom zakonu:

12Fr

= - 21Fr

...(3.19)

Nastala promjena koliine gibanja jednaka je primljenom impulsu sile

11111 vmvmIrrr

= - za prvu esticu; 22222 vmvmI

rrr

= - za drugu esticu (3.20)

Ako uvaimo da su primljeni impulsi sile jednaki po iznosu i suprotnog smjera, dobit emo jednadbu:

22112211 vmvmvmvm +=rrrr

(3.21)

Na lijevoj strani je ukupna koliina gibanja sistema prije sudara, a na desnoj strani ukupna koliina gibanja poslije sudara, to znai da se koliina gibanja tog zatvorenog sistema od dvije estice nije promijenila.

Ako ovaj zakljuak proirimo i na izolirani sistem od proizvoljnog broja estica dobit emo jednadbu:

( ) =++++=+= dtpdpppp

dtdFFF unvuu n

rrrrrrrr

...321 (3.22)

Budui da je = 0vFr

, a unutranje sile se po treem Newtonovom zakonu u parovima ponitavaju, slijedi:

0=dtpd ur

, odnosno ==n

iiiu konstvmp .

r (3.23)

Ukupna koliina gibanja zatvorenog sistema konstantna je bez obzira na to kakvi se procesi i meudjelovanja dogaaju u sistemu. To je zakon o ouvanju koliine gibanja. Ovo je jedan od najvanijih zakona u fizici, koji vrijedi bez izuzetka, za sve zatvorene sisteme.

Sistem materijalnih toaka. Centar mase

Do sada smo uglavnom promatrali gibanje jedne materijalne toke (estice). U prirodi esto nailazimo na sistem estica koje se gibaju.

Slika 3.5 Sistem estica

Drugi Newtonov zakon primjenjuje se na ovaj sistem i glasi:

nv FFFFam 11312111 ...rrrrr

++++=

nv FFFFam 22321222 ...rrrrr

++++= (3.24)

1,21 ... ++++= nnnnvnnn FFFFamrrrrr

Zbrajanjem ovih n jednadbi dobivamo:

1,,1321321122211 ...... +++++++=+++ nnnnvnnn FFFFFFFamamamrrrrrrrrrr

(3.25)

Uvijek je dakle 0=+ jiij FFrr

, te je zbroj svih unutarnjih sila nula. Za sistem dakle vrijedi:

=

=

n

jiij

ji

F1,

0r

(3.26)

Gdje je: ijFr

- unutranja sila izmeu i-te i j-te estice.

Jednadbu gibanja sistema moemo dakle pisati:

=

==+++n

ivvinn FFamamam

12211 ...

rrrrr (3.27)

Centar mase

Gibanje sistema moemo prouavati promatranjem gibanja svake pojedine estice tog sistema. U sluaju velikog broja estica, to bi bio sloen i skoro nemogu posao, te se definira posebno zamiljena toka tzv. centar mase sistema, s pomou koje lake i jednostavnije opisujemo gibanje sistema.

Slika 3.6 Centar mase sistema

Centar sistema od n estica definiramo kao toku ije koordinate zadovoljavaju relaciju:

mrm

m

rm

mmm

rmrmrmr

n

iii

n

ii

n

iii

n

nnCM

=

=

=

==

+++

+++=

1

1

1

21

2211

...

...

rrrrr

& (3.28)

Gdje je: mi - masa i-te materijalne toke ri(xi, yi, zi) - koordinate te toke m masa ukupnog sistema

Kruto tijelo posebna je vrsta sistema velikog broja estica te proirenjem definicije na beskonano mnogo estica infinitezimalno male mase dm,umjesto zbrajanjem, integriranjem dobijemo:

==

dVdVr

dmdmr

rCM

rrr

(3.29)

Gibanje centra mase

Pri prouavanju translatornog gibanja itav sistem se moe zamijeniti centrom mase. Centar mase se giba kao materijalna toka mase =

iimm na koju djeluje ukupna

vanjska sila vFr

. Time je gibanje sistema svedeno na gibanje jedne materijalne toke, centra mase, bez obzira na to kako sloen taj sistem bio.

=

==

n

ivviCM FFam

1

rrr (3.30)

Kada na sistem estica ne djeluju nikakve vanjske sile, odnosno kada je njihova rezultanta jednaka nuli vrijedi:

0== vCM Famrr

, odatle iz dtvd

a CMCM

rr

= izlazi: .konstvCM =r

i 0rtvr CMCMrrr

+= (3.31)

Znai kada je rezultanta svih vanjskih sila jednaka nuli, centar mase ili miruje ili se giba konstantnom brzinom (jednoliko) po pravcu.

Trenje

Sile trenja pojavljuju se uvijek kada se dva tijela koja su meusobno u kontaktu gibaju jedno prema drugom. Vrste trenja:

- vanjsko trenje meu vrstim povrinama - unutranje trenje ili viskoznost trenje meu dijelovima fluida, odnosno

izmeu vrstog tijela i fluida

Trenje meu dvjema povrinama, bez prisutnosti nekog sredstva za podmazivanje izmeu njih, zove se suho trenje.

Ako silom F pokuamo vui tijelo po podlozi, te ako je ta sila malena, njom neemo svladati silu trenja i tijelo e mirovati. Dok tijelo miruje sila trenja je jednaka vunoj sili. Najvea sila trenja koja prisiljava tijelo da jo miruje zove se sila trenja mirovanja (statikog trenja). Kad vuna sila F nadmai silu statikog trenja, tijelo poinje kliziti. Sila potrebna za odranje gibanja manja je od sile potrebne za pokretanje tijela: sila trenja gibanja (kinematikog trenja) manja je od sile trenja mirovanja.

Ovisnost sile trenja o vunoj sili prikazana je na slici 3.7

Slika 3.7 Ovisnost sile trenja o vunoj sili

Pokusi pokazuju da Ftr,s , ne ovisi o veliini dodirnih ploha i da je proporcionalna normalnoj komponenti sile kojom tijelo djeluje na podlogu (tj. sili kojom povrina pritie drugu):

Ftr,s s FN ...(3.32)

Gdje je: s - statiki faktor trenja - ovisi o svojstvima obiju dodirnih ploha

Ftr= k FN Gdje je: k faktor kinetikog trenja

s i k ovise o materijalu, hrapavosti i istoi dodirnih ploha

Ako je tjelo na kosini nagiba , normalna komponenta sile FN jednaka je komponenti teine G

vu smjeru normale na kosinu (FN =G cos ). U trenutku kada tijelo klizi

(granini kut m) komponenta teine je jednaka sili statikog trenja i paralelna je kosini:

strmp FGF ,sin == ...(3.33)

Iz ove jednadbe se dobije:

mm

m

N

strs tgG

GFF

===cos

sin,

...(3.34)

Centripetalna sila

Da bi se tijelo gibalo krivocrtno, npr. po krunici na njega mora djelovati sila koja e mu mijenjati smjer brzine, odnosno davati mu radijalnu akceleraciju. Ta sila koja mijenja smjer brzine i usmjerena je prema sreditu zakrivljenosti zove se centripetalna (radijalna) sila.

2

22 vmrmmaF rcp === ...(3.35)

ili vektorski rmFcprr 2= ...(3.36)

Pri nejednolikom krunom gibanju osim centripetalne djeluje i tangencijalna sila koja mijenja iznos brzine.

Centrifugalna sila Centrifugalna sila Fc mase m koja se kruno giba obodnom brzinom v, odnosno kutnom brzinom na polumjer r (udaljenost teita tijela od osi rotacije) iznosi:

22

mrr

mvFc == ...(3.37)

Primjer: Tijelo mase 2 kg poinje kliziti niz kosinu koja je prema horizontali nagnuta za 45 i u prvoj sekundi prevali put 2,5 m. Kolika je sila trenja? Kolikom bi silom F trebalo djelovati da bi se tijelo gibalo jednoliko uz kosinu?

Na tijelo koje klizi niz kosinu djeluje sila tee:

gmG rr

= , sila normalne reakcije podloge NFr

i sila trenja trFr

. Jednadba gibanja proistie iz drugog Newtonovog zakona:

++== trN FFGFamvrrrr

Odaberemo li os x koordinantnog sustava tako da je paralelna kosini, jednadba prelazi u:

cos0sin

GFFmgma

N

tr

=

=

Odatle je : N

tsgmmamgFtr 9,3

2sinsin 2 =

==

0sin == trFmgFma slijedi NFmgF tr 8,17sin =+=